专题02 直线与圆的方程综合题型讲义-2026届高三数学一轮复习

专题02 直线与圆(圆的最值、中点弦、切线长、公共弦、公切线、定点定值)的综合题型分析 题型一 圆的方程的求解 2 题型二 直线与圆中的最值问题 2 题型三 圆的弦长与中点弦问题 3 题型四 圆的切线长与切线方程问题 3 题型五 两圆的公共弦问题 4 题型六 两圆的公切线问题 4 题型七 直线与圆中的定点、定值问题 5 思维导图 圆的弦长的求法： 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 圆的切线及切线方程问题： 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为. 求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 与圆有关的最值问题的解题策略： 1．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 题型一 圆的方程的求解 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 1．（2025·海南三亚·一模）已知圆与直线和都相切，且圆心在轴上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，设所求圆的方程为，利用点到直线距离公式列式求出得解. 【详解】设所求圆的方程为， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：D. 2．（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知圆与直线相切于点，且圆过点，则圆的半径是（   ） A． B． C．8 D．9 【答案】A 【分析】由题意可求得圆心在和上，联立方程组即可求出圆心为，圆心到的距离即为半径. 【详解】与直线垂直且过点的直线为：， 化简为，所以圆心在， 又因为圆心在和的垂直平分线上， 所以和的垂直平分线为， 所以，解得：， 所以所求圆的圆心，半径， 故选：A. 3．（2025·山东·一模）已知圆的圆心为，且直线与圆相切，则圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线与圆相切结合点到直线距离公式求出圆的半径r即可得解. 【详解】因为直线与圆相切，设圆的半径为r， 则， 所以圆的标准方程为. 故选：A. 二、多选题 4．（2025·湖南长沙·三模）已知的三个顶点分别是点、、，以下正确的是（    ） A．的外接圆的标准方程 B．是抛物线上的动点，则的最小值是 C．同时和三边所在直线都相切的所有圆的半径的乘积等于 D．是的内切圆上的动点，则点到三顶点的距离的平方和的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据直角三角形的几何性质求出的外接圆方程，可判断A选项；设点，利用平面内两点间的距离公式以及二次函数的基本性质求出的最小值，可判断B选项；分析可知圆心必然在直线或上，对圆心的位置进行分类讨论，求出圆心的横坐标，可判断C选项；设点，利用平面内两点间的距离公式以及三角函数的有界性可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知，的外接圆的圆心为线段的中点， 半径为， 故外接圆的标准方程为：，A对； 对于B选项，设点，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，B错； 对于C选项，由于所求圆与两坐标轴相切，则圆心必然在直线或上，分以下两种情况讨论： ①若圆心在直线上，设圆心为，则该圆的半径为， 直线的方程为，即， 由题意可得，即，解得或， 此时所求圆的半径为或； ②若圆心在直线上，设圆心为，则该圆的半径为， 由题意可得，即，解得或， 此时所求圆的半径为或. 综上所述，同时和三边所在直线都相切的所有圆的半径的乘积等于，C对； 对于D选项，由图结合C选项可知，的内切圆方程为， 设点，则， ， ， 所以，D对. 故选：ACD. 5．（2025·贵州铜仁·三模）已知圆，圆，则（    ） A． B．若，则圆与圆有且仅有1个公共点 C．若圆与圆的相交弦长为4，则 D．当时，若动圆与圆外切，同时与圆内切，则点的轨迹方程为 【答案】ABC 【分析】根据圆方程的定义求解选项A；判断两个圆的位置关系可判断选项B；利用圆和圆的公共弦所在直线方程的求解方法可确定选项C；根据椭圆的定义判断选项D. 【详解】对于圆， 转化为标准方程， 因为半径，所以，A正确, 若，圆，圆心，半径, 圆，圆心，半径． 两圆心间距离，则两圆外切， 所以两圆有且仅有1个公共点，B正确， 若圆与圆的相交弦长为4，因为圆的直径为4， 所以相交弦为圆的直径，即两圆的公共弦所在直线过圆的圆心， 由两式相减可得，， 将代入得，C正确， 当时，圆， 圆心，半径，圆，圆心，半径． 设动圆的半径为，因为动圆与圆外切，同时与圆内切， 则，， 所以， 根据椭圆的定义可知点的轨迹是以，为焦点的椭圆， ， 可得，其轨迹方程为，D错误． 故选：ABC. 6．（24-25高三上·广东·期中）已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（   ） A． B．点在圆的外部 C．圆与圆外切 D．当直线平分圆的周长时， 【答案】ABC 【分析】由已知圆半径确定参数，即可判断A；由点与圆心的距离与半径的关系判断B；由圆心距与两圆半径和差关系判断C；由直线过圆心求参数判断D. 【详解】根据题意得，解得，A正确． 由选项A可知，圆，圆心为，半径为2．因为，所以点在圆的外部，B正确． 圆的圆心为，半径为8，因为， 所以圆与圆外切，C正确． 若直线平分圆的周长，则直线过圆心，则，解得，D错误． 故选：ABC． 三、解答题 7．（25-26高三上·江苏南通·阶段练习）已知三角形ABC的三个顶点分别是，，. (1)求边AB上的高所在直线l的方程； (2)求过点A、B，且圆心在直线上的圆G的标准方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先求出直线AB的斜率，再求出AB上的高所在直线l的斜率，结合过点C，写出点斜式，整理为一般式即可； （2）根据直线AB的斜率，求出AB的中垂线斜率，结合AB的中点，得到AB的中垂线方程，其与直线的交点即为圆心G，GA即为半径，根据圆心半径写出圆G的标准方程即可. 【详解】（1）由已知得，直线AB的斜率为，所以AB上的高所在直线l的斜率为2，又点，所以AB上的高所在直线l的方程为，即. （2）因为AB的中点为，直线AB斜率为，则AB的中垂线斜率为2， 故AB的中垂线方程为，即，由，解得圆心，则圆G的半径， 故圆G的标准方程为.    8．（2025·安徽芜湖·二模）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于，两个动点. (1)求点的轨迹的方程； (2)若圆与曲线恰有一个公共点，且圆与轴相切于点，求圆的半径. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两点的坐标得到圆心坐标，再由圆上的点到圆心的距离相等得到的关系； （2）联立圆和曲线的方程，因为只有一个公共点，所以恰有一个正数y满足，转化成与图象只有一个交点的问题，利用导数得到函数的图象，从而确定的值. 【详解】（1）因为圆经过轴上的两点和，所以圆心为的中点， 又因为该圆经过点和， 所以化简得， 所以点的轨迹的方程为. （2）设圆的半径为，且不妨设圆心在轴的上方，因为圆与轴相切于点， 所以圆心，圆的方程为， 联立消去得， 于是， 因为圆与曲线恰有一个公共点，所以恰有一个正数y满足， 记，， 令，得；令，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到最小值，      因此当时，没有正数解；当时，恰有一个正数解； 当时，因为当和时均可任意大总有两个正数解. 综上，. 题型二 直线与圆中的最值问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、多选题 1．（24-25高三下·山东·开学考试）设动直线与圆交于，两点，则下列说法正确的有（   ） A．直线过定点 B．当最大时， C．最小为 D．当最小时，其余弦值为 【答案】AB 【分析】直线方程可化为，由此可求直线所过定点，由结论判断A，由最大可得过圆心，列方程求，判断 B，由取最小值，可得直线与和的连线垂直，结合弦长公式求弦长，判断C，当最小时最小，再利用余弦定理求余弦值，判断D. 【详解】圆的圆心为，半径， 对于选项A，由动直线可得：， 令，可得，即直线过定点，即选项A正确； 对于选项B，当取得最大值时，直线过圆心， 则，得，选项B正确； 对于选项C，当取得最小值时，直线与和的连线垂直， 经过和的直线的斜率为1，故直线的斜率为，故， 故直线的方程为， 圆心到的距离， 所以此时，选项C错误； 对于选项D，当最小时，最小， 结合C选项的推导可得， ，即选项D错误. 故选：AB. 2．（2025·云南·三模）已知点，，点P在圆上运动，则（   ） A．直线AB与圆C相离 B．的面积的最小值为 C．的最大值为6 D．当最小时， 【答案】ACD 【分析】求得直线AB的方程为，得到圆心C到直线AB的距离，可判定A正确；由，点P到直线AB的距离的最小值为，结合三角形的面积公式，可判定B错误；根据，可判定C正确；当最小时，得到直线PB与圆C相切，结合切线长公式，可判定D正确. 【详解】对于A中，由点，，点P在圆上运动， 则圆心为，半径为2，直线AB的方程为， 则圆心C到直线AB的距离，所以直线AB与圆C相离，所以A正确； 对于B中，因为，点P到直线AB的距离的最小值为， 则面积的最小值为，所以B错误； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，当最小时，直线PB与圆C相切，此时，所以D正确. 故选：ACD． 3．（2025·广东深圳·模拟预测）已知点，，点在圆：上运动，则（     ） A．直线与圆相离 B．的面积的最小值为 C．的最大值为 D．当最小时， 【答案】ACD 【分析】由已知，圆心为，半径为，直线的方程为即，利用点到直线的距离公式可判断；根据三角形的面积公式，结合圆的性质即可判断；利用圆的性质可判断；根据直线与圆相切和勾股定理可判断． 【详解】 对于A，已知点，，点在圆：上运动， 则圆心为，半径为，直线的方程为即， 则圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，故A正确； 对于B，因为，点到直线的距离的最小值为，则面积的最小值为，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，当最小时，直线与圆相切，此时，故D正确． 故选：ACD． 二、填空题 4．（2025·天津和平·三模）已知圆以点为圆心，且与直线相切，则满足以上条件的圆的半径最大时，圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】先求得直线过定点，圆的半径最大时，即为圆心和点的距离，即可求得半径，进而求得圆的标准方程. 【详解】直线，可化为， 所以，解得，所以直线过定点， 当与直线垂直时，圆的半径最大，半径为， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 5．（25-26高三上·宁夏银川·阶段练习）过点的直线与圆：交于、两点，当最小时，直线的方程是 . 【答案】 【详解】试题分析：由于点在圆：的内部，由于直线和圆相交的性质可得，当最小时，圆心到直线的距离最大，此时直线与直线垂直，由于直线的斜率，则所求直线的斜率为，由直线的点斜式方程得，即. 考点：直线与圆的位置关系. 6．（25-26高三上·安徽滁州·阶段练习）已知圆：，直线：，为上的动点．过点作圆的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为 ． 【答案】 【解析】根据题意，只需转化为圆上的点到直线的距离最小，即转化为圆心到直线的距离，再利用四点共圆的知识求得动点的轨迹，联立两个圆的方程可得所求的直线的方程. 【详解】⊙M：，则，圆心为，半径， 如图，连接，四边形的面积为，要使最小，则需四边形的面积最小， 即只需的面积最小，因为，所以只需 最小，又， 所以只需直线上的动点到点M的距离最小，其最小值是圆心到直线的距离，此时 所以直线的方程为由，解得，所以， 所以点四点共圆，所以以点PM为直径的圆的方程为，即，联立两个圆的方程得直线AB的方程为：. 故答案为：. 【点睛】在解决直线与圆的位置关系的相关问题时，注意运用圆的几何性质，求解圆的弦长，切线长等问题. 三、解答题 7．（24-25高三上·河南郑州·阶段练习）已知实数x，y满足方程． (1)求的最值； (2)求的最值． 【答案】(1)最小值为，最大值为 (2)的最大值为；最小值为 【分析】（1）设，由几何意义得到当l与圆C相切时，t达到最大或最小值，由点到直线距离公式求出答案； （2）由的几何意义，数形结合得到当P、O、C三点共线时，达到最大值或最小值，求出答案. 【详解】（1）令，即对应直线l, 将直线l平移，当l与圆C：相切时，t达到最大或最小值， 由，得， ∴t的最小值为，最大值为； （2）满足的点在以为圆心，半径为的圆上， 其中，    ∵当P、O、C三点共线时，达到最大值或最小值， ∴当圆C上的点P在OC延长线上时，的最大值为， 得到的最大值为； 当圆C上的点P在线段OC上时，的最小值为， 得到的最大值为． 综上所述，的最大值为，最小值为． 8．（23-24高三上·福建福州·期末）已知圆，直线． (1)若直线l与圆O相切，求m的值； (2)当时，已知P为直线l上的动点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，当切线长最短时，求弦所在直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】根据直线和圆相切求出圆心到直线的距离 ，即可求出 的值； 根据题意可知 四点共圆，且 为直径，要使切线长最短，即 时最短，求出新圆圆心和半径，进而求得新圆的方程，两圆方程相减即可求得直线 的方程. 【详解】（1）（1）设圆心O到直线l的距离为d，因为直线l与圆O相切， 所以， 解得； （2）当时，直线，连接，则， 所以O，A，P，B四点共圆，切线长， 故最短当且仅当最短，即时最短， 因为，所以，此时， 所以， 联立得， 故以为直径的圆的方程为， 因为弦即圆O与上述圆的公共弦， 所以弦所在直线方程为 题型三 圆的弦长与中点弦问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（24-25高三下·云南·阶段练习）若为圆的弦的中点，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，由垂径定理得到，利用两直线垂直斜率关系可以求出直线的斜率，利用点斜式写出直线方程，最后化为一般式方程. 【详解】由题意知直线的斜率存在，且 ∴， ∵，∴， 直线的方程为，即， 故选：C. 2．（24-25高三下·河北唐山·期末）已知圆的弦的中点为，点为圆上的动点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】由题意，圆心，半径为3，且和，再由，即可求解. 【详解】圆，圆心，半径为3，如图，   为弦的中点，， 共线时等号成立， . 故选:D. 二、多选题 3．（2025·江西上饶·一模）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．存在实数，使圆关于直线对称 B．直线过定点 C．对任意实数，直线与圆有两个不同的公共点 D．当时，直线被圆所截弦长为2 【答案】BCD 【分析】根据直线是否过圆心判断A的真假；把点代入方程判断B的真假；根据B的结论可判断C的真假；利用几何法求弦长可判断D的真假. 【详解】对A：因为圆的圆心为，因为，所以不存在，使得直线经过圆心，即不存在实数，使圆关于直线对称.故A错误； 对B：因为恒成立，所以直线过定点，故B正确； 对C：因为，所以点在圆：内部，又直线过定点，所以直线与圆必有两个不同的公共点，故C正确； 对D：当时，直线：即. 圆心到直线的距离为：，所以弦长为：，故D正确. 故选：BCD 4．（2025·福建南平·二模）已知圆：，直线：，则（    ） A．直线过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．当时，圆上恰有2个点到直线距离等于4 D．直线被圆截得的弦长最短时，的方程为 【答案】ACD 【分析】直线的方程变形为：，令的系数等于零，即可判断A；到轴的距离为，求出圆被轴截得的弦长可判断B；计算出当时，圆心到直线的距离即可判断C；当时，弦长最短，即可判断D. 【详解】对于A，直线的方程变形为：， 令，解得， 所以直线l恒过定点，故A正确； 对于B，圆的圆心，半径， 到轴的距离为，所以圆被轴截得的弦长为，故B错误； 对于C，当时，直线：， 此时圆心到直线的距离， 而， 所以当时，圆C上恰有2个点到直线l的距离等于4，故C正确. 对于D，当时，弦长最短， 此时，因为直线过定点， 所以的方程为：，化简为：，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 5．（24-25高三上·山东淄博·期中）已知点，直线被圆所截得弦的中点为，则的最大值是 . 【答案】 【分析】根据中点关系可得，即可由数量积的坐标运算得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，即可根据求解. 【详解】由于直线恒过定点，圆的圆心， 设，则，故， 即，化简可得， 故点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆， 由于在圆外，, 故，即， 则的最大值是. 故答案为：. 6．（2025·江苏南京·一模）过点P(－4,0)的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝5相交于A，B两点，若点A恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为 ． 【答案】x±3y＋4＝0 【分析】取AB的中点为D，则CD⊥AB，利用勾股定理列出方程组，求出圆心到直线的距离即可求解 【详解】设AB的中点为D，则CD⊥AB，设，则， 在直角三角形ACD中，由勾股定理得d2＋x2＝r2＝5.在直角三角形PDC中，由勾股定理得d2＋9x2＝＝25，解得d2＝， 易知直线l的斜率一定存在，设为k，则l：y＝k(x＋4)， 圆心C(1,0)到直线l的距离为d＝＝， 解得k2＝，k＝±， 所以直线l的方程为y＝± (x＋4)，即为x±3y＋4＝0. 故答案为：x±3y＋4＝0 【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，结合勾股定理，关键在于转化成圆心到直线距离问题求解. 四、解答题 7．（24-25高三上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆，上存在两点关于直线对称. (1)求的半径； (2)过坐标原点的直线被截得的弦长为2，求的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）首先将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意点在直线上，即可求出，从而得解； （2）首先求出圆心到直线的距离，再分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出所对应的直线方程，即可得解. 【详解】（1）圆，即， 则圆心为，半径， 因为上存在两点关于直线对称，所以点在直线上， 所以，解得， 所以的半径； （2）由（1）可得，圆心为， 因为过坐标原点的直线被截得的弦长为，所以圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离，符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，则，解得， 所以直线的方程为，即； 综上可得直线的方程为或.    8．（24-25高三上·天津和平·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求： (1)求圆心为的圆的标准方程； (2)设点在圆上，点在直线上，求的最小值； (3)若过点的直线被圆所截得弦长为，求该直线的方程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】(1)设圆的标准方程为，利用圆经过的两个点，且圆心在直线上，建立方程组就可以求得. (2)求出圆心到直线的距离，即可求出最小值. (3)根据直线被圆截得的弦长为8，求出圆心到直线的距离，用点到直线的距离公式建立方程，求出得值，即可写出直线方程. 【详解】（1）设圆的标准方程为，因为圆经过和点，且圆心在直线上， 所以 解得： 所以圆的标准方程为. （2）因为圆到直线的距离为 ， 所以直线与圆相离， 所以的最小值为. （3）当斜率存在时，由条件可知，圆心到直线的距离为 根据点到直线的距离公式得：，解得. 当斜率不存在时，直线方程为，符合截圆所得的弦长为8 所以直线方程为或. 题型四 圆的切线长与切线方程问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、多选题 1．（24-25高三上·贵州黔西·期末）已知过点作圆的两条切线，切点分别为，两点，下列说法正确的是（    ） A．其中一条切线方程是 B．切线长 C．点到圆上一点的距离最小值为 D．四边形的面积为2 【答案】ABD 【分析】利用圆心到切线距离判断A，根据切线长定理判断B，由圆的性质判断C，根据四边形面积为两全等直角三角面积判断D. 【详解】由题意，切线斜率存在，设切线方程为：， 则圆心到切线距离，解得：或， 所以切线方程为：或，选项A正确； 由切线长定理：，选项B正确； 点P到圆上一点的距离最小值为 ，C选项错； 由知四边形的面积为2，选项D正确． 故选：ABD 2．（河北省张家口市尚义县2023-2024学年高三）已知圆：，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论正确的是（    ） A．圆关于直线对称 B．若圆关于反射光线对称，则入射光线所在直线的方程为 C．若反射光线与圆相切，则这条光线从点到切点所经过的路程为 D．存在两条反射光线与圆相切 【答案】ACD 【分析】对A：判断该直线是否过圆心即可得；对B：判断该直线是否过点及圆心关于轴对称的点即可得；对C：借助切线的性质及两点间距离公式计算即可得；对D：借助切线的性质计算即可得. 【详解】对A：由可知圆心为， 直线过点，故圆关于直线对称，故A正确； 对B：若圆关于反射光线对称，则反射光线过圆心， 即入射光线过点及圆心关于轴对称的点， 当时，，故点不在上， 即入射光线所在直线的方程不为，故B错误； 对C：反射光线必过点关于轴对称的点， 且从点到切点所经过的路程与到切点所经过的路程相等， 由切线性质可得该路程为，故C正确； 对D：设反射光线的方程为，即， 则有，即， ，故该方程有两个不同解， 即存在两条反射光线与圆相切，故D正确. 故选：ACD. 3．（福建省厦门市2024-2025学年高三上学期期末）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，分为切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线的方程． 【详解】圆的圆心为，半径， 若切线的斜率不存在，此时切线的方程为，符合题意； 若切线的斜率存在，设切线方程为，即， 由圆心到切线的距离等于半径，得，解得， 所以切线方程为， 综上可知，切线方程为或． 故选：BC． 二、填空题 4．（25-26高三下·广东广州·期末）已知为直线上一点，过作圆的切线，则切线长最短时的切线方程为 ． 【答案】或 【分析】利用切线长最短时，取最小值找点：即过圆心作直线的垂线，求出垂足点．就切线的斜率是否存在分类讨论，结合圆心到切线的距离等于半径得出切线的方程． 【详解】设切线长为，则，所以当切线长取最小值时，取最小值， 过圆心作直线的垂线，则点为垂足点，此时，直线的方程为， 联立，得，点的坐标为. ①若切线的斜率不存在，此时切线的方程为，圆心到该直线的距离为，合乎题意； ②若切线的斜率存在，设切线的方程为，即. 由题意可得，化简得，解得， 此时，所求切线的方程为，即. 综上所述，所求切线方程为或， 故答案为或． 【点睛】本题考查过点的圆的切线方程的求解，考查圆的切线长相关问题，在过点引圆的切线问题时，要对直线的斜率是否存在进行分类讨论，另外就是将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径长，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题． 三、解答题 5．（25-26高三上·江苏连云港·开学考试）已知圆E经过点，，且______.从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答.①与y轴相切；②圆E恒被直线平分；③过直线与直线的交点 (1)求圆E的方程； (2)求过点的圆E的切线方程，并求切线长. 【答案】(1) (2)切线方程为或，切线长 【分析】（1）根据题意设出圆的一般方程或标准方程，对①②③逐个分析，求出圆的标准方程即可；（2）先判断点P在圆外，知切线有两条，分情况讨论即可. 【详解】（1）选①，设圆E的方程为， 由题意可得，解得， 则圆E的方程为 选②，直线恒过， 而圆E恒被直线平分， 所以恒过圆心，因为直线过定点， 所以圆心为，可设圆的标准方程为， 由圆E经过点，得， 则圆E的方程为 选③，由条件易知， 设圆的方程为， 由题意可得，解得， 则圆E的方程为，即 （2）因为，所以点P在圆E外， 若直线斜率存在，设切线的斜率为， 则切线方程为，即 所以，解得 所以切线方程为， 若直线斜率不存在，直线方程为，满足题意. 综上过点的圆E的切线方程为或， 切线长 6．（福建省泉州市24-25学年高三下学期期末）已知点，，均在圆上. （1）求圆的方程； （2）若直线与圆相交于,两点，求的长； （3）设过点的直线与圆相交于、两点，试问：是否存在直线，使得恰好平分的外接圆？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，和. 【分析】（1）根据圆心在，的中垂线上，设圆心的坐标为，根据求出的值，从而可得结果； （2）利用点到直线的距离公式以及勾股定理可得结果； （3）首先验证直线的斜率不存在时符合题意，然后斜率存在时，设出直线方程，与圆的方程联立，利用韦达定理，根据列方程求解即可. 【详解】解：（1）由题意可得：圆心在直线上， 设圆心的坐标为，则， 解得，即圆心， 所以半径， 所以圆的方程为； （2）圆心到直线的距离为：， ； （3）设， 由题意可得：，且的斜率均存在， 即， 当直线的斜率不存在时，，则， 满足，故直线满足题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，消去得， 则， 由得, 即， 即， 解得： ， 所以直线的方程为， 综上所述，存在满足条件的直线和. 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，注意对于直线要研究其斜率是否存在，另外利用韦达定理可以达到设而不求的目的，本题是中档题. 题型五 两圆的公共弦问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（2025·高三模拟测试）圆与圆的公共弦长为（    ） A．6 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据圆与圆的方程相减得公共弦的方程，再根据垂径定理求解即可. 【详解】圆与圆的方程相减得，即．又到直线的距离为1，所以公共弦长为． 故选：A 2．（2025上·陕西宝鸡�高三校考阶段练习）已知圆与圆相交，则相交的公共弦长为（    ） A． B． C．5 D．2 【答案】D 【分析】求出两圆的公共弦所在的直线方程，再利用圆的弦长公式计算即得. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆圆心，半径， 而，则两圆相交， 于是得两圆的公共弦所在的直线方程为，圆心到此直线距离， 所以公共弦长为. 故选：D 二、多选题 3．（2025上·吉林长春�高三长春期末）已知圆：和圆：相交于A，B两点，下列说法正确的是（    ） A．圆M的圆心为，半径为1 B．直线AB的方程为 C．线段AB的长为 D．线段AB的长为 【答案】ABD 【分析】化圆M的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径判断A；联立两圆的方程求得AB的方程判断B；由点到直线的距离公式及垂径定理求得AB的长判断CD． 【详解】由圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0，得(x－1)2+(y+2)2＝1， A：则圆M的圆心为（1，－2），半径为1，故A正确； B：联立圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0，消去二次项， 可得直线AB的方程为x－2y－4＝0，故B正确； C：圆心O到直线x－2y－4＝0的距离d，圆O的半径为2， 则线段AB的长为2，故C错误，D正确. 故选：ABD 4．（2025上·江苏南通�高三江苏省）在平面直角坐标系中，，点在圆上运动，下列说法正确的是（ ） A．点到直线的距离最大值是 B．的最小值为 C．的最小值为10 D．过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，直线过定点 【答案】BCD 【分析】对A：求出直线的方程，算出圆心到该直线的距离，进而通过圆的性质即可判断；对B：利用三角代换转化为三角函数，通过三角函数求最值即可判断；对C：利用转化思想，结合点在圆上，探求一定点，利用三点共线时取最值，即可判断；对D：设为直线上任意一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，先求出切点所在圆的方程，再与圆的方程联立作差，得到直线的方程，即可求其定点,即可判断. 【详解】由圆的方程可知：圆心，半径， 由可知：直线的方程为，即， 对于选项A：圆心到直线的距离为：， 所以点到直线的距离最大值是，故A错误； 对于选项B：由在上， 所以可设， 所以，， 所以 ， 所以，其中， 故当时，的最小值为，故B正确； 对于选项C：因为， 设存在定点，使得点在圆上运动时均有， 设，则有， 化简可得，① 又因为，即，② ②代入①化简可得， 即， 所以，所以， 因为，当在线段上时，， 所以， 所以的最小值为10，故选项C正确； 对于选项D：设为直线上任意一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，连接，如图所示： 由直线与圆相切的性质可知：， 所以在以为直径的圆上，其圆心为的中点，设为， 设， 所以，， 半径为， 所以所在圆的方程为：， 整理得， 将圆与圆的方程联立， 作差得直线的方程， 因为点在直线上， 所以， ， 代入直线的方程得， 整理得， 所以解得， 所以直线恒过定点，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题 5．（2025·浙江台州�高三台州一中校考阶段练习）圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的直线方程为 ，A，B两点间的距离为 . 【答案】 【分析】根据题意，分析圆的圆心和半径，将其一般方程与圆联立，可得直线AB的方程，由直线与圆的位置关系可得答案． 【详解】根据题意，圆，其圆心为，半径，其一般方程为， 联立，变形可得，即过A，B两点的直线方程为， 点到的距离，则， 故答案为：，. 6．（2025上·四川成都�高三四川省成都市期中）已知方程：，，当时，该方程表示的曲线关于直线的对称曲线为C，则曲线C上的点到直线l的最大距离为 ；若，过点作该方程表示的面积最小的曲线的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在的直线方程为 ． 【答案】 【分析】先将方程：化为：，将代入得圆方程，可转化为该圆上的点到直线的最大距离问题求解；先求出以圆外点与圆心连线为直径的圆方程，再将两圆方程相减即可得两切点连线的直线方程. 【详解】方程：，可化为：， 当时，方程表示圆：，可知圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 可知圆上的点到直线的最大距离为， 所以曲线上的点到直线的最大距离即为圆上的点到直线的最大距离； 当时，， 所以当时，圆面积最小， 此时圆方程为：，即，圆心为， 因为，可知均在以为直径的圆上， 设，则的中点为，， 所以为直径的圆方程为，即， 两圆方程相减即得所在的直线方程为. 故答案为：；. 四、解答题 7．（2025上·广东茂名�高三统考期末）已知点和圆Q：，过点P作圆Q的两条切线，切点分别为A、B， (1)求切线的长； (2)求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，，结合勾股定理即可得解. （2）将原问题转换为求以为直径的圆和已知圆的公共弦方程来求解即可. 【详解】（1）圆的圆心为，半径，， 因为 故 所以，的长都是. （2）因为，，所以A、B都在以为直径的圆上， 圆心为的中点，半径长为， 所以圆的方程为，即， 由得，故直线的方程为. 8．（2024上·浙江杭州�高三杭州四中校考期中）已知直线和圆，过直线上的一点作两条直线PA，PB与圆C相切于A，B两点，如下图所示.    (1)当P点坐标为时，求以PC为直径的圆的方程，并求直线AB的方程； (2)直线l经过点P，与圆C交于M，N两点求的最小值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）以PC为直径的圆的方程的圆心为PC中点，半径为，据此可得圆的方程，将以PC为直径的圆的方程与圆C方程相减，可得直线方程； （2）由圆幂定理及圆外一点到圆上距离，可将化为只与和圆半径有关的式子，据此可得答案. 【详解】（1）由题可得圆， 则C，半径为2，. 故以PC为直径的圆，以PC中点，即为圆心，以为半径， 故相应圆的方程为：. 直线AB为以PC为直径的圆和圆C公共弦所在的直线， 则两圆方程相减为直线AB方程， 则AB：    （2）如图，连接PC，设PC与圆C交于点D，延长PC与圆C交于点E. 由圆幂定理，， 由（1）可得，则. 又由题及图可得直线和与相离，则， 故. 当直线与垂直时，最小，为点C到直线距离， 则.又注意到函数在上单调递增， 则. 当且仅当与直线垂直，M，N分别与D，E重合时取等号.    【点睛】关键点睛：本题第一问为常规设问，提供了一种求切点弦的思路；第二问，关键为利用圆幂定理对要求最值的式子化简. 题型六 两圆的公切线问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（2025上·四川宜宾�高三统考期末）若圆与圆有且仅有一条公切线，则（    ） A．－23 B．－3 C．－12 D．－13 【答案】A 【分析】根据两圆有且仅有一条公切线，得到两圆内切，从而可求出结果. 【详解】因为圆，圆心为，半径为； 圆可化为，圆心为，半径， 又圆与圆有且仅有一条公切线， 所以两圆内切， 因此，即， 解得. 故选：A. 2．（2025湖北�统考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的左支交于、两点，若，则的内切圆半径为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】设内切圆的圆心，设三边与内切圆的切点，连接切点与圆心的线段，由内切圆的性质可得，再由双曲线定义可知：，可得，重合，再由可得内切圆的半径的值． 【详解】设内切圆的圆心为，设圆与三角形的边分别切于，，， 如图所示： 连接，，，由内切圆的性质可得：，，， 所以， ， 所以， 由双曲线的定义可知：， 所以可得，重合， 所以， 所以. 故选：． 【点睛】本题考查双曲线的定义及内切圆的性质.属于中档题． 二、多选题 3．（2025上·浙江宁波�高三校联考期中）已知圆与圆交于，两点，则（    ） A．两圆的公切线有2条 B．直线方程为 C． D．动点在圆上，则的最大值为 【答案】AB 【分析】根据圆心距与半径的关系可判断两圆相交，即可判断A，根据两圆方程相减即可判断B，根据弦长公式即可求解C，根据点点距离公式即可判断D. 【详解】由题意可知，， 故，故两圆相交，公切线有2条，A正确， 与圆相减可得， 故直线方程为，B正确， 到直线的距离为，故，故C错误， 可看作是圆上的一个点到点的距离的平方， 故最大值为，则的最大值为，D错误， 故选：AB 4．（2025上·内蒙古通辽�高三通辽第五中学校联考阶段练习）已知点是圆上的两个动点，圆，点是直线上的动点，且，下列说法正确的是（    ） A．直线是圆与圆的公切线 B．的最小值为1 C．四边形面积的最小值为2 D．直线恒过定点 【答案】ABD 【分析】对于A，根据两圆半径判断两圆位置关系；对于B，由向量性质判断垂直关系，用参数表示，继而得到最小的情况；对于C，代入三角形面积公式即的值，得到面积；对于D，两圆相交，将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程. 【详解】对于A，连接，因为，圆，圆的半径均为1， 所以圆，圆外切，结合草图可知，， 则圆，圆的公切线方程为，A正确．    对于B，如图，因为，，所以，连接CP， 则，所以当最小时，最小． 当，即为圆心到直线的距离时，最小，， 所以，B正确． 对于C，由题意得，， 所以四边形ACBP的面积， 由选项B可知，C错误． 对于D，设，因为PA，PB是圆的切线，所以点，在以PC为直径的圆上． 因为，所以以PC为直径的圆的方程为， 整理得， 与圆的方程相减得直线AB的方程为， 化简得，由得 即直线AB恒过定点，D正确． 故选：ABD 三、填空题 5．（2025上·上海嘉定�高三统考期末）经过点且与圆相切的直线方程是 ． 【答案】 【分析】点在圆上，圆心与的连线垂直切线，求出切线的斜率，即可求解. 【详解】满足圆的方程，在圆上， 圆心与点连线的斜率是， 所求的切线斜率为， 所求的切线方程为. 故答案为: 【点睛】本题考查圆的切线方程，注意点在圆上，利用切线的性质求出其斜率，属于基础题. 6．（2025上·湖南长沙�高三湖南师大附中校考阶段练习）若圆和圆恰有三条公切线，则实数 ． 【答案】 【分析】利用两圆之间的位置关系可知两圆恰有三条公切线时两圆外切，由圆心距等于两半径之和即可求得. 【详解】根据圆与圆的位置关系可知， 两圆恰有三条公切线时当且仅当两圆外切，所以圆心距等于两圆半径之和， 易知圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径； 即可得，得． 故答案为： 四、解答题 7．（2025上·江苏盐城�高二江苏省响水中学校考阶段练习）已知圆C1：，圆C2：，其中－1<m<5. （1）若m=1，判断圆与的位置关系，并求两圆公切线方程； （2）设圆C1与圆C2的公共弦所在直线为l，且圆C2的圆心到直线l的距离为，求直线l的方程以及公共弦长. 【答案】（1）两圆内切，；（2），. 【分析】（1）由，分别得到圆和圆的圆心，半径，然后利用圆圆的位置关系判断，再由两圆方程相减得到公切线； （2）先得到两圆公共弦所在直线l的方程，再利用弦长公式求解. 【详解】（1）当时，由得， 由得， ∴圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， ∴圆心距，所以两圆内切； 因为两圆内切，所以公切线只有一条， 两圆的公切线方程可由两圆方程相减得到：； （2）两圆公共弦所在直线l的方程为：， 圆的圆心到直线l的距离， 于是，或舍， 所以直线l的方程为； 因为圆半径，弦心距， 由勾股定理可得半弦长为， 所以公共弦长为. 8．（2025上·湖北武汉�高三武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）已知圆和圆． （1）动圆M与圆C1内切且与圆C2外切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明是什么曲线？ （2）过圆C2上任一点Q（x0，y0）作圆C1的两条切线，设两切线分别与y轴交于点S和T，求线段ST长度的取值范围． 【答案】（1）1（x≤0）．轨迹是以C1，C2为焦点，以5为焦距的双曲线的左支（2）[，]． 【分析】（1）根据圆的位置关系表示出动圆的半径，得出，故而的轨迹为双曲线的一支，根据双曲线的定义求出求方程； （2）设切线斜率为，用x0表示出的值，得出关于的函数，再使用换元法求出的范围即可． 【详解】（1）圆C1的圆心为C1（﹣1，0），半径为r1＝1， 圆C2的圆心为C2（4，0），半径为r2＝2． 显然圆C1与圆C2相离． ∵动圆M与圆C1内切且与圆C2外切，∴圆C1在圆M内部，圆C2在圆M外部． 设M（x，y），则|MC1|+1＝|MC2|﹣2， 即|MC2|﹣|MC1|＝3， ∴M的轨迹是以C1，C2为焦点，以5为焦距的双曲线的左支， 设双曲线方程为1（a＞0，b＞0）， 则2a＝3，且a2+b2，∴a，b＝2． ∴动圆圆心M的轨迹为1（x≤0）． （2）设过点Q的与圆C1相切的直线斜率为k，方程为y﹣y0＝k（x﹣x0）. 即kx﹣y﹣kx0+y0＝0， 则C1到切线的距离为d1，即（k+kx0﹣y0）2＝1+k2. 即（x02+2x0）k2﹣（2y0+2x0y0）k+y02﹣1＝0． △＝（2y0+2x0y0）2﹣4（x02+2x0）（y02﹣1）＝4（x02+y02+2x0）. ∴k. 把x＝0代入切线方程可得y＝y0﹣kx0. ∴|ST|＝|k2﹣k1|x0，又（x0﹣4）2+y02＝4. ∴x02+y02+2x0＝10x0﹣12. ∴ST＝2•2•. 令t，由2≤x0≤6则2≤t≤2. 于是ST＝2•. 令f（t）＝t，则f（t）在[2，4）上单调递减，在[4，2]上单调递增. ∴f（t）的最大值为f（2）＝10，f（t）的最小值为f（4）＝8. ∴当f（t）＝10时，ST取得最小值，当f（t）＝8时，ST取得最大值． ∴线段ST长度的取值范围是[，]． 【点睛】本题考查了圆与圆、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题 题型七 直线与圆中的定点、定值问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（2025上·全国�高三校联考阶段练习）已知动点A在圆上运动，当过点A可作圆的切线时，设切点为，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定点A的活动区域，再根据相切垂直知最大时最大，利用三点共线时求得最值即可. 【详解】如图所示，圆与圆交于，依题意点A只能在圆上、圆外的弧上， 圆心在圆上，圆半径为1，圆半径为. 切点为，则，故， 故当三点共线时最大为2，此时最大，为 故最大值为. 故选:B. 2．（2025上·北京�高三101中学校考期中）设直线系M：，对于下列四个命题： ①M中所有直线均经过一个定点； ②存在无数多个点不在M中的任一条直线上； ③对于任意整数，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上； ④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等. 其中真命题为（    ） A．①②④ B．②③ C．②③④ D．③④ 【答案】B 【分析】点到直线系中每条直线的距离，直线系表示圆的切线的集合.从切线的角度逐一判断各个命题即可得到答案. 【详解】因为点到直线系中每条直线的距离，直线系表示圆的切线的集合. ①：由于直线系表示圆的所有切线，其中存在两条切线平行，中所有直线均经过一个定点不可能，故①不正确； ②：直线系表示圆的所有切线，故圆内部的点不在中的任一条直线上，所以存在无数多个点不在中的任一条直线上，故②正确； ③：由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上，故③正确； ④：如图，中的直线所能围成的正三角形有两类，其一是如是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以面积大小不一定相等，故④不正确. 故选：B.      二、多选题 3．（2025上·高二单元测试）已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别于圆切于点．则下列说法正确的是（   ） A．四边形的面积最小值为 B．最短时，弦长为 C．最短时，弦直线方程为 D．直线过定点为 【答案】AB 【分析】根据题意可得当取最小值时，的面积最小，四边形的面积取最小值，此时最短，弦长为，弦的直线方程为，即可得AB正确，C错误；易知在以为直径的圆上，设，以为直径的圆的方程可表示为， 可得直线方程为，过定点为，D错误. 【详解】如下图所示：    由直线分别于圆切于点可得，，又，是公共边， 所以，即四边形的面积， 对于A，当的面积最小时，四边形的面积取最小值， ， 所以当取最小值时，即为圆心到直线的距离时面积最小， 即，四边形的面积的最小值为，即A正确； 对于B，由A可知，当取最小值时，最短， 此时，所以B正确； 对于C，易知在以为直径的圆上，又，当最短时不妨设， 则，且，解得，即， 所以，且的中点为， 即以为直径的圆的方程为， 与圆相减即可得公共弦的直线方程为，即C错误； 对于D，设，由C可知，在以为直径的圆上， 所以圆心坐标为，半径为， 即以为直径的圆的方程可表示为， 与圆相减整理得，直线方程为， 此时直线过定点为，即D错误. 故选：AB 4．（2025上·湖南常德�高三常德市一中校考期末）已知圆，直线，点在直线上运动，直线，分别与圆切于点，.则下列说法正确的是（    ） A．最短为 B．最短时，弦所在直线方程为 C．存在点，使得 D．直线过定点为 【答案】ABD 【分析】确定当时，最小，即可求得的最小值，判断A；结合A的分析，设出的方程，求出弦心距，利用点到直线的距离公式求出参数，即可判断B；假设存在点，使得，求出此时，和M到直线l的最短距离比较，即可判断C；求出切点弦的方程，结合点在直线上运动，求出所过定点，判断D. 【详解】由题意知，圆的半径为，且，， 故, 即当最小时，最短，当时，最小， 最小值为，故的最小值为，A正确； 当最短时，，故的斜率为-1， 又，故的斜率为1，设其方程为， 由于此时，，故， 所以M到的距离为. 则有，解得或， 由于，结合图形可知二者之间的距离应小于， 当时，和间的距离为， 时，的方程为和间的距离为， 故最短时，弦所在直线方程为，B正确； 假设存在点，使得，则， 此时为等腰直角三角形，则，结合， 则为等腰直角三角形，而，故， 由于M到直线l的最短距离为，故不存在点，使得，C错误； 设，由于直线，分别与圆相切， 故直线，的方程分别为， 将代入，即， 可得的方程为， 由于，即，故 即，由于，故令， 即直线过定点为，D正确， 故选：ABD 【点睛】难点点睛：本题综合考查了直线和圆相切的问题，涉及最值、定点以及切点弦方程问题，综合性较强，难点在于选项D的判断，解答时要注意根据圆的切线方程，推出切点弦方程，进而求解直线过定点问题. 三、填空题 5．（2025全国�高三专题练习）已知圆O：，直线l：，设圆O上到直线l距离等于1的点的个数为k，则 ． 【答案】4 【分析】根据点到直线的距离公式，结合数形结合思想进行求解即可. 【详解】原点O到的距离为， 由于l：是到原点O距离为1的直线， 而圆O：的半径为，如图所示， 于是圆O上到直线l距离等于1的点的个数为4，因此．    故答案为：4 6．（2021上·湖北黄石�高二黄石二中校考期末）已知点是直线上的一点，过点作圆的切线，切点分别为、，则直线恒过定点 ，四边形面积的最小值 . 【答案】 【解析】设点的坐标为，求出以为圆心，为半径的圆的方程，将该圆的方程与圆的方程作差，可得出直线的方程，进而可求得直线所过定点的坐标； 【详解】如下图所示： 设点，连接、，则，， 由勾股定理可得， 以点为圆心，为半径的圆的方程为， 即， 将圆的方程与圆的方程作差并化简得， 即直线的方程为，即， 由，解得，所以，直线恒过定点； 由切线长定理可得，又，，， 所以，四边形的面积为， 当时，取最小值，即， 因此，四边形的面积的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】结论点睛：本题考查切点弦问题，过圆外一点作圆的切线、，则切点、与、四点共圆，则可视为以为直径的圆与圆的公共弦. 四、解答题 7．（2025·江苏�高二专题练习）已知圆C：关于直线对称，且圆心在x轴上． (1)求圆C的标准方程； (2)若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B． ①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值； ②求证：直线AB恒过定点． 【答案】(1) (2)①，②证明见解析. 【分析】根据圆的对称性及圆心在x轴上列方程分别求得D、E，进一步求得圆的标准方程； 根据圆的切线性质及面积计算得到，进一步当M在x轴上时取得最小值时四边形的面积最小，求得结果； 根据切线性质得到四点ACBM共圆，AB是两圆的公共弦，通过求得以MC为直径的圆的方程进一步求得直线AB的方程，最后根据无论m为何值直线恒过证得结果． 【详解】（1）圆C的方程的圆心坐标为，半径， 由圆心在x轴上，圆关于直线对称得到，，， ，，所求圆C的标准方程为． （2）如下图所示，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B， ，，， ， 当最小时，四边形的面积最小， 当点M在x轴上时， 此时S的最小值为． 设点，四点MBCA共圆，即点A、B在以CM为直径的圆上， 该圆的圆心为，半径为， ，即， 是圆C与以MC为直径的圆的公共弦， 直线AB的方程为两圆公共弦方程，两圆方程联立消去二次项， 得到， 时，， 无论m取何值直线恒过点． 8．（2025上·湖北荆州�高三校考期中）已知圆内有一点，倾斜角为的直线过点且与圆交于两点. (1)当时，求的长； (2)是否存在弦被点三等分？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由； (3)记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.并计算出定值. 【答案】(1) (2)存在， (3)证明见解析， 【分析】（1）由题意求出直线方程，利用圆的几何性质求弦长即可； （2）假设存在，求出弦心距，讨论直线的斜率是否存在，利用点到直线距离即可得解； （3）分类讨论直线斜率是否存在，存在时由根与系数的关系及斜率公式化简即可证明. 【详解】（1）因为，所以，直线的方程为， 圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离为，则， 所以； （2）取的中点为，如图， 假设存在弦被点三等分，设，，则， ，解得， 当斜率不存在时，，故斜率存在， 设斜率为，则：， ，解得， 即存在弦被点三等分，直线的斜率为； （3）由题意知，, 当直线斜率不存在时，，， 不妨取， 则，此时； 直线斜率存在时，设方程为， 代入圆的方程可得， 设，则， 又， 所以， 综上，为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线与圆(圆的最值、中点弦、切线长、公共弦、公切线、定点定值)的综合题型分析 题型一 圆的方程的求解 2 题型二 直线与圆中的最值问题 2 题型三 圆的弦长与中点弦问题 3 题型四 圆的切线长与切线方程问题 3 题型五 两圆的公共弦问题 4 题型六 两圆的公切线问题 4 题型七 直线与圆中的定点、定值问题 5 思维导图 圆的弦长的求法： 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 圆的切线及切线方程问题： 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为. 求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 与圆有关的最值问题的解题策略： 1．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短 题型一 圆的方程的求解 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 1．（2025·海南三亚·一模）已知圆与直线和都相切，且圆心在轴上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知圆与直线相切于点，且圆过点，则圆的半径是（   ） A． B． C．8 D．9 3．（2025·山东·一模）已知圆的圆心为，且直线与圆相切，则圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2025·湖南长沙·三模）已知的三个顶点分别是点、、，以下正确的是（    ） A．的外接圆的标准方程 B．是抛物线上的动点，则的最小值是 C．同时和三边所在直线都相切的所有圆的半径的乘积等于 D．是的内切圆上的动点，则点到三顶点的距离的平方和的取值范围是 5．（2025·贵州铜仁·三模）已知圆，圆，则（    ） A． B．若，则圆与圆有且仅有1个公共点 C．若圆与圆的相交弦长为4，则 D．当时，若动圆与圆外切，同时与圆内切，则点的轨迹方程为 6．（24-25高三上·广东·期中）已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（   ） A． B．点在圆的外部 C．圆与圆外切 D．当直线平分圆的周长时， 三、解答题 7．（25-26高三上·江苏南通·阶段练习）已知三角形ABC的三个顶点分别是，，. (1)求边AB上的高所在直线l的方程； (2)求过点A、B，且圆心在直线上的圆G的标准方程. 8．（2025·安徽芜湖·二模）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于，两个动点. (1)求点的轨迹的方程； (2)若圆与曲线恰有一个公共点，且圆与轴相切于点，求圆的半径. 题型二 直线与圆中的最值问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、多选题 1．（24-25高三下·山东·开学考试）设动直线与圆交于，两点，则下列说法正确的有（   ） A．直线过定点 B．当最大时， C．最小为 D．当最小时，其余弦值为 2．（2025·云南·三模）已知点，，点P在圆上运动，则（   ） A．直线AB与圆C相离 B．的面积的最小值为 C．的最大值为6 D．当最小时， 3．（2025·广东深圳·模拟预测）已知点，，点在圆：上运动，则（     ） A．直线与圆相离 B．的面积的最小值为 C．的最大值为 D．当最小时， 二、填空题 4．（2025·天津和平·三模）已知圆以点为圆心，且与直线相切，则满足以上条件的圆的半径最大时，圆的标准方程为 ． 5．（25-26高三上·宁夏银川·阶段练习）过点的直线与圆：交于、两点，当最小时，直线的方程是 . 6．（25-26高三上·安徽滁州·阶段练习）已知圆：，直线：，为上的动点．过点作圆的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为 ． 三、解答题 7．（24-25高三上·河南郑州·阶段练习）已知实数x，y满足方程． (1)求的最值； (2)求的最值． 8．（23-24高三上·福建福州·期末）已知圆，直线． (1)若直线l与圆O相切，求m的值； (2)当时，已知P为直线l上的动点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，当切线长最短时，求弦所在直线的方程． 题型三 圆的弦长与中点弦问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（24-25高三下·云南·阶段练习）若为圆的弦的中点，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·河北唐山·期末）已知圆的弦的中点为，点为圆上的动点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．8 D． 二、多选题 3．（2025·江西上饶·一模）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．存在实数，使圆关于直线对称 B．直线过定点 C．对任意实数，直线与圆有两个不同的公共点 D．当时，直线被圆所截弦长为2 4．（2025·福建南平·二模）已知圆：，直线：，则（    ） A．直线过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．当时，圆上恰有2个点到直线距离等于4 D．直线被圆截得的弦长最短时，的方程为 三、填空题 5．（24-25高三上·山东淄博·期中）已知点，直线被圆所截得弦的中点为，则的最大值是 . 6．（2025·江苏南京·一模）过点P(－4,0)的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝5相交于A，B两点，若点A恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为 ． 四、解答题 7．（24-25高三上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆，上存在两点关于直线对称. (1)求的半径； (2)过坐标原点的直线被截得的弦长为2，求的方程. 8．（24-25高三上·天津和平·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求： (1)求圆心为的圆的标准方程； (2)设点在圆上，点在直线上，求的最小值； (3)若过点的直线被圆所截得弦长为，求该直线的方程． 题型四 圆的切线长与切线方程问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、多选题 1．（24-25高三上·贵州黔西·期末）已知过点作圆的两条切线，切点分别为，两点，下列说法正确的是（    ） A．其中一条切线方程是 B．切线长 C．点到圆上一点的距离最小值为 D．四边形的面积为2 2．（河北省张家口市尚义县2023-2024学年高三）已知圆：，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论正确的是（    ） A．圆关于直线对称 B．若圆关于反射光线对称，则入射光线所在直线的方程为 C．若反射光线与圆相切，则这条光线从点到切点所经过的路程为 D．存在两条反射光线与圆相切 3．（福建省厦门市2024-2025学年高三上学期期末）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（25-26高三下·广东广州·期末）已知为直线上一点，过作圆的切线，则切线长最短时的切线方程为 ． 三、解答题 5．（25-26高三上·江苏连云港·开学考试）已知圆E经过点，，且______.从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答.①与y轴相切；②圆E恒被直线平分；③过直线与直线的交点 (1)求圆E的方程； (2)求过点的圆E的切线方程，并求切线长. 6．（福建省泉州市24-25学年高三下学期期末）已知点，，均在圆上. （1）求圆的方程； （2）若直线与圆相交于,两点，求的长； （3）设过点的直线与圆相交于、两点，试问：是否存在直线，使得恰好平分的外接圆？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 题型五 两圆的公共弦问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（2025·高三模拟测试）圆与圆的公共弦长为（    ） A．6 B． C．4 D． 2．（2025上·陕西宝鸡�高三校考阶段练习）已知圆与圆相交，则相交的公共弦长为（    ） A． B． C．5 D．2 二、多选题 3．（2025上·吉林长春�高三长春期末）已知圆：和圆：相交于A，B两点，下列说法正确的是（    ） A．圆M的圆心为，半径为1 B．直线AB的方程为 C．线段AB的长为 D．线段AB的长为 4．（2025上·江苏南通�高三江苏省）在平面直角坐标系中，，点在圆上运动，下列说法正确的是（ ） A．点到直线的距离最大值是 B．的最小值为 C．的最小值为10 D．过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，直线过定点 三、填空题 5．（2025·浙江台州�高三台州一中校考阶段练习）圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的直线方程为 ，A，B两点间的距离为 . 6．（2025上·四川成都�高三四川省成都市期中）已知方程：，，当时，该方程表示的曲线关于直线的对称曲线为C，则曲线C上的点到直线l的最大距离为 ；若，过点作该方程表示的面积最小的曲线的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在的直线方程为 ． 四、解答题 7．（2025上·广东茂名�高三统考期末）已知点和圆Q：，过点P作圆Q的两条切线，切点分别为A、B， (1)求切线的长； (2)求直线的方程. 8．（2024上·浙江杭州�高三杭州四中校考期中）已知直线和圆，过直线上的一点作两条直线PA，PB与圆C相切于A，B两点，如下图所示.   (1)当P点坐标为时，求以PC为直径的圆的方程，并求直线AB的方程； (2)直线l经过点P，与圆C交于M，N两点求的最小值. 题型六 两圆的公切线问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（2025上·四川宜宾�高三统考期末）若圆与圆有且仅有一条公切线，则（    ） A．－23 B．－3 C．－12 D．－13 2．（2025湖北�统考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的左支交于、两点，若，则的内切圆半径为（    ） A． B． C． D．2 二、多选题 3．（2025上·浙江宁波�高三校联考期中）已知圆与圆交于，两点，则（    ） A．两圆的公切线有2条 B．直线方程为 C． D．动点在圆上，则的最大值为 4．（2025上·内蒙古通辽�高三通辽第五中学校联考阶段练习）已知点是圆上的两个动点，圆，点是直线上的动点，且，下列说法正确的是（    ） A．直线是圆与圆的公切线 B．的最小值为1 C．四边形面积的最小值为2 D．直线恒过定点 三、填空题 5．（2025上·上海嘉定�高三统考期末）经过点且与圆相切的直线方程是 ． 6．（2025上·湖南长沙�高三湖南师大附中校考阶段练习）若圆和圆恰有三条公切线，则实数 ． 四、解答题 7．（2025上·江苏盐城�高二江苏省响水中学校考阶段练习）已知圆C1：，圆C2：，其中－1<m<5. （1）若m=1，判断圆与的位置关系，并求两圆公切线方程； （2）设圆C1与圆C2的公共弦所在直线为l，且圆C2的圆心到直线l的距离为，求直线l的方程以及公共弦长. 8．（2025上·湖北武汉�高三武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）已知圆和圆． （1）动圆M与圆C1内切且与圆C2外切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明是什么曲线？ （2）过圆C2上任一点Q（x0，y0）作圆C1的两条切线，设两切线分别与y轴交于点S和T，求线段ST长度的取值范围． 题型七 直线与圆中的定点、定值问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（2025上·全国�高三校联考阶段练习）已知动点A在圆上运动，当过点A可作圆的切线时，设切点为，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 2．（2025上·北京�高三101中学校考期中）设直线系M：，对于下列四个命题： ①M中所有直线均经过一个定点； ②存在无数多个点不在M中的任一条直线上； ③对于任意整数，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上； ④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等. 其中真命题为（    ） A．①②④ B．②③ C．②③④ D．③④ 二、多选题 3．（2025上·高二单元测试）已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别于圆切于点．则下列说法正确的是（   ） A．四边形的面积最小值为 B．最短时，弦长为 C．最短时，弦直线方程为 D．直线过定点为 4．（2025上·湖南常德�高三常德市一中校考期末）已知圆，直线，点在直线上运动，直线，分别与圆切于点，.则下列说法正确的是（    ） A．最短为 B．最短时，弦所在直线方程为 C．存在点，使得 D．直线过定点为 三、填空题 5．（2025全国�高三专题练习）已知圆O：，直线l：，设圆O上到直线l距离等于1的点的个数为k，则 ． 四、解答题 7．（2025·江苏�高二专题练习）已知圆C：关于直线对称，且圆心在x轴上． (1)求圆C的标准方程； (2)若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B． ①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值； ②求证：直线AB恒过定点． 8．（2025上·湖北荆州�高三校考期中）已知圆内有一点，倾斜角为的直线过点且与圆交于两点. (1)当时，求的长； (2)是否存在弦被点三等分？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由； (3)记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.并计算出定值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $