专题01+集合与充要条件（讲义）-2026版陕西省（职教单招）二轮复习《数学考纲专题练》.docx

编写说明：2026版陕西省职教单招二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及陕西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版陕西省职教单招二轮复习《数学考纲专题练》的第1个专题，内容为集合与充要条件。 2026版陕西省职教单招 二轮复习《数学考纲专题练》 专题01 集合与充要条件 · 一、课标解读 · 集合：理解集合的概念，掌握用符号表示元素与集合的关系的方法。 · 掌握集合的列举法，理解性质描述法。 · 理解空集、子集、真子集和全集的概念，理解集合相等与包含关系，掌握集合的交、并、补的简单运算。 · 充要条件：了解充分条件，必要条件和充要条件。 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2023 选择题 1 集合的运算 5 陕西职教单招真题中，集合与充要条件考查呈现以下特点： （1）题型：集中在选择题。 （2）分值：几乎每年都有涉及，分值一般在10分左右。 （3）内容：主要考查集合的运算、充要条件等知识点，难度系数偏基础，需加强计算的能力。 选择题 6 充要条件 5 2022 选择题 1 集合的运算 5 选择题 7 充要条件 5 2021 选择题 1 集合的运算 5 选择题 9 充要条件 5 三、考点预测 预估2026年陕西省职教单招考试有2道选择题考查，分别考查“集合基本运算”“充要条件定义判断”等，共10分。 具体考点： · 集合的交集运算。 · 集合的并集运算。 · 充要条件与不等式关系的结合 四、知识梳理 知识点一、集合有关概念 1、集合的定义：某些指定的对象集的整体，其中每一个对象叫元素。 2、元素的特性： 确定性（元素是否在集合中明确） 互异性（集合中无重复元素） 无序性（元素顺序不影响集合本身） 说明：1）.确定性：避免 “模糊描述” 构成集合的元素必须有明确的判断标准，不能用主观、模糊的词汇。 2）.互异性：处理 “重复元素” 集合中不能有重复元素，若题目中出现重复元素，需自动去除。 3）.无序性：忽略 “排列顺序” 比较两个集合是否相等时，无需关注元素的排列顺序，只需判断元素是否完全相同。 3、集合的表示方法： 列举法：直接列出所有元素描述法：用元素的共同特征表示。 图示法（Venn 图）：用圆形等图形直观展示集合关系。 描述法：明确 “代表元素” 与 “条件”。 4、常见数集的符号： 自然数集：N，正整数集：N⁺或 N*，整数集：Z，有理数集：Q，实数集：R 5、集合与元素的符号表示 “∈”“∉” 用于表示元素与集合的关系；“⊆”“⊂” 用于表示集合与集合的关系 说明： 1）列举法：不遗漏、不多余 列举元素时需涵盖集合的所有元素，既不能遗漏，也不能加入不属于该集合的元素。 2）描述法：“代表元素”和 “元素满足的条件” 需清晰对应，不能混淆。 符号规范：区分 “元素符号” 与 “集合符号” 3）元素用小写字母（如 a、b）表示，集合用大写字母（如 A、B）表示，常见数集的符号需大写且规范，不能随意改写。 4）元素与集合的关系只有 “属于” 或 “不属于”，需与集合间的 “包含” 关系区分开。 6、集合的分类 1）有限集：含有有限个元素的集合。 2）无限集：含有无限个元素的集合。 7、集合间的基本关系 1）子集：若对于任意元素 x，只要 x∈A，就有 x∈B，则称集合 A 是集合 B 的子集，记作A⊆B（读作 “A 包含于 B”），或B⊇A（读作 “B 包含 A”）。 2）真子集：若 A⊆B，且存在至少一个元素 x∈B，但 x∉A，则称集合 A 是集合 B 的真子集，记作A⊂B（或 A⊊B），读作 “A 真包含于 B”。 3）空集：空集是不含任何元素的集合， 4）相等：若 A⊆B 且 B⊆A，则称集合 A 与集合 B 相等，记作A=B。 说明： 1）子集关键特征：A 的元素没有超出 B 的范围，A 可以等于 B（即 A 和 B 元素完全相同）。 重要结论：任何集合都是它自身的子集，即A⊆A。 2）真子集关键特征：A 是 B 的子集，但 A≠B，B 比 A “多” 至少一个元素。 重要结论：一个集合的真子集数量比它的子集数量少 1（少的那个是集合自身）。 3）集合相等关键特征：两个集合的元素 “一一对应”，没有差异，既可以说 A 包含于 B，也可以说 B 包含于 A。 判断方法：证明两个集合相等，需分别证明 “A⊆B” 和 “B⊆A”，二者缺一不可。 4）空集（∅）与其他集合的关系： 空集是任何集合的子集，即对任意集合 A，都有。 空集是任何非空集合的真子集，即若集合 A≠∅，则。 空集没有真子集（因为它没有元素，无法满足 “包含但不相等” 的条件） 8、集合的运算 1.交集：由所有既在A中又在B中的元素组成的集合，记为A∩B，即A∩B={x | x∈A且x∈B} 2.并集：由所有在A中或在B中的元素组成的集合，记为A∪B，即A∪B={x | x∈A或x∈B}。 3.全集：所有元素组成的集合，记为U 补集：由所有在U中但不在A中的元素组成的集合，记为A 即A ={x | x∈U且x∉A} 知识点二、充要条件有关概念 1、 定义 这是理解充要条件的基础，需明确四种条件的本质区别，通常通过 “若 p，则 q” 的命题形式判断。 充分条件：若 p 成立能推出 q 成立（p⇒q），则 p 是 q 的充分条件。 说明：充分条件的关键是 “p→q”，只需保证 p 成立时 q 一定成立，无需考虑 q 成立时 p 的情况。 必要条件：若 q 成立能推出 p 成立（q⇒p），则 p 是 q 的必要条件。 说明：必要条件的关键是 “q→p”，强调 q 成立的前提是 p 必须成立，而非 p 成立能直接推出 q。 充要条件：若 p⇒q 且 q⇒p（即 p⇔q），则 p 是 q 的充要条件，二者等价。 说明：避免将 “p 是 q 的充分条件” 与 “p 是 q 的必要条件” 混淆，二者推出方向完全相反，需通过箭头方向（→）明确区分。 既不充分也不必要条件：若 p 不能推出 q，且 q 不能推出 p，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件。 2、判定方法 掌握判定技巧是解题的关键，常用方法有三种，可根据题目类型选择。 定义法：直接根据 “p⇒q” 和 “q⇒p” 的真假判断。 步骤：先判断 p 能否推出 q，再判断 q 能否推出 p，最后综合得出结论。 说明：判断 “p⇒q” 时，需假设 p 完全成立，推导 q 是否一定成立，不能存在例外情况。若推导过程中出现 “p 成立但 q 不成立” 的反例，则 “p⇒q” 为假。 集合法：利用集合间的包含关系对应条件关系，更直观。 设集合 A={x | p (x)}，B={x | q (x)}： 若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件； 若 A⊇B，则 p 是 q 的必要条件； 若 A=B，则 p 是 q 的充要条件； 若 A 与 B 无包含关系，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件。 说明： 第一步必须准确写出集合 A 和集合 B，确保集合的描述与条件 p、q 完全一致。处理含参数的集合时，需先确定参数的取值范围，再分析集合间的包含关系。 等价法：将原命题转化为逆否命题，避免直接判断的困难。 原命题 “p⇒q” 等价于逆否命题 “¬q⇒¬p”； 原命题 “q⇒p” 等价于逆否命题 “¬p⇒¬q”。 说明： 转化逆否命题时，需同时否定条件和结论，并颠倒推导方向，即 “p⇒q” 的逆否命题是 “¬q⇒¬p”，二者真假完全一致。 含全称量词（“所有”“任意”）或特称量词（“存在”“有的”）的命题，否定时需更换量词并否定结论。 3、充要条件的常见场景 数学命题证明 证明 p 是 q 的充要条件，需分两步： 证明充分性：假设 p 成立，推导出 q 成立； 证明必要性：假设 q 成立，推导出 p 成立。 参数取值范围求解 根据条件关系，结合集合包含关系列不等式，求解参数范围 五、10分钟小测验 1.下列关系中，正确的是(    ) A. B. C. D. 2.已知集合，且，则等于(    ) A. B. C. D. 3.已知集合，，，则的子集共有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4.已知全集，集合，，则(    ) A. B. C. D. 5.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 答案与解析 1.【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查元素与集合的关系，常用数集与点集，属于基础题． 根据元素与集合的关系判断． 【解答】 解：因为，，，， 所以A错误，B正确，C错误，D错误． 故选：． 2.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了集合元素的属性，注意元素的约束条件是解答的关键，属于基础题． 由已知，应该是的正因数，所以可能为，，，，又，得到． 【解答】 解：因为集合，且， 所以可能为，，，， 对应的值为，，，， 所以． 故选D． 3.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查利用集合的交集的定义求交集、考查一个集合含个元素，则其子集的个数是属于基础题． 利用集合的交集的定义求出集合；利用集合的子集的个数公式，求出的子集个数． 【解答】 解：，， ，含有个元素． 的子集共有 故选：． 4.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查集合并集和补集的求解，属于基础题 根据并集和补集的定义求解，即可得到答案． 【解答】 解：，， ， 故本题选C． 5.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了交集的运算问题． 根据交集的定义写出即可． 【解答】 解：集合，，则． 故选：． 六、经典例题解析 （一）集合 考点一：集合的含义 【例1】已知集合，且，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】 本题考查了集合的运算性质、不等式的解法，属于基础题． 集合，必有，再利用，即可得出． 【解答】 解：集合，，得且． ， ，， 则． 故选：． 【例2】已知集合的元素之和为，则实数所有取值的集合为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查元素与集合的关系，一元一次方程的解，属于基础题． 由题可知是方程的解，结合已知条件可知方程的解为或，解方程即可． 【解答】 解：易知是集合中的元素， 又因为的元素之和为， 所以方程的解为或，即，即或或， 故选D． 【例3】已知集合，，，则中元素的个数为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查集合元素个数的判断，属于基础题． 分类讨论的值，即可求解． 【解答】 解：当时，，得，，， 当时，，得，，， 当时，，得，，， 综上，集合中元素有个， 故选：． 考点小结： 牢记集合的三大特性（确定性、互异性、无序性），尤其是 “互异性”，是解决很多集合题的关键限制条件。 对于含参数的集合问题，要结合 “元素与集合的关系”“方程的解” 等知识，分情况讨论并验证。 涉及几何意义的集合（如例 3 的平面点集），可通过枚举法或图形辅助来明确元素个数。 考点二：集合的表示 【例1】集合，用列举法可以表示为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了集合的表示法，属于基础题． 利用已知条件，化简求解即可． 【解答】解：由集合， 可知，，，，，， 所以，，，，，． 所以集合． 故答案选：． 【例2】用描述法表示函数图象上的所有点的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查集合的表示方法，属于基础题。 根据集合是点集，代表元素是，判断结果． 【解答】 解：因为集合是点集，所以代表元素是，所以用描述法表示为． 故选C． 考点小结： 对于列举法题型，关键是根据 “元素满足的条件”（如分式为整数、元素属于正整数等），逐一分析可能的取值，再整理出集合。 对于描述法题型，要清晰区分 “数集” 和 “点集” 的表示差异：数集用单个字母（如x、y）作为代表元素，点集用(x, y)作为代表元素，再结合元素满足的条件（如方程、不等式）来书写。 考点三：集合的基本关系 【例1】如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查图，属于基础题． 根据图的意义，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分，求解即可． 【解答】 解：根据题意，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分， 即． 故选：． 【例2】已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了集合与集合的基本关系，属于基础题． 由已知变形整理集合，的表达式，即可得到． 【解答】 解：在集合中，，，是偶数， 在集合中，，，是整数， 综上可知，必有． 故选A． 【例3】设集合，，若，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】本题考查含参数的集合关系的问题，属于基础题． 根据题意易得． 【解答】 解：集合，，若，易得． 故选：． 考点小结： 对于Venn 图题型，要熟练掌握 “补集”“交集”“并集” 的几何意义，通过分析阴影部分与各子集、全集的位置关系，转化为集合运算式。 对于集合包含关系题型，若集合由表达式定义（如含参数k的代数式），可通过化简表达式、分析元素特征来判断集合间的包含或相等关系。 考点四：集合的基本运算 【例1】（2023·陕西对口升学高考）已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查集合的并集运算。 并集的定义是：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，记作 已知将两个集合的元素合并（重复元素只保留一次），得到 故选：D 【例2】（2022·陕西对口升学高考）已知集合求（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】既要满足，又要满足，因此取值范围是，即 故选：D 【例3】（2021·陕西对口升学高考）已知集合 A {x | 4 x 1}，B {x | 3 x 3}，则 A∪B （） A．{x | 4 x 3} B．{x | 4 x 3} C．{x | 3 x 1} D．{x |1 x 3} 【答案】A 【解析】 集合A的范围是，集合B的范围是。 合并后，最左边的边界是，最右边的边界是，因此合并后的范围是，即。 故选：A 考点小结： 对于列举法集合的运算，核心是 “合并元素、去重”，直接根据并集、交集的定义操作即可。 对于描述法（不等式型）集合的运算，关键是分析 “范围的公共部分（交集）” 或 “范围的合并部分（并集）”，可通过画数轴辅助理解，更直观地确定区间范围。 （二）充要条件 考点一：充要条件的判断 【例1】（2023·陕西对口升学高考）“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 解析：集合A的范围是，集合B的范围是。 合并后，最左边的边界是，最右边的边界是，因此合并后的范围是，即。 故选：D 【例2】（2022·陕西对口升学高考）设，则“x < 1”是“|x| < 1”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 解析：先解不等式|x| < 1，根据绝对值的定义，可得-1 < x < 1。 分析推导关系： 若 “|x| < 1”（即-1 < x < 1），则一定满足 “x < 1”，即 但 “x < 1” 时，比如x = -2，不满足 “|x| < 1”，即。 因此，“x < 1” 是 “|x| < 1” 的必要不充分条件 故选B 【例3】（2021·陕西对口升学高考）设 xR ，则“ x 3 ”是“ x 5 ”的 （） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B  【解析】 分析两个条件对应的集合： 对应的集合是； 对应的集合是。 集合关系：即 的范围是范围的一部分。 因此，是 的必要不充分条件。 故选： 考点小结： 对于充要条件判断，本质是分析 “条件p” 和 “结论q” 之间的双向推导关系。可借助 “集合包含关系” 辅助判断： 对于不等式类问题，先化简不等式（如解绝对值不等式、分式不等式等），再转化为集合分析更清晰。 考点二：集合与充要条件的结合 【例1】已知集合，，则“”是“”的(    ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查集合包含关系和充分、必要条件的判断，属于基础题． 运用集合包含关系和充分、必要条件的定义判断即可． 【解答】解：可得，充分性成立； ，可得或，必要性不成立． 故为充分不必要条件， 选B． 考点小结： 明确集合与条件的对应关系：将 “条件p” 转化为集合A，“条件q” 转化为集合B。 分别判断充分性和必要性： 充分性：验证 “若p，则q” 是否成立。 必要性：验证 “若q，则p” 是否成立。 结合集合的包含关系（子集、真子集）：根据包含关系的类型，确定充要条件的类型。 通过这种 “集合转化 + 包含关系分析” 的思路，可系统解决此类结合题。 七、专题归纳小结 一、核心内容梳理 （一）集合部分 1. 定义与特性：集合是由确定、互异、无序的元素组成的整体。 2. 表示方法 2. 列举法、描述法、Venn 图法 3. 基本关系 3. 子集、真子集、集合相等 4. 基本运算 4. 交集、并集、补集 （二）充要条件部分 1. 定义 4. 充分条件：、必要条件、充要条件、既不充分也不必要条件 2. 判定方法 4. 定义法、集合法 二、解题策略与方法 （一）集合运算 1. 列举法集合的交、并集直接合并元素（并集）或提取公共元素（交集），注意元素互异性（重复元素只保留一次）。 2. 描述法（不等式型）集合的交、并集画数轴分析区间的公共部分（交集）或合并部分（并集），注意端点的 “包含 / 不包含”。 （二）充要条件判断 4. 1、定义法先化简条件 2、集合法将条件转化为集合，通过集合包含关系判断： （三）含参数集合问题 1. 利用元素互异性排除无效解 2. 分析集合关系时，考虑空集的特殊性。 三、易错点与避坑指南 1. 集合表示混淆误将点集，需关注代表元素的差异。 2. 元素互异性遗漏。 3. 充要条件方向颠倒混淆 “p是q的充分条件”，需通过 “谁推谁” 明确逻辑方向。 四、复习建议 1. 基础巩固牢记集合的 “三特性”“三种表示方法”“四种基本运算”，以及充要条件的定义和判定方法，默写常用数集符号和集合运算性质。 2. 题型突破针对 “集合交并集运算”“充要条件判断”“含参数集合关系” 三类核心题型，进行专项练习： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $