精品解析：辽宁省朝阳市建平县高级中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试卷

建平高中2025-2026学年度高二上学期第二次月考 数学试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合元素与集合的关系，逐项判定，即可求解. 【详解】由方程，解得或，所以， 所以，，. 故选：A. 2. 已知点在幂函数的图像上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据幂函数的系数为可求得的值，再将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，进而可求得的值. 【详解】由于函数为幂函数，则，解得，则， 由已知条件可得，得，因此，. 故选：A. 3. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易得满足；当时，满足可求解. 【详解】当时，在上单调递增，满足题意； 当时，要使在上单调递增，则满足，解得， 综上，实数的取值范围为. 故选：D. 4. 在长方体中，为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的加法法则进行求解. 【详解】因为为线段的中点，所以, 所以， 因为长方体中，， 所以，即. 故选：C. 5. 已知点，点，则向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出向量的坐标判断得解. 【详解】由点，点，得. 故选：C 6. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风 【答案】A 【解析】 【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论. 【详解】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 7. 已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的夹角公式列式求解. 【详解】向量，，由与的夹角为钝角，得且不共线， 由，得，解得， 若共线，得，解得，因此当不共线时，， 所以实数的取值范围为. 故选：C 8. 非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先利用投影向量求出，再利用向量垂直关系计算向量数量积构造关于实数的方程，最后结合及解方程求出实数． 【详解】向量在向量上的投影向量为， ， ， ， 又， ， 是非零向量，， ，解得， 故选：A． 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9. 下列判断正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由指数函数的单调性判断数的大小即可. 【详解】在上是减函数，，，故A不正确； 在上是增函数，，；故B正确； 在上是增函数，，；故C正确； 在上是减函数，，，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 曲线的一条对称轴为 C. 在区间单调递增 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质逐项判断即得. 【详解】函数， 对于A，是偶函数，A正确； 对于B，，不是曲线的对称轴，B错误； 对于C，当时，，函数在上单调递减， 因此函数在上单调递增，C正确； 对于D，的最大值为，D正确. 故选：ACD 11. 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是线段CD1上的动点，则下列判断正确的是（ ） A. 直线AC1⊥平面BCD1A1 B. 点B1到平面BCD1A1的距离是 C. 无论点E在线段CD1的什么位置，都有AC1⊥B1E D. 若异面直线B1E与AD所成的角为θ，则sinθ的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标表示，判断ACD，结合等体积公式，求点B1到平面BCD1A1的距离，判断选项B. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，，，，，，，， A.，， 因为，所以与不垂直，那么与平面不垂直，故A错误； B.点到平面的距离即点到平面的距离，设点到平面的距离为， 因为，即 得，解得：，故B正确； C.因为点在线段上，所以 ，，， 所以，故C正确； D.，， ， 因为，所以求的最小值，即求的最大值， 当时，取得最大值，最大值是，此时，故D正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若函数满足，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定等式，利用方程组法求出函数，进而求出函数值. 【详解】由，得，则， 所以. 故答案为： 13. 已知正实数，满足，则的最小值为_____. 【答案】17 【解析】 【分析】根据给定条件，变形目标式，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】正实数，满足，则 ，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值17. 故答案为：17 14. 先把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数图象的对称轴___________． 【答案】， 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简整理函数，然后根据函数的变换得到函数，令，求得函数的对称轴. 【详解】由题意可得：， 函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍， 纵坐标不变可得函数的图象， 函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象， 所以， 令，，解得：，， 故答案为：， 四、解答题：（本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15. 直线过点，. （1）求直线的一般方程. （2）求直线的斜率，以及在x轴和y轴上的截距. 【答案】（1）； （2）斜率，在x轴和y轴上的截距分别为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件。利用直线的两点式方程求出方程，再化成一般式即可. （2）利用（1）的结论，求出直线的斜率及横纵截距. 【小问1详解】 直线过点，，则直线的方程为，即， 所以直线的一般方程为. 【小问2详解】 由（1）知，直线，当时，；当时，， 所以直线的斜率，在x轴和y轴上的截距分别为. 16. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求角C的值； （2）求的最大值； （3）若AB边上的中线CD长为，求的面积． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】(1)先根据正弦定理对进行边角互化，再根据余弦定理，即可得到值，进而得到角C的值； (2)利用正弦定理，将"求的最大值问题"转化为"求的最大值问题"，再 转化为"求的最大值问题", 最后利用辅助角公式可得结果； (3)因为为边上的中线，所以，两边平方可得到边的关系，结合(1)式结论，可求得的值，从而得到的面积. 【小问1详解】 因为，由正弦定理,可得， 整理可得，由余弦定理得，所以,所以. 因为在中，，所以. 【小问2详解】 因为，由正弦定理可得，可得，. 因为,所以. , 所以，其中. 所以，当时，取得最大值，最大值为. 【小问3详解】 由题可知，， 由(1)知，即，① 因为为边上的中线，所以， 两边平方得：， 所以，② ②①可得，可得， 所以的面积． 17. 如图，四棱锥中，底面，，，. （1）求点B到面PAC的距离； （2）若，证明：平面； （3）若，且二面角的正弦值为，求AD. 【答案】（1）； （2） 由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 而平面，于是，由（1）知，因此， 又平面，平面，所以平面. （3）. 【解析】 【分析】（1）过点作于，利用定义法求出点到平面的距离. （2）利用线面垂直的判定性质，结合（1）中信息证得，再利用线面平行的判定定理推理得证. （3）作出二面角的平面角，再利用直角三角形边角关系列出方程求出. 【小问1详解】 在四棱锥中，在平面内过点作于， 由底面，平面得， 而平面， 则平面，长即为点B到面PAC的距离， 由，得，即，， 所以点B到面PAC的距离为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在平面内过点D作于，在平面内过点作于，连接， 由平面，而平面，故，而平面， 则平面，又平面，于是，而平面， 因此平面，又平面，则，即为二面角的平面角， 且为锐角，，，， 设，由，得，则， ，由，得，， 因此，解得，所以. 18. 在高中学段学生综合素质评价平台上对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图. 分组 频数 频率 10 0.25 24 2 0.05 合计 1 （1）求出表中，及图中的值； （2）若该校高三年级学生有840人，试估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在区间内的人数； （3）估计该校高三年级学生参加社区服务次数的中位数.（结果精确到0.01） 【答案】（1），， （2）210 （3）17.08 【解析】 【分析】（1）根据题意结合频数、频率和样本容量之间的关系运算求解； （2）分析可知在上的频率是0.25，进而估计人数； （3）分析可知中位数在区间上，根据题意结合中位数的定义运算求解. 【小问1详解】 由频率分布表可得，， 所以，. 【小问2详解】 因为该校高三年级学生有840人，在上的频率是0.25， 所以估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在此区间上的人数为. 【小问3详解】 因为，且，所以中位数在区间上， 设样本中位数为，则，解得. 所以估计该校高三年级学生参加社区服务次数的中位数是. 19. 如图，在三棱柱中，与的距离为，，． （1）证明：平面平面ABC； （2）若点N在棱上，求直线AN与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1） 取棱中点D，连接，因为，所以 因为三棱柱，所以， 所以，所以 因为，所以，； 因为，，所以，所以， 同理， 因为，且，平面，所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质作线线垂直，结合线段长度及勾股定理判定线线垂直，根据线面垂直的判定与性质证明即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面角结合基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点O，连接，取中点P，连接，则， 由（1）知平面，所以平面 因为平面，平面， 所以，， 因为，则 以O为坐标原点，，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 可设点，， ，，， 设面的法向量为，得， 取，则，，所以 设直线与平面所成角为， 则 若，则， 若，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建平高中2025-2026学年度高二上学期第二次月考 数学试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点在幂函数的图像上，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在长方体中，为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，点，则向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风 7. 已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9. 下列判断正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 曲线的一条对称轴为 C. 在区间单调递增 D. 的最大值为 11. 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是线段CD1上的动点，则下列判断正确的是（ ） A. 直线AC1⊥平面BCD1A1 B. 点B1到平面BCD1A1的距离是 C. 无论点E在线段CD1的什么位置，都有AC1⊥B1E D. 若异面直线B1E与AD所成的角为θ，则sinθ的最小值为 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若函数满足，则_____. 13. 已知正实数，满足，则的最小值为_____. 14. 先把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数图象的对称轴___________． 四、解答题：（本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15. 直线过点，. （1）求直线的一般方程. （2）求直线的斜率，以及在x轴和y轴上的截距. 16. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求角C的值； （2）求的最大值； （3）若AB边上的中线CD长为，求的面积． 17. 如图，四棱锥中，底面，，，. （1）求点B到面PAC的距离； （2）若，证明：平面； （3）若，且二面角的正弦值为，求AD. 18. 在高中学段学生综合素质评价平台上对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图. 分组 频数 频率 10 0.25 24 2 0.05 合计 1 （1）求出表中，及图中的值； （2）若该校高三年级学生有840人，试估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在区间内的人数； （3）估计该校高三年级学生参加社区服务次数的中位数.（结果精确到0.01） 19. 如图，在三棱柱中，与的距离为，，． （1）证明：平面平面ABC； （2）若点N在棱上，求直线AN与平面所成角的正弦值的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $