1.2矩形的性质与判定课件 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

B·九年级上册 1.2 矩形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 1．回顾矩形的性质及判定方法． 2．矩形的性质和判定方法与其他有关知识的综合运用.(难点) 学习目标 问题1: 矩形有哪些性质？ A B C D O ①是轴对称图形; ②四个角都是直角; ③对角线相等且平分. ①定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 ②有一组邻边相等的矩形 ③有一个角是直角的菱形 问题2: 矩形有判定方法有哪些？ 导入新课 利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化，请同学们注意观察： 情景导入 不变： 变： 对边仍保持相等，对边仍分别平行，所以仍然是平行四边形. 角的大小. 图形前后有什么变化吗？ 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 有一个角是直角 知识点一：矩形的定义 矩形除了具有平行四边形的所有性质，还具有性质： 矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等. 几何语言描述： ∵ 四边形 ABCD 是矩形 ∴∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°，AC = DB. A B C D O 矩形的性质 1.已知矩形的两邻边长分别为6和8，则对角线的长为 . 2.矩形具有而平行四边形不具有的性质（ ） A 对角线互相平分 B 对边相等 C 对角相等 D 对角线相等 学以致用 10 D C 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形. ∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB(矩形的对角线) AB∥DC(矩形的对边平行). ∴∠ABC+∠BCD=180°. 又∵∠ABC = 90°, ∴∠BCD = 90°. ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°. A B C D O (2)∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC(矩形的对边相等). 在△ABC和△DCB中, ∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC= CB, ∴△ABC≌△DCB. ∴AC=DB. 1.矩形的四个角都是直角. 2.矩形的对角线相等. 定理 A B C D O 归纳结论 矩形是特殊的平行四边形,它除具有平行四边形的所有性质外,还有平行四边形所没有的特殊性质. 对称性：是轴对称图形. 角：四条角都是90°. 对角线：相等. 角：对角相等. 边：对边平行且相等. 对角线：相交并相互平分. 矩形的特殊性质 平行四边形的性质 例1：如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,∠AOD=120° AB=2.5 ,求矩形对角线的长. 解：∵四边形ABCD是矩形. ∴AC = BD(矩形的对角线相等). OA= OC= AC,OB = OD = BD , (矩形对角线相互平分) ∴OA = OD. A B C D O 典例精析 例1.如图，在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB＝4cm，求□ABCD的面积． A B C D O 分析：先根据“对角线相等的平行四边形是矩形”判定□ABCD是矩形，再求出BC的长，从而可得□ABCD的面积． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝AC，BO＝BD. ∵AO＝BO， ∴□ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)． 在Rt△ABC中，AB＝4cm，AC＝2AO＝8cm， ∴BC＝＝4(cm)． ∴S□ABCD＝AB·BC＝4×4＝16(cm2)． A B C D O 如果仅有一根较长的绳子，可以先用绳子分别测量出门框的两组对边的长度，做上记号．如果两组对边的长度分别相等，那么这个门框一定是平行四边形，再用绳子量出门框的对角线的长度．如果这两条对角线的长度相等，那么这个刚安装的门框一定是矩形，否则不是矩形．理由是对角线相等的平行四边形是矩形． 探究新知 设计意图：让学生运用所学知识解决实际问题． 17 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD． 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=AB=4，∠BAC=60°． ∴OA=OB=OC=OD=4． ∴ AC=BD=2OA=2×4=8． 例 　如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求□ABCD的面积． 典例精析 【典例精析】 师生活动：教师出示例题，学生思考，教师引导学生完成本题． 教师分析：教师先带学生从已知条件入手，对平行四边形对角线的性质进行分析，再结合△ABO是等边三角形的条件，很容易推出对角线相等，从而利用刚学的矩形的判定定理“对角线相等的四边形是矩形”证得是矩形，再利用勾股定理求出边长BC，进而求出矩形的面积． 18 (1)求证：CM＝CN； 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠ANM＝∠CMN， 由折叠知∠CNM＝∠ANM， ∴∠CNM＝∠CMN， ∴CN＝CM　 (2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，求 的值． 解：∵AD∥BC，S△CMN∶S△CDN＝3∶1，∴CM∶DN＝3∶1， 设DN＝x，则CM＝3x， 过点N作NK⊥BC于点K， ∵DC⊥BC，∴NK∥DC， 又∵AD∥BC，∴CK＝DN＝x，MK＝2x， 由(1)知CN＝CM＝3x， ∴NK2＝CN2－CK2＝(3x)2－x2＝8x2， 　 2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为__________． 12 课堂练习 【课堂练习】 参考答案 12． 3．已知：如图，在□ABCD中，M是AD边的中点，且MB=MC． 求证：四边形ABCD是矩形． 课堂练习 【课堂练习】 师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题． 22 3．如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H四点． 求证：四边形EFGH是矩形． A B C D H E D G 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°. ∵□ABCD的四个内角平分线分别相交于E，F，G，H四点，由角平分线性质，得∠HAB＝ ∠DAB，∠ABH＝ ∠ABC， ∴∠HAB＋∠ABH＝ (∠DAB＋∠ABC)＝90°， ∴∠H＝90°. 同理可求得∠HEF＝∠F＝90°， ∴四边形EFGH是矩形． A B C D H E D G $