专题02 圆中的重要模型之四点共圆模型（几何模型讲义）数学华东师大版九年级下册

专题02.圆中的重要模型之四点共圆模型 四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 6 模型2.定边对双直角共圆模型 8 模型3.定边对定角共圆模型 11 模型4.对角互补共圆模型 14 17 汉代数学家张丘建在《九章算术》中首次提出四点共圆的理论雏形，宋代数学家基于《九章算术》进一步研究，明确“对角互补的四边形必共圆”的判定条件，与阿拉伯研究形成互补。托勒密在《天文学大成》中提出‌托勒密定理‌：若凸四边形内接于圆，则两对角线乘积等于两组对边乘积之和，并给出严谨证明。该定理首次将四点共圆与定量关系结合，成为后世判定核心依据之一。四点共圆模型从东西方独立的定性认知起步，历经托勒密的定量跨越，最终在近现代整合为系统化工具，成为解决圆相关几何问题的通用模型。其发展体现了数学思想从经验到逻辑、从孤立到互联的演进本质。初中几何体系将四点共圆判定归纳为四大核心模型。 （24-25九年级上·北京·期中）如图，中，，，将绕的中点O倾时针旋转得到交于点交于点N，给出下面三个结论： ①；②点A，C，E，B四点共圆；③连接，则．上述结论中所有正确结论的序号是（   ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【详解】解：①连接、，如图所示：    ∵中，，，将绕的中点O倾时针旋转得到， ∴和为等腰直角三角形，根据旋转可知：，， ∵O为、的中点，∴，，，，，，∴，， ∵，，∴，∴， ∴，∴，∴，故①正确； ②∵，，∴， ∴点A，C，E，B在以点O为圆心，以为圆心的圆上，∴点A，C，E，B四点共圆，故②正确； ③∵，∴A、D、E在以为圆心的圆上，∴， ∴，故③错误；综上分析可知：正确的有①②．故选：A． （24-25九年级上·浙江杭州·期中）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆． 该小组继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图， 在线段同侧有两点，，连接，，，， 如果，那么，，，四点在同一个圆上． 【探究展示】如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与， 重合），连接，，则（依据）；∵，∴， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点， 都在点，，所确定的上（依据）；∴点，，，四点在同一个圆上； 【反思归纳】圆内接四边形对角互补；对角互补的四边形四个顶点共圆； 过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；同圆中，同弧所对的圆周角相等； （）上述探究过程中的“依据”、“依据”分别是指什么？依据： ；依据： ． （从框内选一个选项，直接填序号） （） 如图，在四边形中，，，则的度数为 ； 【拓展探究】（）如图4， 已知 是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于， 连接，． 求证：，，，四点共圆；若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】（），；（）；（）证明见解析；． 【详解】（）解：如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（圆内接四边形对角互补） ∵，∴， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点，在点，，所确定的上（过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆） ∴点，，，四点在同一个圆上，故答案为：，； （）解：∵在线段同侧有两点，，，∴，，，四点共圆， ∵，∴，故答案为：； （）证明：∵，∴， ∵点与点关于对称，∴，∴，∴，，，四点共圆； 解：，理由如下，如图，∵，，，四点共圆，∴， ∵，关于对称，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴，∵，∴． 1.定点定长共圆模型（圆的定义） 若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。 条件：如图1，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD。 结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。 证明：∵OA=OB=OC=OD ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 图1 图2（同侧型） 图3（ 异侧型） 2.定边对双直角共圆模型 定边对双直角模型：一定边所对的角为两个直角，分同侧型和异侧型两种情况进行讨论。 1）定边对双直角模型（同侧型） 条件：如图2，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 2）定边对双直角模型（异侧型） 条件：如图3，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 注意：由于同侧型与异侧型证明相同，故下面证明一次即可。 证明：取AD的中点为E，连结BE，CE。 ∵，BE=CE=AD=AE=ED， ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 3.定边对定角共圆模型 定边对定角模型：一定边同侧所对的角为两个相等（为定值）。 图1 图2 图3 图4 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆。 条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆。 证明：∵，∴， 又∵，。∴，∴A、B、C、D四点共圆。 4.对角互补共圆模型 条件：如图3，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆． 条件：如图4，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆. 证明：∵，∴，又∵，。∴， ∵，∴，∴A、B、C、D四点共圆。 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 例1（2024·辽宁盘锦·三模）如图，在中，，，点D在上，且，点E是上的动点，连接，点F，G分别是和的中点，连接，，当时，线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，，，在中，，， ， 点分别是和的中点，，，，， ，，=AG， ∴点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径 ∴，∵， ∴，是直角三角形，且， ，， 在和中，，，， ，∴．故答案为：． 例2（2024·安徽·九年级校考期中）如图，O为线段的中点，点A，C，D到点O的距离相等，则∠A与∠C的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵O为线段的中点，点A，C，D到点O的距离相等，∴点A，B，C，D到点O的距离相等， ∴点A，B，C，D在以O为圆心的圆上，即四边形为的圆内接四边形，∴．故选：D 例3（2025·重庆·校考一模）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是； 迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式； 拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．证明是等边三角形； 【答案】迁移应用：①详见解析；②结论：；拓展延伸：详见解析； 【详解】迁移应用：①证明：如图2 ∵，∴， 在和中，，∴， ②解：结论：．理由：如图中，作于． ∵，∴，在中，， ∵，，∴，∴； 拓展延伸：证明：如图3中，连接，∵四边形是菱形，， ∴是等边三角形，∴， ∵E、C关于对称，∴， ∴A、D、E、C四点共圆，∴，∴，∴是等边三角形； 模型2.定边对双直角共圆模型 例1（24-25·山西临汾·九年级统考期末）如图在四边形中，，若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，∵ ∴点A，B，C，D四点共圆，    ∵∴∵∴∴ ∵，∴ ∴∴．故选：D． 例2（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，等边的边长为，D是边上的动点，连接，以为斜边向上作等腰．连接，则长的最小值是 ． 【答案】2 【详解】解：如图，过点B作于点H，作射线， 是等腰直角三角形，，， 是等边三角形，边长为，，， ，点B，E，H，D四点共圆，， ，点E在的角平分线上运动， 当时，的长度有最小值，此时是等腰直角三角形， ，，故答案为：2． 例3（2024·安徽六安·三模）在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如图，在直角三角形纸片  内剪取一个直角，点 ，， 分别在，， 边上．请完成如下探究：（1）当 为的中点时，若，    （2）当，、时 ， 的长为    【答案】 /度 【详解】解：（1）如图1，连接，∵为的中点，∴， ∴，∴， ∵，，∴四点在同一个圆上，∴；       （2）如图2，过点分别作于点，作于点 ，则有： ， ∴，∴， ∵∴，∴，∵，，∴ 又∵，∴，则有 ，即． ∵，∴，即，∵，∴，即． 例4（2024·四川成都·校考一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点O为对角线AC的中点，点E在DC的延长线上且CE＝1.5，连接OE，过点O作OF⊥OE交CB延长线于点F，连接FE并延长交AC的延长线于点G，则＝ ． 【答案】 【详解】解：作OM⊥CD于M，ON⊥BC于N， ∵四边形ABCD为矩形，∴∠D=90°，∠ABC=90°，∴OM∥AD，ON∥AB， ∵点O为AC的中点，∴OM=AD=3，ON=AB=4.5，CM=4.5，CN=3， ∵CE=1.5，∴ME=CM+CE=6，在Rt△OME中，OE==3， ∵∠MON=90°，∠EOF=90°，∴∠MOE+∠NOE=∠NOF+∠NOE=90°， ∴∠MOE=∠NOF，又∠OME=∠ONF=90°，∴△OME∽△ONF， ∴，即，解得，FN=9，∴FC=FN+NC=12， ∵∠FOE=∠FCE=90°，∴F、O、C、E四点共圆，∴∠GFC=∠GOE，又∠G=∠G，∴△GFC∽△GOE， ∴，故答案为：． 模型3.定边对定角共圆模型 例1（23-24九年级·福建南平·自主招生）如图，在四边形中，且，垂足为，延长线交于，交的延长线于． (1)求证：A，，，四点共圆；(2)求证：为定值．    【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：连接，如图所示：    ，为等腰三角形，， 又∵，∴为中点，∴垂直平分， ，∴，， 又，为等腰三角形，，∴， ∴A，，，四点共圆；（若共底边的两个三角形的顶角相等，且在底边的同侧，则四点共圆） （2）证明：由（1）知：A，，，四点共圆，（同弧所对的圆周角相等） 又，为等腰三角形，∴， 又（公共角），，，． 例2（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在中，，，点D是射线上的动点（不与点B，C重合），连接，过点D在左侧作，使，连接，点F，G分别是，的中点，连接，，．    (1)如图1，点D在线段上，且点D不是的中点，当，时，与的位置关系是________，________．(2)如图2，点D在线段上，当，时，求证：． 【答案】(1)垂直， (2)见解析 【详解】（1）解：连接并延长交于，         ∵，∴，同理：， ∴，∴，四点共圆，∴， ∵，∴，∴与垂直；∵是的中点，∴，， ∵是的中点，∴，∵，∴，∴， 又，，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴；故答案为：垂直，； （2）作于，作，交的延长线于点，连接， ∵，∴为等边三角形，∴，， ∵，∴，∴，四点共圆，∴， ∵是的中点，∴，，∵是的中点，∴，∴， ∴，∴，∴是梯形的中位线，∴，∴，∵，∴， ∵，，∴，∵，∴， ∴，∴，∴； 例3（2022·贵州遵义·中考真题）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题：如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示：如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（依据1） 点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上（依据2）点，，，四点在同一个圆上 (1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：__________；依据2：__________． (2)图3，在四边形中，，，则的度数为__________． (3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，． ①求证：，，，四点共圆； ②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等 (2)45° (3)①见解析；②不发生变化，值为8 【详解】（1）如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（圆内接四边形对角互补） 点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上（同圆中，同弧所对的圆周角相等） 点，，，四点在同一个圆上； 故答案为：圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等 （2）在线段同侧有两点，， ；四点共圆， ；；故答案为： （3）①∵，， 点与点关于对称，，，四点共圆； ②，理由如下，如图，四点共圆，， 关于对称，，， ，，，，， 又，，，，，． 模型4.对角互补共圆模型 例1（24-25九年级下·湖北·专题练习）如图，中，，，在边上，延长，与的外接圆分别交于，两点．(1)求证：D，E，Q，P四点共圆；(2)若，，，求弦的长度． 【答案】(1)见解析(2)6 【详解】（1）证明：如图，连接，，， ，，， ，，， ，，，，，四点共圆； （2）解：，，， 由（1）知，，， ，即，，由（1）可知， ，，，即，解得． 例2（2025·贵州·模拟预测）如图，D，E分别是边长为的等边三角形的两边，上的动点，且，与交于点，则点A到点F的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：是等边三角形，，， ，，， ， ，如图，连接设， 当时，点A到点F的值最小，，， ，，，， ，A，D，F，E四点共圆，，， ，，，，， ，，， ，，， ，，．故答案为：． 例3（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）综合与实践 【问题提出】我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？ 【实验探究】（）获得猜想：观察图至图，分别过菱形、矩形、等腰梯形、共斜边的两个直角三角形的三个顶点作圆，提出猜想： 过______的四边形的四个顶点能作一个圆（请填写序号）． 对边相等；一组对边平行；对角线相等；对角互补； （）推理证明：已知：在四边形中， 求证：过点，，，可作一个圆． 证明：假设过点，，，不能作一个圆． 如图，过，，三点作，点不在圆上． 若点在外，与交于点，连接，则 ______． ，而是的外角， ______出现矛盾，故假设不成立．所以点在过，，三点的圆上． 同理可证点在内的情况． 【应用结论】如图，四边形中，对角线，交于点，，平分． 若，求的度数．若，，求线段的长． 【答案】（）④；（），；（）①；② 【详解】（）对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，故答案为：④； （）证明：假设过点，，，不能作一个圆， 如图，过，，三点作，点不在圆上， 若点在外，设与交于点，连接，则， ， ，而是的外角， ，出现矛盾，故假设不成立，∴点在过，，三点的圆上， 同理可证点在内的情况，故答案为：，； （）解：①∵ ，∴四点共圆， ∵平分，，∴，∴； ②由①可知，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 1．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（    ）    A． B． C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：是以为腰的等腰直角三角形，，，， ，， ， 点四点共圆，在以为直径的圆上，如图，连接，    由圆周角定理得：，，， ，， 在和中，，， ，，故选：A． 2．（2025江苏无锡·统考一模）如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接，，点是的中点，，， ，，， 点，，，在以为直径的圆上，， ∵，在中，，， 根据勾股定理得，故选A． 3．（24-25九年级下·北京·开学考试）如图，点O为线段的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接，．则下面结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】D 【详解】∵点O为线段的中点，点B，C，D到点O的距离相等，∴， 故点A，B，C，D都在以点O为圆心，为半径的圆上，且是直径， ∴，故A正确；四边形是圆的内接四边形，∴，故B正确； 根据同弧上的圆周角相等，得到，故C正确； 作的平分线，交圆于点E，则， 又，∴，∴， ∵，∴．故D错误，故选D． 4．（24-25九年级上·山东济宁·期末）如图，边长为的小正方形网格中，点在格点上，连接，点在上且满足，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以为圆心，为半径作，连接． 在格点上． 在上 又的直径是 点在上 故选：D． 5．（2024·湖北·二模）如图，将绕点顺时针旋转25°得到，EF交BC于点N，连接AN，若，则 ．    【答案】102.5° 【详解】解：如图，AF与CB相交于点O，连接CF，    根据旋转的性质得到：AC=AF，，，， ∴点A、N、F、C共圆，∴， 又∵点A、N、F、C共圆，∴，∴（平角的性质）， 故答案为：102.5° 6．（2023·江苏淮安·统考三模）如图，将矩形的边绕点A逆时针旋转得到，连接，过点D作的垂线，垂足E在线段上，连接．若，，则的度数为 ．    【答案】 【详解】解：连接与，与相交于点O，连接， ∵四边形形是矩形，∴，，O是的中点，， 又∵于E，即是直角三角形， ∴，∴，∴点五点共圆，作出这个圆如图所示：       则有，由旋转的性质可知：， 又∵，，∴，在中，，， ∴，∴．故答案为：30． 7．（24-25·北京·九年级阶段练习）如图，四边形中，，，则的度数为______． 【答案】36°##36度 【详解】解：如图，∵，∴三点在以为圆心为半径的圆上， ∵，∴．故答案为：． 8．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，，在中，，，当点分别在射线上滑动时，连结，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】在中，由勾股定理得：． 如图所示，在下方作等腰直角，过点作于点， 则点在以点为圆，为半径的圆上． 又，∴点四点共圆．∴． ∴． 在中，由勾股定理得，，即，解得：． 在中，由勾股定理得： 当点共线时，最大，则的最大值为．故答案为． 9．（2024九年级·山东·培优）如图，在正方形中，分别在边上，且分别与交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号）    【答案】①②③④ 【详解】解：∵在正方形中，，且， ∴点G、A、D、F四点共圆，∴，故①符合题意； ∵，∴，∴， ∴，故③符合题意；延长至K，使，连接，如图，    ∵四边形是正方形，∴， 则在和中，∵， ∴，∴， ∴， ∵，∴， 在和中，∵，∴， ∴，∴；故④符合题意； 设，则，∴，， ∴，故②符合题意；故答案为：①②③④ 10．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，已知在中，斜边，，，过点C作的垂线，与的延长线交于点Q，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：∵在中，斜边，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，即， ∴，∴当取最大值时，最大， ∵，∴点A、C、B、P四点共圆， ∵，∴为直径，∴当为直径时，即时，最大， 此时，故答案为：． 11．（24-25·江苏·九年级期中）已知：如图，在正方形中，、分别是、的中点． (1)线段与有何关系．说明理由； (2)延长、交于点H，则B、D、G、H这四个点是否在同一个圆上．说明理由． 【答案】(1)且，证明见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：且． 证明：、分别是、的中点，，，， 又，，，，， 在直角中，， ，，； （2）连接．，，， ，，在直角中，， ，， ，，，在以为圆心、长为半径的圆上． 12．（24-25·江苏·九年级假期作业）如图，，是的高，，相交于点，是的中点，是的外接圆．(1)点B，C，D，E是否在以点M为圆心的同一个圆上？请说明理由． (2)若，，求外接圆的半径长．    【答案】(1)点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上，理由见解析(2)5 【详解】（1）解：点，，，在以点为圆心的同一个圆上，理由：连接，，       ，，， 是的中点，，，， 点，，，在以点为圆心的同一个圆上； （2）连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，， ，是的高，，相交于点，， 是的直径，，，，， ，，四边形是平行四边形，， 在中，，，外接圆的半径长为5． 13．（24-25上·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）（1）【基础巩固】如图1，内接于，若，弦，则半径______； （2）【问题探究】如图2，四边形的四个顶点均在上，若，，点为弧上一动点（不与点，点重合）．求证：； （3）【解决问题】如图3，一块空地由三条直路（线段、、）和一条道路劣弧CD围成，已知千米，，CD的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点M处，另外三个入口分别在点C、D、P处，其中点在CD上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段、、、，某数学兴趣小组探究后发现C、P、D、M四个点在同一个圆上，请你帮他们证明C、P、D、M四点共圆，并判断是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由．    【答案】（1）；（2）见解析；（3）存在．四条慢跑道总长度（即四边形的周长）的最大值为 【详解】解：（1）连接，作，如下图：       ∵∴ 又∵，∴，∴， 设，则，由勾股定理可得：，即 解得，即 ； （2）证明：在上取点，使，连接，， ∵，，∴为等边三角形，∴，， ∵，∴，∴， ∴为等边三角形， ∴，，∴， ∴，∴，∴； （3）解：存在．∵千米， ∴当取得最大值时，四边形的周长最大， 连接，过点作于点，设， ∵，，，∴， ∴，∴，∴， ∵， ∴，∴或（舍去）， ∴，∴，∴D、P、C、M四点共圆， ∴， 由（2）可知，故当是直径时，最大值为2， ∵四边形的周长， ∴四边形的周长的最大值为：， 即四条慢跑道总长度（即四边形的周长）的最大值为    14．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）（1）【背景】补充下面证明过程 如下图，已知：四边形中， 求证：A、B、C、D四点在同一圆上． 证明：∵在中，取中点O，连结 _______ 同理在中_______ ∴_________ ∴A、B、C、D四点在以O为圆心，为半径的圆上． （2）【应用】如下图，已知是等边三角形，以为底边在外作等腰直角，点E为的中点，连结，则的度数是_________． （3）【拓展】如下图，，点E、F分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，连接，则的最小值为_________． 【答案】（1）；；  （2）  （3） 【详解】（1）证明：∵在中，取中点O，连结，, 同理在中 ∴A、B、C、D点四点在以O为圆心，为半径的圆上． 故答案为：；；． （2）连接，∵是等边三角形，点E为的中点，∴，， 又∵是等腰直角三角形，∴，， 由（1）可知A、E、C、D四点在以为直径的圆上， ∴，，∴； （3）连接并延长，如图，，， 由（1）可得四点共圆，为等腰直角三角形， ，，， ∴点在的平分线上，∵垂线段最短，∴当时，取最小值， ∴的最小值为，故答案为：． 15．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）如图，在平行四边形中，O是对角线的中点，M，N分别在边和上，且满足 (1)求证：；(2)设E是与的交点，求证：A、O、E、M四点共圆． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：∵平行四边形，O是对角线的中点， ∴，，， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，又∵，∴； （2）连接，由（1）知： ，∴，即：， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，即：， ∴，∴，∴，∴点A、O、E、M四点共圆． 16．（2025·山西吕梁·二模）阅读与思考 阅读下面的材料，并完成相应的任务． 探究四点共圆的条件我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆．过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？ 下面给出了一些圆内接四边形． 分别用量角器测量上面各四边形的内角，得出结论： ① 180°．（填“＞”“＜”或“＝”） ∵四边形内角和为，∴ ② ．（填“＞”“＜”或“＝”） 如果四边形的四个顶点不在同一个圆上，那么与之间还有上面的关系吗？试结合下图中的两种情况进行证明． …… 任务：(1)填空：①________，②________．（填“＞”“＜”或“＝”） (2)请你在图4与图5中选择其中一个图，探究与180°之间的关系．(3)如图6，点E在四边形ABCD的边AB的延长线上，，，，请在图6中作一个过A，B，D三点的（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的度数． 【答案】(1)=，= (2)图4：点C在圆的内部时，，证明见解析；图5：点C在圆的外部时，，证明见解析； (3)作图见解析， 【详解】（1）解：经测量：； ∵，∴．故答案为：，． （2）解：图4：点C在圆的内部时，，证明如下：如图：连接， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴． 图5：点C在圆的外部时，，证明如下： 如图：连接，∵，∴， ∵，∴， ∵，∴． （3）解：如图：即为所求；∵，，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵A，B，D三点在上，∴A，B，C、D三点在上，∵，∴． 17．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，正方形的边长为4，E是上一动点，过点E作，交点F，连接．(1)求证：；(2)、、、四点在同一个圆上吗？如果在，说明理由；(3)求D到中点的距离最小值． 【答案】(1)证明见详解；(2)、、、四点在同一个圆上，理由如下；(3)； 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴； （2）解：、、、四点在同一个圆上，理由如下， 由（1）得，∵，，∴， ∴，∴、、、四点在同一个圆上； （3）解：设，则，∵， ∴，即，解得：， ∴，∴， ∵E是上一动点，∴，∴当时最小，此时最小， ∴， ∵、、、四点在同一个圆上，∴D到中点的距离最小值为：． 18．（24-25·浙江·九年级期中）请阅读以下材料，完成相应任务． 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论： 如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）． 已知：如图1，点，是线段同侧两点，且． 求证：点，，，四点共圆． 证明：作的外接圆，假设点在外或在内． 如图2，若点在外．设与交于点，连接，则（依据一）， 又（依据二），． ．这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立； 如图3，若点在内，（请同学们补充完整省略的部分证明过程） 综上所述，作的外接圆，点在上，即点，，，四点共圆． (1)填空：将材料中依据一、依据二补充完整； 依据一：　 　 ；依据二：　 　 ． (2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (3)填空：如图4，在四边形中，，对角线，交于点，为中点，若，，则　 　． 【答案】(1)同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和(2)见解析(3) 【详解】（1）解：依据一：同弧所对的圆周角相等； 依据二：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 故答案为：同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； （2）如图3，若点在内，延长与交于点，连接， 则，又，．． 这与已知条件“”矛盾，故点在内不成立； （3），点，，，四点共圆， ∵，∴，∴，， 为中点，， ，，，， 解得：（负值已舍去），故答案为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02.圆中的重要模型之四点共圆模型 四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 6 模型2.定边对双直角共圆模型 8 模型3.定边对定角共圆模型 11 模型4.对角互补共圆模型 14 17 汉代数学家张丘建在《九章算术》中首次提出四点共圆的理论雏形，宋代数学家基于《九章算术》进一步研究，明确“对角互补的四边形必共圆”的判定条件，与阿拉伯研究形成互补。托勒密在《天文学大成》中提出‌托勒密定理‌：若凸四边形内接于圆，则两对角线乘积等于两组对边乘积之和，并给出严谨证明。该定理首次将四点共圆与定量关系结合，成为后世判定核心依据之一。四点共圆模型从东西方独立的定性认知起步，历经托勒密的定量跨越，最终在近现代整合为系统化工具，成为解决圆相关几何问题的通用模型。其发展体现了数学思想从经验到逻辑、从孤立到互联的演进本质。初中几何体系将四点共圆判定归纳为四大核心模型。 （24-25九年级上·北京·期中）如图，中，，，将绕的中点O倾时针旋转得到交于点交于点N，给出下面三个结论： ①；②点A，C，E，B四点共圆；③连接，则．上述结论中所有正确结论的序号是（   ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ （24-25九年级上·浙江杭州·期中）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆． 该小组继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图， 在线段同侧有两点，，连接，，，， 如果，那么，，，四点在同一个圆上． 【探究展示】如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与， 重合），连接，，则（依据）；∵，∴， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点， 都在点，，所确定的上（依据）；∴点，，，四点在同一个圆上； 【反思归纳】圆内接四边形对角互补；对角互补的四边形四个顶点共圆； 过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；同圆中，同弧所对的圆周角相等； （）上述探究过程中的“依据”、“依据”分别是指什么？依据： ；依据： ． （从框内选一个选项，直接填序号） （） 如图，在四边形中，，，则的度数为 ； 【拓展探究】（）如图4， 已知 是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于， 连接，． 求证：，，，四点共圆；若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 1.定点定长共圆模型（圆的定义） 若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。 条件：如图1，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD。 结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。 证明：∵OA=OB=OC=OD ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 图1 图2（同侧型） 图3（ 异侧型） 2.定边对双直角共圆模型 定边对双直角模型：一定边所对的角为两个直角，分同侧型和异侧型两种情况进行讨论。 1）定边对双直角模型（同侧型） 条件：如图2，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 2）定边对双直角模型（异侧型） 条件：如图3，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 注意：由于同侧型与异侧型证明相同，故下面证明一次即可。 证明：取AD的中点为E，连结BE，CE。 ∵，BE=CE=AD=AE=ED， ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 3.定边对定角共圆模型 定边对定角模型：一定边同侧所对的角为两个相等（为定值）。 图1 图2 图3 图4 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆。 条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆。 证明：∵，∴， 又∵，。∴，∴A、B、C、D四点共圆。 4.对角互补共圆模型 条件：如图3，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆． 条件：如图4，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆. 证明：∵，∴，又∵，。∴， ∵，∴，∴A、B、C、D四点共圆。 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 例1（2024·辽宁盘锦·三模）如图，在中，，，点D在上，且，点E是上的动点，连接，点F，G分别是和的中点，连接，，当时，线段的长为 ． 例2（2024·安徽·九年级校考期中）如图，O为线段的中点，点A，C，D到点O的距离相等，则∠A与∠C的数量关系为（    ） A． B． C． D． 例3（2025·重庆·校考一模）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是； 迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式； 拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．证明是等边三角形； 模型2.定边对双直角共圆模型 例1（24-25·山西临汾·九年级统考期末）如图在四边形中，，若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 例2（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，等边的边长为，D是边上的动点，连接，以为斜边向上作等腰．连接，则长的最小值是 ． 例3（2024·安徽六安·三模）在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如图，在直角三角形纸片  内剪取一个直角，点 ，， 分别在，， 边上．请完成如下探究：（1）当 为的中点时，若，    （2）当，、时 ， 的长为    例4（2024·四川成都·校考一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点O为对角线AC的中点，点E在DC的延长线上且CE＝1.5，连接OE，过点O作OF⊥OE交CB延长线于点F，连接FE并延长交AC的延长线于点G，则＝ ． 模型3.定边对定角共圆模型 例1（23-24九年级·福建南平·自主招生）如图，在四边形中，且，垂足为，延长线交于，交的延长线于． (1)求证：A，，，四点共圆；(2)求证：为定值．    例2（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在中，，，点D是射线上的动点（不与点B，C重合），连接，过点D在左侧作，使，连接，点F，G分别是，的中点，连接，，．    (1)如图1，点D在线段上，且点D不是的中点，当，时，与的位置关系是________，________．(2)如图2，点D在线段上，当，时，求证：． 例3（2022·贵州遵义·中考真题）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题：如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示：如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（依据1） 点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上（依据2）点，，，四点在同一个圆上 (1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：__________；依据2：__________． (2)图3，在四边形中，，，则的度数为__________． (3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，． ①求证：，，，四点共圆； ②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 模型4.对角互补共圆模型 例1（24-25九年级下·湖北·专题练习）如图，中，，，在边上，延长，与的外接圆分别交于，两点．(1)求证：D，E，Q，P四点共圆；(2)若，，，求弦的长度． 例2（2025·贵州·模拟预测）如图，D，E分别是边长为的等边三角形的两边，上的动点，且，与交于点，则点A到点F的最小值为 ． 例3（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）综合与实践 【问题提出】我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？ 【实验探究】（）获得猜想：观察图至图，分别过菱形、矩形、等腰梯形、共斜边的两个直角三角形的三个顶点作圆，提出猜想： 过______的四边形的四个顶点能作一个圆（请填写序号）． 对边相等；一组对边平行；对角线相等；对角互补； （）推理证明：已知：在四边形中， 求证：过点，，，可作一个圆． 证明：假设过点，，，不能作一个圆． 如图，过，，三点作，点不在圆上． 若点在外，与交于点，连接，则 ______． ，而是的外角， ______出现矛盾，故假设不成立．所以点在过，，三点的圆上． 同理可证点在内的情况． 【应用结论】如图，四边形中，对角线，交于点，，平分． 若，求的度数．若，，求线段的长． 1．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（    ）    A． B． C．2 D．1 2．（2025江苏无锡·统考一模）如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·北京·开学考试）如图，点O为线段的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接，．则下面结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D．若，则 4．（24-25九年级上·山东济宁·期末）如图，边长为的小正方形网格中，点在格点上，连接，点在上且满足，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·湖北·二模）如图，将绕点顺时针旋转25°得到，EF交BC于点N，连接AN，若，则 ．    6．（2023·江苏淮安·统考三模）如图，将矩形的边绕点A逆时针旋转得到，连接，过点D作的垂线，垂足E在线段上，连接．若，，则的度数为 ．    7．（24-25·北京·九年级阶段练习）如图，四边形中，，，则的度数为______． 8．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，，在中，，，当点分别在射线上滑动时，连结，则的最大值为 ． 9．（2024九年级·山东·培优）如图，在正方形中，分别在边上，且分别与交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号）    10．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，已知在中，斜边，，，过点C作的垂线，与的延长线交于点Q，则的最大值为 ． 11．（24-25·江苏·九年级期中）已知：如图，在正方形中，、分别是、的中点． (1)线段与有何关系．说明理由； (2)延长、交于点H，则B、D、G、H这四个点是否在同一个圆上．说明理由． 12．（24-25·江苏·九年级假期作业）如图，，是的高，，相交于点，是的中点，是的外接圆．(1)点B，C，D，E是否在以点M为圆心的同一个圆上？请说明理由． (2)若，，求外接圆的半径长．    13．（24-25上·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）（1）【基础巩固】如图1，内接于，若，弦，则半径______； （2）【问题探究】如图2，四边形的四个顶点均在上，若，，点为弧上一动点（不与点，点重合）．求证：； （3）【解决问题】如图3，一块空地由三条直路（线段、、）和一条道路劣弧CD围成，已知千米，，CD的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点M处，另外三个入口分别在点C、D、P处，其中点在CD上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段、、、，某数学兴趣小组探究后发现C、P、D、M四个点在同一个圆上，请你帮他们证明C、P、D、M四点共圆，并判断是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由．    14．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）（1）【背景】补充下面证明过程 如下图，已知：四边形中， 求证：A、B、C、D四点在同一圆上． 证明：∵在中，取中点O，连结 _______ 同理在中_______ ∴_________ ∴A、B、C、D四点在以O为圆心，为半径的圆上． （2）【应用】如下图，已知是等边三角形，以为底边在外作等腰直角，点E为的中点，连结，则的度数是_________． （3）【拓展】如下图，，点E、F分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，连接，则的最小值为_________． 15．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）如图，在平行四边形中，O是对角线的中点，M，N分别在边和上，且满足 (1)求证：；(2)设E是与的交点，求证：A、O、E、M四点共圆． 16．（2025·山西吕梁·二模）阅读与思考 阅读下面的材料，并完成相应的任务． 探究四点共圆的条件我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆．过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？ 下面给出了一些圆内接四边形． 分别用量角器测量上面各四边形的内角，得出结论： ① 180°．（填“＞”“＜”或“＝”） ∵四边形内角和为，∴ ② ．（填“＞”“＜”或“＝”） 如果四边形的四个顶点不在同一个圆上，那么与之间还有上面的关系吗？试结合下图中的两种情况进行证明． …… 任务：(1)填空：①________，②________．（填“＞”“＜”或“＝”） (2)请你在图4与图5中选择其中一个图，探究与180°之间的关系．(3)如图6，点E在四边形ABCD的边AB的延长线上，，，，请在图6中作一个过A，B，D三点的（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的度数． 17．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，正方形的边长为4，E是上一动点，过点E作，交点F，连接．(1)求证：；(2)、、、四点在同一个圆上吗？如果在，说明理由；(3)求D到中点的距离最小值． 18．（24-25·浙江·九年级期中）请阅读以下材料，完成相应任务． 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论： 如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）． 已知：如图1，点，是线段同侧两点，且． 求证：点，，，四点共圆． 证明：作的外接圆，假设点在外或在内． 如图2，若点在外．设与交于点，连接，则（依据一）， 又（依据二），． ．这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立； 如图3，若点在内，（请同学们补充完整省略的部分证明过程） 综上所述，作的外接圆，点在上，即点，，，四点共圆． (1)填空：将材料中依据一、依据二补充完整； 依据一：　 　 ；依据二：　 　 ． (2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (3)填空：如图4，在四边形中，，对角线，交于点，为中点，若，，则　 　． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $