精品解析：江苏省南京市七校联合体2026届高三上学期10月调研数学试题

2025-2026学年10月七校联合学情调研 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为纯虚数，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数乘法求出，再利用纯虚数的意义求解即得. 【详解】依题意，，由是纯虚数，得， 所以. 故选：B 2. 已知向量，且，则实数k为（ ） A. 2 B. 3 C. －3 D. －2 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的数量积的运算公式，以及垂直的向量坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，可得， 又由，可得，解得. 故选：C 3. 已知一个底面半径为1的圆锥，其侧面积是底面积的4倍，则该圆锥体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据圆锥的侧面积公式，求母线长，再求圆锥的高，代入体积公式，即可求解. 【详解】设圆锥的母线为，则，则， 所以圆锥的高， 所以圆锥的体积. 故选：B 4. 从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式及条件概率公式求解即可. 【详解】第一次抽到3或6的概率为，所以， 当第一次抽到3时：第二次可抽4,5,6,7，共4种情况； 当第一次抽到6时，第二次可抽7，共1种情况， 所以， . 故选：A. 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的性质，结合已知条件分析的取值范围，从而求解． 【详解】，底数， 对数函数单调递减， 又，， ，底数， 指数函数单调递增， 又，， ，底数， 指数函数单调递减， 又，． ， 故选：C． 6. 已知函数的最小正周期为T，若，则函数的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件求出的值，再结合二倍角公式化简函数，最后通过换元法分析函数求最值． 【详解】的最小正周期为，， ， 又，， ， 令，则，，函数开口向下，对称轴， 函数最大值为：． 故选：D． 7. 莱莫恩（Lemoine）定理指出：过△ABC的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，分别和BC，CA，AB所在直线交于点P，Q，R，则P，Q，R三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemoine线．在平面直角坐标系xOy中，若三角形的三个顶点坐标分别为，则该三角形的Lemoine线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】待定系数法求出外接圆方程，从而得到外接圆在处的切线方程，进而求出的坐标，得到答案. 【详解】的外接圆方程设为， ，解得， 外接圆方程为，即， 故外接圆的圆心坐标为，故外接圆在处切线方程为， 又，令得，，， 在处切线方程为， 又，令得，， 则三角形的线的方程为，即. 故选：A 8. 已知定义在R上的函数满足，对任意的且，均有恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由条件判断函数的对称性和单调性，利用这些性质将不等式理解为函数图象上横坐标为的点到直线的距离大于图象上横坐标为的点到直线的距离，列出不等式求解即得. 【详解】由函数满足，可得函数的图象关于直线对称， 又因等价于， 即，依题意，可知函数在上单调递增， 由函数图象对称性可知，函数在上单调递减. 故由可知图象上横坐标为的点到直线的距离大于图象上横坐标为的点到直线的距离， 即，即，两边取平方整理得，解得. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，其中α，β为锐角，以下判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】通过切化弦结合同角三角函数基本关系式、两角和差公式、二倍角公式，分别对每个选项进行分析判断. 【详解】选项A：由两角和的正切公式，. 因为锐角，，故，A正确. 选项B：由，得. 结合，代入得， 即，解得（为锐角，取正），， B错误. 选项C：由，得. 结合， 得，即，解得，（为锐角，取正）， ，则，C正确. 选项D：由选项BC得，；，. 则，D错误. 故选：AC 10. 下列有关说法正确的是（ ） A. 设随机变量服从正态分布，若，则 B. 甲、乙、丙、丁4个人到3个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需要有人去，则不同的安排方法有72种 C. 若，则 D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.3； 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正态分布的性质可判定A，应用分组分配结合排列组合计算判断B，采用赋值法令可计算出C正确；应用指对数运算结合回归方程判断D. 【详解】对于A，设随机变量服从正态分布， 若，则曲线关于对称，则，故A正确； 对于B：甲、乙、丙、丁4个人到3个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需 要有人去， 则不同的安排方法有种，B选项错误； 对于C， 令，可得， 令，可得， 即可得，即，C正确； 对于D：，两边取对数得到，故，的值分别是和0.3，D正确； 故选：ACD. 11. 已知数列的前n项和为．对任意正整数M，记，其中，记，则（ ） A. 数列的通项公式为 B. C. 若，则 D. 数列为等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】当时，，当时，，将条件代入计算，即可判断A的正误；当时，，不等式成立，当时，先求得，构造数列，根据数列的单调性，分析即可得证，即可判断B的正误；先求得的表达式，根据M在二进制中的意义，进而可得的意义，综合分析，即可判断C的正误；先求得，根据其意义，可得，根据等差数列的定义，即可判断D的正误； 【详解】选项A：当时，， 当时，， 所以，故A正确； 选项B：当时，，不等式成立， 当时，， 令，则， 所以， 易得当时，恒成立， 则数列在且上单调递增， 又， 所以，即，， 综上，，，故B正确； 选项C：， 其中，则表示二进制中1的个数， ， 此时的二进制表示会因为乘以2k而发生位数扩张与数字重组，即为原来的2k倍， 所以，故C错误； 选项D：因为，所以，， 所以， 因为的二进制表示为， 所以，则 因为 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的图象与直线相切，则实数________． 【答案】1 【解析】 【分析】设切点，根据导数的几何意义得到切线方程，结合函数与相切，得到即可求解． 【详解】设切点为， ，则， 切线方程为，即， 又因为函数的图象与直线相切， 所以，解得． 故答案为：1． 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为．以F1F2为直径的圆和C的渐近线在第一象限交于点A，直线AF1交C的另一条渐近线于点，则C的离心率为______． 【答案】4 【解析】 【分析】求出以为直径的圆的方程，此圆与渐近线联立方程组求出点的坐标，求直线的方程，此方程与渐近线联立方程组求出交点 ，利用，得到的等式，进行计算得解. 【详解】双曲线的左、右焦点分别为， ， 以为直径的圆和C的渐近线在第一象限交于点A， 设坐标原点， ， 以为直径的圆的方程为， 又的渐近线方程为， ，解得，则， ，， 直线的方程为， ，解得，则， ，，， ， ， ， ，， . 故答案为：4. 14. 如图，已知正方体顶点处有一质点S，点S每次会随机地一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点S的初始位置位于点A处，记点S移动n次后仍在底面上的概率为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意，求出，得到递推公式，通过构造等比数列求出数列的通项，最后利用分组求和法即可求得. 【详解】由题意可得每一个顶点有3个相邻的顶点，其中两个在同一底面， 所以当在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为，在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为. 依题意,,，， 因，则数列是以为首项，为公比的等比数列， 即，移项得，， 于是，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：此题考查全概率公式的应用和利用递推公式构造等比数列求通项等内容，属于较难题. 解题的关键是根据题意发现关于概率的递推公式，利用数列知识，构造等比数列,求出通项再分组求和. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且． （1）求角A； （2）M，N分别在线段BC，AC上，且MN垂直平分BC，，AB＝2，求线段CN长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式以及余弦定理求得，进而求得. （2）利用正弦定理求得，根据直角三角形的知识求得. 【小问1详解】 因为， 由面积公式与余弦定理得 ， 因为，所以， 因为，所以， ， 所以； 【小问2详解】 因为边的垂直平分线，如图可知，所以是等腰三角形， 且 是一个底角，故，为的中点，则， 在中，， 由正弦定理得， 因为，则， 所以在中，． 16. 如图，四棱锥，平面，，，．若点满足，平面交线段于点． （1）求证：； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可证面，利用线面平行的性质即可证明结论； （2）以为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量的二面角求法可得长，利用空间向量点到面的距离公式即可求解. 【小问1详解】 ，又面，面， 面，又面， 且面面，， 小问2详解】 面，， 以为坐标原点，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，，， 易得面的一个法向量，，， 设面的一个法向量，则，， 取，则，， 面的一个法向量， ，解得， ，，， 设面的法向量为，则，， ，取，则，，， 设点到面的距离为，则， 设点到面的距离为. 17. 已知正项数列前项和为，且． （1）证明：数列是等差数列； （2）若数列满足，且，求数列的通项公式． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，结合可整理得到，求得后即可证得结论； （2）方法一：根据等差数列通项公式可得，根据，采用累乘法可求得结果； 方法二：根据等差数列通项公式可得，根据可知常数列，其中，由此可求得结果. 【小问1详解】 由得：， 当且时，， ， 即， 又，，； ，，解得：， 数列是以为首项，为公差的等差数列. 【小问2详解】 方法一：由（1）得：， 当且时，，， ， 当时，满足， 综上所述：. 方法二：由（1）得：； ，，， ，令，则数列为常数列， ，. 18. 已知函数在处取得极值． （1）求实数a的值； （2）是否存在自然数k，使得方程在内有唯一的根?如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由； （3）若成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1） （2）存在 （3） 【解析】 【分析】（1）由求得，将其代入解析式，求导验证即可； （2）由得，设，通过求导判断其单调性，再利用零点存在定理推得存在唯一的，使，从而求得的值； （3）设，求导得，根据参数分和两种情况，讨论函数的单调性和函数的值域，即可求得使成立的参数的范围. 【小问1详解】 由求导得， 因函数处取得极值，则 所以，则 当时，， 当时，，则在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以在处取得极值成立． 故． 【小问2详解】 由（1）知方程，即， 令，因为，则需要在上讨论，显然， ， 则当时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减 因为，， 所以存在唯一的，使 所以存在，使得在内有唯一的根 【小问3详解】 令， 则 ①因为抛物线的对称轴方程为，开口向上， 所以即时，对成立， 所以时，对成立， 所以在上单调递减， 又，所以时，成立， 即此时，成立； ②当，， 记的两根为， 则，， 则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以，所以不能恒成立， 即不能恒成立 综上，的取值范围是. 19. 已知椭圆的左、右顶点分别为M、N，且椭圆C过点，离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）已知椭圆C具有性质：椭圆C上任一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：过动点作椭圆C的两条切线，切点分别为A、B，A在x轴上方． （i）设直线AM与直线BN的斜率分别为，，求证：为定值； （ii）若，过点P作直线l交椭圆C于D，E两点，过D作PA的平行线交AB于点G，延长DG至点F，使得DG＝GF．求证：A，E，F三点共线． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，进而求得椭圆的方程. （2）(i)设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，由此化简，从而证得为定值. (ii)通过联立方程组求得点的坐标，联立直线的方程和椭圆方程，化简写出根与系数关系，通过联立直线与直线的方程求得点坐标，进而求得点坐标，通过证明来证得三点共线. 【小问1详解】 由题意得， 解得，所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 （i）由（1）知，设， 则，又都过点P，所以有， 所以， 故直线过定点，设， 联立消x得， ， 所以，， 所以为定值. （ii）当时，， 由消去并化简得， 解得或， 由于在x轴上方，所以，则， 即, 设， 联立消y得， 则， 所以 ， ， 另一方面，，联立， 解得，所以， 所以， 要证A、E、F三点共线，只需证， 即证①， 而， ， 所以等式①成立，故A、E、F三点共线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年10月七校联合学情调研 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为纯虚数，则（ ） A. 3 B. C. D. 2. 已知向量，且，则实数k为（ ） A. 2 B. 3 C. －3 D. －2 3. 已知一个底面半径为1圆锥，其侧面积是底面积的4倍，则该圆锥体积为（ ） A. B. C. D. 4. 从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则（ ） A B. C. D. 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的最小正周期为T，若，则函数的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 莱莫恩（Lemoine）定理指出：过△ABC三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，分别和BC，CA，AB所在直线交于点P，Q，R，则P，Q，R三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemoine线．在平面直角坐标系xOy中，若三角形的三个顶点坐标分别为，则该三角形的Lemoine线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在R上的函数满足，对任意的且，均有恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，其中α，β为锐角，以下判断正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列有关说法正确的是（ ） A. 设随机变量服从正态分布，若，则 B. 甲、乙、丙、丁4个人到3个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需要有人去，则不同的安排方法有72种 C. 若，则 D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.3； 11. 已知数列的前n项和为．对任意正整数M，记，其中，记，则（ ） A. 数列的通项公式为 B. C. 若，则 D. 数列为等差数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数图象与直线相切，则实数________． 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为．以F1F2为直径的圆和C的渐近线在第一象限交于点A，直线AF1交C的另一条渐近线于点，则C的离心率为______． 14. 如图，已知正方体顶点处有一质点S，点S每次会随机地一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点S的初始位置位于点A处，记点S移动n次后仍在底面上的概率为，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且． （1）求角A； （2）M，N分别在线段BC，AC上，且MN垂直平分BC，，AB＝2，求线段CN长． 16. 如图，四棱锥，平面，，，．若点满足，平面交线段于点． （1）求证：； （2）若平面与平面夹角余弦值为，求点到平面的距离． 17. 已知正项数列的前项和为，且． （1）证明：数列是等差数列； （2）若数列满足，且，求数列的通项公式． 18. 已知函数在处取得极值． （1）求实数a的值； （2）是否存在自然数k，使得方程在内有唯一的根?如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由； （3）若成立，求实数t的取值范围． 19. 已知椭圆的左、右顶点分别为M、N，且椭圆C过点，离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）已知椭圆C具有性质：椭圆C上任一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：过动点作椭圆C的两条切线，切点分别为A、B，A在x轴上方． （i）设直线AM与直线BN的斜率分别为，，求证：为定值； （ii）若，过点P作直线l交椭圆C于D，E两点，过D作PA的平行线交AB于点G，延长DG至点F，使得DG＝GF．求证：A，E，F三点共线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $