期中考前满分冲刺之解答题覆盖训练（53题）（二十二种覆盖训练）-2025-2026学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

期中考前满分冲刺之解答题覆盖训练 思维导图 覆盖训练01:幂的运算 1．计算 (1) (2) (3) (4)化简求值：，其中． 2．计算题： (1) (2) (3)先化简，再求值；其中． (4)若，且，求的值． 覆盖训练02:全等的性质与判定 3．如图，点和点在线段上，． (1)求证：； (2)判断线段与的关系并证明． 4．如图，D是的边上一点，，交于E点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 覆盖训练03:轴对称作图 5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出向右平移6个单位长度，再向下平移1个单位长度后的图形； (2)请画出关于x轴对称的； (3)的面积为 ． 6．如图，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)请在图中画出关于轴对称的；（其中分别是，，的对应点，不写画法） (2)的坐标分别为（ ， ）、（ ， ）、（ ， ）； (3)在第四象限内有一点，连接和，与轴交于点，则 （填、或），画图并说明理由． 覆盖训练04:角平分线与垂直平分线作图 7．作图题：如图，铁路和公路交于A点，两工厂P、Q的位置如图所示，现在要在S区建一个货场，使它到铁路、公路的距离相等，且到两工厂P、Q的距离也相等，试确定M点．（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 8．如图，在中，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中所作的角平分线与边交于点D，过点D作于点E，求证：． 覆盖训练05:幂的运算综合 9．若“*”是我们定义的一种新的运算符号，且规定． (1)求的值； (2)若，求x的值． 10．已知，，求下列式子的值． (1)； (2)． 覆盖训练06:乘法公式运算 11．已知，，求下列各式的值： (1) (2) 12．将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如： 若，求的值． 解：，即． 又． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，则______，______；若，则______，______． (2)两个正方形按如图所示的方式摆放，面积和为52，．求图中阴影部分的面积． 覆盖训练07:因式分解(选考) 13．因式分解： (1) (2) (3) (4) 14．分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) 覆盖训练08:化简求值 15．先化简，再求值：，其中，． 16．先化简后求值： (1)，其中； (2)，其中，． 覆盖训练09:高线、角平分线、中线综合应用 17．如图，在中，，D是的中点，于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 18．【问题情境】如图6，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小明同学经过思考，给出以下解答： 在图中过A作于点． 是的中线， ． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图，点在的边上，点在上． ①若是的中点，求证：； ②若，则 ． 【拓展延伸】 （2）如图，在上，在上，且，，求与的数量关系． 覆盖训练10:角平分线的性质与判定 19．如图，，与交于点． (1)求证：； (2)连，求证：平分． 20．如图，中，，点D在边延长线上，连接，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且． (1)求的度数； (2)求证：平分； 覆盖训练11:垂直平分线的性质与判定 21．如图，在中，直线是边的垂直平分线，直线与边交于点，与的平分线交于点，连接、，延长至点， 求证：．    22．已知：如图，中的平分线与的垂直平分线交于点D，于点E，交B的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 覆盖训练12:等腰三角形的性质与判定 23．如图，是等边三角形内一点，．以为一边作等边三角形，连接． (1)求证：． (2)求的度数． (3)当为多少度时，是等腰三角形？请直接写出的度数． 24．如图，在中，边的垂直平分线分别交边、于点、，过点作于点，且为线段的中点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 覆盖训练13:比较角与边的大小 25．【阅读材料】 在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小．其中一种强有力的方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式．这种方法称为同向不等式相加．核心原理：如果，，那么． 如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键．请思考并完成以下探究问题． 【问题探究】 (1)（基础应用） 如图1，在中，当点位于边上时（不与、重合），______． （填“＜”，“＞”，“＝”） (2)（核心方法） 如图2，当点位于内部时，完成证明：． (3)（能力提升） 如图3，、是内部的两点，连接、、，使、、、构成凸四边形．请参考第二问的证明方法，求证：． (4)（拓展创新） 如图4，是内任意一点．我们定义比值，即三角形内一点到三个顶点的距离和与三角形周长的比值．利用第二问的结论或方法，直接写出的取值范围是______． 26．如图，是内一点，连接和． (1)试说明：； (2)若，，，求的取值范围． 覆盖训练14:整式乘法的规律 27．观察下列各式． … 【规律发现】 请根据你发现的规律完成下列各题： （1）根据规律可得______（其中为正整数）； 【规律应用】 （2）计算：． （3）计算：； 28．观察下列算式，完成问题： 算式①：， 算式②：， 算式③：， 算式④：， … (1)按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤：______； (2)上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”，请证明上述命题成立． 29．阅读下列材料，然后解答问题．学会从不同的角度思考问题．学完平方差公式后，小军展示了以下例题： 例：求的值的末位数字． 解：原式 ． 由（n为正整数）的末位数字的规律，可得的末位数字是6．爱动脑筋的小明想出了一种新的解法：因为，且均为奇数，几个奇数与5相乘，末位数字是5，所以原式的末位数字就是6． 在数学学习中，要像小明那样，学会观察，独立思考，尝试从不同角度分析问题，这样才能学好数学． 请解答下列问题： (1)计算（n为正整数）的值的末位数字是__________ (2)计算的值的末位数字是_______； (3)计算：的值的末位数字是 覆盖训练15:乘法公式与几何图形 30．【阅读材料】若x满足，求的值． 解：设，．则，． ∴． 【类比探究】解决下列问题： （1）若x满足，则的值为 ． （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 31．数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图2所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积. 方法1：__________；方法2：__________； (2)观察图2，请你写出代数式，之间的等量关系：_______； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，，求的值； ②已知，求的值． 32．阅读下列材料，完成后面的任务． 我们知道，完全平方公式有：．在解题过程中，根据题意，若将公式进行变形，则可以达到快速求解的目的，其变形主要有下列几种情形： ①；②． 根据上述公式的变形，可以迅速地解决相关问题． 例如：若，求的值． 解：． 请仿照上例解决下面的问题： (1)若，则___________； (2)若满足．求的值； (3)如图，是线段上的一点，分别以为边向两边作正方形．设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 覆盖训练16:等腰三角形的分类与动点求t 33．如图，在中，，，点为边的中点，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，在射线上运动，点在边上，设点运动的时间为秒    (1)用含的代数式表示线段的长； (2)当，边上的高为8，点在线段上时 ①若与全等，求的值； ②连接，设的面积为，当时，求的值； (3)当，且为等腰三角形时，请直接写出的度数． 34．如图，在中，，，，，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，到达点时，停止运动，设运动的时间为秒． (1)当点在上时，求的长；（用的代数式表示） (2)当运动时间为4秒时，求的面积； (3)当点在边上运动时，是否存在一个值，使得是以或为底边的等腰三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 35．如图， 在中，，，，． 点P 从点C 出发， 以每秒2个单位长度的速度沿向终点C运动，设点P运动的时间为t秒． (1)当点 在上运动时，的长为 (用含 的代数式表示)． (2)当是以为腰的等腰三角形时，求t的值． (3)当将分成的两部分的面积比为时，求t的值． (4)当点P与的顶点连结的线段将三角形的周长分成的两部分的比为时，直接写出t的值． 覆盖训练17:用代数式表示角度与长度 36．如图，已知长方形中，，，为边的中点，为长方形边上的动点，动点从出发，沿着方向运动（不与点重合），设点经过的路程为，的面积为． (1)当时，求的值； (2)当点在边上运动时： ①用含的代数式表示：________，________； ②求出与之间的关系式； ③是否存在点使得的周长最小，若存在，请先在备用图中找到点，并直接写出此时的面积；若不存在，请说明理由． 37．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点其中，连接，，．在第一象限内作，使． (1)求点P的坐标；（用含m的代数式表示） (2)连接，求证：； (3)连接，交y轴于点Q，当时，求Q点坐标． 38．【问题背景】 如图1，在中，已知，，是的高，，过点C的直线，动点D从点C开始沿射线方向以的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以的速度向远离C点的方向运动，连接、，设运动时间为秒 (1)【思考尝试】请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）： ， 　 (2)当t为多少时，的面积为？ (3)【深入探究】如图2，当点D在线段上，且时，是否与全等？说明理由，此时的值为多少？ (4)请利用备用图探究，当点D在线段的延长线上，且时，与有什么数量关系？请说明理由. 覆盖训练18:三角形的新定义 39．定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“豫式三角形”，与为“豫角”． (1)下列各组给出了三角形的三个内角，其中能构成“豫式三角形”的是_____（填序号）． ①；②； (2)若为“豫式三角形”，，和是“豫角”，求的度数． (3)如图，在中，，若平分，试说明是“豫式三角形”． 40．新定义：在中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称为“n倍角三角形”．例如，在中，若，，则，因为最大，最小，且，所以为“3倍角三角形”． (1)在中，若，，则为“ 倍角三角形”． (2)如图，在中，，与的角平分线交于点D，若为“6倍角三角形”，请求出的度数． 41．定义：如果一个三角形的两个内角与满足：．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，则的度数为__________； (2)如图，是直角三角形，． ①若是的平分线，则是“准互余三角形”吗？并说明理由； ②若点是边上一点，是“准互余三角形”，，求的度数． 覆盖训练19:倍长中线法 42．【问题情境】 （1）如图①，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接并延长到点D，使；连接并延长到点E，使，连接并测量出它的长度，如果，求A、B间的距离； 【探索应用】 （2）如图②，在中，，，求边上的中线的取值范围， 提示：解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使，再连接得到，把，集中在中，利用三角形的三边关系即可判断中线的取值范围； 【拓展提升】 （3）如图③，在中，，，，，的延长线交于点F，且F是的中点，直接写出与的数量关系． 43．【阅读理解】 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是__________； A．    B．   C．   D． （2）利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是______； A．    B．    C．    D． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中； 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，，，，小明类比图1的方法，延长到点，使，连接，得到，如图3，试判断线段与的数量关系，并说明理由． （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积为______． 44．【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 　　　 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是______； A． 　　B． 　　C．　 D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得AD的取值范围是_____． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． [初步运用] （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，线段的长为 ． （4）如图3，是的中线，，点E在的延长线上，．求证：． 覆盖训练20:定值与不变问题 45．构建数学基本模型是我们解决复杂问题的一种重要思想，优秀的同学总会积累很多基本模型，提高自己的综合能力．一线三直角就是一重要的模型． (1)如图1，中，，，过点任画一条直线，分别过、作此直线的垂线，垂足为、，请指出此图中全等形，并证明． (2)如图2，在直角坐标系数中，若点坐标为，以为直角边作直角三角形，且， ①若点的坐标为，求点坐标； ②如图3，若点在轴正半轴上运动，过点作线段，且，连接交轴于点，当点运动时，的长度是否发生变化，若变化说明理由，若不变，求出长度． 46．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于，交轴于，且、满足：． (1) ， ； (2)点为轴负半轴上一点，于，交于． ①如图1，求证； ②如图2，若，连接，求的大小； (3)如图3，若点为的中点，点为轴负半轴上一动点，连接，过点作交轴于点，设，试问：当点在运动过程中，的值是否发生改变？若改变，求出变化范围；若不改变，求的值． 47．平面直角坐标系中，点，轴于点，且满足． (1)直接写出、两点坐标及的形状； (2)如图2，若为线段的中点，连接，并作且，连接交轴于点，求点的坐标； (3)如图3，若为轴负半轴上的动点（在点左侧），以为一边作交轴负半轴于点，连接，在点运动过程中，猜想的值是否发生变化？若不变求其值，若发生变化，求其变化的范围． 覆盖训练21:无刻度尺作图 48．如图是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点叫格点，图①、图②、图③中三角形的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图． (1)如图①，在上作格点，连接，使得 (2)如图②，在的内部作格点，连接、、，使得． (3)如图③，在内部作格点，连接、、，使得． 49．如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，A，B，C均为格点，用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． (1)在图中，画出的中线； (2)在图中，画的高； (3)在图中，F是线段上一点，在线段上画点H，使得线段平分的面积． 50．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，已知点均为格点，用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图（格线的交点称为格点，保留画图过程的痕迹）． (1)在图1中画出的中线，高； (2)在图2中，取格点，使； (3)已知，在图3中画出的角平分线． 覆盖训练22:与平面直角坐标系结合的综合 51．平面直角坐标系是数学中连接代数与几何的核心工具，是“数”与“形”的桥梁．在综合实践课上，数学兴趣小组探究了平面直角坐标系中的动点问题．如图，点的坐标是，点的坐标是，且满足，点是轴上的一个动点． 【知识技能】 （1）点的坐标是 ，点的坐标是 ； 【数学探索】 （2）如图①，轴，点是轴上的一个动点，连接，当时，则的度数为 ； 【拓展应用】 （3）如图②，当点运动到时，连接，将沿轴正方向平移至，点是第三象限的一个动点，连接，，若，，且，求与的值． 52．已知，是平面直角坐标系内的两点，且满足． (1)直接写出A，B两点的坐标：A：______B：______； (2)如图1，如果在第二象限内有一点，使得，求点E的坐标； (3)如图2．在（2）的条件下，点N是x轴的上一动点．点是直线上一点．是否存在以为直角边的等腰直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在．说明理由． 53．在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点，点，点在第四象限． (1)如图1，求点的坐标； (2)如图2，若交轴于点，交轴于点，是上一点，且，连接，求证； (3)如图3，若点不动，点在轴的负半轴上运动时，分别以，为直角边在第二、第三象限作等腰直角与等腰直角，其中，连接交轴于点，问当点在轴的负半轴上移动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其长度． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之解答题覆盖训练 思维导图 覆盖训练01:幂的运算 1．计算 (1) (2) (3) (4)化简求值：，其中． 【答案】(1) (2) (3) (4)原式，原式 【分析】本题主要考查整式的化简及求值，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算即可； （2）根据完全平方公式进行计算即可； （3）先去小括号，再去中括号，再计算多项式除以单项式即可； （4）先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： 当时，原式 2．计算题： (1) (2) (3)先化简，再求值；其中． (4)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)； (4) 【分析】本题考查了整式的运算与化简求值，熟练掌握乘法公式是解题的关键； （1）根据幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可求解； （2）根据逆用积的乘方以及平方差公式、完全平方公式即可求解； （3）先根据完全平方公式、平方差公式，多项式乘以单项式进行计算化简，再将代入进行计算即可求解； （4）根据已知得出，进而根据完全平方公式将变形为，代入，，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； 当时，原式 （4）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 覆盖训练02:全等的性质与判定 3．如图，点和点在线段上，． (1)求证：； (2)判断线段与的关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，且，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． （1）根据全等三角形的性质可得，进而得到，即可得证； （2）根据全等三角形的性质可得，，推出，得到，，推出． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2），且，理由如下： ， ，， 在和中， ， ， ，， ． 4．如图，D是的边上一点，，交于E点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，准确地找出全等三角形的对应边和对应角是解题的关键． (1)由得，，还有这一条件，则根据“角角边”定理可以证明； (2)由得，因为，所以． 【详解】（1）解：， ，， 在和中， ， ． （2）， ，， ， 的长是． 覆盖训练03:轴对称作图 5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出向右平移6个单位长度，再向下平移1个单位长度后的图形； (2)请画出关于x轴对称的； (3)的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】本题考查了复杂作图——平移作图，作轴对称图形，关于轴对称的点的坐标特征，割补法求面积，根据相关知识点正确作图是解题关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据关于轴对称的特点作图即可； （3）利用割补法求面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，即为所求作； （3）解：的面积为． 6．如图，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)请在图中画出关于轴对称的；（其中分别是，，的对应点，不写画法） (2)的坐标分别为（ ， ）、（ ， ）、（ ， ）； (3)在第四象限内有一点，连接和，与轴交于点，则 （填、或），画图并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；；；；； (3)；画图理由见解答 【分析】本题考查了画轴对称图形，结合图形写坐标，轴对称的性质，三角形三边关系； （1）按照轴对称图形的特点作图即可； （2）根据图形各点位置即可作答； （3）连接，可得，再根据三角形三边关系求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：由图可得，，，． 故答案为：；；；；；． （3）解：如图，连接， 点与点关于轴对称， ， ， ． 故答案为：． 覆盖训练04:角平分线与垂直平分线作图 7．作图题：如图，铁路和公路交于A点，两工厂P、Q的位置如图所示，现在要在S区建一个货场，使它到铁路、公路的距离相等，且到两工厂P、Q的距离也相等，试确定M点．（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】此题考查了尺规作角平分线和垂直平分线，根据点M到铁路、公路的距离相等，到两工厂P、Q的距离也相等，得出点M既在的角平分线上，又在线段的垂直平分线上，从而作的角平分线和线段垂直平分线即可． 【详解】解：如图，点M即为所求． 8．如图，在中，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中所作的角平分线与边交于点D，过点D作于点E，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了尺规作一个角的平分线，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，尺规作一个角的平分线的方法． （1）根据尺规作一个角的平分线的方法进行作图即可； （2）根据角平分线的性质得出，证明，即可证明． 【详解】（1）解：如图，为所求作的的平分线； （2）证明：如图， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴． 覆盖训练05:幂的运算综合 9．若“*”是我们定义的一种新的运算符号，且规定． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)32 (2)1 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，理解新运算是解题的关键． （1）根据新运算结合同底数幂乘法解答即可； （2）根据新运算，原式变形为，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 10．已知，，求下列式子的值． (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和除法的逆用，幂的乘方的逆用，熟记运算公式是解答本题的关键； （1）由，再把，，代入计算即可； （2）由，再把，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴． 覆盖训练06:乘法公式运算 11．已知，，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1)41 (2) 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形求值，即可求解． （2）根据完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解：因为， 所以， 当，时，． （2）解：因为， 所以， 当，时，． 12．将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如： 若，求的值． 解：，即． 又． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，则______，______；若，则______，______． (2)两个正方形按如图所示的方式摆放，面积和为52，．求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)24；；6；4 (2)图中阴影部分的面积为6 【分析】本题考查完全平方公式的变形应用，掌握熟练并运用完全平方公式的不同变形，结合已知条件求解代数式的值或图形面积是解题的关键． （1）利用完全平方公式的变形，结合已知条件，逐步求出以及的值； （2）设两个正方形的边长分别为，利用完全平方公式的变形求出的值，再结合阴影部分面积的计算方法求解． 【详解】（1）解：由，得，即， ， 解得， 由，得， ， ， 联立 解得． （2）解：设正方形的边长为，的边长为． 由题意知，，① ， ． ， ．② 联立①②，解得， 即， ， ， 图中阴影部分的面积为6． 覆盖训练07:因式分解(选考) 13．因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键． （）主要考查提公因式法与平方差公式的综合运用；先提取公因式，再多次利用平方差公式对余下的多项式进行分解； （）主要考查提公因式法与平方差公式的综合运用；先通过变形提取公因式，再利用平方差公式对余下的多项式进行分解； （）主要考查分组分解法与平方差公式的综合运用；先对后三项进行变形，凑成完全平方形式，再利用平方差公式进行分解； （）主要考查换元法与十字相乘法、完全平方公式的综合运用；通过换元法将复杂的多项式简化，再利用十字相乘法和完全平方公式进行分解． 【详解】（1）解： ； （2）原式 ； （3）原式 ． （4）原式 ． 14．分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法因式分解是解题关键． （1）先去括号，然后合并同类项，再提取公因式，最后再利用完全平方公式逆运算． （2）先运用完全平方公式去括号，然后合并同类项，再运用十字相乘法分解因式，最后运用平方差公式得到最后结果． （3）先分成2组分别提公因式x，再进一步的提公因式分解因式即可． （4）先把看作是整体，计算乘法运算，再利用十字乘法与公式法分解因式即可． （5）先提取公因式后，再利用十字相乘法进行分解即可． 【详解】（1）解： = = = =； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： . 覆盖训练08:化简求值 15．先化简，再求值：，其中，． 【答案】；4 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据整式混合运算法则进行化简，然后代入数据进行计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 16．先化简后求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1) (2)， 【分析】考查整式的化简求值，掌握合并同类项的法则是解题的关键． （1）根据平方差公式和完全平方公式化简，再代入求值即可； （2）根据乘法分配律和完全平方公式化简，再代入求值即可． 【详解】（1） ， 当时，． （2） ， ，时，． 覆盖训练09:高线、角平分线、中线综合应用 17．如图，在中，，D是的中点，于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】（1）D是的中点，得，于是，结合，即可得证； （2）根据题意，结合． 本题考查了三角形中线的性质，三角形面积的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵D是的中点，，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：由，， 得， 故． 18．【问题情境】如图6，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小明同学经过思考，给出以下解答： 在图中过A作于点． 是的中线， ． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图，点在的边上，点在上． ①若是的中点，求证：； ②若，则 ． 【拓展延伸】 （2）如图，在上，在上，且，，求与的数量关系． 【答案】（1）①见解析，②2 （2） 【分析】本题考查利用三角形的中线求三角形面积及其应用．熟练掌握等高（或同高）的两三角形面积比等于底边之比是解题的关键． （1）①根据是的中点，则，，从而得，即可得出结论； ②根据，则，，即，得出，即可求    解． （2）连接，根据，得，，根据，则，，设，，则，，，，根据，则，从而求得，再根据则求得，则有，所以，即可得出． 【详解】解：（1）①∵是的中点， ∴，， ∴， ∴； ②∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）连接， ∵， ∴，， ∵， ∴，， 设，，则，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 覆盖训练10:角平分线的性质与判定 19．如图，，与交于点． (1)求证：； (2)连，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）由已知得出，再根据“”证明，即可得出结论； （2）过点作于点，于点，根据“”证明，得到，再根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】（1）证明：， ，即， 在和中， ， ， ； （2）证明：如图，过点作于点，于点， ， ， 在和中， ， ， ， 又，， 平分． 20．如图，中，，点D在边延长线上，连接，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且． (1)求的度数； (2)求证：平分； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质． （1）由平角的定义可求解的度数，再利用三角形的内角和定理可求解，进而可求解； （2）过点分别作于点，于点，根据角平分线的性质可证得，进而可证明结论． 【详解】（1）解：， ． ， ． ， ， ； （2）证明：如图，过点分别作于点，于点， 平分，， ， ， 平分， ， ， 平分． 覆盖训练11:垂直平分线的性质与判定 21．如图，在中，直线是边的垂直平分线，直线与边交于点，与的平分线交于点，连接、，延长至点， 求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质．关键是熟练应用知识点进行推理论证．由角平分线的性质和线段垂直平分线的性质得到两个直角三角形全等，进而论证出结论． 【详解】证明：如图，于点，于点， ∵直线是边的垂直平分线， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴．    22．已知：如图，中的平分线与的垂直平分线交于点D，于点E，交B的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】此题考查的是角平分线的性质、垂直平分线的性质和全等三角形的判定及性质，掌握角平分线的性质、垂直平分线的性质和全等三角形的判定及性质是解题关键． （1）连接，根据垂直平分线的性质和角平分线的性质可得，，利用可证，从而证出结论； （2）根据角平分线的定义和直角三角形的性质可证，然后根据角平分线的性质可证，从而得出，代入即可解出结论． 【详解】（1）证明：连接，    ∵的平分线与的垂直平分线交于点D，，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 覆盖训练12:等腰三角形的性质与判定 23．如图，是等边三角形内一点，．以为一边作等边三角形，连接． (1)求证：． (2)求的度数． (3)当为多少度时，是等腰三角形？请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)50° (3)125°或110°或140° 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）利用等边三角形的性质，根据证明，即可证明； （2）先根据得，再根据等边三角形的定义和周角的定义可得和的度数，最后根据三角形的内角和定理可得结论； （3）分三种情况讨论，利用已知条件及等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明： 和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 中，； （3）解：由（2）知：，，， ①当时，是等腰三角形， ， 即， 解得：； ②当时，是等腰三角形， ， 即， 解得：； ③当时，是等腰三角形， ， 即， 解得：； 综上，当为或或时，是等腰三角形． 24．如图，在中，边的垂直平分线分别交边、于点、，过点作于点，且为线段的中点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角直角三角形的性质，三角形的外角定理等知识点． （1）连接，可得垂直平分，而垂直平分，那么； （2）由等腰三角形的性质得到，再由三角形的外角定理得到，那么，再由角直角三角形的性质即可求解，那么． 【详解】（1）证明：连接， ∵于点D，且D为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 覆盖训练13:比较角与边的大小 25．【阅读材料】 在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小．其中一种强有力的方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式．这种方法称为同向不等式相加．核心原理：如果，，那么． 如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键．请思考并完成以下探究问题． 【问题探究】 (1)（基础应用） 如图1，在中，当点位于边上时（不与、重合），______． （填“＜”，“＞”，“＝”） (2)（核心方法） 如图2，当点位于内部时，完成证明：． (3)（能力提升） 如图3，、是内部的两点，连接、、，使、、、构成凸四边形．请参考第二问的证明方法，求证：． (4)（拓展创新） 如图4，是内任意一点．我们定义比值，即三角形内一点到三个顶点的距离和与三角形周长的比值．利用第二问的结论或方法，直接写出的取值范围是______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边之间的关系是解题的关键． （1）根据题意，利用三角形的三边关系及不等式的基本性质即可求解； （2）延长交于点，利用三角形的三边关系及同向不等式相加，即可得出结论； （3）延长交于点，延长交于点，利用三角形的三边关系及同向不等式相加，即可得出结论； （4）利用（2）的结论和三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】（1）解：根据三角形的三边关系可得，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图，延长交于点， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴ 即； （3）证明：如图，延长交于点，延长交于点， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即； （4）解：由（2）得，， ， ， ∴， ∴， 即； 在中，； 在中，； 在中，； ∴， ∴， 即； 综上，， 故答案为：． 26．如图，是内一点，连接和． (1)试说明：； (2)若，，，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形三边关系，不等式的性质，关键是掌握三角形三边关系定理． （1）延长交于，由三角形三边关系定理得，，即可证明； （2）由三角形三边关系定理得，因此，得到． 【详解】（1）证明：延长交于， 由三角形三边关系定理得：，， ∴， ∴； （2）由三角形三边关系定理得：， 由（1）知， ∴， ，，， ∴． 覆盖训练14:整式乘法的规律 27．观察下列各式． … 【规律发现】 请根据你发现的规律完成下列各题： （1）根据规律可得______（其中为正整数）； 【规律应用】 （2）计算：． （3）计算：； 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查平方差公式，数字的变化规律，解答的关键是理解清楚所给的等式的形式，把所求的式子转化成为所给的等式的形式． （1）由题干信息归纳总结可得答案； （2）把原式乘以，使之符合（1）中归纳出的公式特点，再利用公式进行计算即可； （3）先把原式化为：，使之符合（1）中归纳出的公式特点，再利用公式进行计算即可． 【详解】解：（1）由题意总结归纳可得： ， 故答案为：； （2） ； （3） ． 28．观察下列算式，完成问题： 算式①：， 算式②：， 算式③：， 算式④：， … (1)按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤：______； (2)上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”，请证明上述命题成立． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了命题与定理，平方差公式的应用，有理数的混合运算． （1）根据题意即可得出答案； （2）先设两个连续偶数为和，再由平方差公式，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，可得算式⑤：， 故答案为：； （2）证明：设两个连续偶数为2n和， ， 任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍． 29．阅读下列材料，然后解答问题．学会从不同的角度思考问题．学完平方差公式后，小军展示了以下例题： 例：求的值的末位数字． 解：原式 ． 由（n为正整数）的末位数字的规律，可得的末位数字是6．爱动脑筋的小明想出了一种新的解法：因为，且均为奇数，几个奇数与5相乘，末位数字是5，所以原式的末位数字就是6． 在数学学习中，要像小明那样，学会观察，独立思考，尝试从不同角度分析问题，这样才能学好数学． 请解答下列问题： (1)计算（n为正整数）的值的末位数字是__________ (2)计算的值的末位数字是_______； (3)计算：的值的末位数字是 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平方差公式，数字类规律探究，应用新解法是解题关键． （1）原式变形后，利用小明方法计算即可； （2）由，则，则的末位数字是0，进而完成解答； （3）同（2）的方法，即可求解． 【详解】（1）解：∵，且，均为奇数， ∴几个奇数与5相乘，末位数字是5， ∴原式的末位数字是6． 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∴的末位数字是0， ∴的末位数字是． 故答案为：． （3）解：∵， ∴， ∴的末位数字是0， ∴的末位数字是 故答案为：． 覆盖训练15:乘法公式与几何图形 30．【阅读材料】若x满足，求的值． 解：设，．则，． ∴． 【类比探究】解决下列问题： （1）若x满足，则的值为 ． （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】本题主要考查乘法公式与图形的综合，掌握乘法公式中完全平方公式的变形，整式的混合运算方法是解题的关键． （1）仿照例题，设，，利用完全平方公式求解即可； （2）仿照例题，设，，利用完全平方公式求解即可； （3）设正方形边长为，则，，令，，得到，根据长方形的面积，得到，结合完全平方公式，得到，再根据阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积求解即可． 【详解】解：（1）设，，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）设，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）设正方形边长为， ∵，， ∴，， 令，， ∴， ∵长方形的面积是24， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ． 31．数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图2所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积. 方法1：__________；方法2：__________； (2)观察图2，请你写出代数式，之间的等量关系：_______； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)； 【分析】本题考查了乘法公式的几何意义： （1）方法1可根据正方形面积公式算，方法2可根据大正方形的面积为四个小纸片的面积之和来算； （2）根据（1）可知等量关系； （3）①根据（2）的等量关系得到，代入即可；②设，则，按照（2）的等量关系计算即可． 【详解】（1）方法1：大正方形的边长为， 大正方形的面积为； 方法2：大正方形的面积； （2）根据（1）可知：； （3）①， ， ，， ； ②设， ， ， ， ． 32．阅读下列材料，完成后面的任务． 我们知道，完全平方公式有：．在解题过程中，根据题意，若将公式进行变形，则可以达到快速求解的目的，其变形主要有下列几种情形： ①；②． 根据上述公式的变形，可以迅速地解决相关问题． 例如：若，求的值． 解：． 请仿照上例解决下面的问题： (1)若，则___________； (2)若满足．求的值； (3)如图，是线段上的一点，分别以为边向两边作正方形．设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)12 (2) (3) 【分析】本题考查了利用完全平方公式的变式求值，熟练掌握和运用完全平方公式的变式是解决本题的关键． （1）利用完全平方公式的变式，即可求解； （2）利用完全平方公式的变式，即可求解； （3）利用完全平方公式的变式及正方形和三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：12． （2）解：∵， ∴ ． （3）解：设，则． 根据题意可知， ， ， 阴影部分的面积为． 覆盖训练16:等腰三角形的分类与动点求t 33．如图，在中，，，点为边的中点，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，在射线上运动，点在边上，设点运动的时间为秒    (1)用含的代数式表示线段的长； (2)当，边上的高为8，点在线段上时 ①若与全等，求的值； ②连接，设的面积为，当时，求的值； (3)当，且为等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1)当时，；当时，； (2)①3或；② (3)或或或 【分析】本题主要考查了等边对等角，全等三角形的性质，三角形内角和定理，列代数式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）分点P在线段上和点P在线段的延长线上两种情况，根据线段的和差关系求解即可； （2）①根据等边对等角得到，则当与全等时，只存在和这两种情况，据此利用全等三角形的性质讨论求解即可；②根据三角形面积计算公式建立方程求解即可； （3）点P在线段上和点P在线段的延长线上两种情况，根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵秒， ∴点P从点B运动到点C需要6秒； 由题意得，， 当时，点P在线段上，则； 当时，点P在线段的延长线上，则； （2）解：①∵，点D为的中点， ∴； ∵， ∴； ∴当与全等时，只存在和这两种情况， 当时，则， ∴， 解得； 当时，则， ∴， 解得； 综上所述，t的值为3或； ②∵， ∴， 解得； （3）解：∵， 当点P在线段上时，若，则； 若，则； 若，则，则； 当点P在线段的延长线上时，则， ∴此时只能有这种情况， ∴； 综上所述，的度数为或或或． 34．如图，在中，，，，，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，到达点时，停止运动，设运动的时间为秒． (1)当点在上时，求的长；（用的代数式表示） (2)当运动时间为4秒时，求的面积； (3)当点在边上运动时，是否存在一个值，使得是以或为底边的等腰三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的值为或 【分析】本题考查了列代数式，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识点． （1）根据即可列代数式； （2）先求出，再由三角形面积公式求解； （3）当以为底时，根据等腰三角形的判定与性质得到，则；当以为底时，则，则． 【详解】（1）解：由题意得， （2）解：当时，，此时点在上， ∴的面积； （3）解：存在，理由如下： 当以为底时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当以为底时，则， ∴， 综上：存在，的值为或． 35．如图， 在中，，，，． 点P 从点C 出发， 以每秒2个单位长度的速度沿向终点C运动，设点P运动的时间为t秒． (1)当点 在上运动时，的长为 (用含 的代数式表示)． (2)当是以为腰的等腰三角形时，求t的值． (3)当将分成的两部分的面积比为时，求t的值． (4)当点P与的顶点连结的线段将三角形的周长分成的两部分的比为时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)4 (3)或 (4)0.9或2.4或3.6或5.6 【分析】本题主要考查了动点问题，等腰三角形的性质，分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． （1）由等于点P运动的距离与的差，从而得出结果； （2）由可得出点P运动距离，进而求得结果； （3）分为的面积与的面积是或，进一步得出结果； （4）分为点P在上，点P在上和点P在上．当点P在上时，P点运动距离是；当点P在上时，点P运动的距离是4.8或7.2，当点P在上时，可得，从而得出点P运动距离是，进一步求得结果． 【详解】（1）解：∵点P运动的距离是， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，点P在上， ∴， ∴； （3）解：由题意得：点P在上， 当时，， ∴， ∴， ∴， 当时， ， ∴， 综上所述：或； （4）解：，， 当点P在上时，， ∴，即， ∴， 当点P在上时，或， 即或， ∴或3.6， 当点P在上时，， ∴， 综上所述：或2.4或3.6或5.6． 覆盖训练17:用代数式表示角度与长度 36．如图，已知长方形中，，，为边的中点，为长方形边上的动点，动点从出发，沿着方向运动（不与点重合），设点经过的路程为，的面积为． (1)当时，求的值； (2)当点在边上运动时： ①用含的代数式表示：________，________； ②求出与之间的关系式； ③是否存在点使得的周长最小，若存在，请先在备用图中找到点，并直接写出此时的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)22.5 (2)①；；②；③存在，面积为18 【分析】本题考查了三角形面积求法等知识，轴对称的意义，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键： （1）当时，判断出点P在上，利用三角形的面积公式得出结论； （2）①根据线段的和差关系求解即可； ②根据割补法求解即可； ③先找出点E关于的对称点F，连接交于点P，即可得出结论；分别判断、是等腰直角三角形，可得出，从而求出x的值，最后代入②中关系式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，点P在上，如图， ∴； （2）解：点P在线段上时，如图， ①根据题意，得，， 故答案为：；； ②根据题意，得， 即； ③如图，点P即为所求， 根据题意，得， 则， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得， ∴ 即的面积为18． 37．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点其中，连接，，．在第一象限内作，使． (1)求点P的坐标；（用含m的代数式表示） (2)连接，求证：； (3)连接，交y轴于点Q，当时，求Q点坐标． 【答案】(1)点P的坐标为； (2)证明见解析； (3)Q点坐标为． 【分析】此题考查了图形与坐标，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明有关的三角形全等是解题的关键． （）作轴于点，则，可证明，则，，所以，从而求出点坐标； （）延长交于点，因为，，，所以，得，则，从而求证； （）连接交轴于点，可证明，则，则，求出的值，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：作轴于点，则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴点P的坐标为； （2）证明：延长交于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接交轴于点， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴Q点坐标为． 38．【问题背景】 如图1，在中，已知，，是的高，，过点C的直线，动点D从点C开始沿射线方向以的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以的速度向远离C点的方向运动，连接、，设运动时间为秒 (1)【思考尝试】请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）： ， 　 (2)当t为多少时，的面积为？ (3)【深入探究】如图2，当点D在线段上，且时，是否与全等？说明理由，此时的值为多少？ (4)请利用备用图探究，当点D在线段的延长线上，且时，与有什么数量关系？请说明理由. 【答案】(1)； (2)当 t 为或时， 的面积为 ； (3)当 时， 与全等；理由见解析，此时， ； (4)，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式，解一元一次方程，等边对等角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）分点在线段上，点在延长线上两种情况计算即可； （3）由得到，根据得到，再根据得到，得出，即可得到； （4）证明，即可得到． 【详解】（1）解：由题意得， ，； （2）解：由题意得，当点在线段上时，， ， ， ， ； 当点在延长线上时， ， ， ； 当为或时，的面积为. （3）解：，， 理由如下： ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 此时， ∴. （4）解：，理由如下， 如图，， ， ， , ，，， ， ， ， ， ． 覆盖训练18:三角形的新定义 39．定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“豫式三角形”，与为“豫角”． (1)下列各组给出了三角形的三个内角，其中能构成“豫式三角形”的是_____（填序号）． ①；②； (2)若为“豫式三角形”，，和是“豫角”，求的度数． (3)如图，在中，，若平分，试说明是“豫式三角形”． 【答案】(1)② (2) (3)见解析 【分析】本题考查三角形的内角和，三角形的外角，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义，逐一判断即可； （2）根据新定义结合三角形的内角和定理进行求解即可； （3）根据角平分线的定义，结合三角形的外角的性质推出，即可得证． 【详解】（1）解：； 故只有满足题意； （2）解：和是“豫角”， 和的差为， 又为钝角 只有符合条件 根据三角形内角和定理可知： ； （3）证明：是的外角， ， 即 又平分， ， ， 是“豫式三角形”． 40．新定义：在中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称为“n倍角三角形”．例如，在中，若，，则，因为最大，最小，且，所以为“3倍角三角形”． (1)在中，若，，则为“ 倍角三角形”． (2)如图，在中，，与的角平分线交于点D，若为“6倍角三角形”，请求出的度数． 【答案】(1)2 (2)的度数为或 【分析】本题考查的是新定义、三角形内角和定理、角平分线的定义，正确理解n倍角三角形的定义是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求出，根据n倍角三角形的定义判断； （2）根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出，n倍角三角形的定义分情况讨论计算，得到答案． 【详解】（1）解：在中，，， 则， ∴， ∴为“2倍角三角形”， 故答案为：2； （2）解：∵， ∴， ∵与的角平分线相交于点D， ∴， ∴， ∴， ∵为“6倍角三角形”， ∴或， 当时，， 当时，，则； 综上所述，的度数为或． 41．定义：如果一个三角形的两个内角与满足：．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，则的度数为__________； (2)如图，是直角三角形，． ①若是的平分线，则是“准互余三角形”吗？并说明理由； ②若点是边上一点，是“准互余三角形”，，求的度数． 【答案】(1) (2)①是“准互余三角形”；②的度数是或 【分析】本题考查了直角三角形的性质，理解新定义，运用分类讨论思想是解题的关键； （1）根据“准互余三角形”可知，，即可得解； （2）①根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质可得，符合定义，即可得解； ②分两种情况讨论，和，分别求出，再根据直角三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：是“准互余三角形”，， ， ； （2）解：①是“准互余三角形”，理由如下：如下图， 是的平分线， ， ， ， ， 是“准互余三角形”； ②如图， 由题意得：， 是“准互余三角形”， 当时， ， ， ； 当时， ， ， ； 综上所述，的度数是或． 覆盖训练19:倍长中线法 42．【问题情境】 （1）如图①，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接并延长到点D，使；连接并延长到点E，使，连接并测量出它的长度，如果，求A、B间的距离； 【探索应用】 （2）如图②，在中，，，求边上的中线的取值范围， 提示：解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使，再连接得到，把，集中在中，利用三角形的三边关系即可判断中线的取值范围； 【拓展提升】 （3）如图③，在中，，，，，的延长线交于点F，且F是的中点，直接写出与的数量关系． 【答案】（1）A、B间的距离为；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，由全等的性质得出； （2）延长到点，使，连接，证明，可得，再由三角形三边关系即可求解； （3）在上截取，易证，得到，再证明，得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图，连接， 在和中， ∵， ∴ ∴； ∴A、B间的距离为； （2）延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； （3）， 理由：在上截取， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 43．【阅读理解】 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是__________； A．    B．   C．   D． （2）利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是______； A．    B．    C．    D． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中； 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，，，，小明类比图1的方法，延长到点，使，连接，得到，如图3，试判断线段与的数量关系，并说明理由． （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积为______． 【答案】（1）B （2）D （3） （4） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，三角形的面积，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据全等三角形的判定定理即可解答； （2）根据三角形三边的关系即可求出的取值范围，进而可求出得取值范围； （3）延长到，使得，连接，则，由（1）同理可证，得到，，从而，又，因此，进而得证，即可得到结论； （4）由（3）可得，，，，则，说明即可求解． 【详解】解：（1）延长到点，使， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， 故选：B； （2）∵， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故选：D； （3）， 延长到，使得，连接，如图， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）延长到，使得，连接， 由（3）可知，， ， ， 即， ， ， 故答案为：． 44．【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 　　　 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是______； A． 　　B． 　　C．　 D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得AD的取值范围是_____． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． [初步运用] （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，线段的长为 ． （4）如图3，是的中线，，点E在的延长线上，．求证：． 【答案】（1）C（2）（3）（4）见解析 【分析】（1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算即可； （3）延长到点，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质，推出，即可得出答案； （4）延长到点，使，连接，由证得，再证，即可证明． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴在和中 ， ∴（）， ∴依据是， 故选：C； 解：由（1）知， ∴，， 在中，， ∴， 即， ∴， 故答案为：； 解：如图所示，延长到点，使，连接，标记， ∵是的中线， ∴， 在和中 ， ∴（SAS）， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴线段的长为； （4）证明：如图所示，延长到点，使，连接，标记， ∵是的中线， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 即， 又∵， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 覆盖训练20:定值与不变问题 45．构建数学基本模型是我们解决复杂问题的一种重要思想，优秀的同学总会积累很多基本模型，提高自己的综合能力．一线三直角就是一重要的模型． (1)如图1，中，，，过点任画一条直线，分别过、作此直线的垂线，垂足为、，请指出此图中全等形，并证明． (2)如图2，在直角坐标系数中，若点坐标为，以为直角边作直角三角形，且， ①若点的坐标为，求点坐标； ②如图3，若点在轴正半轴上运动，过点作线段，且，连接交轴于点，当点运动时，的长度是否发生变化，若变化说明理由，若不变，求出长度． 【答案】(1)，证明见解析； (2)①；②不变，长度为． 【分析】本题考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，掌握一线三直角模型是解题关键． （1）根据同角的余角相等，得到，再根据证明全等即可； （2）①过点作轴于点，证明，得到，，即可得出点坐标； ②过点作轴于点，同①理可证，得到，，再证明，得到，即可得解． 【详解】（1）解：，证明如下： ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：①如图2，过点作轴于点， 点坐标为，点的坐标为， ，， 直角三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点坐标为； ②如图3，过点作轴于点， 同①可得， ，， ，轴， ， ， ， 在和中， ， ， ， 当点运动时，的长度不发生变化，长度为． 46．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于，交轴于，且、满足：． (1) ， ； (2)点为轴负半轴上一点，于，交于． ①如图1，求证； ②如图2，若，连接，求的大小； (3)如图3，若点为的中点，点为轴负半轴上一动点，连接，过点作交轴于点，设，试问：当点在运动过程中，的值是否发生改变？若改变，求出变化范围；若不改变，求的值． 【答案】(1)1,1 (2) (3)y的值不发生改变．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、三角形外角性质等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得出，，即可求出； （2）①根据，可得，于是证明； ②作于，于，证，可得到为的平分线 ，利用外角即可求得； （3）连接，先求证，再根据，于是求出的面积为定值，因此得出y的值不发生改变． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，； 故答案为：，， （2）解：①如图所示： ∵，，，， ∴， ∵， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ②作于，于 ∵在和中， ， ∴， ∴， 为的平分线 ， ， ， ， ； （3）解：y的值不发生改变，理由如下： 连接，如图所示： ，，， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴， ， 故y的值不发生改变． 47．平面直角坐标系中，点，轴于点，且满足． (1)直接写出、两点坐标及的形状； (2)如图2，若为线段的中点，连接，并作且，连接交轴于点，求点的坐标； (3)如图3，若为轴负半轴上的动点（在点左侧），以为一边作交轴负半轴于点，连接，在点运动过程中，猜想的值是否发生变化？若不变求其值，若发生变化，求其变化的范围． 【答案】(1)，，为等腰直角三角形 (2) (3)为定值，详见解析 【分析】本题主要考查了二次根式和绝对值的非负性、全等三角形的判定与性质，过点向坐标轴作垂线构造全等三角形是解题的关键． （1）由非负性可求，可求点坐标，即可求解； （2）过点作于点，由“”可证，得，由“”可证，得，进而可求得即可求解； （3）过点作于，轴于，交轴，可由“” 可证，得，，由“”可证，得，由等式性质即可求解． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴点， ∵轴， ∴，， 又∵， ∴是等腰直角三角形； （2）解：如图，过点作于点， 又∵，轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点； （3）解：的值不变，理由如下： 如图，过点作于，轴于，交轴于， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 覆盖训练21:无刻度尺作图 48．如图是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点叫格点，图①、图②、图③中三角形的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图． (1)如图①，在上作格点，连接，使得 (2)如图②，在的内部作格点，连接、、，使得． (3)如图③，在内部作格点，连接、、，使得． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】（）如图，取的中点，连接，由中点定义可得，即得到，故点即为所求； （）如图，取格点，连接、、，可知和的底相同，的高是的倍，所以，故点即为所求； （）如图，取格点，连接、、，利用割补法可求得，故点即为所求； 本题考查了三角形的中线性质，三角形面积与网格问题，认真识图是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求； （3）解：如图所示，点即为所求． 49．如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，A，B，C均为格点，用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． (1)在图中，画出的中线； (2)在图中，画的高； (3)在图中，F是线段上一点，在线段上画点H，使得线段平分的面积． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】该题考查了格点作图，涉及三角形中线，高线，全等三角形的性质和判定，正确作图是解题的关键． （1）取格点M、N，连接交于点，连接，即为所求． （2）取格点G，连接交于点，即为所求． （3）取格点H，连接，线段平分的面积． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：如图：即为所求． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即是的高． （3）解：如图：点H即为所求． ， 即线段平分的面积． 50．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，已知点均为格点，用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图（格线的交点称为格点，保留画图过程的痕迹）． (1)在图1中画出的中线，高； (2)在图2中，取格点，使； (3)已知，在图3中画出的角平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质， （1）取格点F，G，连接交于D，线段即为所求；取格点H，连接交于E，线段即为所求； （2）取格点P，连接，，则，得到，点P即为所求； （3）取格点G，使，连接，取格点H、I，连接与交于点J，连接与交于点F，则即为所求． 【详解】（1）解：如图，的中线，高即为所求： （2）解：如图，点即为所求： （3）解：如图，的角平分线即为所求： 覆盖训练22:与平面直角坐标系结合的综合 51．平面直角坐标系是数学中连接代数与几何的核心工具，是“数”与“形”的桥梁．在综合实践课上，数学兴趣小组探究了平面直角坐标系中的动点问题．如图，点的坐标是，点的坐标是，且满足，点是轴上的一个动点． 【知识技能】 （1）点的坐标是 ，点的坐标是 ； 【数学探索】 （2）如图①，轴，点是轴上的一个动点，连接，当时，则的度数为 ； 【拓展应用】 （3）如图②，当点运动到时，连接，将沿轴正方向平移至，点是第三象限的一个动点，连接，，若，，且，求与的值． 【答案】（1），；（2）的度数为或.（3），或，. 【分析】（1）利用非负数的性质求解：，即可； （2）如图，当在轴的正半轴上，可得，证明，，，结合，进一步可得答案，当在轴的负半轴上，同法可得答案； （3）如图，过作，由平移可得：，证明，而，可得，，结合，再进一步可得，再求解即可；如图，过作，由平移可得：，可得，而，，，结合，进一步可得，进一步可得答案. 【详解】解：（1）∵， ∴，， 解得：，； ∴点的坐标是，点的坐标是； （2）如图，当在轴的正半轴上， ∵点的坐标是， ∴， ∵轴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当在轴的负半轴上， 同理：，，而， ∴，， ∴， 综上：的度数为或. （3）如图，过作，由平移可得：， ∴，而， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， 解得：，. 如图，过作，由平移可得：， ∴，而， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， 解得：，. 综上：，或，. 【点睛】本题考查的坐标与图形性质，非负数的性质，三角形的内角和定理的应用，平行线的性质，平行公理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键. 52．已知，是平面直角坐标系内的两点，且满足． (1)直接写出A，B两点的坐标：A：______B：______； (2)如图1，如果在第二象限内有一点，使得，求点E的坐标； (3)如图2．在（2）的条件下，点N是x轴的上一动点．点是直线上一点．是否存在以为直角边的等腰直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在．说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，，或 【分析】（1）利用非负数的性质求解即可； （2）如图1中，连接．由，推出，由此构建方程即可解决问题； （3）如图2中，过点作于点，过点作于点，于点．则四边形是矩形，构造全等三角形解决问题即可． 【详解】（1）解：， 又，， ， ， ，． 故答案为：，； （2）如图1中，连接． ， ， ， ， ； （3）如图2中，过点作于点，过点作于点，于点．则四边形是矩形， ， ， ，， ， ，， 四边形是正方形， ，， ， 或， 当时，，， ， ， ，， 当时，，． 综上所述，满足条件的点的坐标为，或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，非负数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 53．在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点，点，点在第四象限． (1)如图1，求点的坐标； (2)如图2，若交轴于点，交轴于点，是上一点，且，连接，求证； (3)如图3，若点不动，点在轴的负半轴上运动时，分别以，为直角边在第二、第三象限作等腰直角与等腰直角，其中，连接交轴于点，问当点在轴的负半轴上移动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其长度． 【答案】(1) (2)见解析 (3)不变， 【分析】（1）过作轴于，先证，得，，则，即可得出答案； （2）过作交轴于，先证，得，，再证，得，进而得出结论； （3）过作轴于，先证，得，，再证，得即可． 【详解】（1）解：如图1， ， 过作轴于， 则， ∵点，点， ∴，， ∵为等腰直角三角形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； （2）证明：如图2， ， 过作交轴于， 则， 由（1）得：，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：的长度不变化，，理由如下： 如图3， ， 过作轴于， 则， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识，本题综合性强，正确做出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 学科网（北京）股份有限公司 $