第2章2.3 有理数的乘方-【优+学案】2025-2026学年新教材七年级上册数学课时通（人教版2024）河北专用

2.3有理数的乘方 2.3.1乘方 第1课时 乘方（答案P9) 通基础> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 8在(-)中，底数是 ,指数是 ,该 知识点1有理数乘方的意义 式的计算结果叫作 ,其值为 1.(-2)6表示( 9.在有理数（一1）2，（一1）3，-12，-1|， A.6个一2相乘的积 1 -（-1),-中，等于1的数有 个 B.一2与6相乘的积 10.计算： C.2个6相乘的积的相反数 D.6与2相乘的积 1(-)； (2)-(-5)3; 2.在下列算式中，结果与34相等的是( A.3+3+3+3 B.3×3×3×3 C.4×4×4 D.3×4 3.(2024·邢台月考)(-2)3读作 表示 ;32读作 表示 4.根据乘方的意义，可得22×23=(2×2)×(2× 3(-12, (4)(-0.2)3 2×2)=2.请你试一试，完成以下题目： (1)a3·a4=(a·a·a)·(a·a·a·a)= (2)归纳、概括：am·a”= 知识点2有理数乘方的运算 5.下列运算正确的是( A.-22=4 B(-2号)》=-8 知识点3利用计算器计算有理数的乘方 c.(-3》- D.(-2)3=-6 11.利用计算器计算（一2.6）3时，下列按键方法 6下列各数-2，--号，-(-610，-2中， 正确的是( ) 负数有( A.2□6D■可3= ) A.2个 B.3个 B.-)26)☐3 C.4个 D.1个 c.-)26)3= 7.下列结论错误的是( D.-)206)口3= A.一个数的平方不可能是负数 B.一个数的平方一定是正数 12.小丽利用计算器计算时，按键方法为： C.一个非零有理数的偶次方是正数 回可日34)可⑤目，显示结果应为 D.一个负数的奇次方还是负数 ·(保留两位小数) 41 优计学案·课时通一 易精固不能正确理解分数的乘方 19.已知x2=(-2)2,y3=-1. (1)求x·y2023的值. 的值的关系是( A.相等 (2)求的值 B.互为相反数 V C.互为倒数 D.上述说法都不正确 通能力> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 14.下列计算： ①(-2》- ②-32=9； ®(3)： ④-(-3- 通素养999999999999 ⑤(-2)2=4. 20.抽象能力》阅读下列材料并完成填空： 其中正确的有() 你能比较两个数202402和2025224的大小 A.1个B.2个 C.3个 D.4个 吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即 比较n"+1和(n+1)”的大小(n≥1，n是正整 15.有型数-3，（一3》，-31，-}按从小到大 数)，然后从分析n=1,n=2,n=3,…这些简 的顺序排列是() 单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想 A3←-3<(-3)<1-3到 出结论 (1)通过计算，比较下列①~⑥各组的两个数 R1-31<-3<(-3)<-3 的大小.（填“>”“<”或“=”） ①1221；②23 32;③34 43; c-3<-g<(-3)<1-3到 ④45 54;⑤5 65;⑥67 7. D.3<-3<1-31<(-3 (2)通过观察上面各小题的结果，归纳出n"+1 和(n十1)”的大小关系， 16.若|a-2+(b-3)224=0,则a= (3)根据上面归纳猜想的一般结论，可以得到 17.计算：2×(2)》 20242025 20252024.(填“>”“<”或 “=”) 18.将一张长方形的纸按如图所示对折可得到一 条折痕（图中虚线），继续按相同方向对折，连 续对折三次后可以得到7条折痕，那么对折7 次可以得到 条折痕 第一次对折 第二次对折 第三次对折 一七年级·上册·数学，则河北专用 42 第2课时有理数的混合运算（答案P9)》 通基础> >>2>>>>>>>>>>>>>>》>>>>>>>>> 知识点2利用有理数的混合运算探究规律 5.推理能力》(2024·石家庄赵县期末)观察算 知识点1有理数的混合运算 1.在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分 式1+3=4+3)x2,1十3+5=1+5)×3， 2 2 别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学 是() 1+3+5+7=1+7)×4 2一，…，按规律填空：1十 甲：9-32÷8=0÷8=0 3+5+7+…+99= 乙：24-(4×32)=24-4X6=0 6L知2+号-25×号3+8-3×84+普 2 丙：36-12)÷8-36×号-12×号-16 丁：(-3)÷3×3=9÷1=9 4×行…，若14+号-14×号（a,6均为正整 数)，则a+b= A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 2.计算8一23÷(-4)×(-7+5)的结果 易错因有理数混合运算的顺序出现错误 为() 7.(2024·石家庄裕华区期末)在计算一22十5÷ A.-4 B.4 C.12 D.-12 《一2》×分-9X2-日号)时，有四位同学给 3.若a,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对 值是2，则式子20十5m”2d的 出了以下四种计算步骤，其中正确的是() 值为 A原式-1÷(-2)×日9x2-日) 4.教材P54练习变式》计算： B原式=45(-1-9)×2-日号》 1()°×(-12)-()-2÷(-1.5： C原武=-4+5÷(-2)×2-18+3+2 D.原式=-4+5÷(-2)×2-18-3-2 通能力》22222》 8.观察下列算式：21=2,22=4,23=8,24=16， 23日×(-7.2)÷2号x(-09 25=32,2=64,27=128,28=256,…,根据上 述算式中的规律，你认为22”的末位数字 是() A.2 B.4 C.6 D.8 m个2 n个3 9.计算2十2十…十2+3×3×…×3=() A.2m+3” B.m2+3n C.2m+n3 D.2m+3” 43 优计学案·课时通 10.如图所示是一个计算程序，若输入a的值14.（2024·保定莲池区期末)如图所示，自行车 为一1，则输出的结果b为( 的链条每节长为2.5cm,每两节链条相连接 部分重叠的圆的直径为0.8cm.如果某种型 输人a片一2一-一国输出6 号的自行车链条共有100节，求这根链条没 A.-5B.-6 C.5 D.6 有安装时的总长度， 11.创新意识》我们规定一种运算符号“★”为： -2.5cm 0.8cm x★y=(x十2)2-y,例如：3★5=(3十2)2- ⊙o⊙.Q⊙⊙-⊙g 1节 2节 100节 5=20,则1★（一2）的值为() A.4 B.7 C.8 D.11 12.推理能力甲先写一个两位数63，乙在63的 右边写下这个两位数的数字之和9，得到 639.甲接着在639的右边写下末两位数字之 和12，得到63912.乙用同样的方法写出 639123.这样继续下去，若得到一个100位数.则 这个100位数的各个数字之和等于 通素养》 13.阅读材料： 15.模型观念)观察下列各式：1+2-9=× 计算：33-2÷[(2)-(-3+0.75)]×5. 4×9= 4×22X32, 解：原式=3}-2÷(}-3+)×5① 1+2+3-6-×9×16=×3×4, =33十4÷(-2)×5② +2+8+f=10-×16x2s-骨×X子. 1 若n为正整数，试猜想13+23十33+43+…+n3 ,14 一25 等于多少？ 回答下列问题： (1)步骤①错在 (2)步骤①到步骤②错在 (3)步骤②到步骤③错在 (4)请你写出此题的正确运算过程. 一七年级·上册·数学，则河北专用 44 专题二有理数的计算技巧（答案P9) 类型1几个整数相加减，可把正数、负数分别类型4几个分数相加减，可先把分母相同或 相加减 便于通分的分数相加减 1.计算： 4.运算能力》计算： (1)16+(-25)+24+(-25); 1)-5+(+2)+(-11)-(-): 21等+(-23)++(-3)： (20.125+34+(-3日+(-0.25). 类型2几个有理数相加减，可先把互为相反 数的两数相加 翻类型5几个带分数相加减，可以先拆分，再 2.计算： 组合 (1)18+(-12)+21-(-12); 5.计算：12.75+(-93)+(-52)+2.5. 解：原式=12+0.75+(-9)+(-3)十 (2)25.3+(-7.3)+(+13.7)+7.3. (-5)+(-2)+2+0.5 =[12+(-9)+(-5)+2]+0.75+(-3)+ (-)+0.5 类型3几个非整数相加减，可先把相加减得 整数的相加减 =0+0.75+0.5)+[(-3)+(-2)】 3.计算： (1)(-3.14)+(+4.96)+(+2.14)+ =0+1.25-3-531 4=4-4=2 (-7.96); 上面这种解题方法叫作拆项法，按此方法计 算：(-4)+(+8)+(-38) (2)25.3+(-7.3)+(-13.7)+7.7. 45 优计学案·课时通一 甜类型6：用裂项法求和 甜类型8有理数乘法运算中乘法运算律的应用 6.先观察下列各式，再完成题后问题： 8.运算能力用简便方法计算： 111111111 2×323'3×434'4×545 5×(-6): (1)63 1 (1)写出5X6 1 1 1 1 (2)求1X2十2X3十3X4+4x5+…+ 1 2023×2024的值. (2)99×118+33×(-2)-999×18号 3)求}+品+十的前+醇+亚+十 ,1111 1 11 动的随 9.阅读材料，回答问题： 1g×1-3=2×号=1. 12×1×1-3)×(1-)-8××号× (×3)×(×)=1x1=1 根据以上信息，计算： 12×1号×1后×…×10×(1-)×(1 )×(1-)×…x(1-》 类型7有理数乘法中把小数转化为分数进行 计算 7计算：-1-1-0.5)×3×[2-(-3)]， 一七年级·上册·数学：对河北专用 46 2.3.2 科学记数法（答案P10) 通基础 >>2>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 易错固忽略了单位换算而出现错解 7.据共青团中央2023年5月3日发布的中国共 知识点1用科学记数法表示绝对值较大的数 青团团内统计公报，截至2022年12月底，全 1.据科学家估计，地球的年龄大约是4600000000 国共有共青团员约7358万人，数据7358万 年，将4600000000用科学记数法表示 用科学记数法表示为( 为() A.7.358×10 B.7.358X103 A.4.6×108 B.46×108 C.7.358X104 D.7.358×10 C.46×109 D.4.6×109 通能力> >>>>>>y>>>>>>>>>>>>>y>>3>y>>>>y>>> 2.(2023·石家庄晋州模拟)北斗卫星导航系统是 8.新情境我国自主研发的500m口径球面射 中国自主研制的全球卫星导航系统，预计到 电望远镜(FAST)有“中国天眼”之称，它的反 2025年中国北斗产业总值将达到1万亿元.将 射面面积约为250000m2.用科学记数法表示 1万亿元用科学记数法表示应为( ) 数据250000为( ) A.1×1010元 B.1×101元 A.0.25×10° B.25×104 C.1×1012元 D.1×1018元 C.2.5×104 D.2.5×105 3.地球距太阳的距离约为150000000km, 9.小胡同学用科学记数法把一个六位数错误地 150000000用科学记数法表示为1.5×10”， 表示成26×104，你能写出这个原数并正确地 则n的值为( ) 用科学记数法表示出来吗？ A.6 B.7 C.8 D.9 4.从党的二十大报告中了解到，我国互联网上网 人数达1030000000.将1030000000用科 通素养 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 学记数法表示为 知识点2还原用科学记数法表示的数 10.模型观念我国约有9.6×106平方千米的土 地，平均每平方千米的土地一年从太阳得到 5.新情境》中国航母辽宁舰是中国人民海军第 的能量相当于燃烧1.5×10吨煤所产生的能量. 一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，该舰的 (1)一年内我国土地从太阳得到的能量相当 满载排水量为6.75×104吨，这个用科学记数 于燃烧多少吨煤？（用科学记数法表示） 法表示的数据的原数为( (2)若1吨煤大约可以发出8×103kW·h电， A.6750吨 B.67500吨 则问题(1)中的煤大约可以发出多少电？（用 C.675000吨 D.6750000吨 科学记数法表示) 6.教材P56练习T2变式》下列用科学记数法表 示的数，原来各是什么数？请你在横线上写出 相应的原数. (1)1×105= (2)5.18×103= (3)-3.125×106= 47 优计学案·课时通 2.3.3 近似数（答案P10) 通基础 8.已知a=20.18是由四舍五入法得到的近似 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 数，则a的可能取值范围是() 知识点1，准确数与近似数 A.20.175≤a≤20.185 1.某教学楼共有5层，每层的高度相等，层与层 B.20.175≤a<20.185 间的楼梯都是28级台阶，经测量，每级台阶的 C.20.175<a≤20.185 高度是12cm,从而求出教学楼的高度是16.8m, D.20.175<a<20.185 在这个问题的数字中，准确数有 个，近 9.3.10万精确到 位 似数有 个 10.应用意识》小亮的体重是46.75kg,精确到 知识点2精确度 0.1kg得到的近似值是 kg. 2.联合国教科文组织将每年的3月14日定为 11.教材P56练习T4变式》用四舍五入法对下列 “国际数学日”.国际数学日之所以定在3月14 各数取近似数， 日，是因为“3.14”是圆周率数值最接近的数. (1)0.7045(精确到0.01)； 将圆周率“3.1415926…”用四舍五人法精 (2)0.478(精确到百分位)； 确到千分位的近似数是() (3)0.00258(精确到0.001)； A.3.1 B.3.14 C.3.141 D.3.142 (4)489960(精确到千位，用科学记数法 3.下列判断正确的是( ) 表示). A.0.380精确到0.01 B.5.6万精确到0.1 C.300精确到个位 D.1.60×104精确到百分位 知识点3取近似值 4.把1.5952精确到百分位的近似数是( ) 通素养》沙99% A.1.5 B.1.59C.1.60 D.1.6 5.把数38490按四舍五入法取近似值精确到千 12.在学校组织的一次体检中，甲、乙两名同学的 位是 (用科学记数法表示) 身高用科学记数法表示都约为1.7×102cm, 易错固不理解取近似值的方法 但甲却说他比乙高9cm,你认为有这种可能 6.(2024·秦皇岛卢龙月考)将34.945取近似数 吗？若可能，请举例说明」 精确到十分位，正确的是() A.34.9 B.35.0 C.35 D.35.05 通能力》%9>2>9%>%>5% 7.下列说法不正确的是() A.近似数1.8与1.80表示的意义不同 B.0.0200精确到万分位 C.2.0万精确到万位 D.1.0×104精确到千位 一七年级·上册·数学，则河北专用 48 数学活动（答案P10) 通基础> 则9月到12月中，小亮单月存钱最多的月份 3>2>》>>>>>>>9>》 是( ) 知识点1，整理家庭收支账目 A.9月 B.10月C.11月D.12月 1.(2024·石家庄长安区月考)下表是小辰的妈 4.小康最近一周的生活收支统计表（其中收入为 妈元旦当天的电子零钱收支明细（单位：元）： “十”，支出为“一”)如下： 电子转账 +80 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 如意水果店 -75 收入/元 +200+180 +220 +210+250 +100 +250 电子红包 +36 支出/元 -120 -80 -240 -120 -190 -250 -140 便民莱场 -18 结余/元 +80 20 +90 +110 观察表格信息，可知小辰的妈妈元旦当天电子 (1)请将每天的结余费用填入上表， 零钱余额和前一天相比( (2)本周小康最后的结余是 元 A.多了23元 B.少了23元 通素养> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> C.多了116元 D.少了93元 知识点2填幻方 5.运算能力》我国古老的幻方如图①所示，就是 2.将2，-4,6，一8,10，一12,14，一16分别填入 将1~9的9个整数分别填入在3×3的网格 图中的圆圈内，使每个正方形顶点处4个数字 中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线 之和与每条斜线上4个数字之和都相等，则 上的3个数的和相等.如图②所示，现将1~25 x十y的值为( 的25个整数分别填入5×5的网格中，也能满 足上述类似要求，使每一横行、每一竖列以及 两条斜对角线上的5个数的和相等，但其中有 未完成的空格，求网格中m十n的值， 1724815 23m714 6132022 A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 101219n3 92 182529 通能力》%999%%>92% ① ② 3.刚上大学的小亮8月份到银行开户，存入了 600元钱.9月开始，家里按月给小亮生活费. 由于小亮在校理性消费，所以他每月都有结余 存入银行.下表为小亮从9月到12月每月与 上一月存入银行的金额比较的情况（比上一月 增加为正)： 月份 9 10 11 12 与上一月比较/元 -400 -100 +300 -200 49 优计学案·课时通=×(-)-日×(-)-品×(-) (2)原式=3日×(-1.2)×是×0.81=-(3写× =-2-(-0-(-)=-2+1+号- 0.81)x(.2x)=-(×)×(×8) 所以(-3)-(18-日-2)=-8. 63 251 ×3=-7.56. 所以深式-吉十（一3》-号 5.25006.209 7.C8.C9.D10.A 16.解：(1)因为a与c互为相反数，所以b=0,a=一2， 11.D解析：因为x★y=(x+2)2一y,所以1★ c=2,d=4,所以a+b+c+d=-2+0+2+4=4. (-2)=(1+2)2-(-2)=32+2=9十2=11. (2)因为这四个数均为整数，且最小数与最大数的 12.356解析：根据题意，这个100位数为： 积等于7，所以ad=7. 639123581347112358134711…,即从第4位 因为7=1×7=(-1)×(-7)，a<d, 数字开始，以1、2、3、5、8、1、3、4、7、1为周期进行 所以a=1,d=7或a=-7,d=-1, 循环，因为(100一3)÷10=9…7，所以9×(1十 所以a=1或-7. 2+3+5+8+1+3+4+7+1)+1+2+3+5+ 2.3有理数的乘方 8+1+3+6+3+9=9×35+23+18=356. 2.3.1乘方 13.解：(1)去括号符号错误 第1课时乘方 (2)乘方计算符号错误 1.A2.B (3)运算顺序 3.负2的三次方3个一2相乘3的二次方 (4)正确的运算过程如下： 2个3相乘 4.(1)a7(2)am+m 原式=3-2÷（+3-0,75）×5=3号-4÷ 5.C6.B7.B 42 1 8.-33幂一2794 2.5×5=3-8=-4 10.解：1)原式= 14.解：因为有1节链条时，链条的长度=(2.5一 27 (2)原式=125. 0.8)×1+0.8=2.5(cm); 有2节链条时，链条的长度=(2.5-0.8)×2十 a)原式-能 (4)原式=-0.008. 0.8=4.2(cm); 11.D12.118195.98 有3节链条时，链条的长度=(2.5一0.8)×3+ 13.D14.B15.C16.817.218.127 0.8=5.9(cm); 19.解：因为x2=(-2)2,y3=-1,所以x=2或 有n节链条时，链条的长度=[(2.5-0.8)×n十 x=-2,y=-1. 0.8](cm). (1)当x=2,y=-1时， 所以有100节链条时，链条的长度=(2.5-0.8)× x·y2023=2X(-1)2023=-2; 100+0.8=170.8(cm). 当x=-2,y=一1时， 答：这根链条没有安装时的总长度为170.8cm. x·y2023=-2X(-1)2023=2. 15.解：1+2+3+4+…+n=2(a+1. 23 （2)当x=2y=-1时，y函(-1D晒=一8 专题二有理数的计算技巧 当x=-2,y=一1时， 1.解：(1)原式=(16+24)+[(-25)+(-25)]=40+ x3(-2)3 (-50)=-10. y20晒-(-1)2a=8. 20.解：(1)①<②<③>④>⑤> 2原式=(1号+)+[(-2)+(-3】- ⑥> (2)当1≤n≤2时，n+1<(n+1)"; 2+(-2号)-是 当n≥3时，n"+1>(n+1)". 2.解：(1)原式=18-12+21+12=18+21+ (3)> (-12+12)=39+0=39. 第2课时有理数的混合运算 (2)原式=(25.3+13.7)+(-7.3+7.3)=39+0=39. 1.C2.B3.18 3.解：(1)原式=(-3.14+2.14)+(4.96-7.96)= 4解：1)原式-×(-）-告+号×合-号× -1-3=-4. (2)原式=(25.3-7.3)+(-13.7+7.7)=18-6=12. (--1+）=号×(-2)=-8 4.解：1)原式=-5子+(+2)+(-1)+号 (-5-1日)+(2+)=-7+3=-4. 7.A8.D 9.解：26×104=260000=2.6×105. 2)原式君+片3日子（合）+(s号 10.解：(1)(9.6×10)×(1.5×105) =9600000×150000 1)=-3+3=0 =1.44×102(吨). (2)(1.44×102)×(8×103) 5.解：原式=[(-4)+(-日)】+[(+8)十 =1.152×1016(kW·h). 2.3.3近似数 (+号】+[-30+(-号】 1.22 2.D3.C4.C5.3.8×104 =-4+8+行-3日 6.A =(-4+8-3+(-日+48》 7.C8.B9.百10.46.8 11.解：(1)0.70.(2)0.48.(3)0.003. =1+()=子 (4)4.90×105. 12.解：有可能.甲、乙两名同学的身高虽然都是约为 6解：0日日 1.7×102cm,但1.7×102cm是精确到十位的近 似数，其准确数的范围是大于或等于165cm,小于 @原式=1-+日日+日片号+十 175cm,举例：甲的身高为174cm,乙的身高为 165cm,则甲比乙高9cm. 1 1 12023 20232024=1-2024-2024 数学活动 1.A2.A3.C 原式=×（++++++病+ 4.(1)+100+60-150(2)270 5.解：设最左侧一列最下面的空格为a,根据题意可得 +》 17+23+10+a=6+13+20+22, 解得a=11, 1 1 1 新所以5个数的和为：11+18+25+2+9=65， 所以n=65-10-12-19-3=21, 所以m=65-17-13-21-9=5, 910 所以m+n=21+5=26. =×1-=×-品 本章综合提升 【本章知识归纳】 7,解：原式=-1-×写×2-9)=-1-日× ①和②差③这个数④不变⑤b+a⑥不变 (-9=-1+名- ⑦a⑧相反数⑨正⑩负①0②不变③ba ④不变⑤bc⑥加⑦ab十ac⑧倒数 8解：1)原式=-6)×(-6)=-42+日 【思想方法归纳】 【例1】思路分析：(1)把正负加数分别归类，即可简便 计算；(2)先把小数化为分数，然后把同分母的加数相 结合，即可简便计算；(3)先把除法运算化为乘法运算， (2)原式=99×[18号+()-18]-999× 然后利用分配律简便计算；(4)因为每个加数中都含有 因数2024，所以可逆用分配律简便计算. 100=99900. 解：(1)原式=-51+12-7-11+36 7 =(-51-7-11)+(12+36) =-69+48=-21. 器-（层×号）×（停×）×（名×）×× (号×9》=1X1x1xX1=1 =(-481)+(2) 2.3.2科学记数法 =-6+5=-1. 1.D2.C3.C 4.1.03×10 8原式-（合立品）×(-90×4 5.B 6.(1)100000(2)5180(3)-3125000 -(后0)×(-9 10