大题专项-专题02 数列（讲义）-2026版广西职教高考二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版广西（职教高考）二轮复习《数学考纲专题练》依据《广西高等职业教育考试大纲与说明（数学）》及广西历年考试真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版广西（职教高考）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第2个专题，内容为数列。 2026版广西（职教高考）二轮复习 《数学考纲专题练》 专题02 数列 一、考纲解读 1.了解数列及数列通项公式的概念。 2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式、前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些实际问题。 3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式、前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些实际问题。 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2024 解答题 14 等差数列的前n项和 10 （1）题型：解答题。 （2）分值：稳定在10分。 （3）内容：等差数列、等比数列的前n项和。 2023 解答题 2 等差加等比数列的前n项和 10 三、考点预测 根据2023-2024年的真题考情，结合26年广西职教高考考试大纲，预估2026年广西职教高考有1道题目考查数列，题型设置为解答题，分值为10分。 具体考点可能涉及如下内容： · 等差数列 · 等比数列 · 数列求和 · 数列的综合实际应用 四、知识梳理 （一）an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn， 则an＝ （二） 常见数列的通项公式 (1)自然数列：1,2,3,4，…，an＝n. (2)奇数列：1,3,5,7，…，an＝2n－1. (3)偶数列：2,4,6,8，…，an＝2n. (4)平方数列：1,4,9,16，…，an＝n2. (5)2的乘方数列：2,4,8,16，…，an＝2n. (6)乘积数列：2,6,12,20，…，an＝n(n＋1)． (7)正整数的倒数列：1，，，，…，an＝. (8)重复数串列：9,99,999,9 999，…，an＝10n－1. (9)符号数列：－1,1，－1,1，…或1，－1,1，－1，…，an＝(－1)n或an＝(－1)n＋1. （三）等差数列 1. 等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 定义的表达式为_an＋1－an＝d(n∈N*)__. (2)等差中项 如果a，A，b成等差数列， 那么_A__叫做a与b的等差中项且_A＝. (3)通项公式 an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (4)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝ 2. 等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． (1)若m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk，则am1＋am2＋…＋amk＝an1＋an2＋…＋ank.特别地，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝_ap＋aq__. (2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为_kd__. (3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (4)数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2. （三）等比数列 1. 等比数列的概念 (1)等比数列的定义 符号语言：＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab>0时，a、b才有等比中项，且有互为相反数的两个． 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1＝amqn－m. (2)前n项和公式：Sn＝ 3.等比数列的主要性质 设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列． (4)三个数成等比数列可设三数为，b，bq，四个数成等比数列且公比大于0时，可设四个数为，，bq，bq3. 五、10分钟小测验 1．已知等差数列的前项和为，若，求． 2．已知在数列中，，且．请写出数列的前4项，并写出数列的一个通项公式． 3．某家庭打算买一套住房，决定以一年定期的方式存款，计划从2023年起每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2031年初将所有存款和利息全部取出，则这个家庭共取回多少元？ 4．某林场放置的一堆木材，最上层3根，最下层10根，共8层．试问，这堆木材共有多少根？ 5．已知数列的前项和为，若为等比数列． (1)求实数及的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1． 【分析】根据等差数列的前项和公式列方程求解公差和首项，再由等差数列的前项和公式求值即可. 【详解】已知等差数列中，， 设首项为，公差为， 则，即， 整理得，解得， 所以． 2．， 【分析】分别将代入中，依次求值，再由等比数列的定义确定该数列为等比数列，并写出其通项公式即可. 【详解】已知在数列中， ， 则 ， 且由得数列为公比为2的等比数列， 所以． 3．元 【分析】设从2023年年初到2031年年初每年的本利和组成数列，把2023年末存款的本利和看作，利用等比数列的求和公式求即可. 【详解】设从2023年年初到2031年年初每年的本利和组成数列，到2031年为止，把2023年末存款的本利和看作，则2030年末存款的本利和为， 则． 因为， 而是首项为，公比为的等比数列， 所以． 所以这个家庭应取出的钱数为元． 4．52根． 【分析】自上而下每层放置木材的根数构成等差数列，利用等差数列的求和公式求出答案. 【详解】由题图可知，自上而下每层放置木材的根数构成等差数列，记为． 因为，，，所以． 因此，这堆木材共有52根． 5．(1)， (2) 【分析】（1）根据求的值，再根据与求等比数列的通项公式. （2）根据先解得的通项公式，再求的前项和. 【详解】（1）① 当时② ①-②得． 为等比数列，， 又． ． （2）． ③ ④ ③-④得， ． 六、经典例题解析 1．某公司在一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年支出各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设表示前年的纯收入．求从第几年开始获取纯利润？前年的总收入-前年的总支出-投资额） 【答案】从第3年开始获利 【分析】根据题意，结合等差数列前n项和的应用，及二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列， 所以， 获取纯利润就是要求，故有，即， 解得．又， 所以从第3年开始获取纯利润． 2．在等差数列中： (1)已知，求； (2)已知，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式求出公差和首项，再由等差数列的前项和公式求值即可. （2）首先由等差数列的前项和公式求出，再由等差数列的通项公式求出的值，最后由等差数列的前项和公式求值即可. 【详解】（1）已知等差数列中， ，设公差为， 则，解得 . （2）已知， 则 ， ， ， . . 3．两位同学分别到甲、乙两家公司应聘，均被录用．甲公司承诺第一年年薪是50000元，以后每年比上一年加薪5000元．乙公司承诺第一年的年薪是50000元，以后每年的年薪比上一年增加10%．假设聘期为五年，试问 (1)应聘到甲公司的同学，其第五年的年薪是多少？五年的总收入是多少？ (2)应聘到乙公司的同学，其第五年的年薪是多少？五年的总收入是多少？ 【答案】(1)第五年的年薪是70000元，五年的总收入是300000元． (2)第五年的年薪是73205元，五年的总收入是305255元． 【分析】（1）根据等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式求解即可. （2）根据等比数列的定义、通项公式以及前n项和公式求解即可. 【详解】（1）甲公司承诺的年薪构成等差数列，其中． 于是（元）， （元） 因此，应聘到甲公司的同学，其第五年的年薪是70000元，五年的总收入是300000元． （2）乙公司承诺的年薪构成等比数列，其中 于是（元）， （元）． 因此，应聘到乙公司的同学，其第五年的年薪是73205元，五年的总收入是305255元． 4．已知等差数列，，. (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式求值即可. （2）首先根据等比数列的定义证明数列为等比数列，再由等比数列的前项和公式求值即可. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由，得，方程组， 解得，， 数列的通项公式. （2）由，得， 则，且， 是首项为，公比为的等比数列， 于是得数列的前项和. 七、专题归纳小结 1. 数列基础概念 概念 定义 符号表示 数列通项 数列第 n 项与项数 n 的关系式 an​=f(n) 前n项和 数列前 n 项之和 Sn​=a1​+a2​+⋯+an​ 递推公式 用前一项（或前几项）表示后一项的式子 an​=f(an−1​) 或 an​=f(an−1​,an−2​) 2. 两类特殊数列（核心） 数列类型 定义 通项公式 求和公式 等差数列 an​−an−1​=d（常数） an​=a1​+(n−1)d 等比数列 （常数， q≠0） Sn​=a1​+a2​+⋯+an​ 性质口诀：“等差看差，等比看比；中项公式，求和巧记” （二）、解题策略与技巧 1. 已知 Sn​ 求 an ​利用 验证 a1​ 是否满足 n≥2 的表达式 2. 数列求和“四大方法” 方法 适用题型 操作要点 公式法 等差、等比数列直接求和 准确选用公式，注意q=1的讨论 分组求和法 通项为几部分可求和的形式 如an=(2n−1)+2n，分组为等差和等比分别求和 裂项相消法 分式型（如） 拆项： 错位相减法 {an⋅bn} 其中一端为等差，另一端为等比 写出Sn和qSn，错位相减后求和 错位相减法口诀： “写和式，乘公比，错位减，化简毕” 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $