第四章 立体几何（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一》高教版2023修订版）

编写说明：本套【吉林专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学拓展模块（一）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章立体几何的单元测试卷，主要梳理和考查了平面的特征及性质、线线的位置关系、线面的位置关系、面面的位置关系等常见考点。 第四章 立体几何 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．过直线外一点可以作（    ）条直线与这条直线平行； A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】A 【分析】根据平行的性质，即可求解. 【详解】根据平行的性质，可知过直线外一点只可以作一条直线与已知直线平行. 故选：A. 2．如果直线平面，直线平面，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面的基本性质即可选定选项. 【详解】， ， 同理， 又， ， 故选：A. 3．若点在直线上，在平面上，则点，直线，平面之间的关系可以记作（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间点线面位置关系的符号语言判断即可. 【详解】点与直线的位置关于用表示 直线在平面内或不在平面内用表示 由题意可知 故选:B. 4．如图所示，长方体中，，，，是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间直线关系和异面直线的定义即可求解. 【详解】对于A，直线与直线相交，而， 当点为的中点时，直线与直线相交，故A错误， 对于B，当点与点重合时，直线与相交，故B错误， 对于C，当点与点重合时，直线，故C错误， 对于D，，点，，，共面， 又平面，， 直线与是异面直线，故D正确， 故选：D 5．命题：直线a与平面α内无数条直线垂直，命题：直线a与平面α垂直，则p是q的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据命题是否能推出命题，命题是否能推出命题，做出判断. 【详解】直线与平面内两条相交直线垂直，则直线与平面垂直，无数条直线如果是平行线就无法和平面垂直，故命题不能推出命题； 直线a与平面α垂直，表示直线a与平面α内任意直线都垂直，必然垂直平面α内无数条直线，故命题能推出命题 ； 故p是q的必要条件. 故选：. 6．已知α，β是两个不同的平面，l， m，n是三条不同的直线，则不正确的命题是（    ） A．若m⊥α，n∥α，则m⊥n B．若m∥α，n∥α，则m∥n C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β D．若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥β 【答案】B 【分析】根据线面平行、线面垂直和空间角的知识，判断A选项的正确性，由线面平行有关知识判断B选项的正确性，根据面面垂直的判定定理，判断C选项的正确性，根据面面平行的性质判断D选项的正确性. 【详解】对于A，若，则在中存在一条直线，使得，则，又，那么，故正确； 对于B，若，则或相交或异面，故不正确； 对于C，若，则存在，使，又，则，故正确； 对于D，若，且，则或，又由，故正确． 故选：B 7．已知不重合的直线和平面，则下列判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据空间直线，平面的位置关系判断即可. 【详解】若，则或，A错； 若，则或m与相交或，B错； 若，则或，C错； 若，则，D对； 故选：D． 8．下列命题正确的为（ ） A．两条直线确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．若直线在平面外，则这条直线与这个平面没有公共点 D．若两条直线没有公共点，则这两条直线为平行直线或异面直线 【答案】D 【分析】根据直线与平面的公理和推理以及线线的位置关系判断即可. 【详解】两条直线的关系可以分为相交、平行、异面，两条异面直线不能确定一个平面，A错误； 当点在直线上时，则不能确定一个平面，B错误； 直线在平面外时，有线面相交和线面平行的情况，当线面相交时，有一个公共点，C错误； 两条直线的关系可以分为相交、平行、异面，若两条直线没有公共点，则这两条直线是平行直线或异面直线，D正确； 故选：D. 9．已知正方体，点在直线上，为线段的中点则下列说法不正确的是（    ）    A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．直线始终与直线异面 D．直线始终与直线异面 【答案】C 【分析】根据直线与直线、直线与平面位置关系的知识进行求解. 【详解】由题意易得直线垂直于平面，当点移动到点时，直线 在平面内，故直线与直线垂直，A选项正确； 当点移动到的中点时，直线与直线平行，B选项正确； 当点移动到点时，直线与直线都在平面内，两直线不是异面直线，C选项错误； 点在直线上移动的过程中，无法满足直线与直线在同一平面内，D选项正确. 故选：C. 10．设为直线，，为两个不同的平面，则下列结论中错误的是（    ） A．，，且 B．， C．，且 D．，且与相交与相交 【答案】B 【分析】根据空间中线面平行、面面平行关系逐项分析判断. 【详解】对于选项A：若，，则或， 又因为，所以，故A正确； 对于选项B：若，，则或与相交， 例如在正方体中，//平面，//平面， 显然平面与平面相交，故B错误；    对于选项C：若，且，由面面平行的性质可得，故C正确； 对于选项D：若，且与相交，由面面平行的性质可得与相交，故D正确； 故选：B. 11．如图，在正方体中，点，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在正方形中作的平行线使得与相交，找到与的所成角并进行证明. 【详解】作交与，连结，如图所示： 则，异面直线与所的成角， 即为与所成的角， 显然△△， 故， 故， ．即所成的角为， 故选：D． 12．已知二面角的大小为，直线，与所成的角为，则（    ） A． B． C．当时，；当时， D．以上说法都不对 【答案】A 【分析】根据二面角定义，线面角定义，线面垂直的性质定理即可判断选项. 【详解】   当时，由知， 当时，若，则， 若和不垂直，设， 过上的点作于， 作于，连接， 则， ， 在中，， . 故选：A 13．如图，在正方体中，E为线段的中点，则异面直线DE与所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，则可得为异面直线与所成角的平面角或其补角，然后由题意可得，从而在中求解. 【详解】解：连接，则， 故为异面直线与所成角的平面角或其补角， 连接，则， 因为为的中点，故， 在中，因为，而， 所以在，，且为正三角形， 所以. 故选:C 14．如图所示，在正方体中，下列结论正确的是（    ）    A．异面直线与所成的角为 B．直线与平面所成的角为 C．二面角所成的角为 D．异面直线与所成的角为 【答案】B 【分析】依据直线与直线、直线与平面所成角及二面角知识分析求解 . 【详解】选项中，异面直线与所成角等于为，错误； 选项中，直线在平面射影为所以直线与平面所成角为，正确； 选项中，取AC的中点O,连接DO,, 因为，所以，    则是二面角的平面角，设正方体的棱长为1，则，错误； 选项中，平面,则,异面直线所成角为，错误. 故选：B. 15．木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50的球O的球面上，且一个底面的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正四棱台的外接球的性质可得两底面的边长，进而根据直角三角形的边角关系，结合二面角的定义即可求解. 【详解】如图：正四棱台，由题意可知：是底面正方形的中心也是球O的球心， 且,所以 ,进而可得 取的中点为，过的中点作，连接, 所以 ,,故, 在直角三角形中， 故， 由于,所以即为正四棱台的侧面与底面所成二面角，故正弦值为， 故选：A 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．若一条直线同时平行于两个相交平面，则该直线与这两个平面的交线的位置关系是 ． 【答案】平行 【分析】作出辅助线，由线面平行的性质进行证明即可. 【详解】平行，理由如下：如图，，， 过AB作平面ABDC，交平面于CD，作平面ABFE交平面于EF， 根据线面平行的性质可知：， 所以， 若中某条直线与重合，则结论得证； 当均不与重合时， 因为，， 所以， 因为，， 由线面平行的性质可知：， 所以. 故答案为：平行 17．在正方体的棱长为2，为中点，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【分析】构造平行线，得到两条异面直线所成的角，解三角形得到所求角的余弦. 【详解】如图： 取的中点，连接，，因为，故即为异面直线与所成的角. 在中，，， 由余弦定理：. 故答案为： 18．设是平面外两条直线，且，那么是的 条件. 【答案】充分不必要 【分析】判断由能否得到，再判断由能否得到 【详解】证明充分性：若，结合，且在平面外，可得，是充分条件； 证明必要性：若，结合，且是平面外，则可以平行，也可以相交或者异面，所以不是必要条件. 故填“充分不必要” 19．给出下列命题： ①如果平面与平面相交，那么它们只有有限个公共点； ②两个平面的交线可能是一条线段； ③经过空间任意三点的平面有且只有一个； ④如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面就重合为一个平面． 其中正确命题的序号为 ． 【答案】④ 【分析】根据平面的基本性质和推理判断正确即可. 【详解】两个平面相交得到一条直线，故①②错误； 当空间中的三点在一条直线上时，则经过这三点可作无数个平面，故③错误； 当三点不共线时，过三点能作并且只能作一个平面，所以这两个平面重合，故④正确． 故答案为：④. 20．如图，是圆O的直径，点C是圆周上异于A，B两点的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则，，，中共有 个直角三角形. 【答案】 【分析】根据线面垂直的性质及线面垂直的判断即可得解. 【详解】是圆O的直径，点C是圆周上异于A，B两点的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，即平面， 平面，所以，所以为直角三角形； 平面，所以，所以为直角三角形； 因为是圆O的直径，点C是圆周上异于A，B两点的任意一点，所以，所以为直角三角形； 因为，平面，所以，，且平面，所以平面， 因为平面，所以，所以为直角三角形； 综上所述，，，，中共有个直角三角形， 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．如图，在正方体中，，求： (1)异面直线与所成角的正切值； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）找到即为异面直线与所成角，求出各边长，得到答案； （2）作出辅助线，证明出面，求出点到平面的距离为. 【详解】（1）因为， 所以即为异面直线与所成角， 因为，由勾股定理得，， 故； （2）连接交于，则， 因为⊥平面，平面， 所以， 又因为，，平面， 所以面， 所以线段为所求距离，所以点到平面的距离为. 22．如图，已知是边长为4的等边三角形，平面平面    (1)求证：； (2)若，求直线与平面夹角的正切值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质,得出平面又由线面垂直的性质即可证明. （2）由（1）知,平面得再根据已知条件, 在中,即为与平面夹角,即可求出. 【详解】（1）证明：因为平面平面, 又因为,平面平面 平面, 所以平面 又平面 所以. （2）由（1）知,平面所以是与平面所成的角， 因为平面 所以则是直角三角形, 因为是边长为4的等边三角形, 所以 又 在中,即为与平面夹角, 所以 23．如图（1）是一个水平放置的正三棱柱，是棱的中点，正三棱柱的主视图如图（2）. (1)图(1)中垂直于平面的平面有哪几个(直接写出符合要求的平面即可，不必说明或证明) (2)求正三棱柱的体积； (3)证明：平面. 【答案】(1)详见解析； (2)； (3)详见解析. 【分析】（1）根据正三棱柱的性质，结合面面垂直的判定定理进行判断证明即可； （2）根据棱柱的体积公式进行求解即可； （3）根据三角形中位线，结合线面平行的判定定理进行证明即可. 【详解】（1）一共有平面、平面、平面 三个，理由如下： 因为是正三棱柱，所以平面、平面、都和侧面垂直. 因为是正三棱柱，所以三角形是正三角形， 因为是棱的中点，所以，因为平面平面， 平面平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）依题意，在正三棱柱中， 从而有. 所以正三棱柱的体积； （3）连接设连接. 因为是正三棱柱的侧面，所以是矩形，是的中点. 所以是的中位线, 因为平面平面,所以平面. 24．如图，在等腰梯形中，，，，，， 分别为腰，的中点，，分别是线段，的中点．将四边形沿 折起，使平面平面，如图．    (1)求证：平面； (2)请在图所给的点中找出两个点，使得这两点所在直线与平面垂直，并给出证明； (3)若为线段的中点，在直线上是否存在点，使平面?如果存在，求出线段的长度；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)这两个点,使得这两点所在直线与平面垂直,证明见解析; (3)存在, 【分析】（1）由已知可证利用面面垂直的性质即可证明平面. （2）连接通过证明四边形是菱形,可证又可得这两个点所在直线与平面垂直. （3）假设在直线上存在点,使平面.在线段上取点,使得连接线段,交于点,利用面面平行的性质可得平面,即可求解. 【详解】（1）证明：四边形是等腰梯形,,分别是线段,的中点, 平面平面,平面平面 平面 （2）在图2中, 这两个点, 使得这两点所在直线与平面垂直. 证明：连接 平面, ,且 四边形是菱形, 平面,平面 平面 这两个点所在直线与平面垂直. （3）为线段的中点,假设在直线上存在点,使平面. 在线段上取点,使得 在平面图形中连接线段,交于点,则 由题意可得平面平面,平面, 就是所求的点,    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【吉林专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学拓展模块（一）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章立体几何的单元测试卷，主要梳理和考查了平面的特征及性质、线线的位置关系、线面的位置关系、面面的位置关系等常见考点。 第四章 立体几何 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．过直线外一点可以作（    ）条直线与这条直线平行； A．1 B．2 C．3 D．无数 2．如果直线平面，直线平面，，则（ ） A． B． C． D． 3．若点在直线上，在平面上，则点，直线，平面之间的关系可以记作（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，长方体中，，，，是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（   ） A． B． C． D． 5．命题：直线a与平面α内无数条直线垂直，命题：直线a与平面α垂直，则p是q的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知α，β是两个不同的平面，l， m，n是三条不同的直线，则不正确的命题是（    ） A．若m⊥α，n∥α，则m⊥n B．若m∥α，n∥α，则m∥n C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β D．若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥β 7．已知不重合的直线和平面，则下列判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．下列命题正确的为（ ） A．两条直线确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．若直线在平面外，则这条直线与这个平面没有公共点 D．若两条直线没有公共点，则这两条直线为平行直线或异面直线 9．已知正方体，点在直线上，为线段的中点则下列说法不正确的是（    ）    A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．直线始终与直线异面 D．直线始终与直线异面 10．设为直线，，为两个不同的平面，则下列结论中错误的是（    ） A．，，且 B．， C．，且 D．，且与相交与相交 11．如图，在正方体中，点，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 12．已知二面角的大小为，直线，与所成的角为，则（    ） A． B． C．当时，；当时， D．以上说法都不对 13．如图，在正方体中，E为线段的中点，则异面直线DE与所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 14．如图所示，在正方体中，下列结论正确的是（    ）    A．异面直线与所成的角为 B．直线与平面所成的角为 C．二面角所成的角为 D．异面直线与所成的角为 15．木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50的球O的球面上，且一个底面的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．若一条直线同时平行于两个相交平面，则该直线与这两个平面的交线的位置关系是 ． 17．在正方体的棱长为2，为中点，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 18．设是平面外两条直线，且，那么是的 条件. 19．给出下列命题： ①如果平面与平面相交，那么它们只有有限个公共点； ②两个平面的交线可能是一条线段； ③经过空间任意三点的平面有且只有一个； ④如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面就重合为一个平面． 其中正确命题的序号为 ． 20．如图，是圆O的直径，点C是圆周上异于A，B两点的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则，，，中共有 个直角三角形. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．如图，在正方体中，，求： (1)异面直线与所成角的正切值； (2)求点到平面的距离． 22．如图，已知是边长为4的等边三角形，平面平面    (1)求证：； (2)若，求直线与平面夹角的正切值． 23．如图（1）是一个水平放置的正三棱柱，是棱的中点，正三棱柱的主视图如图（2）. (1)图(1)中垂直于平面的平面有哪几个(直接写出符合要求的平面即可，不必说明或证明) (2)求正三棱柱的体积； (3)证明：平面. 24．如图，在等腰梯形中，，，，，， 分别为腰，的中点，，分别是线段，的中点．将四边形沿 折起，使平面平面，如图．    (1)求证：平面； (2)请在图所给的点中找出两个点，使得这两点所在直线与平面垂直，并给出证明； (3)若为线段的中点，在直线上是否存在点，使平面?如果存在，求出线段的长度；如果不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $