第七章 简单几何体（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学 基础模块下册》高教版2023修订版）

编写说明：本套【湖北专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第七章简单几何体的单元测试卷，主要梳理和考查了棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、球的表面积及体积计算、几何体与球的切接问题等常见考点。 第七章 简单几何体 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列命题中正确的是（ ） A．底面是正多边形的棱柱叫做正棱柱 B．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 C．沿直角三角形的一边旋转一周即可得到圆锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 【答案】D 【分析】根据棱柱，圆柱，棱柱的定义及性质逐项判断即可得解. 【详解】底面是正多边形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正棱柱，故错误； 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻的两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的多面体叫棱柱，故错误； 沿直角三角形的一条直角边旋转一周即可得到圆锥，故错误； 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故正确， 故选：. 2．下列四个命题中正确命题的个数是（   ） ①直平行六面体就是长方体； ②有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱； ③有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥； ④底面是正方形的棱柱是正棱柱. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】分别运用长方体、直棱柱、棱锥和正棱柱的定义，即可得到所求结论. 【详解】①直平行六面体是侧棱与底面垂直的平行六面体， 而长方体是底面为矩形的直平行六面体，错误， ②若棱柱有两个相邻的侧面是矩形， 因为相邻侧面的公共边（即侧棱）垂直于这两个侧面与底面的交线， 且这两条交线也相交，所以侧棱垂直于底面，满足直棱柱的定义，正确， ③有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的几何体才是棱锥， 若其余各面的三角形没有公共顶点，则不是棱锥，错误， ④正棱柱要求底面是正多边形且侧棱垂直于底面， 仅底面是正方形，不能保证侧棱垂直于底面，错误， 故选：A. 3．正方体的体对角线长为，则正方体的棱长为（   ）. A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】根据正方体的体对角线公式即可得解. 【详解】设正方体的棱长为， 则，解得， 故选：. 4．下列说法正确的是（   ） A．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 B．四棱锥的四个侧面不都可以是直角三角形 C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥 D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体 【答案】D 【分析】根据棱锥与棱柱的性质逐项判断即可得解. 【详解】对于A，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形， 若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故A错误； 对于B，四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形，如图所示，故B不正确； 对于C，当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是时，各侧面构成平面图形， 故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误； 对于D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确． 故选：. 5．下列图形中，属于棱锥的有（    ）    A．①③ B．①③④ C．①②④ D．①② 【答案】C 【分析】由棱锥的定义即可求解. 【详解】棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面是三角形，且这些三角形有一个公共点. ③不满足棱锥定义中侧面都是三角形，且这些三角形有一个公共点， ∴③不是棱锥. 故选：C 6．已知高为3的正三棱锥的底面三角形的边长为1，则三棱锥的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算底面三角形的面积，再根据棱锥的体积公式可求解. 【详解】因为正三棱锥的底面三角形的边长为1， 所以底面三角形的面积：. 因为正三棱锥的高为3，所以三棱锥的体积. 故选：D 7．如图所示的平面图形可以折叠成的立体图形为（   ）    A．平行六面体 B．四棱柱 C．四棱锥 D．三棱锥 【答案】C 【分析】根据给定的图形，结合棱锥的定义判断即可. 【详解】由给定的图形可知，该几何体有四个三角形面与一个四边形面组成， 且四个三角形共顶点，所以该几何体为四棱锥， 故选：C. 8．圆柱的轴截面面积为4，则它的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆柱的底面半径为r，高为h，根据轴截面面积求得的关系，再根据圆柱的侧面积公式求解． 【详解】设圆柱的底面半径为r，高为h， ∵圆柱的轴截面面积为4， ∴， ∴圆柱的侧面积为， 故选：C． 9．平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】截面圆的半径、球心到平面的距离、球的半径构成直角三角形，据此即可求解. 【详解】由截面圆的半径、球心到平面的距离、球的半径构成直角三角形， 解得球的半径为， 利用球的体积公式得． 故选：B. 10．现有一边长为的正三角形，若以其一条高所在的直线为轴旋转一周，则所得的旋转体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断旋转体的类型为圆锥，再分析圆锥的底面积半径、高及母线，最后计算表面积. 【详解】正三角形的边长为，则高为， 正三角形以其一条高所在的直线为轴旋转一周，则所得的旋转体是圆锥， 故圆锥的高为，圆锥的底面圆直径，半径为，母线. 故圆锥的表面积为． 故选：D. 二、多项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分.在每小题给出四个备选项中，有多项符合题目要求，请将其选出。全部选对的得 3 分，有选错的或未选的得 0 分) 11．下列命题，错误的是（   ） A．四个侧面是全等的矩形的直棱柱是正四棱柱 B．底面是等边三角形，侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 C．直角三角形绕着它的一条边旋转形成的封闭几何体称为圆锥 D．圆柱的母线长等于圆柱的高 【答案】ABC 【分析】根据正四棱柱，正三棱锥，圆锥，圆柱的定义与性质逐项判断即可得解. 【详解】选项，当底面为菱形时，此时不是正四棱柱，故错误； 选项，底面是等边三角形，侧面是全等的等腰三角形的三棱锥是正三棱锥，故错误； 选项，直角三角形绕着它的一条直角边旋转形成的封闭几何体称为圆锥，故错误； 选项，圆柱的母线长等于圆柱的高，故正确， 故选：. 12．已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合底面直角的外接圆的半径，以及直棱柱的结构特征，得到外接球的半径，满足，再由球的体积公式，即可求解. 【详解】由直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和， 设底面直角三角形的外接圆的半径为，可得， 设直三棱柱上下底面直角三角形的外心（斜边的中点）分别为， 则三棱柱外接球的球心为的中点，设为， 又因为三棱柱的高为， 所以外接球的直径为， 可得，所以该三棱柱的外接球的体积为. 故选：ABD. 13．下列说法错误的是（    ） A．圆锥的底面是圆面，侧面是曲面 B．用一张扇形的纸片可以卷成一个圆锥 C．一个物体上､下两个面是相等的圆面，那么它一定是一个圆柱 D．圆台的任意两条母线的延长线可能相交也可能不相交 【答案】BCD 【分析】由圆锥、圆锥和圆台的结构特征依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，由圆锥的性质知：圆锥的底面为圆面，侧面为曲面，A正确； 对于B，一张扇形的纸片只能卷出圆锥的侧面，不包含底面，B错误； 对于C，若两个相等的圆面不平行，则该几何体不是圆柱，C错误； 对于D，圆台是由平行于圆锥底面的平面截圆锥所得，则任意两条母线的延长线必然相交于一点，D错误. 故选：BCD. 14．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是    A．   B．   C．   D．   【答案】AD 【解析】根据该几何体的结构直观想象即可. 【详解】一个圆柱挖去一个圆锥后,剩下的几体被一个竖直的平面所截,圆柱的轮席是矩形除去一条边,圆锥的轮幕是三角形除去条边或抛物线的一部分, 故选：AD. 【点睛】本题主要考查了几何体的截面问题,属于基础题. 15．在南方不少地区，经常看到一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽厘米，关于此斗笠，下列说法正确的是（    ） A．斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为 B．过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为平方厘米 C．若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为平方厘米 D．此斗笠放在平面上，可以盖住的球（保持斗笠不变形）的最大半径为厘米 【答案】ACD 【分析】根据母线长与底面半径用正弦可求顶角；当顶角为是面积最大；根据顶角与母线长即可求外接球半径；根据三角形内切圆几何关系即可求解半径． 【详解】对A选项，设顶角为，则，得，所以顶角为，A正确； 对B选项，因为顶角为，则截面三角形的最大面积为平方厘米，B错误； 对C选项，因为顶角为，则，所以外接球半径等于圆锥母线长，即 则该球的表面积为平方厘米，C正确； 对D选项，设球的最大半径为，因为顶角为，则，所以 ，D正确． 故选：ACD 三、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．把一个底面半径为 ，高为 的圆锥沿高切开，截面是等腰三角形，该等腰三角形的周长是 . 【答案】36 【分析】根据圆锥的结构特征结合已知条件即可求解. 【详解】圆锥沿高切开，截面等腰三角形的底为圆锥底面直径，即cm，腰为圆锥母线长， 由勾股定理可得母线长，所以等腰三角形周长为. 故答案为：. 17．如图，某工厂生产的帐篷形状近似于圆锥形，其占地面积为平方米，最高点距离地面米，则此帐篷的侧面积是 . 【答案】平方米 【分析】先由题意求出圆锥底面圆的半径和母线长，再利用圆锥的侧面积公式即可求解. 【详解】设底面圆的半径为米，则，解得， 又帐篷最高点距离地面米，即圆锥的高为米， 则圆锥的母线长为（米），所以圆锥的侧面积为（平方米）. 故答案为：平方米. 18．一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为 ．（只填写序号） 【答案】①②③ 【分析】根据题意，结合正方体内接于球的位置特征，即可判断求解. 【详解】当截面与正方体的对角面重合时，截面图形如③； 当截面与正方体的一面平行，截面图形如①； 当截面不与正方体的对角面重合，也不与正方体的一面平行时，截面图形如②； 故截面的可能图形为①②③. 故答案为：①②③. 19．如图所示，底面半径为1，高为2的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离 ． 【答案】 【分析】画出圆柱的侧面展开图即可解得. 【详解】把圆柱的侧面沿剪开， 然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接，即为蚂蚁爬行的最短距离． 故，则最短距离， 故答案为： 20．若正四棱柱的体对角线长为3.5，侧面的一条对角线长为2.5，则该棱柱的体积为 ． 【答案】3 【分析】先求出正四棱柱的底面边长和高，进而利用棱柱的体积公式求出棱柱的体积即可. 【详解】设正四棱柱的底面边长为，高为， 则，且， 所以，，所以， 所以该棱柱的体积为． 故答案为：3. 四、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知一个平面截一个球得到一个直径是6的圆面，且球心到这个圆面的距离是4，求该球的表面积和体积． 【答案】球的表面积为，体积为. 【分析】先由球的截面的性质求出球的半径，再由球的表面积和体积公式求解即可. 【详解】设球的半径为，截面圆的半径为， 球心到截面圆的距离为. 由已知可得，， ， 该球的表面积为， 该球的体积为. 22．如图，在正方体中，已知棱长，求：    (1)底面对角线的长； (2)正方体的体积； (3)三棱锥的体积. 【答案】(1) (2)64 (3) 【分析】（1）根据勾股定理求解即可. （2）根据正方体的体积公式求解即可. （3）根据三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】（1）因为棱长，所以. （2）因为棱长，所以正方体的体积. （3）三棱锥的高为，大小为4. 底面面积为. 所以三棱锥的体积. 23．如图所示，已知正四棱锥S-ABCD的所有棱长都是4，求棱锥的高SO和斜高SE． 【答案】2， 【分析】利用棱锥的高、斜高、侧棱的关系即可求解. 【详解】如题图所示，因为正方形的边长为4， 所以． 由正四棱锥的性质知，是直角三角形， 所以． 在中，因为， 所以． 24．如图所示，圆柱的母线长，底面半径为2，求： (1)该圆柱的轴截面面积； (2)该圆柱的侧面积与体积． 【答案】(1) (2)，. 【分析】（1）根据圆柱的轴截面的面积公式计算即可. （2）根据圆柱的侧面积和体积公式计算即可. 【详解】（1）因为母线长，底面半径为2， 所以轴截面面积为. （2）圆柱的侧面积等于底面周长乘以母线长，底面周长为， 侧面积为， 圆柱的体积为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【湖北专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第七章简单几何体的单元测试卷，主要梳理和考查了棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、球的表面积及体积计算、几何体与球的切接问题等常见考点。 第七章 简单几何体 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列命题中正确的是（ ） A．底面是正多边形的棱柱叫做正棱柱 B．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 C．沿直角三角形的一边旋转一周即可得到圆锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 2．下列四个命题中正确命题的个数是（   ） ①直平行六面体就是长方体； ②有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱； ③有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥； ④底面是正方形的棱柱是正棱柱. A．1 B．2 C．3 D．4 3．正方体的体对角线长为，则正方体的棱长为（   ）. A． B． C． D．以上都不对 4．下列说法正确的是（   ） A．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 B．四棱锥的四个侧面不都可以是直角三角形 C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥 D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体 5．下列图形中，属于棱锥的有（    ）    A．①③ B．①③④ C．①②④ D．①② 6．已知高为3的正三棱锥的底面三角形的边长为1，则三棱锥的体积是（   ） A． B． C． D． 7．如图所示的平面图形可以折叠成的立体图形为（   ）    A．平行六面体 B．四棱柱 C．四棱锥 D．三棱锥 8．圆柱的轴截面面积为4，则它的侧面积为（   ） A． B． C． D． 9．平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为（   ） A． B． C． D． 10．现有一边长为的正三角形，若以其一条高所在的直线为轴旋转一周，则所得的旋转体的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分.在每小题给出四个备选项中，有多项符合题目要求，请将其选出。全部选对的得 3 分，有选错的或未选的得 0 分) 11．下列命题，错误的是（   ） A．四个侧面是全等的矩形的直棱柱是正四棱柱 B．底面是等边三角形，侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 C．直角三角形绕着它的一条边旋转形成的封闭几何体称为圆锥 D．圆柱的母线长等于圆柱的高 12．已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积不可能为（    ） A． B． C． D． 13．下列说法错误的是（    ） A．圆锥的底面是圆面，侧面是曲面 B．用一张扇形的纸片可以卷成一个圆锥 C．一个物体上､下两个面是相等的圆面，那么它一定是一个圆柱 D．圆台的任意两条母线的延长线可能相交也可能不相交 14．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是    A．    B．   C．  D．   15．在南方不少地区，经常看到一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽厘米，关于此斗笠，下列说法正确的是（    ） A．斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为 B．过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为平方厘米 C．若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为平方厘米 D．此斗笠放在平面上，可以盖住的球（保持斗笠不变形）的最大半径为厘米 三、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．把一个底面半径为 ，高为 的圆锥沿高切开，截面是等腰三角形，该等腰三角形的周长是 . 17．如图，某工厂生产的帐篷形状近似于圆锥形，其占地面积为平方米，最高点距离地面米，则此帐篷的侧面积是 . 18．一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为 ．（只填写序号） 19．如图所示，底面半径为1，高为2的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离 ． 20．若正四棱柱的体对角线长为3.5，侧面的一条对角线长为2.5，则该棱柱的体积为 ． 四、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知一个平面截一个球得到一个直径是6的圆面，且球心到这个圆面的距离是4，求该球的表面积和体积． 22．如图，在正方体中，已知棱长，求：    (1)底面对角线的长； (2)正方体的体积； (3)三棱锥的体积. 23．如图所示，已知正四棱锥S-ABCD的所有棱长都是4，求棱锥的高SO和斜高SE． 24．如图所示，圆柱的母线长，底面半径为2，求： (1)该圆柱的轴截面面积； (2)该圆柱的侧面积与体积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $