第28章 二次函数 单元培优练习 2025-2026学年人教版（五四制）九年级数学上册

第28章 《二次函数》单元培优练习 一．选择题 1．抛物线y＝x2﹣4x+1的顶点是（　　） A．（﹣2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（2，﹣3） 2．抛物线y＝x2﹣3x+5与坐标轴的交点个数为（　　） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 3．抛物线y＝2（x﹣1）2+3的对称轴为（　　） A．直线x＝1 B．直线y＝1 C．直线y＝﹣1 D．直线x＝﹣1 4．若二次函数y＝﹣x2+px+q的图象经过A（1+m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（m2﹣2m+5，y2）、E（2m﹣m2﹣5，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y3＜y2≤y1 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y3＜y1 5．抛物线yx2，y＝4x2，y＝﹣2x2的图象中，开口最大的是（　　） A．yx2 B．y＝4x2 C．y＝﹣2x2 D．无法确定 6．下列图象中，当ab＞0时，函数y＝ax2与y＝ax+b的图象是（　　） A．B． C． D． 7．学校组织学生去南京进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）．于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且a．洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH＝12cm，喷嘴位置点B距台面的距离为16cm，且B、D、H三点共线．小王在距离台面15.5cm处接洗手液时，手心Q到直线DH的水平距离为3cm，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是（　　）cm． A．12 B．12 C．6 D．6 8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … ﹣1 0 1 2 3 4 … y＝ax2+bx+c … 8 3 0 ﹣1 0 3 … 则这个函数图象的顶点坐标是（　　） A．（2，﹣1） B．（﹣1，2） C．（﹣1，8） D．（4，3） 9．对于题目“抛物线l1：y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1＜x≤2）与直线l2：y＝m（m为整数）只有一个交点，确定m的值”；甲的结果是m＝1或m＝2；乙的结果是m＝4，则（　　） A．只有甲的结果正确 B．只有乙的结果正确 C．甲、乙的结果合起来才正确 D．甲、乙的结果合起来也不正确 10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤当y＜0时，﹣1＜x＜3．其中正确的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二．填空题 11．二次函数y＝﹣（x﹣1）2﹣2顶点坐标是　 　 ． 12．二次函数y＝2x2+8x+m的图象与x轴有两个公共点，则m的取值范围为　 　 ． 13．已知y2，当x　 　 时，函数值随x的增大而减小． 14．二次函数y＝x2﹣4x+5的最小值为　 　 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝m（x+3）2+n与y＝m（x﹣2）2+n+1交于点A．过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点C左侧），则线段BC的长为　 　 ． 16．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，若点C（，y1），D（，y2），E（，y3）均为函数图象上的点，则y1，y2，y3的大小关系为 　 　 ． 三．解答题 17．如图所示，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象，A（1，0），B（0，3） （1）求抛物线的解析式； （2）结合图象，写出当y＜3时x的取值范围（作适当说明） 18．新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y＝﹣x2+2x+3的“图象数”为[﹣1，2，3] （1）二次函数yx2﹣x﹣1的“图象数”为 　 　 ． （2）若“图象数”是[m，m+1，m+1]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值． 19．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元；市场调查发现，若每箱以45元的价格销售，平均每天销售105箱；每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱．假定每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间满足一次函数关系式． （1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式； （2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式； （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 20．如图，足球场上守门员在O处开出一记手跑高球，球从地面1.4米的A处抛出（A在y轴上），运动员甲在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面3.2米高，球落地点为C点． （1）求足球开始抛出到第一次落地时，该抛物线的解析式． （2）足球第一次落地点C距守门员多少米？ 21．某校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，墙的最大可用长度为12米．另三边用总长为26米的木板材料围成．车棚形状如图中的矩形ABCD．为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门． （1）求这个车棚的最大面积是多少平方米？此时AB与AD的长分别为多少米？ （2）如图2，在（1）的结论下，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为70平方米，那么小路的宽度是多少米？ 22．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△AMC的面积； （3）若点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A A A D B A C A 二．填空题 11．（1，﹣2）． 12．m＜8 13．＜﹣1． 14．1． 15．10． 16．y3＜y1＜y2． 三．解答题 17．解：（1）∵函数的图象过A（1，0），B（0，3）， ∴， 解得：． 故抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）由图象知抛物线的对称轴为x＝﹣1，且当y＝3时，x＝﹣2或0， 故当y＜3时x的取值范围为x＜﹣2或x＞0． 18．解：（1）二次函数yx2﹣x﹣1的“图象数”为[，﹣1，﹣1]； 故答案为[，﹣1，﹣1]； （2）二次函数的解析式为y＝mx2+（m+1）x+m+1， 根据题意得Δ＝（m+1）2﹣4m（m+1）＝0， 解得m1＝﹣1，m2． 19．解：（1）设y＝kx+b， 把已知（45，105），（50，90）代入得， ， 解得：， 故平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为：y＝﹣3x+240； （2）∵水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，销售价x元/箱， ∴该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为： W＝（x﹣40）（﹣3x+240）＝﹣3x2+360x﹣9600． （3）W＝﹣3x2+360x﹣9600＝﹣3（x﹣60）2+1200， ∵a＝﹣3＜0，∴抛物线开口向下． 又∵对称轴为x＝60，∴当x＜60，W随x的增大而增大， 由于50≤x≤55，∴当x＝55时，W的最大值为1125元． ∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润，为1125元． 20．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+3.2， 将点A（0，1.4）代入，得：36a+3.2＝1.4， 解得：a＝﹣0.05， 则抛物线的解析式为y＝﹣0.05（x﹣6）2+3.2； （2）当y＝0时，﹣0.05（x﹣6）2+3.2＝0， 解得：x1＝﹣2（舍），x2＝14， 所以足球第一次落地点C距守门员14米． 21．解：（1）设垂直于墙面的边AB＝xm，则长AD＝（26﹣2x+2）m， 则面积S＝x（28﹣2x）， S＝﹣2x2+28x＝﹣2（x﹣7）2+98， 又∵26﹣2x+2≤12，26﹣2x＞0， 则8≤x＜13， 当x＝8时，S取最大值为96m2，此时AB＝8m，AD＝12m， 答：最大面积是96平方米？此时AB＝8m，AD＝12m； （2）设小路宽am， 由（1）知车棚最大面积为96m2，AB＝8m，AD＝12m， 当停放自行车的面积为70平方米，小路的占地面积为96﹣70＝26m2， ∴16a+12a﹣2a2＝26， 解得：a＝1或a＝13（舍去）， 答：小路宽1米． 22．解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣5）（x+1）， 将点C的坐标代入上式得：a（0﹣5）（0+1），解得a， 故抛物线的表达式为y（x﹣5）（x+1）x2+2x； （2）由抛物线的表达式得顶点M（2，）， 过点M作MH∥y轴交AC于点H， 设直线AC的表达式为y＝kx+t，则，解得， 故直线AC的表达式为yx， 当x＝2时，y，则MH3， 则△AMC的面积＝S△MHC+S△MHAMH×OA3×5； （3）点D在直线AC上，设点D（m，m）， 由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可， 则EF2＝OD2＝m2+（m）2m2m， ∵0，故EF2存在最小值（即EF最小），此时m＝1， 故点D（1，2）， ∵点P、D的纵坐标相同， 故2x2+2x，解得x＝2±， 故点P的坐标为（2，2）或（2，2）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/31 20:19:47；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $