精品解析：河南省百师联盟2025-2026学年高二10月联考数学试题（北师大版）

2025—2026学年高二10月联考 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知圆的圆心在轴的正半轴上，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的半径及已知条件列不等式计算求解. 【详解】因为圆的标准方程为， 所以圆心为点，半径， 由题意，得，解得， 即实数的取值范围是. 故选：C. 2. 已知椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，即可求出，，，结合椭圆的定义及性质计算可得. 【详解】由题意，设，则． 由椭圆的定义得，则离心率． 故选：B． 3. 双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线渐近线方程及两直线平行关系得，进而利用离心率公式求解即可. 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为． 因为双曲线的一条渐近线与直线平行，所以渐近线为，且， 所以双曲线的离心率． 故选：A． 4. 已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】先由直线求出焦点、准线方程，得及抛物线的方程，进而得点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【详解】对于直线，令，解得， 所以抛物线的焦点为,准线方程为． ，解得， 所以抛物线的方程为， 设的坐标为，则 ， ∴的坐标为，则，得，所以． 由抛物线的定义，得． 故选：C． 5. 已知的三个顶点分别为，则的面积是（ ） A. 5 B. 10 C. D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】由的坐标易证，分别求出，再代入的面积公式即可. 【详解】因为， 所以直线斜率，直线的斜率， 因为，所以，所以是直角三角形. 因为， 所以的面积. 故选：B. 6. 已知焦点在轴上的双曲线的离心率，则（ ） A. 1 B. C. D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】将双曲线的方程化为标准式，可得出，由离心率得出关于的等式，求解即可. 【详解】因为双曲线的焦点在轴上， 所以其标准方程为 所以， 所以解得． 又因为双曲线的离心率，所以． 又，所以， 即， 即，解得或（舍去）． 故选：C． 7. 双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：A 8. 已知椭圆及其上点，过右焦点的直线与椭圆交于不同两点（均异于点）．若直线的斜率互为相反数，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出直线的方程，将其与椭圆方程联立方程组，然后根据韦达定理对直线的斜率之和进行化简，可求得直线的斜率，进而求得其方程. 【详解】依题意，，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为． 由消去，整理得，显然． 设，则， 直线的斜率分别为． 由，得，所以， 整理得， 则，解得， 所以直线的方程为，即． 故选：D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆的焦距大于，则的取值可以为（ ） A. 2 B. 8 C. D. 36 【答案】ACD 【解析】 【分析】按照椭圆的焦点在轴和焦点在轴上两种情况分类讨论，利用焦距列方程求解即可. 【详解】若椭圆的焦点在轴上，则，所以焦距为． 由题意得，解得．故选项A，C符合题意． 若椭圆的焦点在轴上，则，所以焦距为． 由题意得，解得．故选项D符合题意. 故选：ACD． 10. 已知直线，圆，则下列说法正确的有（ ） A. 若直线与圆相切，则 B. 若，则直线与圆相交 C. 圆可能关于直线对称 D. 若，则直线被圆截得的弦长为 【答案】BD 【解析】 【分析】先找出直线恒过的点，将圆化成标准方程找出它的圆心，半径，选项A利用圆与直线相切的位置关系建立方程即可判断，选项B利用圆与直线相交的位置关系分析得出结论，选项C利用圆关于直线对则圆心在对称的直线上判断即可，选项D将先求出圆心到直线的距离，然后利用公式计算即可. 【详解】由直线的方程，得直线过定点， 由圆的一般方程， 得圆的标准方程为， 所以圆心为，半径. 对于A，若直线与圆相切， 则圆心到直线的距离， 即， 解得或，故A错误； 对于B，依题意，圆心到直线的距离为： ， 当时，， 所以直线与圆相交，故B正确； 对于C，若圆关于直线对称， 则圆心在直线上， 即，等式不成立， 故圆不可能关于直线对称，故C错误； 对于D，若，则直线， 圆心到直线的距离为：， 则弦长为，故D正确； 故选：BD. 11. 已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D. 【详解】法一：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，易知直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 联立，得， 易知，则， 又，， 所以， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 又 ， ， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD. 法二：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，消去，得， 易知，则， 所以 ， 综上，，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 当直线的斜率存在时，， ， 所以， 则； 综上，，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 抛物线的焦点坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线的性质即可得出答案. 【详解】由抛物线方程知，抛物线焦点在y轴上， 由，得，所以焦点坐标为． 故答案为：. 13. 已知直线与双曲线相切，双曲线的左､右顶点分别为．若是双曲线上一点（异于点），则直线的斜率和直线的斜率之积为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先列出直线斜率的表达式，然后联立直线与双曲线的方程，令判别式为0，即可求出的值，进而求出结果. 【详解】因为双曲线的方程为，所以． 设，则，直线的斜率，直线的斜率， 所以． 因为点在双曲线上，所以满足， 化简得，所以． 联立直线与双曲线的方程，得消去，整理得． 由题意得解得，所以． 故答案为：. 14. 已知O为坐标原点，双曲线C：（，）的左、右焦点分别是，，离心率为，点P是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，则点P到C的两条渐近线距离之积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先画出图形，根据题意先确定是等腰三角形，然后根据双曲线的定义可求得，然后根据离心率求得双曲线的方程，从而得到渐近线方程，然后根据点到直线的距离公式即可求出结果. 【详解】设半焦距为，延长交于点， 由于是的平分线，， 所以是等腰三角形，所以，且是的中点， 根据双曲线的定义可知，即. 由于是的中点，所以是的中位线， 所以，又双曲线的离心率为， 所以，所以双曲线的方程为. 所以，双曲线的渐近线方程为. 设，点到两渐近线的距离为， 则. 又点在双曲线的右支上，所以，即. 则点到两渐近线的距离为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，过点两条直线与直线的斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程，并指出曲线是什么曲线； （2）若，求点的坐标． 【答案】（1）且，曲线是不含长轴端点的椭圆 （2）或 【解析】 【分析】（1）首先设，然后直接根据坐标表示条件，化简整理即可得到轨迹方程； （2）首先根据已知条件求解及的值，然后分别求解直线及的方程，最后根据联立方程求解点的坐标. 【小问1详解】 设，又， 则由题意得． 化简得且， 所以曲线的方程为且，曲线是不含长轴端点的椭圆． 【小问2详解】 由题意，得解得或 若则直线的方程为①，直线的方程为②． 由①②可得即． 若则直线的方程为③，直线的方程为④． 由③④可得即． 综上，点的坐标为或． 16. 已知双曲线的左焦点为，的一条渐近线方程为，其顶点到渐近线的距离为2. （1）求的方程； （2）过的直线与交于，两点，为坐标原点.若的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据焦点在轴上的双曲线的渐近线方程以及顶点坐标和点到直线的距离公式列出方程组，解方程组后代入双曲线标准方程即可； （2）设出直线，联立直线和双曲线的方程，根据弦长公式得到三角形的底，再根据点到直线的距离公式得到三角形的高，列出关于面积的方程，求解后代入直线即可. 【小问1详解】 因为一条渐近线方程为，其顶点到渐近线的距离为2. 所以，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 由题知，且直线的斜率不为， 设直线的方程为，，， 联立方程，消得， ， 所以，， 设到的距离为，则， ， 所以，解得， 所以直线的方程为或. 17. 已知抛物线的焦点为，椭圆的右焦点为，离心率． （1）求椭圆的方程； （2）动直线恒过定点，过点作抛物线的切线与椭圆交于两点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率和焦点坐标即可算出a、b的值，也即求出椭圆的方程； （2）可知定点，再根据P求出过抛物线C的切线方程，结合点到直线的距离以及椭圆的弦长公式即可求得的面积． 【小问1详解】 由抛物线的方程，得焦点，所以在椭圆中，， 因为椭圆的离心率，所以，所以， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 由直线的方程，得直线恒过定点， 由题意，得点在抛物线上，设切线的方程为， 由，消去，整理得， 因为直线与抛物线相切，所以，即，解得， 所以直线的方程为， 由，消去，整理得， ，所以，， 因为点到直线的距离， ， 所以的面积． 18. 已知双曲线的渐近线上一点到左焦点的最短距离为． （1）求双曲线的方程； （2）O为坐标原点，直线与双曲线左支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方． ①求实数t的取值范围． ②设、分别为的面积和的面积，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据焦点到渐近线距离求出，再求出即可得解. （2）（ⅰ）直线与双曲线方程联立消元后由根与系数关系及直线与左支相交可得； （ⅱ）根据弦长公式及点到直线距离分别求出三角形面积，根据面积表达式换元后利用不等式性质求出范围. 【小问1详解】 设双曲线的焦距为，且， 则到直线的距离为，解得，， 所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）设，由，消去得， 则，， 由直线与双曲线左支交于两点，得，解得， 所以的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）知，， 原点到直线的距离，设， 由，消去得，则， 则， 于是， 令，则， 所以的取值范围为． 19. 已知双曲线，其右顶点为，右焦点为. （1）求以为焦点的抛物线的标准方程； （2）已知点，设点是双曲线上任一点，求的最小值； （3）设直线过点，其法向量为，若在双曲线上恰有三个点到直线的距离均为，求的值. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）求出双曲线右焦点，从而得抛物线方程； （2）利用两点间距离公式，结合双曲线上点的坐标范围求解； （3）由题意直线的斜率为1，设与直线平行的直线方程为，联立方程组，由可得的值，从而得的值. 【小问1详解】 由双曲线，可得， 则右焦点为，所以以为焦点的抛物线的标准方程为； 【小问2详解】 设，则有， =，由， 当时，. 【小问3详解】 由题意，直线法向量为，可得直线的斜率为1， 设与直线平行的直线方程为， 联立方程组，整理得， 令，解得， 当时，直线与的距离为； 当时，直线与的距离为， 所以的值或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高二10月联考 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知圆的圆心在轴的正半轴上，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 5. 已知的三个顶点分别为，则的面积是（ ） A. 5 B. 10 C. D. 20 6. 已知焦点在轴上的双曲线的离心率，则（ ） A. 1 B. C. D. 1或 7. 双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆及其上点，过右焦点的直线与椭圆交于不同两点（均异于点）．若直线的斜率互为相反数，则直线的方程是（ ） A B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆的焦距大于，则的取值可以为（ ） A. 2 B. 8 C. D. 36 10. 已知直线，圆，则下列说法正确的有（ ） A. 若直线与圆相切，则 B. 若，则直线与圆相交 C. 圆可能关于直线对称 D. 若，则直线被圆截得弦长为 11. 已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（ ） A B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 抛物线的焦点坐标为_____． 13. 已知直线与双曲线相切，双曲线的左､右顶点分别为．若是双曲线上一点（异于点），则直线的斜率和直线的斜率之积为__________． 14. 已知O为坐标原点，双曲线C：（，）的左、右焦点分别是，，离心率为，点P是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，则点P到C的两条渐近线距离之积为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，过点的两条直线与直线的斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程，并指出曲线是什么曲线； （2）若，求点坐标． 16. 已知双曲线的左焦点为，的一条渐近线方程为，其顶点到渐近线的距离为2. （1）求的方程； （2）过的直线与交于，两点，为坐标原点.若的面积为，求直线的方程. 17. 已知抛物线的焦点为，椭圆的右焦点为，离心率． （1）求椭圆的方程； （2）动直线恒过定点，过点作抛物线的切线与椭圆交于两点，求的面积． 18. 已知双曲线渐近线上一点到左焦点的最短距离为． （1）求双曲线的方程； （2）O为坐标原点，直线与双曲线的左支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方． ①求实数t的取值范围． ②设、分别为的面积和的面积，求的取值范围． 19. 已知双曲线，其右顶点为，右焦点为. （1）求以为焦点的抛物线的标准方程； （2）已知点，设点是双曲线上任一点，求的最小值； （3）设直线过点，其法向量为，若在双曲线上恰有三个点到直线的距离均为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $