1.4用一元二次方程解决问题 同步习题 2025-2026学年苏科版（2012）数学九年级上册

1.4用一元二次方程解决问题 同步习题 一、单选题 1．已知某企业2023年年营业收入为2500万元，2024年年营业收入达到3600万元，求这两年该企业年营业收入的平均增长率．设这两年年营业收入的平均增长率为x，根据题意列方程为（    ） A．2500x2＝3600 B．2500（1+x）＝3600 C．2500（1+x）2＝3600 D．2500[1+（1+x）+（1+x）2]＝3600 2．为迎接端午促销活动，某服装店从6月份开始对春装进行“折上折“(两次打折数相同)优惠活动，已知一件原价500元的春装，优惠后实际仅需320元，设该店春装原本打x折，则有 A． B． C． D． 3．某校九年级各班进行拔河比赛，每两个班之间都要赛一场，共赛28场.设共有个班参赛，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．某小区花园有一块长方形花圃，它的宽为，若长边不变，将短边扩大，使得扩大后的花圃形状为正方形，且面积比原来增加，设原来花圃长边为，可列方程（    ） A． B． C． D． 5．在2020年元旦期间，某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价元，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛（这样的比赛叫做双循环比赛），共要比赛90场．设有个球队参加比赛，根据题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 7．为了改善居民住房条件，某市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为20平方米提高到28.8平方米．若每年的年增长率相同，则年增长率为（　　） A．20% B．10% C．2% D．0.2% 8．据调查，我市2012年的房屋均价为9 680元/m2，到2014年下降到8 000元/m2，求这两年的年平均下降率．设年平均下降率为x，根据题意，所列方程为（ ） A．9 680（1﹣x）=8000 B．9 680（1+x）2=8000 C．9 680 （1﹣2x）=4000 D．9 680（1﹣x）2=8000 二、填空题 9．某商店经销一批小家电，每个小家电成本为40元，经市场预测，每个小家电定价为50元时，可销售200个，每个小家电定价每增加1元，销售量将减少10个，且定价不得超过55元．如果商店进货后全部销售完，赚了2160元，那么该小家电每个定价是 元． 10．参加宴会的人两两彼此握手，在某次宴会中，出席宴会的人一共握了次手，那么出席这次宴会的人数是 人． 11．如图，在工地边的靠墙处， 用米长的铁栅栏围一个占地面积为平方米的长方形临时仓库，并在其中一边上留宽为米的大门，设无门的那边长为米．根据题意，可建立关于的方程是 ． 12．如图，某广场一角的矩形花草区，其长为，宽为，其间有三条等宽的路，一条直路，两条曲路，路以外的地方全部种上花草，要使花草的面积为，求路的宽度为 ． 13．某物体在匀速运动时，路程s与时间t之间存在关系：s=15t+t2，当时间t= 时，该物体运动了250个单位长度． 14．如图，在中，，，， （1） ． （2）现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段向点方向运动，如果点的速度是，点的速度是．、两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动．设运动时间为秒．当 时，平分的面积． 三、解答题 15．某汽车专卖店经销某种型号的汽车.已知该型号汽车的进价为万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆. （1）当售价为万元/辆时，平均每周的销售利润为___________万元； （2）若该店计划平均每周的销售利润是万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价． 16．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 17．一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），参赛者少于10人．关于比赛的总局数有以下两种不同的说法：一种是说比了28局；另一种说法是比了24局．如果比赛中没有人中途退出，你认为哪一种说法正确？如果有一人中途退出比赛呢？请说明理由． 18．山水旅行社的一则广告如下：我社组团去A风景区旅游，收费标准为：如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元；如果人数多于30人，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于550元，某公司组织一批员工到A风景区旅游，支付给旅行社28000元． （1）该公司的人数 30人（填“大于、小于或等于”） （2）求该公司的人数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C B B C A D 1．C 【分析】根据题意可得等量关系：2019年年收入2500万元增长率）2=2021年年收入达到3600万元，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】解：根据题意所列方程为：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程．掌握一般平均变化率的等量关系：若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为是解决本题的关键． 2．C 【分析】设该店春装原本打x折，根据原价及经过两次打折后的价格，可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设该店春装原本打x折， 依题意，得：500（）2＝320． 故选C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．C 【分析】根据互动问题直接列式即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， 故选：C； 【点睛】本题考查一元二次方程解应用题，解题的关键是互动问题注意重复问题． 4．B 【分析】设原来花圃长边为，则短边增加了，再根据面积增加了列出方程即可． 【详解】解：，设原来花圃长边为，则短边增加了， 由题意得，，即， 故选B． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 5．B 【分析】本题考查了根据实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是了解利润=销售量x单位利润， 根据利润=单台利润×销售数量，设定价为元，单台利润为元．原售价2900元时每天售出8台，每降价50元多售4台．当售价为元时，降价元，相当于降价个50元，因此销量增加台，总销量为．由此列方程即可． 【详解】解：设定价为元，则单台利润为元． 售价降低元，对应降价次数为次，销量增加台，总销量为． 总利润方程为： 故选：B． 6．C 【分析】有x个球队参加比赛，每两队之间都进行两场比赛即每个队伍都要进行(x－1)场比赛，共进行x(x－1)场比赛，根据题意列方程即可． 【详解】由题意可得：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系列方程是解题关键． 7．A 【分析】试题分析：如果设每年的增长率为x，则可以根据“住房面积由现在的人均约为10m2提高到14.4m2作为相等关系得到方程20（1+x）2=28.8，解方程即可求解． 【详解】设每年的增长率为x，根据题意得20（1+x）2=28.8， 解得x=0.2=20%或x=-2.2（舍去）． 故选A． 8．D 【详解】试题分析：根据2013年的房价=2012年的房价×（1﹣下降率），2014年的房价=2013年的房价×（1﹣下降率），可得出方程． 解：设这两年平均房价年平均下降率为x， 则可得：9680（1﹣x）2=8200， 故选D． 点评：此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b． 9． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（营销问题），读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键． 设该小家电每个定价是元，根据“每个利润销量总利润”可得，解方程即可求出的值，再结合“定价不得超过55元”，即可得出答案． 【详解】解：设该小家电每个定价是元， 根据题意可得：， 整理，得：， 解得：，， 定价不得超过55元， ， 即：该小家电每个定价是元， 故答案为：． 10．10 【分析】设出席这次宴会的人数是人，根据一共握了次手列出方程，解方程即可． 【详解】解：设出席这次宴会的人数是人，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 即出席这次宴会的人数是10人． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． 11． 【分析】根据题意可直接进行列方程． 【详解】解：设无门的那边长为米，根据题意得： ，即； 故答案为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 12． 【详解】设路的宽度是xm.根据题意，得 (40−2x)(26−x)=864， x2−46x+88=0， (x−2)(x−44)=0， x=2或x=44(不合题意,应舍去). 故答案为2. 点睛：此题考查了一元二次方程的实际应用，此类题目中注意利用平移的知识把道路平移到一块儿，对花草面积进行整体计算. 13．10 【分析】把250代替所给等式中的s，求t的正数解即可． 【详解】解：由题意得方程，250＝15t＋，解之得，＝10，＝－25（不合题意舍去） 即＝10时，走了250个单位长度．故答案为：10． 【点睛】考查一元二次方程的应用；得到s的具体值是解决本题的关键． 14． 【分析】（）由勾股定理即可求解； （）先表示出，，根据平分的面积得到t的方程求解即可； 本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程并正确求解是解题的关键． 【详解】（）∵中，，，， 由勾股定理得：， 故答案为：； （）根据题意，，， ∵，， ∴， 由 点到点的时间为，则点到点的时间为， 由题意得：， 当平分的面积时，，即， ∴，整理得， 解得，(舍去)， ∴当时，平分的面积， 故答案为：． 15．（1）  （2）万元 【分析】（1）根据当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，即可求出当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量，再根据销售利润＝一辆汽车的利润×销售数量列式计算； （2）设每辆汽车降价x万元，根据每辆的盈利×销售的辆数＝90万元，列方程求出x的值，进而得到每辆汽车的售价． 【详解】（1）由题意，可得当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量是： ×1＋8＝14， 则此时，平均每周的销售利润是：（22−15）×14＝98（万元）； （2）设每辆汽车降价x万元，根据题意得： （25−x−15）（8＋2x）＝90， 解得x1＝1，x2＝5， 当x＝1时，销售数量为8＋2×1＝10（辆）； 当x＝5时，销售数量为8＋2×5＝18（辆）， 为了尽快减少库存，则x＝5，此时每辆汽车的售价为25−5＝20（万元）， 答：每辆汽车的售价为20万元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题关键是会表示一辆汽车的利润，销售量增加的部分．找到关键描述语，找到等量关系：每辆的盈利×销售的辆数＝90万元是解决问题的关键． 16．(1)小美每分钟跑360米 (2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小美每分钟跑360米． （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 17．比了28局；比了24局 【分析】设有n人参见比赛，根据题意，比赛总局数为，且n为正整数，列方程，方程有整数解的就正确，反之不正确． 【详解】比赛中没有人中途退出，比了28局；有一人中途退出比赛，比了24局．理由如下： 设有n人参见比赛，根据题意，比赛总局数为，且n为正整数， 列方程，得， 当时， 解得（舍去）， 是正整数，符合题意； 当时， 解得（舍去）， 因为不是正整数，不符合题意， 故比赛中没有人中途退出，比了28局说法正确； 当有人退出时，比赛局数一定小于28局， 故有一人中途退出比赛，比了24局说法正确． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 18．（1）大于；（2）该公司的人数为40人． 【分析】（1）根据题意得30×800=24000＜28000，可以得出人数大于30人； （2）设这次旅游可以安排x人参加，可得人均旅游费为：，根据题意建立方程求解即可． 【详解】（1）根据题意得30×800=24000＜28000， 所以该公司的人数大于30人， 故答案为：大于； （2）设该公司的人数为人，则人均旅游费为， 由题意得： ， 解得：， ∵， ∴． ∴不合题意，舍去， ∴， 答：该公司的人数为40人． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程以及一元一次不等式的应用，正确得出等量关系是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $