第4章1线段、射线、直线-【优+学案】2025-2026学年新教材七年级上册数学课时通（北师大版2024）

第四章基本平面图形 大单元建构 性质 定义 比较线段长短 线段 顶点 中点 边 射线 基本图形 多边形 内角 性质 直线 对角线 正多边形 定义 基本平 面图形 定义 分类 圆心 角度换算 半径 角 比较角的大小 圆 弧 角平分线 扇形 尺规作角 圆心角 +≈本章核心素养 学科核心素养 具体内容 几何直观 经历用图形思考问题的过程，利用数形结合思想，用图形之间的关系计算，初步建立几何直观 推理能力 在参与观察、试验、猜想等数学活动中，利用直线、射线、线段、角的概念与计算，发展推理能力， 运算能力 根据线段中点和角平分线的定义，进行求线段的长和角的度数的运算，发展运算能力. 应用意识 在利用直线、射线、线段、角的知识解决实际问题的过程中，发展应用意识. 从具体情境中抽象出基本的几何元素和平面图形，进一步研究线段、射线、直线、角的含义及其相 抽象能力 关性质. 71 优计学案·课时通 1线段、射线、直线 第1课时 线段、射线、直线（答案P14) C.画射线OB=10厘米 D.过A,B两点画一条直线 知识点1线段、射线、直线 7.如图所示，已知平面上的点A,B,C 1.抽象能力》汽车灯发射出来的光线，给我们的 (1)画线段AB. 感觉是() (2)画射线AC. A.直线 B.线段 C.射线 D.折线 (3)画直线BC. 2.下列关于直线的表示方法正确的是( 直线ab 直线aB b a B A B B .C 直线AB 直线A AB D 知识点3直线的性质 3.(2023·孝感孝南区期末)如图所示，下列说法 8.下列说法正确的是( ) 不正确的是() A.经过两点有无数条线段 A B B.经过两点有且只有一条直线 A.直线AB与直线BA是同一条直线 C.经过两点有且只有一条射线 B.线段AB与线段BA是同一条线段 D.经过两点有无数条直线 C.射线OA与射线OB是同一条射线 9.抽象能力》如图所示，要把一个横排挂钩在墙 D.射线OA与射线AB是同一条射线 上钉牢，至少要钉两枚钉子，这样做的依据是： 4.新情境》《红楼梦》第57回有这么一句话，“自 古道：‘千里姻缘一线牵’，管姻缘的有一位月 下老儿，暗里只用一根红线，把这两个人的脚 绊住.”请问，这里所说的“线”若是真的，则在 易错三忽略车票的往返性 数学中指的应是() 10.(2023·郑州金水区期末)如图所示，AB是一 A.直线 B.射线 段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点 C.线段 D.以上都不对 表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印 5.如图所示，点A,B,C,D在同一条直线上，则 制 种车票。 这条直线上共有线段 条 B G D E B C D >>>>>>>>>>>>>>》>>>>>>> 知识京2线段、射线、直线的画法 通能力 6.下列关于作图的语句正确的是() 11.在平面上任意画4个点，那么这4个点确定 A.画直线AB=10厘米 的直线共有( ) A.1条或4条 B.1条或6条 B.延长线段AB到C,使AC-AB C.4条或6条 D.1条或4条或6条 一七年级·上册·数学，B的 72 12.几何直观》下列各图中所给的线段、射线、直17.按要求完成作图及作答： 线能相交的是( ) (1)如图①所示，点M在直线L上，P,Q两点 在直线1外，且分别位于直线1的异侧.分别 画出直线PM,射线QM. (2)如图②所示，平面内三条直线两两相交于 B D A,B,C三点，此时平面被分割成了7个不同 的区域，点N为平面内三条直线外另一点， D 若过点N再画一条直线（请在图上画出），使 13.如图所示，能读出的线段共有 条 此时平面被分成最多不同区域，则此时最多 不同区域个数为 14.推理能力》直线上有n个点，我们进行如下 P 操作：在每相邻两点间插入2个点.经过2次 这样的操作后，直线上共有 个点. ① (用含n的代数式表示) 15.推理能力》如图所示，1条直线将平面分成 2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部 分，3条直线最多可将平面分成7个部分，现 通素养》 有50条直线，最多可将平面分成 个 18.探究拓展》如图所示： 部分. X 六产关 1条直线 2条直线 3条直线 16.已知平面上四点A,B,C,D,如图所示. (1)如图①所示，三条直线相交，最多有 (1)画直线AD 个交点； (2)画射线BC,与直线AD相交于点O. 如图②所示，四条直线相交，最多有 (3)连接AC,BD相交于点F. 个交点： 如图③所示，五条直线相交，最多有 个交点. A. (2)归纳猜想：30条直线相交，最多有多少个 D 交点？ B 73 优计学案·课时通 第2课时 比较线段的长短（答案P14) 通基仙> 5.(2023·厦门同安区期末)若A,B,C三点同在 >>》>>》>>>>>>>>>>>>>》>>>>>>> 一直线上，线段AB=6cm,BC=4cm,那么 知识点1线段的性质 A,C两点之间的距离是 cm. 1.(2024·沧州任丘一模)下列四个生活中的现 知识点3线段长度的比较 象可用“两点之间线段最短”来解释的 6.如图所示，AB=CD,则AC与BD的大小关 是( 系是() 在墙上用钉子 A B 钉木板 A A.AC>BD B.AC<BD 跳 C.AC=BD D.不能确定 线 7.如果点C在线段AB上，且点C不与点A、B C D 重合，那么AB BC.(填“>”或“<”) 2.如图所示，从小华家去图书馆共有三条路，你 知识点4”线段的尺规作图 认为第 条路最短，理由是 、① 8.尺规作图（不写作法，仅保留作图痕迹）： ② 小华家 ,图书馆 ③ 如图所示，已知线段a,b(a<b),求作线段AB, 3.应用意识如图所示，A,B是公路1两旁的两 使AB=b-a. 个村庄，若两村要在公路上合修一个汽车站， 使它到A,B两村的距离和最小，试在1上标 注出汽车站点P的位置，并说明理由， A 知识点5线段的中点 9.(2023·邯郸广平期末)已知点C在线段AB 上，则下列条件中，不能确定点C是线段AB 的中点的是( 知识点2两点之间的距离 A.AC-BC B.AB=2AC 4.下列说法正确的是() C.AC+BC=AB D.BC- AB A.两点之间，直线最短 B.线段MN就是M,N两点之间的距离 10.几何直观如图所示，点A在线段CB上，点 C.在连接两点的所有线中，最短线的长度就是 D是线段BC的中点，AD= BC,若CD= 6 这两点之间的距离 3,则线段AB的长是 D.从广州到北京火车行走的路程就是广州到 C AD 北京的距离 一七年级·上册·数学，B5 74 易错度对点的位置把握不清忘记分类讨论 15.如图所示，已知线段AB=23,BC=15,点M 11.应用意识》有两根木条，一根长10cm,另一 是AC的中点。 根长8cm,将它们一端重合且放在同一条直 (1)求线段AM的长. 线上，此时两根木条的中点之间的距离为 (2)在CB上取一点N,使得CN:NB=1: cm. 2,求线段MN的长. 通能力92222>22> 12.已知线段AB=8cm,点C是直线AB上一 点，BC=2cm,若M是线段AB的中点，N 是线段BC的中点，则线段MN的长度 为() A.5 cm B.5cm或3cm C.7cm或3cm 通素养》999999沙9999 D.7 cm 16.推理能力(2023·衡阳期末)如图所示，点C 13.如图所示，在四边形ABCD内找一点O,使得 在线段AB上，M,N分别是AC,BC的 线段AO,BO,CO,DO的和最小.（画出即 中点。 可，不写作法) (1)若AC=9cm,CB=6cm,求线段MN 的长 (2)若C为线段AB上任一点，满足AC十 CB=acm,其他条件不变，请猜想MN的 长，并说明理由. (3)若点C在线段AB的延长线上，且满足 14.教材P117习题4.1T4变式》如图所示，已知线段 AC-BC=bcm,M,N分别为AC,BC的中 a,b,c,用直尺和圆规画图（保留画图痕迹）. 点，请猜想MN的长，画出图形，并说明理由. (1)画一条线段，使它等于a+b; A M C N B (2)画一条线段，使它等于a一c; 并用字母表示出所画线段。 75 优计学案·课时通3个圆，第②个图案中共有6个圆，第③个图案中9.经过两点有且只有一条直线 共有9个圆，所以第n个图形共有3n个圆，所以第 10.2011.D12.B13.1014.(9n-8) ⑦个图案中圆的个数为3×7=21（个）. 15.1276解析：由题图可知，有1条直线时，最多分 21 成1+1=2个部分；有2条直线时，最多分成1十 【变式训练2】(n+1)2 1+2=4个部分；有3条直线时，最多分成1+1十 【通模拟】 2+3=7个部分；设直线条数有n条，分成的平面 1.D2.D3.A4.A5.B6.80m7.38.3x 最多有m个部分.有以下规律：m=1十1十…十 9.解：原式=3a2+6ab-2ab+2a2 十1，所以50条直线最多可 =5a2+4ab. (n-1)+n=n(n+1) 2 10.解：原式=-2ab+3a2-2b2-a2+2ab 将平面分成50X(50+1)+1=1276个部分. =2a2-2b2. 2 当a=1,b=一2时， 16.解：(1)(2)(3)如图所示. 原式=2×12-2×(-2)2=2-8=-6. 11.解：(1)③ (2)若AC=5,BC=3,则AB=2. 因为b=-1, 所以a=-1-2=-3. B (3)因为a=-1,a-b-c=-3, 17.解：(1)画直线PM,射线QM如图①所示. 即a一(b+c)=-3,所以b+c=2. 所以-a+3b-(b-2c)=-a+3b-b+2c=-a +2b+2c=-a+2(b+c)=-(-1)+2×2=5. 12.解：(1)4a3-2ma2+3a-1+5a3-4a2+(n 1)a-1=9a3-(4+2m)a2+(n-1+3)a-2. 因为关于a的多项式4a3-2ma2+3a-1与5a3 (2)如图②所示.11 4a2+(n-1)a-1的和不含a2和a项， 所以4+2m=0,n-1+3=0, 所以m=-2,n=-2. (2)因为m=-2,n=一2， 所以(4m2n一3mn2)-2(m2n+mn2)=4m2n- 3mn2-2m2n-2mn2=2m2n-5mn2=2X(-2)2 18.解：(1)3610 ×(-2)-5×(-2)×(-2)2=2×4×(-2)-5× (2)30条直线相交，最多有30X29=435(个)交点. 2 (-2)×4=-16+40=24. 【通中考】 第2课时比较线段的长短 13.B14.D15.D16.3n17.218.6+6 1.B 第四章基本平面图形 2.②两点之间线段最短 3解：点P的位置如图所示. 1线段、射线、直线 第1课时线段、射线、直线 1.C2.C3.D4.C5.66.D 7.解：(1)(2)(3)如图所示. 作法：连接AB交L于点P,则点P为汽车站的 位置. 理由：两点之间线段最短. 4.C5.2或106.C7.> 8.解：如图所示，线段AB即为所求作. a 8.B 6 14 9.C10.411.9或1 (3)如图所示： 12.B A MB N C 13.解：如图所示，连接AC,BD交于点O,交点O即为 因为M,N分别是AC,BC的中点，所以CM= 所求. AC,CN=合BC,所以MN=CM-CN- 1 2 AG-B). 因为AC-BC-bcm,所以MN= 26 cm. 14.解：(1)先画一条直线，在直线上找一点A,以A为 2角 圆心，线段a的长为半径画弧交直线于点B,再以 第1课时角 B为圆心，以线段b的长为半径画弧，交直线于点 1.C2.∠1∠B∠ACB∠DAC3.B4.24 C(C在AB外)，则线段AC即为所求， 5.D6.36.61°7.东偏南60°8.A9.B10.C 如图①所示： 11.南偏西30° A 12.3610 2(n+1)(n+2) ① (2)先画一条直线，在直线上找一点A,以A为圆 第2课时角的比较 心，线段a的长为半径画弧交直线于点B,再以B 1.C 为圆心，以线段c的长为半径画弧，交直线于点C 2.∠AOD ∠DOA>∠DOB>∠DOC (C在AB内)，则线段AC即为所求， 3.C 如图②所示： 4.(1)∠AOD(2)∠AOD∠DOE A七 (3)∠COD ∠DOE∠EOB 5.D6.160° ② 15.解：(1)因为AB=23,BC=15,所以AC=AB- 7.解：因为∠1=40°，所以∠B0C=180°-∠1=140°. BC=23-15=8.又因为点M是AC的中点， 又因为OD平分∠BOC, 所以AM=号AC=7×8=4,即线段AM的长度 所以∠2=号∠B0C=70: 是4. 8.C9.B10.B11.1449 (2)因为BC=15,CN：NB=1:2,所以CN= 12.解：1由∠c0D-∠B0C,得 号BC=了×15=5.又因为点M是AC的中点， ∠EOC=4∠C0D=4X15°=60°. (2)由角的和差，得∠EOD=∠EOC-∠COD= AC=8, 60°-15°=45°. 所以MC=2AC=4,所以MN=MC+NC=4+ 因为OE为∠AOD的平分线， 5=9,即线段MN的长度是9. 所以∠AOD=2∠EOD=2X45°=90°. 16.解：(1)因为M,N分别是AC,BC的中点，所以 13.解：(1)∠EOM-∠FON 理由：因为∠EOM=∠EOF-∠MOF,∠FON= CM-TAC.CN-BC. ∠MON-∠MOF,∠EOF=∠MON=90°，所以 因为AC=9cm,CB=6cm, ∠EOM=∠FON. 所以CM=4.5cm,CN=3cm,所以MN=MC+ (2)∠EON与∠MOF的和为180°. CN=7.5 cm. 理由：因为∠EOM=∠FON, (2)因为M,N分别是AC,BC的中点，所以CM= 所以∠EON+∠MOF=90°+∠NOF+∠MOF= 90°+90°=180°. AC,CN三BC,所以MN=CM+CN 14.解：(1)因为∠COD=30°，所以∠AOD=180° (AC+CB) 30°=150°.因为OM为∠AOD的平分线，所以 1 ∠A0M=2∠A0D=75:因为∠A0B=60,所以 因为AC+CB=acm,所以MN=2acm. ∠BOC=180°-∠AOB=120°. 15