6.1平均数与方差讲义（基础篇）2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

平均数与方差 6.1平均数与方差 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 页码 传送门 复习 解二元一次方程组和一次函数的关系 2 课前复习 新课探索 平均数 3 新课探索 加权平均数 方差 众数 标准差 极差 题型练习 求众数 5 题型练习 利用众数求数据 求平均数 已知平均数求数据 已知平均数求相关数据平均数 加权平均数 求方差 根据方差判断稳定性 标准差 易错点 17 易错点 总结 18 总结 课前复习 解二元一次方程组和一次函数的关系 由于任意一个二元一次方程都可以转化为y=kx+b的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线。 新课探索 1、 算数平均数 一般地，对于n个数...,，则=就叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记为 【练习】如果一组数据3,7,2,a,4,6的平均数是5,则a的值是( ) A 8 B 5 C 4 D 3 答案：A、 分析：∵数据3,7,2,a,4,6的平均数是5,∵(3+7+2+a+4+6)÷6=5,解得：a=8; 故选：A. 2、 加权平均数 实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”：若n个数...,的权分别是...,则叫做这n个数的加权平均数。 【练习】甲、乙、丙三种糖果的售价分别为每千克6元、7元、8元，若将甲种8千克，乙种10千克，丙种3千克混在一起，则售价应定为每千克( ) A 7元 B 6.8元 C 7.5元 D 8.6元 答案：B、 分析：售价应定为：≈6.8(元); 故选：B. 3、 众数 一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据.注：一组数据的众数可能不止一个，也可能没有. 【练习】一组数据2,2,5,3,5,10,6,5,10,它的众数是( ). A 2 B 5 C 6 D10 答案：B、 分析：在2,2,5,3,5,10,6,5,10,中出现最多的数5. 4、 方差 各个数据与平均数之差的平方的平均数，即： =[ ] 其中，是这一组数据...,的平均数，是方差。 一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定 【练习】在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙、丙、丁四队女演员的人数相同，身高的平均数均为166cm,且方差分别为5, 2.5, 2.9, 3.3,则这四队女演员的身高最整齐的是( ) A甲队 B乙队 C丙队 D丁队 答案：A、分析：∵ ·S甲²<S乙²<S丙²<S丁², ∴这四队女演员的身高最整齐的是甲队， 故选：A. 五、标准差 标准差就是方差的算术平方根 【练习】已知数据1,2,3,4,5的方差为2,则11,12,13,14,15的方差为____,标准差为_____. 答案：2 分析：∵数据1,2,3,4,5的方差为2,∴11,12,13,14,15的方差为2,标准差为. 故答案为；2,. 六、极差 指一组数据中最大数据与最小数据的差。 【练习】若一组数据1,5,7,a的极差是10,则x的值为() A11或-3 B 17或-3 C 11 D-3 答案：A 分析：∵当x为最大值时，x-1=10,则x=11;当x为最小值时，7-x=10,则x=-3.所以x的值是11或-3.故选A. 题型练习 1、 求众数 1．一组数据：5，4，4，3，6，8，则这组数据的众数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查众数的概念，解题的关键是明确众数是一组数据中出现次数最多的数据． 统计这组数据中每个数出现的次数，找出出现次数最多的数，即为众数． 【详解】解：在数据中： 5出现1次；4出现2次；3出现1次；6出现1次；8出现1次． 因为4出现的次数最多，所以这组数据的众数是4， 故选：C． 2．某校为了解同学们某季度学习“青年大学习”的情况，从中随机抽取5名同学调查．经统计，他们的学习时间（单位：）分别为78，80，85，90，80，则这组数据的众数为（    ） A．78 B．80 C．85 D．90 【答案】B 【分析】本题考查众数，掌握众数是一组数据中出现次数最多的数据是解题的关键； 要找出这组数据的众数，需统计每个数据出现的次数，出现次数最多的数据即为众数，进而分析选项． 【详解】解：在数据中，80出现了2次，其他数据都只出现了次，所以这组数据的众数是． 故答案为：B． 2、 利用众数求数据 3．已知一组数据13，8，10，x，6的众数是8，那么这组数据的方差是（    ） A．4.8 B．5.6 C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题考查众数，平均数，方差，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再求出这组数据的平均数，最后利用方差公式计算即可． 【详解】解：∵一组数据13，8，10，x，6的众数是8， ∴， 则这组数据的平均数为， ∴ ． 故选B． 4．若一组数据1，2，x，4，6的众数是2，则这组数据的方差为（   ） A．3.2 B．3.5 C．4.8 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查方差、众数，解题的关键是掌握方差和众数的定义． 先根据众数的定义求出的值，再依据方差的定义求解即可． 【详解】解：∵数据1，2，x，4，6的众数是 2 ， ， 则这组数据为1,2,2,4,6， ∴其平均数为， 则这组数据的方差为， 故选：A． 3、 求平均数 5．小丽同学某周每天的睡眠时间（单位：h）如下：8，9，7，9，7，8，8．小丽该周平均每天的睡眠时间为（    ） A．7h B．7.5h C．8h D．9h 【答案】C 【分析】此题考查了算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数． 根据算术平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：小丽该周平均每天的睡眠时间为：， 故选：C． 6．如图是根据某次射箭选拔赛中选手的成绩绘制的条形统计图，则这次选拔赛的平均成绩(单位：环)约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平均数的计算，掌握平均数的计算公式是解题的关键．根据平均数的计算公式即可求得平均数． 【详解】解：（环）， 故选：B． 4、 已知平均数求数据 7．若一组数据4，5，，6，7的平均数是5，则这组数据的方差为（　　）． A．4 B．5 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平均数和方差，熟练掌握平均数和方差的计算方法是解题的关键． 先根据平均数求出，再用方差的公式解题即可． 【详解】解：由题意知，， 解得：， ∴这组数据的方差为：． 故选：C ． 8．在学习正数和负数时，研博老师在黑板上写了7个数：3，，0，8，a，5，，若这组数据的平均数是3，则这组数据的众数是（   ） A．8 B．3 C．5 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查平均数及众数的概念，根据平均数及众数的概念即可求解． 【详解】解：根据题意得：这组数据的平均数是3， ， 解得， 则这组数为3，，0，8，8，5，，出现次数最多的是8； 故这组数据的众数是8． 故选：A． 5、 已知平均数求相关数据平均数 9．已知数据的平均数是2，方差是3，则一组新数据的平均数和方差分别是（   ） A．10，3 B．10，11 C．2，3 D．2，11 【答案】A 【分析】本题考查方差与平均数：若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．根据平均数的变化规律可得出数据的平均数是10；根据数据的方差为3，即可求出的方差是3． 【详解】解：∵的平均数是2， ∴的平均数是； ∵的方差是3， ∴的方差是3； 故选：A． 10．已知一组数据、、、、的平均数为a，方差为b，则数据、、2、、的平均数和方差分别为（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一组数据的平均数和方差．根据题意可得，，再根据平均数公式和方差公式求出另一组数据的方差和平均数，即可求解． 【详解】解：∵一组数据、、、、的平均数是，方差是， ∴，， ∴数据、、2、、的平均数为 ； 数据、、2、、的方差为 故选C. 6、 加权平均数 11．某大学在期末考核学生的英语成绩时，其中笔试最重要，口语其次、听力要求最低，根据这个要求，对笔试、口语、听力三项考查比较合适的比例设计为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确权的意义．根据“笔试最重要，口语其次、听力要求最低”设计比例即可． 【详解】解：∵笔试最重要，口语其次、听力要求最低， ∴对笔试、口语、听力三项考查比较合适的比例设计为，，， 故选：A． 12．某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中研究性学习成绩占30%，期末卷面成绩占70%．小明的两项成绩（百分制）依次是80分，90分，则小明这学期的数学成绩是（    ） A．80分 B．82分 C．84分 D．87分 【答案】D 【分析】本题考查了加权平均数的相关定义，解题的关键是根据加权平均数的相关定义计算. 利用加权平均数的公式直接计算即可得到答案． 【详解】解：数学成绩为：分 故选：D 7、 求方差 编号 1 2 3 4 5 方差 平均成绩 成绩 38 34 ■ 37 40 ■ 37 13． 某同学根据体育素质测试成绩，对某小组5名同学的成绩（单位：分）进行统计（如下表），其中有两个数据被遮盖．被遮盖的两个数据依次是（    ） A．35，2 B．36，4 C．35，3 D．36，3 【答案】B 【分析】本题考查平均数与方差的计算，掌握根据平均数公式求未知数据，再根据方差公式计算方差是解题的关键． 先根据平均成绩的计算公式求出被遮盖的成绩，再根据方差的计算公式求出方差，进而分析选项． 【详解】解：已知平均成绩是37分，设编号3的成绩为，则： ， ， ， 解得， 然后计算方差，方差公式为：， 代入数据可得：， ， ， ． 故选：B． 14．为了增强学生的体质，海燕老师组织本班学生进行投蓝比赛，每人投5次，现从班级45人中随机抽取5名同学的投中次数，得到数据如下：5，5，4，3，3，则样本的方差是（   ） A．0.8 B．0.7 C．1 D．0.9 【答案】A 【分析】本题考查了方差的概念，熟悉方差的计算方法是解题关键． 先求出平均数，再根据方差的计算公式计算即可． 【详解】解：样本的平均数为， 故方差， 故选：A． 8、 根据方差判断稳定性 15．如图所示的是小明和小华两人10次射箭的成绩情况统计图．由图可知，射箭成绩的方差较小的是（    ） A．小明 B．小华 C．两人一样 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了方差的意义，掌握方差越小，数据的波动越小是解题的关键． 通过观察统计图中两人成绩的波动情况，依据方差的意义来判断谁的方差较小． 【详解】解：观察统计图可知，小明的成绩波动比小华小， 方差是反映数据波动大小的量，波动越小，方差越小， 射箭成绩的方差较小的是小明． 故选：A． 16．去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数x（单位：kg）及方差如下表所示．今年该果园准备从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（   ） 甲 乙 丙 丁 24 24 23 20 2.1 1.9 2 1.9 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】结合平均数和方差两个统计量分析． 【详解】解：①比较平均数，确定产量高的品种 ： 观察表格中列数据：甲的，乙的，丙的，丁的． 因此甲、乙品种的平均产量最高． ②比较方差，确定稳定性好的品种： 观察表格中列数据：甲的，乙的，丙的，丁的． 由于方差越小，数据波动越小（稳定性越强），因此乙、丁品种的方差最小，稳定性最好． ③综合选择产量既高又稳定的品种： 甲、乙平均产量相同，但乙的方差更小，因此乙品种“产量既高又稳定”． 故选：B． 【点睛】本题考查了平均数和方差，解题关键是理解平均数用于比较数据的平均水平，方差用于衡量数据的波动大小，方差越小，数据越稳定． 9、 标准差 17．甲、乙两支曲棍球队在去年的国际比赛中，甲队平均每场进球数是3.2，全年进球数的标准差为3：乙队平均每场进球数是1.8，全年进球数的标准差为0.3．下列说法中，错误的是（    ） A．甲队进攻能力强于乙队 B．甲队发挥比乙队稳定 C．乙队几乎每场都进球 D．甲队的表现时好时坏 【答案】B 【分析】本题考查平均数与标准差的意义，掌握平均数反映整体水平，标准差反映数据波动程度是解题的关键． 通过平均每场进球数判断进攻能力，依据标准差判断发挥的稳定性，进而分析每个选项． 【详解】解：A、甲队平均每场进球数3.2大于乙队的1.8，所以甲队进攻能力强于乙队，该选项正确，不符合题意； B、标准差越小，数据越稳定。甲队标准差3大于乙队的0.3，所以乙队发挥比甲队稳定，该选项错误，符合题意； C、乙队平均每场进球数1.8，标准差0.3小，说明乙队进球数波动小，几乎每场都进球，该选项正确，不符合题意； D、甲队标准差3大，说明甲队进球数波动大，表现时好时坏，该选项正确，不符合题意． 故选：B． 18．一个运动员连续射击5次，所得环数分别是8，6，10，7，9，则这个运动员本次射击所得环数的标准差为（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它描述了数据对平均数的离散程度．计算标准差需先算出方差，正确计算是解题的关键． 先由平均数的公式求得平均数的值，再根据方差的公式计算方差，最后计算标准差． 【详解】解：由题意知：平均数， 方差， ∴标准差， 故选：B． 易错点 1. 忽略加权平均数的应用场景：当数据具有不同权重时，错误地使用简单平均数公式，导致结果偏差。例如，在计算班级总成绩时，未考虑各科目学分占比。 2. 方差计算中忘记平方：在求方差的过程中，直接用数据与平均数的差值相加，而未对差值进行平方操作，违背了方差定义。 3. 误用方差公式：将总体方差和样本方差公式混淆。总体方差公式为，而样本方差公式为，容易因分母选择错误而出错。 4. 误解标准差的意义：认为标准差越大，数据越集中；实际上，标准差越大，数据分布越分散。 5. 忽略平均数与方差的关系：在某些题目中，需要结合平均数和方差共同分析数据特征，但学生往往只关注单一指标，忽略综合判断。 总结 算数平均数 一般地，对于n个数...,，则=就叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记为 加权平均数 实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”：若n个数...,的权分别是...,则叫做这n个数的加权平均数。 众数 一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据.注：一组数据的众数可能不止一个，也可能没有. 方差 各个数据与平均数之差的平方的平均数，即： =[ ] 其中，是这一组数据...,的平均数，是方差。 一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定 标准差 标准差就是方差的算术平方根 极差 指一组数据中最大数据与最小数据的差。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 平均数与方差 6.1平均数与方差 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 传送门 复习 解二元一次方程组和一次函数的关系 课前复习 新课探索 平均数 新课探索 加权平均数 方差 众数 标准差 极差 题型练习 求众数 题型练习 利用众数求数据 求平均数 已知平均数求数据 已知平均数求相关数据平均数 加权平均数 求方差 根据方差判断稳定性 标准差 易错点 易错点 总结 总结 课前复习 解二元一次方程组和一次函数的关系 由于任意一个二元一次方程都可以转化为y=kx+b的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线。 新课探索 1、 算数平均数 一般地，对于n个数...,，则=就叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记为 【练习】如果一组数据3,7,2,a,4,6的平均数是5,则a的值是( ) A 8 B 5 C 4 D 3 2、 加权平均数 实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”：若n个数...,的权分别是...,则叫做这n个数的加权平均数。 【练习】甲、乙、丙三种糖果的售价分别为每千克6元、7元、8元，若将甲种8千克，乙种10千克，丙种3千克混在一起，则售价应定为每千克( ) A 7元 B 6.8元 C 7.5元 D 8.6元 3、 众数 一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据.注：一组数据的众数可能不止一个，也可能没有. 【练习】一组数据2,2,5,3,5,10,6,5,10,它的众数是( ). A 2 B 5 C 6 D10 4、 方差 各个数据与平均数之差的平方的平均数，即： =[ ] 其中，是这一组数据...,的平均数，是方差。 一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定 【练习】在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙、丙、丁四队女演员的人数相同，身高的平均数均为166cm,且方差分别为5, 2.5, 2.9, 3.3,则这四队女演员的身高最整齐的是( ) A甲队 B乙队 C丙队 D丁队 五、标准差 标准差就是方差的算术平方根 【练习】已知数据1,2,3,4,5的方差为2,则11,12,13,14,15的方差为____,标准差为_____. 六、极差 指一组数据中最大数据与最小数据的差。 【练习】若一组数据1,5,7,a的极差是10,则x的值为() A11或-3 B 17或-3 C 11 D-3 题型练习 1、 求众数 1．一组数据：5，4，4，3，6，8，则这组数据的众数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．某校为了解同学们某季度学习“青年大学习”的情况，从中随机抽取5名同学调查．经统计，他们的学习时间（单位：）分别为78，80，85，90，80，则这组数据的众数为（    ） A．78 B．80 C．85 D．90 2、 利用众数求数据 3．已知一组数据13，8，10，x，6的众数是8，那么这组数据的方差是（    ） A．4.8 B．5.6 C．6 D．5 4．若一组数据1，2，x，4，6的众数是2，则这组数据的方差为（   ） A．3.2 B．3.5 C．4.8 D．5 3、 求平均数 5．小丽同学某周每天的睡眠时间（单位：h）如下：8，9，7，9，7，8，8．小丽该周平均每天的睡眠时间为（    ） A．7h B．7.5h C．8h D．9h 6．如图是根据某次射箭选拔赛中选手的成绩绘制的条形统计图，则这次选拔赛的平均成绩(单位：环)约为（    ） A． B． C． D． 4、 已知平均数求数据 7．若一组数据4，5，，6，7的平均数是5，则这组数据的方差为（　　）． A．4 B．5 C．2 D． 8．在学习正数和负数时，研博老师在黑板上写了7个数：3，，0，8，a，5，，若这组数据的平均数是3，则这组数据的众数是（   ） A．8 B．3 C．5 D．2 5、 已知平均数求相关数据平均数 9．已知数据的平均数是2，方差是3，则一组新数据的平均数和方差分别是（   ） A．10，3 B．10，11 C．2，3 D．2，11 10．已知一组数据、、、、的平均数为a，方差为b，则数据、、2、、的平均数和方差分别为（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 6、 加权平均数 11．某大学在期末考核学生的英语成绩时，其中笔试最重要，口语其次、听力要求最低，根据这个要求，对笔试、口语、听力三项考查比较合适的比例设计为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 12．某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中研究性学习成绩占30%，期末卷面成绩占70%．小明的两项成绩（百分制）依次是80分，90分，则小明这学期的数学成绩是（    ） A．80分 B．82分 C．84分 D．87分 7、 求方差 编号 1 2 3 4 5 方差 平均成绩 成绩 38 34 ■ 37 40 ■ 37 13． 某同学根据体育素质测试成绩，对某小组5名同学的成绩（单位：分）进行统计（如下表），其中有两个数据被遮盖．被遮盖的两个数据依次是（    ） A．35，2 B．36，4 C．35，3 D．36，3 14．为了增强学生的体质，海燕老师组织本班学生进行投蓝比赛，每人投5次，现从班级45人中随机抽取5名同学的投中次数，得到数据如下：5，5，4，3，3，则样本的方差是（   ） A．0.8 B．0.7 C．1 D．0.9 8、 根据方差判断稳定性 15．如图所示的是小明和小华两人10次射箭的成绩情况统计图．由图可知，射箭成绩的方差较小的是（    ） A．小明 B．小华 C．两人一样 D．无法确定 16．去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数x（单位：kg）及方差如下表所示．今年该果园准备从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（   ） 甲 乙 丙 丁 24 24 23 20 2.1 1.9 2 1.9 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9、 标准差 17．甲、乙两支曲棍球队在去年的国际比赛中，甲队平均每场进球数是3.2，全年进球数的标准差为3：乙队平均每场进球数是1.8，全年进球数的标准差为0.3．下列说法中，错误的是（    ） A．甲队进攻能力强于乙队 B．甲队发挥比乙队稳定 C．乙队几乎每场都进球 D．甲队的表现时好时坏 18．一个运动员连续射击5次，所得环数分别是8，6，10，7，9，则这个运动员本次射击所得环数的标准差为（    ） A．2 B． C．0 D． 易错点 1. 忽略加权平均数的应用场景：当数据具有不同权重时，错误地使用简单平均数公式，导致结果偏差。例如，在计算班级总成绩时，未考虑各科目学分占比。 2. 方差计算中忘记平方：在求方差的过程中，直接用数据与平均数的差值相加，而未对差值进行平方操作，违背了方差定义。 3. 误用方差公式：将总体方差和样本方差公式混淆。总体方差公式为，而样本方差公式为，容易因分母选择错误而出错。 4. 误解标准差的意义：认为标准差越大，数据越集中；实际上，标准差越大，数据分布越分散。 5. 忽略平均数与方差的关系：在某些题目中，需要结合平均数和方差共同分析数据特征，但学生往往只关注单一指标，忽略综合判断。 总结 算数平均数 一般地，对于n个数...,，则=就叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记为 加权平均数 实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”：若n个数...,的权分别是...,则叫做这n个数的加权平均数。 众数 一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据.注：一组数据的众数可能不止一个，也可能没有. 方差 各个数据与平均数之差的平方的平均数，即： =[ ] 其中，是这一组数据...,的平均数，是方差。 一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定 标准差 标准差就是方差的算术平方根 极差 指一组数据中最大数据与最小数据的差。 1 学科网（北京）股份有限公司 $