第三章 圆锥曲线（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一》高教版2023修订版）

编写说明：本套【吉林专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学拓展模块（一）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第三章圆锥曲线的单元测试卷，主要梳理和考查了椭圆的的标准方程及性质、双曲线的标准方程及性质、双曲线的渐近线、抛物线的几何性质等常见考点 第三章 圆锥曲线 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．“”是“方程表示椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程以及充分、必要条件的定义求解即可. 【详解】当方程表示椭圆时，必有所以且； 但当3时，该方程不一定表示椭圆，例如当时，方程变为，它表示一个圆． 所以“”不能推出“方程表示椭圆”， “方程表示椭圆”可以“”， 所以”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B. 2．与双曲线有共同渐近线，一顶点为的双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意设所求双曲线方程为，再将点代入即可得解. 【详解】设与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为， 因为所求双曲线的一顶点为， 所以，解得， 所以所求双曲线方程为，即. 故选：D. 3．两顶点之间的距离为，且渐近线方程为的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先确定的值，再求出的值，即可得到双曲线的标准方程. 【详解】双曲线的渐近线方程为，即有，∴， 因为两顶点间的距离为，即有. 即有，焦点在轴或轴上均可， 所以双曲线的标准方程是或. 故选：C 4．以为渐近线，一个焦点是的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据焦点坐标可知双曲线的焦点在轴上，根据渐近线方程可设双曲线方程为，再根据焦点坐标即可得解. 【详解】因为一个焦点坐标为，所以双曲线的焦点在轴上，，    因为双曲线的渐近线方程为， 所以可设双曲线方程为，即， 故，解得，所以双曲线的方程为. 故选：A. 5．椭圆的一个焦点为，该椭圆上有一点，满足是等边三角形（为坐标原点），则椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由等边三角形求出点A的坐标，再将点A代入椭圆的方程结合即可求解离心率. 【详解】如图，过点A作AB垂直于x轴于点B， 点，由于是等边三角形， 所以可知，，可得点， 因为点在椭圆上，所以有①， 在椭圆中有②， 联立①②，有， 即， 整理得，，又离心率， 将上式同除可得，， 即，令， 所以，解得， 因为，所以，即， 则其离心率. 故选：A. 6．以椭圆的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆标准方程求得焦点与长轴端点坐标，从而得到双曲线对应的，由此得解. 【详解】因为椭圆的焦点为，长轴的端点为， 所以所求双曲线，焦点在y轴上， 则双曲线的方程为. 故选：B. 7．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次方程表示双曲线的性质得到关于的不等式，分类讨论解之即可得解. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以， 当时，得，解得或，故或； 当时，得，解得，故； 综上，或，即. 故选：D. 8．抛物线上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点线距离公式与配方法即可得解. 【详解】依题意，设为抛物线上任意一点，则， 易得直线与抛物线没有交点， 所以点到直线的距离为 ， 则所求. 故选：D. 9．焦点在轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件列方程组求出，结合焦点的位置写出椭圆的方程. 【详解】设椭圆的长、短半轴长分别为，半焦距为，其中， ∵长、短半轴长之和为10，∴①， ∵焦距为，∴，即， 又，∴②， 联立①②解得． ∵焦点在轴上，∴椭圆的方程为. 故选：C. 10．中心在原点，一焦点为，一渐近线方程为的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意设所求双曲线为，从而利用焦点坐标得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为该双曲线中心在原点，一渐近线方程为，即， 所以设所求双曲线为，即， 因为其一焦点为，则，且， 所以，解得， 所以所求双曲线为，即. 故选：A. 11．双曲线的两条渐近线互相垂直，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线方程求得其渐近线，从而由直线垂直得到，进而得解. 【详解】因为双曲线的两条渐近线为， 又双曲线两条渐近线互相垂直，所以，得， 所以. 故选：C. 12．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则的值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据椭圆方程求出左焦点坐标，结合抛物线的焦点坐标公式即可得解. 【详解】椭圆中，焦点在轴上，且，， 则，，则左焦点坐标为， 抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合， 则，， 故选：. 13．已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，由抛物线的定义，得到和三点共线且点在中间时距离和最小，由此求出点P的纵坐标，代入抛物线的方程即可得解. 【详解】由题意，抛物线的方程为，所以，所以焦点， 过点作准线的垂线，垂足为，由， 所以， 可知当和三点共线且点在中间时距离和最小，又， 故点的纵坐标为，代入抛物线的方程，求得， 所以点P的坐标为， 故选：B. 14．设是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且，则点P到x轴的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】依题意设点，利用点在双曲线上与向量垂直的坐标表示得到关于的方程组，求得，从而得解. 【详解】因为是双曲线的两个焦点， 所以，则， 设，则，，即①， 因为，则， 所以，即②， 由②-①，得，解得， 所以点P到x轴的距离为. 故选：B. 15．已知抛物线上一点到准线的距离为，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据抛物线上一点在第二象限，判断焦点位置可能在轴负半轴，或轴正半轴,分别讨论两种情况. 【详解】∵抛物线过第二象限点， ∴设抛物线的标准方程为或． 当抛物线的焦点在轴负半轴上时，抛物线上一点到准线的距离为， ∴， ∴抛物线的标准方程为． 当抛物线的焦点在轴正半轴上时，抛物线上一点到准线的距离为， ∴， ∴抛物线的标准方程为． 综上，抛物线的标准方程为或． 故选：C. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．短轴长为4，离心率的椭圆的标准方程为 ． 【答案】或 【分析】利用短轴长与离心率得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】因为椭圆的短轴长为4，离心率， 所以，解得，则， 当椭圆焦点在轴上时，椭圆的标准方程为； 当椭圆焦点在轴上时，椭圆的标准方程为； 综上，椭圆的标准方程为或. 故答案为：或. 17．已知双曲线的焦点分别为，且经过点，则双曲线的标准方程是 ． 【答案】 【分析】由题意求得，利用双曲线的定义求得，从而得解. 【详解】因为双曲线的焦点分别为，所以，且焦点在y轴上， 又点到和的距离之差的绝对值为， ，， ，双曲线的方程为． 故答案为：. 18．直线与抛物线交于两点，则线段的中点坐标是 ． 【答案】 【分析】联立直线与抛物线方程得到，再利用中点坐标公式即可得解. 【详解】依题意，设，直线可化为， 联立，消去得，易知， 所以，故，， 因此线段的中点坐标为. 故答案为：. 19．已知双曲线的两个焦点为，P是双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】由得，利用勾股定理，结合双曲线的定义得到关于的方程，进而得到，从而得解. 【详解】由题意可设双曲线方程为，且， 由，得， 根据勾股定理得，，即， 根据双曲线定义有． 两边平方，得，又， 所以，解得，从而， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为：. 20．已知是双曲线的焦点，PQ是过焦点的弦，且PQ的倾斜角为，则 ． 【答案】16 【分析】利用双曲线的定义，列式整理即可得解. 【详解】由双曲线方程，知， 由双曲线的定义得，， 两式相加得，即. 故答案为：． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知椭圆的长轴为短轴的倍，并且经过点，求椭圆的标准方程． 【答案】或. 【分析】由椭圆的性质表示出长轴，短轴再分类讨论焦点在轴，轴的情况求出椭圆的标准方程即可得解. 【详解】因为椭圆的长轴为短轴的倍. 设短轴长为，则长轴为即. 当焦点在轴上时. 设椭圆的标准方程为过点. 所以. 解得或（舍）. 所以椭圆的标准方程为. 当椭圆焦点在轴上时. 设椭圆的标准方程为过点. 所以. 解得或（舍）. 所以椭圆的标准方程为. 综上所述椭圆的标准方程为：或. 22．求抛物线上到直线的距离最小的点的坐标，并求出这个距离． 【答案】， 【分析】法一：求抛物线上的点到直线的最小距离的点，实际是求与直线平行且与抛物线相切的切点．因此，求与直线平行且与抛物线相切的直线方程，交点为切点，两平行线间的距离为最小距离． 法二：设抛物线上点，根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】法一： 设与平行且与抛物线相切的直线方程为． 由方程组，得. 由题意，直线与抛物线相切，所以， 即，解得． 所求切线方程为． 因为两平行直线与的距离为 ． 因此，抛物线到直线的最小距离是． 解方程组得切点坐标为． 则点就是抛物线上到直线的距离最小的点． 法二：设抛物线上点到直线的距离最小， 则点P到直线的距离为 ， 所以当时，距离d有最小值，其值为． 由，得，即. 则点就是抛物线上到直线的距离最小的点． 23．已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点，交椭园于A和B两点，求：    (1) (2)（为左焦点） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线与椭圆的方程，应用弦长公式计算即可. （2）由（1）求出的弦长为三角形的底，再求出点到直线的距离为高，即可求出三角形的面积. 【详解】（1）因为椭圆为， 所以有， 所以焦点，， 则直线方程为， 设点， 所以，解得， 则有， 则有 . （2）因为，直线为， 所以点到直线的距离为， 又因为， 所以. 24．已知抛物线的顶点为，焦点坐标为. (1)求抛物线方程； (2)过点且斜率为1的直线与抛物线交于、两点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线焦点求抛物线方程的方法即可得解； （2）先由题意得到直线的方程，再联立直线与抛物线方程得到，再利用弦长公式即可得解. 【详解】（1）因为抛物线的焦点坐标为，即，所以， 所以抛物线方程为. （2）因为直线过点且斜率为1，所以其方程为，即， 设、， 联立，消去，得， 易得，所以，， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【吉林专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学拓展模块（一）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第三章圆锥曲线的单元测试卷，主要梳理和考查了椭圆的的标准方程及性质、双曲线的标准方程及性质、双曲线的渐近线、抛物线的几何性质等常见考点 第三章 圆锥曲线 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．“”是“方程表示椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．与双曲线有共同渐近线，一顶点为的双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 3．两顶点之间的距离为，且渐近线方程为的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C．或 D．或 4．以为渐近线，一个焦点是的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 5．椭圆的一个焦点为，该椭圆上有一点，满足是等边三角形（为坐标原点），则椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 6．以椭圆的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 7．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．抛物线上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 9．焦点在轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 10．中心在原点，一焦点为，一渐近线方程为的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 11．双曲线的两条渐近线互相垂直，则（    ） A．2 B． C． D． 12．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则的值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 13．已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 14．设是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且，则点P到x轴的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 15．已知抛物线上一点到准线的距离为，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．短轴长为4，离心率的椭圆的标准方程为 ． 17．已知双曲线的焦点分别为，且经过点，则双曲线的标准方程是 ． 18．直线与抛物线交于两点，则线段的中点坐标是 ． 19．已知双曲线的两个焦点为，P是双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程为 ． 20．已知是双曲线的焦点，PQ是过焦点的弦，且PQ的倾斜角为，则 ． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知椭圆的长轴为短轴的倍，并且经过点，求椭圆的标准方程． 22．求抛物线上到直线的距离最小的点的坐标，并求出这个距离． 23．已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点，交椭园于A和B两点，求：    (1) (2)（为左焦点） 24．已知抛物线的顶点为，焦点坐标为. (1)求抛物线方程； (2)过点且斜率为1的直线与抛物线交于、两点，求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $