2.5.1椭圆的标准方程讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

2.5.1椭圆的标准方程 一、知识点 1.定义 到平面内两个定点，的距离和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆. 其中两个定点，称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离称为椭圆的焦距. 2.椭圆的标准方程 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 焦点 ， ， ，，的关系 3.求椭圆方程的方法 求椭圆方程有两种方法： 1）用定义法求椭圆的标准方程 先根据椭圆的定义确定，的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．其中常用的关系有： ①； ②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于； ③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长. 2）用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤： ①作判断：根据条件判断椭圆的焦点是在轴上，还是在轴上，还是在两个坐标轴上都有可能； ②设方程：根据上述判断设方程：或或（，，且）； ③找关系：根据已知条件，建立关于，，或，的方程组； ④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即得所求. 注意：当椭圆焦点位置不明确时，可设为，也可设为（，，且）Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B)． 4.椭圆的焦点三角形 求椭圆中焦点三角形面积的方法： ①根据椭圆的定义求出； ②利用余弦定理表示出，，之间满足的关系式； ③利用公式求得面积． 利用公式（为点的纵坐标）求得面积. ④结论：. 二、题型训练 1.椭圆定义的辨析 例1. （多选）下列说法中正确的是（　　） A.已知，，平面内到，两点的距离之和等于的点的轨迹是线段 B.已知，，平面内到，两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆 C.平面内到点，两点的距离之和等于点到，的距离之和的点的轨迹是椭圆 D.平面内到点，距离相等的点的轨迹是椭圆 例2. 若椭圆上一点到焦点的距离为，则点到另一焦点的距离为（    ） A. B. C. D. 练习： 1. （多选）已知在平面直角坐标系中，点，，点为一动点，且，则下列说法中正确的是（    ） A.当时，点的轨迹不存在 B.当时，点的轨迹是椭圆，且焦距为 C.当时，点的轨迹是椭圆，且焦距为 D.当时，点的轨迹是以为直径的圆 2. 下列命题正确的个数为（    ） （1）已知定点，满足，动点满足，则动点的轨迹是椭圆； （2）已知定点，满足，动点满足，则动点的轨迹是一条射线； （3）当时，曲线表示椭圆； （4）曲线方程的化简结果为. A. 个 B. 个 C. 个 D. 3.已知点为椭圆上的一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则（    ） A. B. C. D. 4. （多选）若直线过椭圆的一个焦点，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 5. 设，是椭圆的两个交点，是椭圆上一点，且点到两个焦点距离之差为，则（ ） A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.斜三角形 D.直角三角形 6. 已知椭圆上的点到该椭圆的一个焦点的距离为，是的中点，为坐标原点，那么线段的长是（ ） A. B. C. D. 2.求椭圆的方程 例3.已知动点到两个定点，的距离之和为，则动点轨迹方程为（    ） A. B. C. D. 例4.以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为（    ） A. B. C. D. 例5. 求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）椭圆经过和； （2）经过点，； （3）两个焦点在坐标轴上，且经过和两点. 例 6.过点，且与椭圆有相同的焦点. 练习： 1.点到两定点，的距离之和为，则点的轨迹方程是______. 2. 椭圆的焦距为，且椭圆的长轴长为，则该椭圆的标准方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 3.已知椭圆焦点，在轴上，记椭圆与轴的交点为，，其中点在负半轴上，记椭圆与轴的交点为，。若，，则该椭圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 4.已知的周长为，且顶点，，则顶点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 5.椭圆的一个焦点为，并且经过点，则椭圆的标准方程为（    ） A. B. C. D. 6.已知椭圆的两个焦点分别为，，是椭圆上一点，，且的短半轴长等于焦距，则椭圆的标准方程为（    ） A. B. C. D. 7. 过点 ，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为(　　) A. B. C. D. 8.如图所示，，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是面积为的正三角形，则的值为（ ） A. B. C. D. 9.设、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且，，若，则椭圆的标准方程为_______. 10.若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. 或 D.以上答案都不对 11.已知椭圆的中心在原点，且经过点，，则椭圆的标准方程为______. 3.椭圆定义的应用 例7.椭圆的焦距为，则的值为（    ） A.或 B.或 C. D. 例8.“方程表示的曲线为椭圆”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 练习： 1. 下列命题正确的个数为（    ） （1）已知定点，满足，动点满足，则动点的轨迹是椭圆； （2）已知定点，满足，动点满足，则动点的轨迹是一条射线； （3）当时，曲线表示椭圆； （4）曲线方程的化简结果为. A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. （多选）已知曲线（    ） A.若，则是椭圆，其焦点在轴上 B.若，则是椭圆，其焦点在轴上 C.若，则是圆，其半径为 D.若，，则是两条直线 3. 已知曲线，则“”是“曲线是椭圆”的（    ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，若线段中点在轴上，则点的纵坐标为（ ） 5.“”是“方程表示椭圆”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.（多选）已知椭圆和椭圆的焦点相同，且，给出下列四个结论，其中正确的是（ ） A. 椭圆和椭圆一定没有公共点 B. C. D. 7.已知椭圆的焦距为，则的值是______. 8.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4.焦点三角形 例9.已知椭圆的左､右焦点分别为，，点在椭圆上，则的周长为（    ） A B. C. D. 例10.已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点，且，，求的面积. 例11.如图，己知、是椭圆的焦点，，为椭圆上两点，满足，且，则的余弦值为___________. 例12.已知椭圆的左、右两焦点为和，为椭圆上一点，且，则（     ） A. B. C. D. 例13.已知椭圆的两个焦点分别为，，为椭圆上一点，的平分线与轴交于点，作交于点，则等于（    ） A. B. C. D. 例14.如图，过椭圆的右焦点作一条直线，交椭圆于，两点，则的内切圆面积可能是（     ） A. B. C. D. 练习： 1.设，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，则使得的成立的点的的个数为（ ） A. B. C. D. 2.已知点，椭圆与直线交于，两点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆上有点，，是椭圆的左、右焦点，若为直角三角形，则这样的点有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4.已知椭圆的上焦点为，直线和与椭圆分别相交于点，，，，则|AF|+|BF|+|CF|+|DF|=（） A. B. C. D. 5.已知椭圆的上焦点为，直线与椭圆交于，两点，则的周长的取值范围是（    ） A. B. C. D. 6.（多选），是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，是直角三角形，则的面积为（    ） A. B. C. D. 7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆在第一象限内的一点，，则点的横坐标为_______． 8.（多选）设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（    ）． A. B. 到最小的距离是 C.面积的最大值为 D. 到最大的距离是 9.椭圆的焦点为，，与轴的一个交点为，若，则（    ） A. B. C. D. 10.若是椭圆上任意一点，、是焦点，则的最大值为______． 11.设，是椭圆的两个焦点，在椭圆上，已知，，是一个直角三角形的三个顶点，且，则的值是（    ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 12.已知，为椭圆的左、右焦点，点为上一点，则的最小值为_______，的最小值为_________． 13.已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上异于长轴端点的动点，，分别为的重心和内心，则（    ） A. B. C. D. 14.已知一个离心率为，长轴长为的椭圆，其两个焦，，在椭圆上存在一个点，使得，设的内切圆半径为，则的值为（    ） A. B. C. D. 15.设椭圆的左、右交点分别为，，点在椭圆上，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 16.已知椭圆与椭圆的焦点，相同，且椭圆过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若点在椭圆上，且，求的面积. 5.和与差的最值问题 例15.（多选）已知点为椭圆的左焦点，点为上的任意一点，点的坐标为，则下列正确的是（    ） A.的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 练习： 1.设实数，满足，则的最小值为（    ） A. B. C. D.前三个答案都不对 2.已知、是椭圆内的点，是椭圆上的动点，则的最大值为_______；最小值为_______. 3.已知椭圆，点为椭圆的焦点不重合，若关于椭圆的焦点对称点分别为，，线段的中点在椭圆上，则______. 6.轨迹方程问题 例16.已知动圆过点，并且在圆的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A. B. C. D. 例17.点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹. 例18.如图，在圆上任取一点，过点向轴作垂线，为垂足，求线段的中点的轨迹方程.    练习： 1.已知定圆，圆，动圆和定圆外切和圆内切，求动圆圆心的轨迹方程． 2.若点满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A. B. C. D. 3.已知，，分别在轴和轴上运动，为原点，，则动点的轨迹方程是（    ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 4. 设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.求点的轨迹方程； 5. 已知椭圆，为椭圆上一动点，为椭圆的左焦点，则线段的中点的轨迹形状为________. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.1椭圆的标准方程 一、知识点 1.定义 到平面内两个定点，的距离和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆. 其中两个定点，称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离称为椭圆的焦距. 2.椭圆的标准方程 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 焦点 ， ， ，，的关系 3.求椭圆方程的方法 求椭圆方程有两种方法： 1）用定义法求椭圆的标准方程 先根据椭圆的定义确定，的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．其中常用的关系有： ①； ②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于； ③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长. 2）用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤： ①作判断：根据条件判断椭圆的焦点是在轴上，还是在轴上，还是在两个坐标轴上都有可能； ②设方程：根据上述判断设方程：或或（，，且）； ③找关系：根据已知条件，建立关于，，或，的方程组； ④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即得所求. 注意：当椭圆焦点位置不明确时，可设为，也可设为（，，且）Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B)． 4.椭圆的焦点三角形 求椭圆中焦点三角形面积的方法： ①根据椭圆的定义求出； ②利用余弦定理表示出，，之间满足的关系式； ③利用公式求得面积． 利用公式（为点的纵坐标）求得面积. ④结论：. 二、题型训练 1.椭圆定义的辨析 例1. （多选）下列说法中正确的是（　　） A.已知，，平面内到，两点的距离之和等于的点的轨迹是线段 B.已知，，平面内到，两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆 C.平面内到点，两点的距离之和等于点到，的距离之和的点的轨迹是椭圆 D.平面内到点，距离相等的点的轨迹是椭圆 【答案】AC 【解析】对于A，∵|F1F2|＝8，∴平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，故A正确， 对于B，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的轨迹不存在，故B错误， 对于C，点M（5，3）到F1，F2的距离之和为|F1F2|＝8，其轨迹为椭圆，故C正确， 对于D，轨迹为线段的垂直平分线，故D错误． 故选：AC. 例2. 若椭圆上一点到焦点的距离为，则点到另一焦点的距离为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由椭圆方程知：.根据椭圆的定义有. 因为，所以. 故选： 练习： 1. （多选）已知在平面直角坐标系中，点，，点为一动点，且，则下列说法中正确的是（    ） A.当时，点的轨迹不存在 B.当时，点的轨迹是椭圆，且焦距为 C.当时，点的轨迹是椭圆，且焦距为 D.当时，点的轨迹是以为直径的圆 【答案】AC 【解析】对A，，故点P的轨迹不存在，A正确； 对BC，，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为，故B错误，C正确； 对D，，故点P的轨迹为线段AB，D错误. 故选：AC 2. 下列命题正确的个数为（    ） （1）已知定点，满足，动点满足，则动点的轨迹是椭圆； （2）已知定点，满足，动点满足，则动点的轨迹是一条射线； （3）当时，曲线表示椭圆； （4）曲线方程的化简结果为. A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】对于（1），，此时点的轨迹为线段，故（1）错误； 对于（2），，此时点的轨迹为一条射线，故（2）正确； 对于（3），当时，曲线：即，表示圆，故（3）错误； 对于（4），曲线方程表示点到点、的距离和为，由椭圆定义可知，点的轨迹是以、为焦点且的椭圆，轨迹方程为，故（4）正确； 故选：C. 3.已知点为椭圆上的一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为点P为椭圆上的一点，所以，因为，所以. 故选：C. 4. （多选）若直线过椭圆的一个焦点，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 将椭圆的方程化为标准形式，易知椭圆X的焦点为，，代入直线的方程中，解得或，故选AC 5. 设，是椭圆的两个交点，是椭圆上一点，且点到两个焦点距离之差为，则（ ） A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.斜三角形 D.直角三角形 【答案】D 【解析】由椭圆定义可知，，由题意可得，则，或，，又，所以是直角三角形 6. 已知椭圆上的点到该椭圆的一个焦点的距离为，是的中点，为坐标原点，那么线段的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】 【解析】答案如图，设椭圆左焦点为，右焦点为，因为，，所以，为的中点，为的中点，所以. 2.求椭圆的方程 例3.已知动点到两个定点，的距离之和为，则动点轨迹方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据椭圆的定义知动点M轨迹为以A，B为焦点的椭圆，，，， 即动点轨迹方程为. 故选：D. 例4.以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为焦点在x轴上，所以C不正确；又因为c=1，故排除D；将代入得，故A错误，所以选B. 故选：B 例5. 求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）椭圆经过和； （2）经过点，； （3）两个焦点在坐标轴上，且经过和两点. 【答案】（1） ；（2）；（3） 【解析】（1）根据题意，设椭圆的方程为mx2+ny2＝1， 又由椭圆经过和， 则有，解可得m＝5，n＝4； 则要求椭圆的方程为5x2+4y2＝1， 即其标准方程为. （2）根据题意，设椭圆的方程为，， 又由椭圆经过和，则有，解可得，； 则要求的椭圆方程为， 即其标准方程为. （3）设所求椭圆方程为， 由和两点在椭圆上，可得， 即，解得， 故所求椭圆的标准方程为． 例 6.过点，且与椭圆有相同的焦点. 【答案】 【解析】由与椭圆有相同的焦点，可得， 因为焦点在x轴上，可设它的标准方程为且， 因为椭圆过点，所以有     ①， 又因为     ②， 由①②解得：，. 所求椭圆的标准方程为. 练习： 1.点到两定点，的距离之和为，则点的轨迹方程是______. 【答案】 【解析】因为， 由椭圆的定义可知， 动点点的轨迹是以，为焦点，长轴长为6的椭圆， 所以，， 所以点的轨迹方程是， 故答案为： 2. 椭圆的焦距为，且椭圆的长轴长为，则该椭圆的标准方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 由题意可知椭圆的焦距为，长轴为，则，，即，，则， 若椭圆焦点在轴上，则其标准方程为，若焦点在轴上，则其标准方程为. 3.已知椭圆焦点，在轴上，记椭圆与轴的交点为，，其中点在负半轴上，记椭圆与轴的交点为，。若，，则该椭圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 设椭圆方程为，，由题意可得，，所以，，故椭圆的标准方程是. 4.已知的周长为，且顶点，，则顶点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由，得点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 设椭圆方程为，则，，所以，所以椭圆方程为。又因为，，三点要求构成三角形，所以点的轨迹为. 5.椭圆的一个焦点为，并且经过点，则椭圆的标准方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由题意可设椭圆C的标准方程为(a＞b＞0)，且另一个焦点为， 所以2a＝|PF1|＋|PF2| . 所以a＝2，又c＝1，所以b2＝a2－c2＝3， 故椭圆C的标准方程为. 故选：D. 6.已知椭圆的两个焦点分别为，，是椭圆上一点，，且的短半轴长等于焦距，则椭圆的标准方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为，所以．因为，所以，， 故椭圆C的标准方程为． 故选：D. 7. 过点 ，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】方法一(定义法)：椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4. 由椭圆的定义知，2a＝＋，解得a＝2. 由c2＝a2－b2，可得b2＝4.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 方法二(待定系数法)：设所求椭圆方程为＋＝1(k<9)，将点(，－)的坐标代入，可得＋＝1，解得k＝5或k＝21(舍去)，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 方法三(待定系数法)：设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．由题意得解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 8.如图所示，，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是面积为的正三角形，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为的面积是的正三角形，所以，解得所以点的坐标为，将其代入椭圆方程得，与联立，解得，故选B. 9.设、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且，，若，则椭圆的标准方程为_______. 【答案】 【解析】 ，，，又，所以，由椭圆定义可知，，，，，所以椭圆方程为. 10.若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. 或 D.以上答案都不对 【答案】C 【解析】 直线与坐标轴交点分别为，，由题意知当焦点在轴上时，，，所以，所以所求椭圆的标准方程为，当焦点在轴上时，，，所以，所求椭圆方程为. 11.已知椭圆的中心在原点，且经过点，，则椭圆的标准方程为______. 【答案】或 【解析】 当焦点在轴上时，设椭圆方程为，由椭圆过点，知，又，解得，，故椭圆标准方程为，当焦点为在轴上时，设椭圆方程为，由椭圆过点，知，又，解得，，故椭圆的标准方程为，综上，椭圆的标准方程为或. 3.椭圆定义的应用 例7.椭圆的焦距为，则的值为（    ） A.或 B.或 C. D. 【答案】D 【解析】由椭圆化为标准形式得： ， 且椭圆的焦距， 当椭圆焦点在轴上时，，， 则由，所以， 此时方程为：不是椭圆，所以不满足题意， 当椭圆焦点在轴上时，，， ，解得， 此时方程为：，满足题意 综上所述，的值为． 故选：D． 例8.“方程表示的曲线为椭圆”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当时，表示焦点在x轴上的椭圆， 若为椭圆，则m＞0，且n＞0且m≠n，故曲线为椭圆是”的必要不充分条件， 故答案为B． 练习： 1. 下列命题正确的个数为（    ） （1）已知定点，满足，动点满足，则动点的轨迹是椭圆； （2）已知定点，满足，动点满足，则动点的轨迹是一条射线； （3）当时，曲线表示椭圆； （4）曲线方程的化简结果为. A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 对于（1），，此时点的轨迹为线段，故（1）错误； 对于（2），，此时点的轨迹为一条射线，故（2）正确； 对于（3），当时，曲线：即，表示圆，故（3）错误； 对于（4），曲线方程表示点到点、的距离和为，由椭圆定义可知，点的轨迹是以、为焦点且的椭圆，轨迹方程为，故（4）正确； 故选：C. 2. （多选）已知曲线（    ） A.若，则是椭圆，其焦点在轴上 B.若，则是椭圆，其焦点在轴上 C.若，则是圆，其半径为 D.若，，则是两条直线 【答案】AD 【解析】 对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确，故B错误； 对于C，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故C不正确； 对于D，若，则可化为，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确； 故选：AD. 3. 已知曲线，则“”是“曲线是椭圆”的（    ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若曲线是椭圆，则有： 解得：，且 故“”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件 故选：C 4.椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，若线段中点在轴上，则点的纵坐标为（ ） 【答案】D 【解析】 如图，当点在轴上方时，为的中位线，所以，所以，同理，当点在轴下方时，，故选D. 5.“”是“方程表示椭圆”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 设，，表示圆，所以不一定是椭圆，反之，若方程表示椭圆，则，故为必要不充分条件. 6.（多选）已知椭圆和椭圆的焦点相同，且，给出下列四个结论，其中正确的是（ ） A. 椭圆和椭圆一定没有公共点 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 由已知条件可得，，而，可知两椭圆无公共点，故A，B正确，，，，，即，即，即，故C不正确，，，，又由，得，故D正确. 7.已知椭圆的焦距为，则的值是______. 【答案】或 【解析】 由已知，得，所以或，所以或. 8.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由题意得，即，所以或，故选4D 4.焦点三角形 例9.已知椭圆的左､右焦点分别为，，点在椭圆上，则的周长为（    ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 由，得，即， 所以，即. 由椭圆的定义知，, 所以的周长为. 故选：B. 例10.已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点，且，，求的面积. 【答案】 【解析】 依题意，，椭圆长轴长，即长半轴长，短半轴长b，有， 所以椭圆的标准方程为. 在中由余弦定理得： ， 有， 解得，， 所以的面积是. 例11.如图，己知、是椭圆的焦点，，为椭圆上两点，满足，且，则的余弦值为___________. 【答案】 【解析】 延长与椭圆交于点，又， 根据对称性可知，，设，则，，从而，故，在中，注意到， ，在中，有．故答案为： 例12.已知椭圆的左、右两焦点为和，为椭圆上一点，且，则（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】    由题意得，，于是， 即为△的外心，以为直径的圆经过，于是， 记，根据椭圆定义和勾股定理：， 于是. 故选：A 例13.已知椭圆的两个焦点分别为，，为椭圆上一点，的平分线与轴交于点，作交于点，则等于（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图，根据题意，有，且． 由角平分线定理和椭圆的定义，有 因此是以为斜边的直角三角形， 进而可得，因此． 例14.如图，过椭圆的右焦点作一条直线，交椭圆于，两点，则的内切圆面积可能是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】记的周长为l，面积为S，内切圆半径为r．易知． 由于，故． 设的内切圆面积为，则， 于是选项A符合题意． 故选：A. 练习： 1.设，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，则使得的成立的点的的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 设，，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，所以，，，，，，即，又因为为椭圆上任意一点，所以，联立得或，所以使得成立的点的个数为，故选C. 2.已知点，椭圆与直线交于，两点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设椭圆的左焦点为，由题意得与是椭圆的焦点，则直线过椭圆的左焦点，且，的周长等于. 3. 已知椭圆上有点，，是椭圆的左、右焦点，若为直角三角形，则这样的点有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 当为直角时，根据椭圆对称性知，这样的点有个；同理当为直角时，这样的点有个；当为椭圆短轴端点时，最大，且为直角，此时这样的点有个；故符合要求的有个 4.已知椭圆的上焦点为，直线和与椭圆分别相交于点，，，，则|AF|+|BF|+|CF|+|DF|=（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 椭圆的上焦点F(0,1)，下焦点为F1(0,-1)，直线x+y-1=0过上焦点，直线x-y+1=0过下焦点且两条直线平行，又|AF|+|BF|+|CF|+|DF|=|AB|+|CF|+|DF|，因为椭圆是中心对称图形， 故|AB|+|CF|+|DF|=|CD|+|CF|+|DF|=|CF|+|C F1|+|DF|+|D F1|=4+4=8， 故选B. 5.已知椭圆的上焦点为，直线与椭圆交于，两点，则的周长的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 直线与椭圆交于M，N两点， 椭圆的上焦点为，令下焦点为，连接 由椭圆的对称性可得， 则的周长为, 又，则， 则的周长的取值范围是 故选：D 6.（多选），是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，是直角三角形，则的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 由得，不妨，，则， 当时，则 ①平方减去②得， ∴， 当 (或者)时，， 令，则，解得， 则， . 故选：AB.    7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆在第一象限内的一点，，则点的横坐标为_______． 【答案】 【解析】 由题知，设，，则， 由余弦定理得，即， 所以，又， 所以，所以， 所以，所以， 代入，得，又点P位于第一象限，所以点P的横坐标为2． 故答案为：2. 8.（多选）设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（    ）． A. B. 到最小的距离是 C.面积的最大值为 D. 到最大的距离是 【答案】AD 【解析】 由椭圆方程可得：，则， 对A：根据椭圆的定义可得，A正确； 对B：根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时，P到的距离最小， 最小值为，B错误； 对C：根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点时，的面积最大， 最大值为，C错误； 对D：根据椭圆性质可知当P是椭圆的右顶点时，P到的距离最大， 最小值为，D正确. 故选：AD. 9.椭圆的焦点为，，与轴的一个交点为，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 在椭圆（）中，，，， 如图， 易知，又，所以为等腰直角三角形， 即，得，即. 故选：A 10.若是椭圆上任意一点，、是焦点，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 根据椭圆的方程可知：，∴，，， 方法1：由椭圆的对称性可知，的最大时，P在短轴端点，此时，所以是正三角形，∴的最大值为； 方法2：在中，， 所以令，则，所以即，则（当且仅当即时，等号成立），又因为，所以的最大值为故答案为： 11.设，是椭圆的两个焦点，在椭圆上，已知，，是一个直角三角形的三个顶点，且，则的值是（    ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 因为为椭圆两个焦点， 所以，， 则，， 因为，则P点位于x轴右侧，则轴或 故当轴时，P的横坐标为，其纵坐标为， 则，， 故； 当时，设，，则， 由勾股定理可得，即， 解得或（舍去）， 故， 综上，的值为或， 故选：D 12.已知，为椭圆的左、右焦点，点为上一点，则的最小值为_______，的最小值为_________． 【答案】； 【解析】 椭圆中， 即， 因为 ，所以 ，所以， 又，所以，所以的最小值为12． 又， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 故答案为： 13.已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上异于长轴端点的动点，，分别为的重心和内心，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由椭圆可得，， 如图，设的内切圆与三边分别相切与，，， ，分别为的重心和内心． 则，，， 所以， 所以 故选：D 14.已知一个离心率为，长轴长为的椭圆，其两个焦，，在椭圆上存在一个点，使得，设的内切圆半径为，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 解：因为椭圆的离心率为，长轴长为4， 所以， 在中，由余弦定理得：， ， 解得 ， 所以 ， ， 解得， 故选：D 15.设椭圆的左、右交点分别为，，点在椭圆上，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 有椭圆标准方程知，，，当点为椭圆的左、右顶点时（不妨令为右顶点），，，则，故点不为左、右顶点，设和的夹角为，因为，所以，在中，由余弦定理得，即，所以，故选D. 16.已知椭圆与椭圆的焦点，相同，且椭圆过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若点在椭圆上，且，求的面积. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）因为椭圆的焦点坐标为，，所以设椭圆的标准方程为，将点代入整理可得，解得或（舍去），所以椭圆的标准方程为； （2）因为点在椭圆上，所以，由（1）知，，在中，，所以由余弦定理得，即，因为，所以，即，所以.，所以的面积为. 5.和与差的最值问题 例15.（多选）已知点为椭圆的左焦点，点为上的任意一点，点的坐标为，则下列正确的是（    ） A.的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 依题意，，所以， 的最小值，即是的长，当点在位置时取到， 所以的最小值为，故A正确； 设椭圆的右焦点为，所以， 则当点在位置时取到最大值， 所以的最大值为，故B正确； 的最小值当在位置时取到， 即的最小值为，故C错误； 由， 则当点在位置时取到最大值， 所以的最大值为，故D正确. 故选:ABD    练习： 1.设实数，满足，则的最小值为（    ） A. B. C. D.前三个答案都不对 【答案】C 【解析】 点是椭圆上的点，设，如图． 记题中代数式为M，则， 等号当点E，A，P依次共线时取得． 因此所求最小值为． 故选：C. 2.已知、是椭圆内的点，是椭圆上的动点，则的最大值为_______；最小值为_______. 【答案】 【解析】 由题意可得为椭圆右焦点，设左焦点为，在椭圆内， 则由椭圆定义， 于是. 当不在直线与椭圆交点上时，､､三点构成三角形， 于是， 而当在直线与椭圆交点上时， 在第一象限交点时，有， 在第三象限交点时有. 显然当在直线与椭圆第一象限交点时，有最小值，其最小值为 ； 当在直线与椭圆第三象限交点时，有最大值，其最大值为 . 故答案为：，.    3.已知椭圆，点为椭圆的焦点不重合，若关于椭圆的焦点对称点分别为，，线段的中点在椭圆上，则______. 【答案】 【解析】 如图，设，中点为，连接，，则由是中点，可知, 同理可得. 所以根据椭圆定义得，所以等于 6.轨迹方程问题 例16.已知动圆过点，并且在圆的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由圆，则其圆心，半径为， 设动圆的圆心为，半径为， 由圆在圆的内部与其相切，则， 由圆过点，则，即， 所以动点的轨迹为以为焦点的椭圆，则，， ，所以其轨迹方程为. 故选：D. 例17.点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹. 【答案】点的轨迹是长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆. 【解析】 设点到直线l的距离为d，依题意，， 于是，化简得，即. 所以点M的轨迹是长轴长为4，短轴长为，焦点在x轴上的椭圆，如图，    例18.如图，在圆上任取一点，过点向轴作垂线，为垂足，求线段的中点的轨迹方程.    【答案】 【解析】 设点M的坐标为，点P的坐标为， 则，. 因为点在圆上，所以. 把，代入上述方程，得. 即所求轨迹方程为. 点M的轨迹是长轴长为6，短轴长为3的椭圆. 练习： 1.已知定圆，圆，动圆和定圆外切和圆内切，求动圆圆心的轨迹方程． 【答案】 【解析】 圆，圆 因为圆M与圆外切，所以， 因为圆M与圆内切，所以，， 两式相加得， 所以M的轨迹是以为焦点的椭圆，故其方程为. 2.若点满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为动点满足关系式， 所以该等式表示点到两个定点，的距离的和为12， 而，即动点M的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，即，又，， 所以动点M的轨迹方程为. 故选：C. 3.已知，，分别在轴和轴上运动，为原点，，则动点的轨迹方程是（    ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 【答案】B 【解析】 设，因为，所以； 因为，所以，即， 所以，整理得，其轨迹是椭圆. 故选：B. 4. 设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.求点的轨迹方程； 【答案】 【解析】 设，，则，， 由得.因为在C上，所以. 因此点P的轨迹为. 5. 已知椭圆，为椭圆上一动点，为椭圆的左焦点，则线段的中点的轨迹形状为________. 【答案】椭圆 【解析】设为椭圆的右焦点，在中，易得，且，，因为，所以，故由椭圆定义知，点的轨迹是椭圆. 2 学科网（北京）股份有限公司 $