专题09 三角形（数学竞赛真题汇编）八年级全国通用

专题09 三角形 1．（2023八年级·广东深圳·竞赛）已知平面直角坐标系中A、B、C三点的坐标分别为，，，在直线下方的y轴上有一条长为1的线段（E在上F在下），当线段在y轴上滑动时四边形的周长的最小值为（   ） A． B． C． D． E． 2．（2023八年级下·四川宜宾·竞赛）已知四条线段的长分别是9、5、x、1（其中x为正实数），用他们拼成两个直角三角形，且与是其中的两条线段（如图）则x的取值个数为（  ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．（2023八年级下·浙江杭州·竞赛）如图，将四边形纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点M处，折痕为；再将分别沿折叠，此时点落在上的同一点N处．则关于结论：①；②当四边形是平行四边形时，．下列说法正确的是（   ） A．①②都错误 B．①②都正确 C．①正确②错误 D．①错误②正确 4．（2023七年级下·广东·竞赛）如图所示的和，在中，，u、v、w、x由如图标出，则x与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（2023八年级下·广东佛山·竞赛）已知a，b，c是的三边长，且满足，则此三角形是 ． 6．（2024八年级下·广东揭阳·竞赛）已知三边长分别为a，b，c，且满足，则的形状为 ． 7．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）如图，四边形是菱形，，且，M为对角线上任意一点，则的最小值为 ． 8．（2023九年级·北京朝阳·竞赛）已知为的中点，，，若，，，则线段与的长度之差为 ． 9．（2023八年级下·浙江·竞赛）已知关于x的方程有两个正整数根（m是正整数）．的三边a，b，c满足，，则m为 ；的面积是 ． 10．（2023九年级·北京朝阳·竞赛）在 中，，，点为其内部一点．若，，，则的度数为 ． 11．（2023八年级下·辽宁大连·竞赛）如图，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 12．（2023八年级上·山东滨州·竞赛）【背景】 如图，下列条件中，不能判定与全等的是（   ） A．，              B．， C．，            D．， 【思考】 请判断以上题目有没有答案，若有请选出来，并举例说明为什么选这个答案；若找不到题目的答案，即四个选项都能保证与全等，那么请从A、B、C、D四个选项中任选一个作为已知条件，证明与全等． 1．（2023七年级上·全国·竞赛）已知a，b，c为的三边边长，且满足方程组，则是（　　） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不等边三角形 2．（2023八年级·全国·竞赛）如图，在中，，，为边上一点，连接，于点，点在上，连接，，连接，于点，交于点，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（2023七年级上·全国·竞赛）在梯形中，，点P为对角线的中点，记，则有（　　） A． B． C． D． 4．（2023八年级上·全国·竞赛）如图，在矩形中，是上的动点，于，于，则的值是（　　） A．4.6 B．4.8 C．5 D．7 5．（2025八年级·全国·竞赛）如图，过点A作的一条内角平分线，交于点D，且，交于点E，且，若，则图中两个阴影三角形的面积最大相差（   ）    A． B． C． D． 6．（2024九年级·全国·竞赛）如图，将边长为正方形绕点按顺时针方向旋转后得到正方形，边相交于点，则四边形的面积为（    ）． A． B． C． D． 7．（2023七年级上·全国·竞赛）如图，在四边形中，线段长，为直角，为，而且点到边的垂线段的长为，线段的长为，则四边形的面积为 ． 8．（2023七年级上·全国·竞赛）如图，在中，，，则 ． 9．（2025八年级·全国·竞赛）如图，点D在点A、C两点之间运动（不与点A、C重合），，．若，，则 ． 10．（2023九年级·全国·竞赛）如图，是等边的边上一点，以为边作等边，连接，在延长线上取一点，使．求证：． 11．（2023八年级·全国·竞赛）如图，在中，是的中点，，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．线段的延长线与射线交于点，连接．若点不与点B、M重合，试猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明． 12．（2023八年级·全国·竞赛）如图1，在等边中，是边上一点，连接，将沿翻折至，为上一点，． (1)求证：； (2)如图2，为上一点，连接，，若，，求线段的长． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 三角形 1．（2023八年级·广东深圳·竞赛）已知平面直角坐标系中A、B、C三点的坐标分别为，，，在直线下方的y轴上有一条长为1的线段（E在上F在下），当线段在y轴上滑动时四边形的周长的最小值为（   ） A． B． C． D． E． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，平行四边形的判定和性质． 如图，作，且，连接交y轴于点E，连接，，此时四边形的周长最小．根据勾股定理求出，，进而计算即可. 【详解】解：如图，作，且，连接交y轴于点E，连接，， ∵，， ∴是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴四边形的周长， 即E在线段上时四边形的周长最小. ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的周长 ． ∴四边形的周长的最小值为． 故选：C． 2．（2023八年级下·四川宜宾·竞赛）已知四条线段的长分别是9、5、x、1（其中x为正实数），用他们拼成两个直角三角形，且与是其中的两条线段（如图）则x的取值个数为（  ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理，作交的延长线于，则四边形为矩形，从而可得，，由图可得，是四条线段中最长的，故或，再分情况讨论，结构勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图：作交的延长线于， ， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， 由图可得，是四条线段中最长的，故或， 当，时，则，， 由勾股定理可得：，即， 解得（负值不符合题意，舍去）； 当，时，则，， 由勾股定理可得：，即， 解得（负值不符合题意，舍去）； 当，时，则，，由勾股定理可得：，即，解得（负值不符合题意，舍去）； 当时，时，则，， 由勾股定理可得：，即， 解得（负值不符合题意，舍去）； 当时，时，则，，由勾股定理可得：，即， 解得（负值不符合题意，舍去）； 当时，时，则，， 由勾股定理可得：，即， 解得（负值不符合题意，舍去）； 故x的取值个数为个， 故选：D． 3．（2023八年级下·浙江杭州·竞赛）如图，将四边形纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点M处，折痕为；再将分别沿折叠，此时点落在上的同一点N处．则关于结论：①；②当四边形是平行四边形时，．下列说法正确的是（   ） A．①②都错误 B．①②都正确 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【答案】D 【分析】本题主要考查了翻折变换、平行四边形的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并灵活运用这些性质是解题的关键． 由折叠的性质可得，由平角的性质可得，可证，由平行线的性质可得，若，则，即四边形为矩形，而题目中无条件证明此结论，即可判断①；由平行四边形和折叠的性质可得，由直角三角形的性质可得即可判断②． 【详解】解：由折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 若，则，即四边形为矩形，而题目中无条件证明此结论，故结论①不正确； ∵， ∴， 由折叠的性质可得：， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故结论②正确． 故选：D． 4．（2023七年级下·广东·竞赛）如图所示的和，在中，，u、v、w、x由如图标出，则x与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，将绕点B按逆时针方向旋转，到的位置，易得，进而得到和均为等边三角形，推出A、D、E、F四点均在一条直线上，进而得到，以线段为边在点B一侧作等边，即为符合条件的等边三角形，其中的点B即为点M，证明，得到，即可得出结论． 【详解】解：如图，将绕点B按逆时针方向旋转，到的位置． 连接，则：， ∴和均为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 则A、D、E三点共线（即该三点在同一条直线上）． 同理，∵， 即，则D、E、F三点共线， ∴A、D、E、F四点均在一条直线上． ∵， ∴线段． 以线段为边在点B一侧作等边， 则即为符合题意条件的等边三角形，其中的点B即为点M． 正三角形的边长为已证，， 下面再证． ∵， 即， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴，即． 从而点到等边三个顶点的距离分别为a、b、c， 且． 故选：B． 5．（2023八年级下·广东佛山·竞赛）已知a，b，c是的三边长，且满足，则此三角形是 ． 【答案】等边三角形 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题意，将题中式子进行化简得到，推出得到这个三角形是一个等边三角形．据此解答． 【详解】解：∵， ∴， ， 即， ∴且， ∴， ∴这个三角形是一个等边三角形． 故答案为：等边三角形． 6．（2024八年级下·广东揭阳·竞赛）已知三边长分别为a，b，c，且满足，则的形状为 ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，算术平方根的非负性质，偶次方的非负性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，算术平方根的非负性质，偶次方的非负性质是解题的关键． 根据已知，，可得且，进而得出，，即，根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的定义即可得出答案． 【详解】解： ， 且， ，，即， ，是直角三角形， 是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 7．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）如图，四边形是菱形，，且，M为对角线上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质（对角线平分内角、各边相等）、直角三角形的性质（角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理），解题的关键是通过构造将待求式转化为，再利用点M位于边上时取等号确定的最小值，进而求出的最小值． 由菱形性质得；过M作，在中，由角性质得，故；过A作，在中，由得，故，再用勾股定理算得；又（点M位于边上时取等号），因此，即的最小值为． 【详解】解：如图，过点A作于T，过点M作于H． ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，又由知， ∴， ∴， （点M位于边上时取等号） ， ， ∴的最小值为， 故答案为． 8．（2023九年级·北京朝阳·竞赛）已知为的中点，，，若，，，则线段与的长度之差为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，延长交的延长线于点，连接，，得出，，由题意可得垂直平分，结合勾股定理可得，作于，由三角形面积公式计算得出，再结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点，连接， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴垂直平分，， ∴， 作于， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2023八年级下·浙江·竞赛）已知关于x的方程有两个正整数根（m是正整数）．的三边a，b，c满足，，则m为 ；的面积是 ． 【答案】 2 1或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、勾股定理及其逆定理等知识点，本题解题的关键是分类对，的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状． 第一空：先求出方程的两个根， 然后根据这两个根都是正整数写出的可能的情况， 求出的值． 第二空：由第一空得出的的值， 然后代入将进行化简，进而 得出、的值． 然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的的值， 用三角形的面积公式得出三角形的面积． 【详解】解：关于x的方程有两个正整数根，且m是正整数， ，解得， 解方程得：， 即． ， ， ． 将代入两等式，化简得：． 当时，． 当时，a，b是方程的两根，显然此方程． 由一元二次方程根与系数关系得：， ． 下面分三种情况讨论： ①当时， ， 是直角三角形，且， ∴． ②当时， ， ∴不能构成三角形，不合题意，故舍去． ③当时， ， ∴能构成三角形，符合题意． 从而． 综上，的面积为1或． 故答案为：2；1或． 10．（2023九年级·北京朝阳·竞赛）在 中，，，点为其内部一点．若，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】将绕B逆时针旋转得，此时为中点，作，交延长线于点D，推出、、、；连，由得，设，推导，结合中，，得，进而推出、，在中，计算得 【详解】解：将绕点逆时针旋转，得到， ， 为等边三角形， 在中，， ， 为的中点， 作交延长线于点D，则， ，即， 是的中位线， ， ,，， 连接， ， 点P在以点为圆心，为直径的圆上， ， 令，则， ， 在中，，且， ， ， ， ， ， 在中， ， 故答案为：． 11．（2023八年级下·辽宁大连·竞赛）如图，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由两个三角形全等的判定定理证得，再由全等性质即可得到答案； （2）连接，如图所示，在中，由勾股定理及等腰直角三角形的判定与性质得到及，在中，由勾股定理的逆定理得到，从而得到的度数．． 【详解】（1）解：在和中， ， ， ； （2）解：连接，如图所示： ， 在中，，，则由勾股定理可得，且， ， ， 在中，，，则，， ， 即为等腰直角三角形， ， ． 12．（2023八年级上·山东滨州·竞赛）【背景】 如图，下列条件中，不能判定与全等的是（   ） A．，                    B．， C．，            D．， 【思考】 请判断以上题目有没有答案，若有请选出来，并举例说明为什么选这个答案；若找不到题目的答案，即四个选项都能保证与全等，那么请从A、B、C、D四个选项中任选一个作为已知条件，证明与全等． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， 根据“边角边”解答A，再根据“角角边”解答C，然后根据“边边边”解答D，最后分三种情况解答B. 【详解】解：没有，理由如下： 在和中， ， ∴； 当时， ∵， ∴； 当时，作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ， ， ∴； 当时，在延长线上作， 同理可得答案. 则B不符合题意； 在和中， ， ∴； 在和中， ， ∴. 1．（2023七年级上·全国·竞赛）已知a，b，c为的三边边长，且满足方程组，则是（　　） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不等边三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、完全平方公式、非负数的性质等知识点，掌握因式分解是解题的关键． 先变形，再进行因式分解，然后运用完全平方公式的变形，最后根据非负数的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵a、b、c为的三边， ∴，故， ∴，即， ∴，即是等边三角形． 故选：A． 2．（2023八年级·全国·竞赛）如图，在中，，，为边上一点，连接，于点，点在上，连接，，连接，于点，交于点，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，作出辅助线是解题的关键． 延长交于，证得得出，证得，得出，得出，解的直角三角形求得，即可求得的长． 【详解】解：如图，延长交于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（2023七年级上·全国·竞赛）在梯形中，，点P为对角线的中点，记，则有（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分三角形的面积，得到，，再根据，即可得出结果． 【详解】解：∵点P为对角线的中点， ∴，， ∵， ∴； 故选C． 4．（2023八年级上·全国·竞赛）如图，在矩形中，是上的动点，于，于，则的值是（　　） A．4.6 B．4.8 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用面积法解决问题． 连接，先求得的面积，再由，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是矩形， ， ，， ， ， 即， ， ， 解得． 故选：B． 5．（2025八年级·全国·竞赛）如图，过点A作的一条内角平分线，交于点D，且，交于点E，且，若，则图中两个阴影三角形的面积最大相差（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是角平分线有关计算，等腰三角形的判定和性质，三角形面积公式，掌握其性质定理是解决此题的关键． 延长、交于点H．设交于点O，证明，得，得，证明，得，可得，得，得当时，的面积最大，为． 【详解】延长、交于点H．设交于点O．   ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴当时，的面积最大，最大面积为． 故选：A． 6．（2024九年级·全国·竞赛）如图，将边长为正方形绕点按顺时针方向旋转后得到正方形，边相交于点，则四边形的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，判断出点共线是解答本题的关键． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是正方形， ∴． ∵正方形绕点按顺时针方向旋转后得到正方形， ∴， ∴点共线，且， ， ∴四边形的面积为 ． 故选C． 7．（2023七年级上·全国·竞赛）如图，在四边形中，线段长，为直角，为，而且点到边的垂线段的长为，线段的长为，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查邻补角，等腰直角三角形，不规则图形的面积． 延长，，交于点，可得等腰直角三角形和等腰直角三角形，从而可得和的面积，相减即可得四边形的面积． 【详解】解：延长，，交于点， ∵为直角， ∴， ∴， ∵为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 8．（2023七年级上·全国·竞赛）如图，在中，，，则 ． 【答案】55 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键．根据三角形内角和定理得到，由三角形外角的性质得到，最后在中，利用三角形内角和定理可知，代入即可求得答案． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得， 故答案为：55． 9．（2025八年级·全国·竞赛）如图，点D在点A、C两点之间运动（不与点A、C重合），，．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，过点C作于G，先求出，，再证明得出，进而可得，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：过点C作于G，如图： ， ∵， ∴，， 设，则， ， ，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 又，， ， ， ， 在中，， ， ， ，， ， 故答案为：． 10．（2023九年级·全国·竞赛）如图，是等边的边上一点，以为边作等边，连接，在延长线上取一点，使．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由等边三角形得到，，，，然后证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到． 【详解】解：∵，是等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 11．（2023八年级·全国·竞赛）如图，在中，是的中点，，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．线段的延长线与射线交于点，连接．若点不与点B、M重合，试猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明． 【答案】 【分析】首先利用已知得出，进而得出，即可求出． 【详解】解：如图，连接， 是的中点， ， 即为的垂直平分线， ， 在与中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 12．（2023八年级·全国·竞赛）如图1，在等边中，是边上一点，连接，将沿翻折至，为上一点，． (1)求证：； (2)如图2，为上一点，连接，，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过连接，利用等边三角形性质（三边相等、角为）和翻折性质（对应边、角相等），推导角的等量关系，证明，从而得出，进而结合及，证明． （2）利用点在垂直平分线上的性质（到线段两端距离相等），构造全等三角形（如等），结合等边三角形判定（有一个角为的等腰三角形是等边三角形）、翻折性质，证明为等边三角形，可得，， 进而证明，结合可得，进而可得，由，由此即可解题． 【详解】（1）证明：连接， 为等边三角形 ， 由翻折性质得， ，则 又 ， 即， 即； （2）解：在上截取，连接，，， ，， ， ， ∵， ， 又（平角）且 ， ∴在四边形中， 又，即， ， 为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， ， ， ， ∴， ∴， ∵为等边三角形，，， ∴， ∴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $