14.3角的平分线讲义-2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

第十四章 全等三角形 第二节 角的平分线 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1用直尺与圆规作角的平分线 2 知识点2角平分线的性质 2 知识点3证明几何文字命题的一般步骤 3 知识点4 角的平分线的判定 4 题型精讲1作角平分线（尺规作图） 5 题型精讲2角平分线的性质定理 6 题型精讲3角平分线的判定定理 7 题型精讲4角平分线性质的实际应用 7 03拓展培优 12 04课堂检测 19 知识思维导图 课程学习目标 1. 知识与技能：会用尺规作已知角的平分线，理解其作图原理；掌握角平分线的性质定理（角平分线上的点到角两边距离相等）与判定定理（角内部到两边距离相等的点在角平分线上），能规范书写证明过程。 2. 过程与方法：通过尺规作图、实验测量、推理论证，经历“猜想—验证—归纳”的探究过程，深化对全等三角形判定的应用，发展逻辑推理与几何直观能力。 3. 应用与素养：能运用角平分线的性质与判定解决线段相等、角相等的证明及计算问题，建立几何模型意识，契合中考对几何基础推理的考查要求。 【新知学习】 【知识点1】用直尺与圆规作角的平分线 1. 作已知角的角平分线： 步骤一：以 角的顶点 为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N。 步骤二：以 点M和点N 为圆心， 大于 MN的长度为半径画圆弧，两弧交于点P。 步骤三：连接OP即为角平分线 步骤一 步骤二 步骤三 2. 证明上图中的OP是角平分线： 连接MP，NP 由作图过程可知，OM ＝ ON，MP ＝ NP。 在△OMP与△ONP中 ∴△OMP≌△ONP ∴∠MOP＝ ∠NOP ∴OP是∠AOB的角平分线。 边学边练如图，用尺规作图作已知角平分线，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：∵，，， ∴， ∴，即是角的平分线， 故选：D． 【知识点2】角平分线的性质 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.即若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠BOC。且他们都等于∠AOB的 一半 。 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.结论：PD=PE. 【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论. 边学边练如图，已知是的平分线，点D为上任意一点，且于点E，于点F，，则的长度是（    ）． A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】B 解：∵是的平分线，，， ∴， 故选：B． 【知识点3】证明几何文字命题的一般步骤 1.证明一个几何命题的一般步骤 (1）明确命题中的己知和求证； (2)根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 2.推理证明中常见的分析方法 (1）综合法：从已知条件入手，根据已学过的定义、定理、全等的判定方法等，逐步推出要证的结论. (2)分析法：从要证明的结论出发，根据已学过的定义、定理、全等的判定方法等，寻找使结论成立所需的条件，这样一步步逆推，一直追溯到结论成立的条件与已知条件吻合. (3)“两头凑”的方法：分别从已知条件和结论入手，当从已知条件推导出的结论与从结论倒推出所需的条件相吻合时，问题可得证. 【知识点4】角的平分线的判定 1. 角平分线的判定的内容： 角的内部到角两边距离相等的点一定在角平分线上。 2. 数学语言： 点P在∠AOB的内部，PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD，则点P在∠AOB的 平分线 上。 即：∵PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD ∴∠AOC＝∠BOC 边学边练如图，在中，，点在上，且中边上的高也为3，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：如图所示，过点D作于H， ∵中边上的高为3， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴平分， ∵， ∴， 故选：D． 题型精讲 题型精讲1作角平分线（尺规作图） 一、题型特征 基本尺规作图题型，要求用无刻度直尺和圆规作已知角（如∠AOB）的平分线，核心是通过 “等长弧” 构造相等线段，作图依据为SSS 全等判定定理，需规范呈现步骤与痕迹。 二、解题核心步骤 1. 定弧心画弧：以角的顶点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA 于点 M、交 OB 于点 N。 1. 双弧找交点：分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点 C。 1. 连顶点得平分线：用直尺连接 OC，射线 OC 即为∠AOB 的平分线。 【易错提醒】 1. 第二步画弧时，半径小于或等于MN，会导致两弧无交点或交于角外部，无法得到角平分线。 1. 未明确 “任意长”“大于MN” 的半径要求，导致作图逻辑不完整，无法通过 SSS 证明△OMC≌△ONC。 【例题1】如图，已知一块四边形模具，现工人师傅要在边上凿一个孔E，使孔E到边的距离和孔E到边的距离相等．请你利用尺规作图法在边上帮工人师傅找出孔E所在的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 解：如图，点E即为所求． 【变式训练1】如图，在中，，，按如下方法作图：①以B为圆心，以适当长为半径画弧，分别交、于M、N；②分别以M、N为圆心，以大于长为半径画弧．两弧交于P；③作射线交于D，则 ． 【答案】/110度 在中，，， ∴， 由作图方法知平分， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练2】．如图，直线a、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的站址有几处？（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】4处，作图见解析 解：如图所示，一共有4处，即点，，，. 【变式训练3】小明用尺规在上作图，并留下如图所示的痕迹，若，，，则为 ． 【答案】/ 解：由作图痕迹可知，平分， 过点D分别作于点E，于点F， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型精讲2角平分线的性质定理 一、题型特征 题目明确给出 “某点在角平分线上” 的条件，需运用 **“角平分线上的点到角两边的距离相等”** 这一性质，证明两条垂线段相等（如 PE=PF，其中 PE⊥OA、PF⊥OB），或计算垂线段长度。 二、解题核心步骤 1. 定条件：明确角平分线（如 OC 平分∠AOB）和点的位置（如点 P 在 OC 上），并作出点到角两边的垂线（PE⊥OA 于 E，PF⊥OB 于 F）。 1. 用性质：直接依据角平分线性质定理，得出 “PE=PF”，无需额外证明三角形全等（性质可直接作为推理依据）。 1. 解问题：若题目含长度条件（如 PE=3），可直接代入得 PF=3，解决计算或证明需求。 【易错提醒】 1. 忽略 “点到角两边的距离” 需满足 “垂直” 条件，未证明 PE⊥OA、PF⊥OB，直接用性质导致逻辑错误。 1. 混淆 “距离” 与 “线段”，误将非垂线段（如 P 到 OA 上某点的斜线段）当作 “距离” 使用。 【例题1】如图所示，点P是的平分线上一点，于点E，已知，则点P到的距离是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 解：∵点P是的平分线上一点，， ∴点P到的距离等于点P到的距离，即等于的长度， ∴点P到的距离为4， 故选：C． 【变式训练1】（1）如图（1）是的中线（即点D是的中点） ∴有 ， ， （2）∵如图（2）是的角平分线， ∴ ， ， （3）∵如图（3）是的高（） ∴ ． 【答案】（1）；（2）；（3） 解：（1）是的中线， ； （2）是的角平分线， ； （3）∵是的高， ； 故答案为：（1）；（2）；（3）． 【变式训练2】如图，点P在的平分线上，点P到边的距离为6，点Q是边上的任意一点．求证：． 【答案】见解析 证明：∵点P在的平分线上，点P到边的距离为6 ∴点P到边的距离也为6（角平分线上的点到角两边的距离相等） ∵点Q是边上的任意一点 ∴点P到边的距离（直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短） ． 【变式训练3】如图，中，，于点E，F在上，且，，求证：是的平分线． 【答案】见详解 证明：，， 和是直角三角形， 在和 中， ， ， ， ，， ∴是的平分线． 题型精讲3角平分线的判定定理 一、题型特征 题目给出 “某点到角两边的距离相等” 的条件（如 PE=PF，PE⊥OA、PF⊥OB），需运用 **“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”** 这一判定定理，证明该点在角平分线上（如点 P 在∠AOB 的平分线上）。 二、解题核心步骤 1. 列已知：梳理条件，明确 “垂直关系”（PE⊥OA，PF⊥OB，即∠PEO=∠PFO=90°）和 “距离相等”（PE=PF）。 1. 证全等（可选）：若需推导判定定理，可通过 HL 证明 Rt△PEO≌Rt△PFO，得∠POE=∠POF，从而证 OC 平分∠AOB；若直接用判定定理，可省略全等步骤，直接得出结论。 1. 下结论：依据判定定理，明确 “点 P 在∠AOB 的平分线上”。 【易错提醒】 1. 未限定 “点在角的内部” 这一前提，若点在角外部且到两边距离相等，无法判定其在角平分线上。 1. 未证明 “垂直”，仅已知 PE=PF（非垂线段），误用判定定理导致结论错误。 【例题1】如图，，平分，求证：． 证明：平分（已知） ____________（角平分线的定义） 在和中 （______） 【答案】；；B；C；；；；； 证明：平分， ， 在和中， , 故答案为：；；B；C；；；；；． 【变式训练1】三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 【变式训练2】如图，在中，，是内一点，过点作于点，于点于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：∵点作于点，于点于点，， ∴分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式训练3】如图，，，，，交于点H，连接 (1)求证：； (2)求；用含的式子表示 (3)求证：平分 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：， ， 又， ； （3）证明：过点C作于M，于N， ， ，， 平分 题型精讲4角平分线性质的实际应用 一、题型特征 题目以实际场景为背景（如 “确定仓库位置使到两条公路距离相等”“求到三角形三边距离相等的点”），需将实际问题转化为角平分线性质或判定的数学模型，解决位置确定、距离计算等问题。 二、解题核心步骤 1. 建模型：将实际中的 “直线”（如公路、三角形的边）对应角的两边，“点”（如仓库、所求点）对应角内部的点，“距离相等” 对应角平分线的性质或判定条件。 5. 例：两条公路 OA、OB 相交于 O，仓库 P 到 OA、OB 距离相等→P 在∠AOB 的平分线上。 1. 用定理：根据模型选择性质或判定定理，确定点的位置（如角平分线的交点）或计算距离（如已知 P 在角平分线上，PE=2，则 PF=2）。 1. 答实际问题：将数学结论转化为实际答案（如 “仓库应建在∠AOB 的平分线上”）。 【易错提醒】 1. 无法将实际场景抽象为几何模型，找不到 “角的两边” 和 “距离” 的对应关系，导致无从下手。 1. 忽略实际问题中的隐含条件（如 “三角形内到三边距离相等的点是三条角平分线的交点”），仅考虑单条角平分线，导致答案不完整。 【例题1】．在三角形中，到三边距离相等的点是（   ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高线的交点 D．内部任意一点 【答案】B 解：在三角形中，到三边距离相等的点是三条角平分线的交点． 故选：B． 【变式训练1】如图是某校的局部平面图，学校有三条小路和，已知与相交．学校计划修建一个亭子，使其到小路的距离均相等，则亭子可以选择的修建位置有（   ） A．4处 B．3处 C．2处 D．1处 【答案】C 解：如图所示： ∵和的平分线的交点到距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∵和的平分线的交点到AB、MN、PQ距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∴满足这条件的点有2个． 故选：C． 【变式训练2】如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路（）的距离都相等，则油库的位置可以设计在（    ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】B 解：三条公路两两相交，要求油库到这三条公路的距离都相等， 油库在角平分线的交点处，画出油库位置如图所示． 故选：B． 【变式训练3】探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) （1）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知，是的角平分线时， ， ∵，， ∴． 设，， ∴， ∴． （2）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知可知，对于，是角平分线时： ， ， ∵ ∴． ∵， ∴． 故答案为； （3）∵平分， ∴点D到，的距离相等， ∴， ∵， ∴，， 同理平分， ∴， ∴，， 连接，过点F作,，分别垂直于，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴平分， ∴点F到，，三边的距离相等， ∴， ∵ ∴，，， ∴ ． 故答案为． 【拓展培优】 【典例1】如图，在中，，，，点是中点，点分别是边上的动点，且不与端点重合，作和的角平分线交于点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】两点之间线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 解：如图，过作交延长线于点，作，于点，连接，则， ∵和的角平分线交于点， ∴，， ∴， ∴点在平分线上， ∴， ∵点是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时有最小值，即有最小值，为， 如图， 故答案为：． 【变式训练1】材料阅读：如图1，在中，，分别平分，，连接． 求证：平分． 小星同学看到，分别平分，，想到了角平分线的性质，他过点分别作，，的垂线段，，，得到，，之间的数量关系，从而证明平分． (1)请用小星的方法或自己的方法证明平分； (2)方法应用：如图2，在中，是的延长线上一点，分别平分，，连接． ① 探究与之间的数量关系，并说明理由； ② 当时，如图3，过点作交于点，连接并延长交于点，与交于点，探究，与之间的数量关系． 【答案】(1)证明见解析； (2)①，理由见解析；② （1）证明：如图1，过点分别作，，，垂足分别为M，N，P． 平分， ∴． ∵平分， ∴． ∴． 又，， 平分． （2）解：①． 理由如下： 如图2，过点分别作，交的延长线于点，过点分别作，，垂足分别为N，P． ∵平分，，， ∴，． ∵平分，，， ∴，． ∴． 又，， ∴平分． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， 即． ② 如图3，在上截取，连接． 由①，知，． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴平分． ∵平分， ∴． 由(1)，知平分． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴，． 在和中，，，， ∴． ∴． ∴． ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∴． 【变式训练2】如图，已知，，连接，，相交于点H． (1)求证：； (2)求的大小； (3)连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理 【分析】（1）由，，，得到，即可证明出，进而即可得到结论； （2）首先根据全等三角形的性质得到，然后根据对顶角相等得到，然后利用三角形内角和定理求解即可； （3）首先根据全等三角形的性质得到，然后利用角平分线的判定定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，即 ∴ ∴； （2）设与交于点B， ∵ ∴ 又∵ ∴，即； （3）如图所示，连接，过点作，， ∵，，，， ∴ ∴平分． 【变式训练3】如图，在与中，，，，连接和交于点，连接．则 （用含的代数式表示）． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，角平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握以上性质． 过点作，交于点，证明，得出对应边相等和对应角相等，然后利用三角形的内角和及角平分线的定义即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，交于点， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【典例2】如图，在中，是它的角平分线．    (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了三角形的角平分线定义，角平分线的性质定理，三角形的面积公式，理解角平分线的性质是解题的关键． （1）过作，，垂足分别为，，先根据角平分线的性质定理可得，然后根据三角形面积公式求解即可； （2）根据（1）的结论求解即可． 【详解】解：（1）证明：如图，过作，，垂足分别为，， 平分， ， ，， ，即；    （2）如图，过点作，垂足为， 由题意可得：， , ，，， ， 设，， ，， ， ， . 【变式训练1】【方法感悟】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，请写出线段与之间的数量关系和位置关系，并加以证明． 【学以致用】 （2）如图2，是的中线，，，，请写出线段和的数量关系和位置关系，并加以证明． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，与的平分线相交于点，过点向上作，，点在延长线上，，连接，是的中线． ①求的度数； ②求的值． 【答案】（1），，证明见解析；（2），，证明见解析；（3）①；②2． 【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的性质定理 【分析】（1）根据中线性质得，然后即可求证； （2）延长至点，使得，连接，延长交于，得，再证得，，即可求证； （3）①根据，分别平分，，得，即可求解；②连接，延长至点，使，连接，证明得，，再证得，即可求解. 【详解】解：（1）， 证明：是的中线 ， ， ， （2）， 证明：如图1，延长至点，使得，连接，延长交于， 同理（1）得， ∴， 在和中 ， ， （3）①，分别平分，， ， 在中， 即 ②如图2，连接，延长至点，使，连接 ，平分 又 ， 是的中线，同理（1）得，，， 又 . 【典例3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，且．若的平分线交x轴于点C，P，Q分别为线段上的动点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】垂线段最短、角平分线的性质定理 【分析】通过利用角平分线的对称性，将线段和的最小值转化为点到直线的距离来求解． 【详解】解：如图，在上取一点，使，连接， 过点作于点． 平分， ． 在和中， ， ， ． 点到直线上垂线段最短， 的最小值为的长度． 点的坐标为，点B的坐标为， ． ． ， 的最小值为． 故选：D． 【典例4】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中作的中线． (2)在图②中作的高线． (3)在图③中作的角平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】画三角形的高、作角平分线(尺规作图) 【分析】（1）构造平行四边形，连接交于点D，则即为所求． （2）构造，延长交于点E，则即为所求． （3）在图③中作的角平分线． 本题考查了网格内作三角形的角平分线，高线，中线，涉及到全等三角形判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，理解相关知识并灵活运用是解题关键． 【详解】（1）解：构造平行四边形，连接交于点D，画图如下： 则即为所求． （2）解：构造，延长交于点E， 则即为所求． （3）解：构造，则 连接，则，， 根据，得到， 则， 故， 设与交于点F， 则即为所求． 【典例5】如图，在中，，平分，其中E是上的动点，F是上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】垂线段最短、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查垂线段最短问题、角平分线的性质等知识点，解决本题的关键是正确作出辅助线，借助面积法列方程求解． 过点C作交于点G，作交于点H，连接，此时有，利用面积法列方程求出的长度即为的最小值． 【详解】解：过点C作交于点G，作交于点H，连接，如图： ∵平分交于点， ∴点与点H关于对称， ∴， ∴， ∵在中，，，，， ∴， ∴， 解得：， 由“两点之间线段最短”知，的最小值为， 故答案为：． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的判定，熟练掌握角平分线的判定方法：到角两边距离相等的点在角的角平分线上是解题的关键，利用角平分线的判定方法判定平分，即可求解． 【详解】解：∵为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等， ∴平分， ∵， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，为平分线上一点，，，则点到直线的距离为（   ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键，先利用的面积，求得点到直线的距离，然后再利用角平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵，的面积为， ∴点到直线的距离， ∵为平分线上一点， ∴点到直线的距离点到直线的距离． 故选：A． 3．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）下面是“作的平分线”的尺规作图过程：该尺规作图可直接利用三角形全等说明，其中三角形全等的依据是（ ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了作图-基本作图，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据SSS证明三角形全等． 【详解】解：连接，， 由作图得：，，， ≌， ． 故选：． 4．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，点O在的平分线上，连接，作于点D．若，，则的面积是（   ） A．48 B．36 C．24 D．20 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点O作于点H，根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于点H， ∵点O在的平分线上， ∴平分， ∵，，，， ∴， ∴的面积为． 故选：C． 5．（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）如图，在中，，，于R，于S，则下列三个结论：①；②；③，其中正确的结论是（ ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理 【分析】先证明平分，则，再证明，即可解决问题． 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：，，， 平分， ， 在与中， ， ， ，故①正确， ， ， ， ， ，故②正确， 在与中，只能得到，不能判断三角形全等； 综上所述，正确的结论是①②， 故选：B 6．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，已知平分，于E，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理 【分析】此题重点考查角平分线的性质、同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，作交的延长线于点F，则，，即可证明，得，所以，可推导出，则，可判断①正确；证明，得，，可判断③正确；由，得，所以，可判断②正确；由，，，可推导出，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，作交的延长线于点F， ∵平分，于E， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； 在和中， ， ∴， ∴，， 故③正确； ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵，，， ∴， 故④正确， 综上所述，正确的有①②③④，一共4个． 故选：D． 7．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【知识点】垂线段最短、角平分线的性质定理 【分析】本题考查三角形中的最短路径，角平分线的性质定理，解题的关键是理解的长度即为最小值． 过作于点，交于点，过点作于，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过作于点，交于点，过点作于，如图：    ∵平分于点于， ∴， ∴是最小值，此时与重合与重合， ∵三角形的面积为， ∴， ∴， 即的最小值为6． 故选：B． 8．（24-25八年级下·河南郑州·期末）某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三边垂直平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三条角平分线的交点处 【答案】D 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在三条角平分线的交点处． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点． 故选D． 二、填空题 9．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，平分，交于点．于．若，，则的长为 ． 【答案】3 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角两端的距离相等，据此可求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 10．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）如图，已知点O为的两条角平分线的交点，过点O作，垂足为D，且．若的面积是34，则的周长为 ． 【答案】17 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 根据角平分线的性质得到点O到各边的距离为4，利用三角形面积公式得到，然后计算出即可． 【详解】解：作，，连接，垂足分别为、， ∵点O为的两条角平分线的交点，， ， ∵， ∴， ∴ ∴， 即的周长为17， 故答案为：17． 11．（25-26八年级上·全国·期末）如图，的外角和的平分线相交于点，于点，且，若的周长为，，则的面积为 ． 【答案】6 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理． 过点作，垂足分别为点，连接，根据角平分线的性质得出，利用直角三角形全等得出相等边，然后根据三角形的周长得出，最后利用作差法求出三角形的面积即可． 【详解】解：如图所示，过点作，垂足分别为点，连接， ∵和的平分线相交于点， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴四边形的面积为， 五边形的面积为， ∴的面积为， 故答案为：6． 12．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点是边上的一点，连接，且，平分，交于点，过点作，垂足为，连接，且．若，，的面积是，则的面积是 ． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了邻补角互补，三角形内角和性质，角平分线的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先算出，再结合，，得出，，故平分，再结合角平分线的性质得出，运用三角形面积之间的关系列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ 则 即平分， 过作于，延长，过作于，如图所示： ∵平分，，， ∴， ∵平分，， ∴， 即， ∵，的面积是，且的面积 ∴ ∴ 即 ∵，且 ∴ 故答案为： 三、解答题 13．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，利用尺规作图法在边上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查作图—基本作图，掌握角平分线的作图方法是解答本题的关键．根据作角平分线的方法步骤作图即可． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 14．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，是的角平分线，于E，点F在边上，连接，且． (1)求证：； (2)若，求的度数； 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，三角形内角和定理： （1）由角平分线的性质得到，再利用即可证明； （2）先由三角形内角和定理得到，则由全等三角形的性质可得，据此根据平角的定义可得答案． 【详解】（1）证明：是的角平分线，，， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ． 15．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，，，，，交于点H，连接 (1)求证：； (2)求；用含的式子表示 (3)求证：平分 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． （1）由，利用，即可证明； （2）由，可得，继而求得； （3）首先作于M，于N，由，可得，即可证得平分 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：， ， 又， ； （3）证明：过点C作于M，于N， ， ，， 平分 16．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在和中，，连接交于点F，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、角平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）设交于点I，由，推导出，而，，即可根据“”证明，得，则； （2）作于点H，于点J，由，，且，，得，则，所以点A在的平分线上，则平分． 【详解】（1）解：设交于点I， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． （2）证明：作于点H，于点J， 由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点A在的平分线上， ∴平分． 一、单选题 1．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的判定，熟练掌握角平分线的判定方法：到角两边距离相等的点在角的角平分线上是解题的关键，利用角平分线的判定方法判定平分，即可求解． 【详解】解：∵为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等， ∴平分， ∵， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，为平分线上一点，，，则点到直线的距离为（   ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键，先利用的面积，求得点到直线的距离，然后再利用角平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵，的面积为， ∴点到直线的距离， ∵为平分线上一点， ∴点到直线的距离点到直线的距离． 故选：A． 3．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）下面是“作的平分线”的尺规作图过程：该尺规作图可直接利用三角形全等说明，其中三角形全等的依据是（ ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了作图-基本作图，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据SSS证明三角形全等． 【详解】解：连接，， 由作图得：，，， ≌， ． 故选：． 4．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，点O在的平分线上，连接，作于点D．若，，则的面积是（   ） A．48 B．36 C．24 D．20 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点O作于点H，根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于点H， ∵点O在的平分线上， ∴平分， ∵，，，， ∴， ∴的面积为． 故选：C． 5．（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）如图，在中，，，于R，于S，则下列三个结论：①；②；③，其中正确的结论是（ ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理 【分析】先证明平分，则，再证明，即可解决问题． 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：，，， 平分， ， 在与中， ， ， ，故①正确， ， ， ， ， ，故②正确， 在与中，只能得到，不能判断三角形全等； 综上所述，正确的结论是①②， 故选：B 6．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，已知平分，于E，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理 【分析】此题重点考查角平分线的性质、同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，作交的延长线于点F，则，，即可证明，得，所以，可推导出，则，可判断①正确；证明，得，，可判断③正确；由，得，所以，可判断②正确；由，，，可推导出，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，作交的延长线于点F， ∵平分，于E， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； 在和中， ， ∴， ∴，， 故③正确； ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵，，， ∴， 故④正确， 综上所述，正确的有①②③④，一共4个． 故选：D． 7．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【知识点】垂线段最短、角平分线的性质定理 【分析】本题考查三角形中的最短路径，角平分线的性质定理，解题的关键是理解的长度即为最小值． 过作于点，交于点，过点作于，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过作于点，交于点，过点作于，如图：    ∵平分于点于， ∴， ∴是最小值，此时与重合与重合， ∵三角形的面积为， ∴， ∴， 即的最小值为6． 故选：B． 8．（24-25八年级下·河南郑州·期末）某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三边垂直平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三条角平分线的交点处 【答案】D 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在三条角平分线的交点处． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点． 故选D． 二、填空题 9．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，平分，交于点．于．若，，则的长为 ． 【答案】3 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角两端的距离相等，据此可求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 10．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）如图，已知点O为的两条角平分线的交点，过点O作，垂足为D，且．若的面积是34，则的周长为 ． 【答案】17 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 根据角平分线的性质得到点O到各边的距离为4，利用三角形面积公式得到，然后计算出即可． 【详解】解：作，，连接，垂足分别为、， ∵点O为的两条角平分线的交点，， ， ∵， ∴， ∴ ∴， 即的周长为17， 故答案为：17． 11．（25-26八年级上·全国·期末）如图，的外角和的平分线相交于点，于点，且，若的周长为，，则的面积为 ． 【答案】6 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理． 过点作，垂足分别为点，连接，根据角平分线的性质得出，利用直角三角形全等得出相等边，然后根据三角形的周长得出，最后利用作差法求出三角形的面积即可． 【详解】解：如图所示，过点作，垂足分别为点，连接， ∵和的平分线相交于点， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴四边形的面积为， 五边形的面积为， ∴的面积为， 故答案为：6． 12．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点是边上的一点，连接，且，平分，交于点，过点作，垂足为，连接，且．若，，的面积是，则的面积是 ． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了邻补角互补，三角形内角和性质，角平分线的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先算出，再结合，，得出，，故平分，再结合角平分线的性质得出，运用三角形面积之间的关系列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ 则 即平分， 过作于，延长，过作于，如图所示： ∵平分，，， ∴， ∵平分，， ∴， 即， ∵，的面积是，且的面积 ∴ ∴ 即 ∵，且 ∴ 故答案为： 三、解答题 13．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，利用尺规作图法在边上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查作图—基本作图，掌握角平分线的作图方法是解答本题的关键．根据作角平分线的方法步骤作图即可． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 14．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，是的角平分线，于E，点F在边上，连接，且． (1)求证：； (2)若，求的度数； 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，三角形内角和定理： （1）由角平分线的性质得到，再利用即可证明； （2）先由三角形内角和定理得到，则由全等三角形的性质可得，据此根据平角的定义可得答案． 【详解】（1）证明：是的角平分线，，， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ． 15．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，，，，，交于点H，连接 (1)求证：； (2)求；用含的式子表示 (3)求证：平分 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． （1）由，利用，即可证明； （2）由，可得，继而求得； （3）首先作于M，于N，由，可得，即可证得平分 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：， ， 又， ； （3）证明：过点C作于M，于N， ， ，， 平分 16．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在和中，，连接交于点F，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、角平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）设交于点I，由，推导出，而，，即可根据“”证明，得，则； （2）作于点H，于点J，由，，且，，得，则，所以点A在的平分线上，则平分． 【详解】（1）解：设交于点I， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． （2）证明：作于点H，于点J， 由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点A在的平分线上， ∴平分． 1 学科网（北京）股份有限公司 $第十四章全等三角形 第二节角的平分线 01体系构建·思维可视 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1用直尺与圆规作角的平分线.........。 知识点2角平分线的性质 2 知识点3证明几何文字命题的一般步骤 ….3 知识点4角的平分线的判定 题型精讲1作角平分线（尺规作图） .5 题型精讲2角平分线的性质定理..，..… 题型精讲3角平分线的判定定理 .7 题型精讲4角平分线性质的实际应用 .7 03拓展培优 …..12 04课堂检测 知识思维导图 以角的顶点为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N 用直尺与圆规作角的平分线 以点M和点N为圆心，大于号MN的长度为半径画圆弧，两孤交于点P 连接0P即为角平分线 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 角平分线的性质 即若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC。且他们都等 于∠AOB的一半 角的平分线 明确命题中的己知和求证 证明几何文字命题的一般步骤 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程 角的平分线的判定 角的内部到角两边距离相等的点一定在角平分线上 课程学习目标 1.知识与技能：会用尺规作已知角的平分线，理解其作图原理；掌握角平分线的性质定理（角平分线上的点到角两 边距离相等)与判定定理（角内部到两边距离相等的点在角平分线上），能规范书写证明过程。 2.过程与方法：通过尺规作图、实验测量、推理论证，经历“猜想一验证一归纳“的探究过程，深化对全等三角形判 定的应用，发展逻辑推理与几何直观能力。 3.应用与素养：能运用角平分线的性质与判定解决线段相等、角相等的证明及计算问题，建立几何模型意识，契合 中考对几何基础推理的考查要求。 【新知学习】 【知识点1】用直尺与圆规作角的平分线 1.作已知角的角平分线： 步骤一：以角的顶点为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N。 步骤二：以点M和点N为圆心，大王AMN的长度为半径画圆弧，两弧交于点P。 步骤三：连接OP即为角平分线 步骤一 步骤二 步骤三 2.证明上图中的OP是角平分线： 连接MP,NP 由作图过程可知，OM=ON,MP三NP。 在△OMP与△ONP中 OM =ON MP=NP OP=OP ∴.△OMP≌△ONP ∴.∠MOP=∠NOP ∴.OP是∠AOB的角平分线。 边学边练如图，用尺规作图作已知角平分线，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是() 2 A D B A.SAS B.AAS C.AAS D.SSS 【知识点2】角平分线的性质 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相篷即若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC。且 他们都等于∠AOB的一半二。 D EA 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PDLOA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.结论：PD=PE 【提示】 (1)这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； (2)该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； (3)使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直： (4)用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的己知点向两边作垂线段，利用其相等来推导 其他结论. 边学边练如图，已知BG是∠ABC的平分线，点D为BG上任意一点，且DE⊥AB于点E,DF⊥BC于 点F,DF=4,则DE的长度是()· A G D C A.2 B.4 C.5 D.8 【知识点3】证明几何文字命题的一般步骤 1.证明一个几何命题的一般步骤 (1)明确命题中的己知和求证： (2)根据题意，画出图形，并用数学符号表示己知和求证： (3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 2.推理证明中常见的分析方法 (1)综合法：从已知条件入手，根据已学过的定义、定理、全等的判定方法等，逐步推出要证的结论. (②)分析法：从要证明的结论出发，根据已学过的定义、定理、全等的判定方法等，寻找使结论成立所需的 条件，这样一步步逆推，一直追溯到结论成立的条件与已知条件吻合。 (3)“两头凑”的方法：分别从己知条件和结论入手，当从己知条件推导出的结论与从结论倒推出所需的条 件相吻合时，问题可得证. 【知识点4】角的平分线的判定 1.角平分线的判定的内容： 角的内部到角两边距离相等的点一定在角平分线上。 2.数学语言： 点P在∠AOB的内部，PE⊥OA于E,PD⊥OB于D,且PE=PD,则点P 在∠AOB的平分线上。 E 即：，PE⊥OA于E,PD⊥OB于D,且PE=PD ,.∠AOC=∠BOC 边学边练如图，在Rt△ABC中，LC=90°，点D在BC上，且CD=3,△ABD中AB边上的高也为3，若 ∠CAB=35°，则∠CAD的度数为() B A.55 B.35 C.27.5° D.17.5° 题型精讲 题型精讲1作角平分线（尺规作图） 一、题型特征 基本尺规作图题型，要求用无刻度直尺和圆规作已知角（如∠AOB)的平分线，核心是通过“等长弧” 构造相等线段，作图依据为S$S全等判定定理，需规范呈现步骤与痕迹。 二、解题核心步骤 1.定弧心画弧：以角的顶点0为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA于点M、交OB于点N。 2.双弧找交点：分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠OB内部交于点C。 3.连顶点得平分线：用直尺连接OC,射线OC即为∠AOB的平分线。 【易错提醒】 。 第二步画弧时，半径小于或等于专MN,会导致两弧无交点或交于角外部，无法得到角平分线。 ·未明确“任意长”“大于专N”的半径要求，导致作图逻辑不完整，无法通过SSS证明△0MC≌△ ONC。 【例题1】如图，己知一块四边形模具ABCD,现工人师傅要在AD边上凿一个孔E,使孔E到BC边的 距离和孔E到CD边的距离相等.请你利用尺规作图法在AD边上帮工人师傅找出孔E所在的位置.（保留 作图痕迹，不写作法) B 【变式训练1】如图，在ABC中，∠A=80°，∠C=40°，按如下方法作图：①以B为圆心，以适当 长为半径画弧，分别交B、BC于M、心②分别以M、N为圆心，以大于MN长为半径画弧.两弧交于 P;③作射线BP交AC于D,则LBDC=一 D 【变式训练2】，如图，直线α、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到 三条公路的距离相等，可供选择的站址有几处？（不写作法，保留作图痕迹） 5 【变式训练3】小明用尺规在ABC上作图，并留下如图所示的痕迹，若AB=6,AC=4,BD=5, 则CD为 B D 题型精讲2角平分线的性质定理 一、题型特征 题目明确给出“某点在角平分线上”的条件，需运用*“角平分线上的点到角两边的距离相等”*这 一性质，证明两条垂线段相等（如PEP℉，其中PE⊥OA、P℉⊥OB),或计算垂线段长度。 二、解题核心步骤 1.定条件：明确角平分线（如OC平分∠AOB)和点的位置（如点P在OC上），并作出点到角两边的垂 线(PE⊥OA于E,PF⊥OB于F)。 2.用性质：直接依据角平分线性质定理，得出“PEP℉”，无需额外证明三角形全等（性质可直接作为推 理依据)。 3.解问题：若题目含长度条件（如PE=3)，可直接代入得P℉=3，解决计算或证明需求。 【易错提醒】 ·忽略“点到角两边的距离”需满足“垂直”条件，未证明PE⊥OA、P℉⊥OB,直接用性质导致逻辑 错误。 ·混淆“距离”与“线段”，误将非垂线段（如P到OA上某点的斜线段）当作“距离”使用。 【例题1】如图所示，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E,已知PE=4,则点P到 AB的距离是() 6 C E A.6 B.5 C.4 D.3 【变式训练1】(1)如图(1)：AD是ABC的中线（即点D是BC的中点） B B (1) (2) (3) 有BD=-,CD=-BC, (2):如图(2)CE是ABC的角平分线， --’ (3):如图(3)BF是ABC的高(BF⊥AC) .- 【变式训练2】如图，点P在∠ABC的平分线上，点P到BC边的距离为6，点Q是BA边上的任意一 点.求证：PQ≥6. A 6 B C 【变式训练3】如图，ABC中，∠C=90°，DE1AB于点E,F在AC上，且BE=FC,BD=FD, 求证：AD是∠BAC的平分线， B 7 题型精讲3角平分线的判定定理 一、题型特征 题目给出“某点到角两边的距离相等”的条件（如PE=P℉，PE⊥OA、PF⊥OB),需运用*“角的内部 到角两边距离相等的点在角的平分线上”*这一判定定理，证明该点在角平分线上（如点P在∠AOB的 平分线上)。 二、解题核心步骤 1.列已知：梳理条件，明确“垂直关系”(PE⊥0A,PP⊥OB,即∠PE0=∠PF0=90°)和“距离相等” (PE=P℉)。 2.证全等（可选）：若需推导判定定理，可通过HL证明Rt△PEO≌Rt△PFO,得∠POE=∠POF,从而证 0C平分∠AOB:若直接用判定定理，可省略全等步骤，直接得出结论。 3.下结论：依据判定定理，明确“点P在∠AOB的平分线上”。 【易错提醒】 ·未限定“点在角的内部”这一前提，若点在角外部且到两边距离相等，无法判定其在角平分线上。 ·未证明“垂直”，仅已知PE=PF(非垂线段)，误用判定定理导致结论错误。 【例题1】如图，∠B=∠C,AD平分∠BAC,求证：△ABD≌△ACD. 证明：AD平分∠BAC(已知) ∠ =∠ (角平分线的定义) 在△ABD和△ACD中 =∠ (已知) (己证) 公共边) .△ABD≌△ACD 【变式训练1】三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建 个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是() 8 B A.三条高线的交点 B.三条中线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三边垂直平分线的交点 【变式训练2】如图，在ABC中，∠A=100°，P是ABC内一点，过点P作PD⊥AB于点D, PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F,若PD=PE=PF,则∠BPC的度数为() D B A.110 B.120° C.130° D.140° 【变式训练3】如图，CA=CB,CD=CE,LACB=LDCE=a,AD,BE交于点H,连接CH. B (1)求证：△ACD≌△BCE: (2)求∠AHB;(用含a的式子表示) (3)求证：HC平分∠AHE 题型精讲4角平分线性质的实际应用 一、题型特征 题目以实际场景为背景（如“确定仓库位置使到两条公路距离相等”“求到三角形三边距离相等的 点”)，需将实际问题转化为角平分线性质或判定的数学模型，解决位置确定、距离计算等问题。 二、解题核心步骤 1.建模型：将实际中的“直线”（如公路、三角形的边）对应角的两边，“点”（如仓库、所求点）对 应角内部的点，“距离相等”对应角平分线的性质或判定条件。 。例：两条公路OA、OB相交于O,仓库P到OA、OB距离相等→P在∠AOB的平分线上。 1.用定理：根据模型选择性质或判定定理，确定点的位置（如角平分线的交点）或计算距离（如己知P 在角平分线上，PE=2,则PF=2)。 9 2.答实际问题：将数学结论转化为实际答案（如“仓库应建在∠A0B的平分线上”)。 【易错提醒】 ·无法将实际场景抽象为几何模型，找不到“角的两边”和“距离”的对应关系，导致无从下手。 ·忽略实际问题中的隐含条件（如“三角形内到三边距离相等的点是三条角平分线的交点”），仅考虑 单条角平分线，导致答案不完整。 【例题1】，在三角形中，到三边距离相等的点是() A.三条中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条高线的交点 D.内部任意一点 【变式训练1】如图是某校的局部平面图，学校有三条小路MN,PQ和AB,已知MN∥PQ,AB与 MN,P相交.学校计划修建一个亭子，使其到小路MW,PQ,AB的距离均相等，则亭子可以选择的修建位置 有() -0 A.4处 B.3处 C.2处 D.1处 【变式训练2】如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路 (AB,AC,BC)的距离都相等，则油库的位置可以设计在() B A.ABC三条中线的交点 B.ABC三条角平分线的交点 C.ABC三条高所在直线的交点 D.ABC三条边的垂直平分线的交点 【变式训练3】探索新知：如图①，AD是ABC的角平分线， 8与 之间有怎样的关系呢？过点 AC DC D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,过点A作AH⊥BC,垂足为H. 10