九年级上册期中模拟卷02-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（苏科版）

2025-2026学年数学九年级上册期中模拟卷2 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 4．测试范围：苏科版 九年级上册 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知的半径为4，点在内，则的长可能为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 2．用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是（　　） A．（x﹣1）2=4 B．（x+1）2=4 C．（x﹣1）2=16 D．（x+1）2=16 3．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 4．某校开展安全知识竞赛，进入决赛的有名同学，他们的成绩分别是：，，，，，这名同学的决赛成绩的中位数和众数分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为(　　) A．8 B．12 C．16 D．20 6．如图，的半径为3，P是延长线上一点，，切于点A，那么的切线的长为（   ） A．3 B． C．6 D． 7．对于函数， 下列结论错误的是（    ） A．图像顶点是 B．图像开口向下 C．图像关于直线对称 D．函数最小值为 8．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D．5 9．古算趣题：“愚人持竿欲入门，怎奈门框把竹阻，横余五尺竖余三，焦急无措泪潸潸．有位邻居智慧高，教其斜竿对两角，愚人依言行一试，不多不少正合适，试问竿长是几何，能解此题我点赞．”大意是：“一人拿着一根竹竿进屋内，竹竿比门宽多5尺，比门高多3尺，如果竹竿斜着进门，恰好通过．若设竹竿的长为x尺，则可列方程为 A． B． C． D． 10．如图，菱形的边长为4，，为边上的中点，P为直线上方左侧的一个动点，且满足，则线段长度的最大值是（　　） A． B．4 C． D． 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分．） 11．已知的一个根是2，则另一根为 ． 12．为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表： 一分钟跳绳个数（个） 141 144 145 146 学生人数（名） 5 2 1 2 则这组数据的众数是 13．如图，在4×4的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是 ．    14．如图，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，且，的周长为24，则的长为 ． 15．如图，已知点A、B、C、D都在⊙O上，且∠BOD＝110°，则∠BCD为 ． 16．温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度为24米，拱高为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为 米． 17．“让孩子变聪明的方法，不是补课，不是增加作业量，而是阅读、阅读、再阅读”. 某学校坚持开展阅读活动，学生人均阅读量从年的万字，增加到年的万字，则该校人均阅读量年均增长率为 ． 18．如图所示，在中，，，，将绕顶点按顺时针方向旋转至的位置，三点共线，则线段扫过的区域（阴影部分）面积为 ．    三、解答题（本题共9小题，共84分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分)解下列方程： (1)； (2)． 20．（8分)某校七年级社会实践，安排三辆车，编号分别为，，．小温与小州都可以从这三辆车中任意选择一辆搭乘． (1)求小温没有搭乘车的概率． (2)若小温没有搭乘车，请用画树状图或列表的方法，求出小温与小州不同车的概率． 21．（8分)2025年山西中考体育总分为分，为测试同学们的体育成绩情况，某校从九年级同学中任意选取人，随机分成甲、乙两个小组进行“一分钟跳绳”测试，根据测试成绩绘制出下面的统计表和统计图．已知甲组的平均成绩为分． 甲组成绩统计表： 成绩 12 13 14 15 人数 1 9 5 5 请根据上面的信息，解答下列问题： (1)_______，甲组成绩的中位数是_______，乙组成绩的众数是_______； (2)参考下面甲组成绩方差的计算过程，求乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定？ 22．（8分)已知关于的一元二次方程． (1)求证：对于任意实数，该方程总有实数根； (2)若，是此方程的两个根，且，求的值． 23．（8分)如图，已知，分别为半径，的中点，为的中点． (1)求证：； (2)若，，求面积． 24．（8分)某商店经销一批小商品，每件商品的成本为8元．据市场分析，销售单价定为10元时，每天能售出200件；现因货源稀缺，采用提高商品售价减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件． （1）当销售单价为13元，每天可售出多少件？每天销售利润为多少？ （2）针对这种小商品的销售情况，该商店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？ 25．（12分)如图，在中，，以为直径的交于点D，过D作，垂足为E，的延长线交的延长线于点F． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求长． 26．（12分)阅读下列材料，完成问题： 材料1：对于一元二次方程，若它有两个实数根和，根与系数的关系（韦达定理）为：，． 材料2：已知一元二次方程（m、n为常数），定义其“关联函数”为且该方程的两个实数根为，． 根据以上内容，解答下列问题： (1)一元二次方程的两个实数根为，，则__________，__________． (2)若方程的一个根为1，且关联函数的图象过点，求、的值． (3)设关联函数的图象与轴的交点为，请直接写出点的坐标；若方程的两根满足，求的取值范围． 27．（12分)新定义：三角形两个内角的平分线相交所成的钝角称为该三角形第三个内角的好望角．    (1)如图1，是中的好望角，，请用含的代数式表示 (2)如图2，在中，的平分线与经过两点的圆交于点，且．求证：是中的好望角． (3)如图3，在（2）的条件下，若，求：线段的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年数学九年级上册期中模拟卷2 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 4．测试范围：苏科版 九年级上册 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知的半径为4，点在内，则的长可能为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，先得到圆的半径为4，根据点与圆的位置关系的判定方法得到当时，点A在外；当时，点A在上；当时，点A在内，然后对各选项进行判断． 【详解】解：的半径为4， A.，点A在内，故选项A符合题意； B. ，点A在上，故选项B不符合题意； C.，点A在外，故选项C不符合题意； D.，点A在外，故选项C不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 2．用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是（　　） A．（x﹣1）2=4 B．（x+1）2=4 C．（x﹣1）2=16 D．（x+1）2=16 【答案】A 【详解】移项，得：x2－2x＝3，配方，得：x2－2x＋1＝3＋1，即(x－1)2＝4. 3．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】先求出的值，再判断出其符号即可． 【详解】解：∵， ∴方程没有实数根． 故选：D． 【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根的判别式的意义是解答此题的关键． 4．某校开展安全知识竞赛，进入决赛的有名同学，他们的成绩分别是：，，，，，这名同学的决赛成绩的中位数和众数分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据众数，中位数的定义计算选择即可． 【详解】解：数据，，，，，从大到小的排列顺序为：，，，，，， 中位数是第个，个数据的平均数即． 出现的次数最多，出现了次， 众数为； 故选：C． 【点睛】本题考查了中位数和众数，将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数或最中间位置的两个数的平均数叫做这组数据的中位数，众数是在一组数据中出现次数最多的数据． 5．如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为(　　) A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【分析】根据垂径定理，得，且，解答即可． 本题考查了勾股定理，垂径定理，熟练掌握两个定理是解题的关键． 【详解】解：根据垂径定理，得， 根据勾股定理，得， 故． 故选：C． 6．如图，的半径为3，P是延长线上一点，，切于点A，那么的切线的长为（   ） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】先根据切线的性质得到，然后利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：∵切于A点， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理，切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，熟记切线的性质是解题的关键． 7．对于函数， 下列结论错误的是（    ） A．图像顶点是 B．图像开口向下 C．图像关于直线对称 D．函数最小值为 【答案】D 【分析】根据二次函数图像的性质逐项判断即可； 【详解】解：在函数中， 顶点坐标为；A选项正确，不符合题意； ，图像开口方向向下；B选项正确，不符合题意； 图像关于直线对称；C选项正确，不符合题意； 函数的最大值为；D选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图像的性质；熟练掌握二次函数图像与二次函数表达式的关系是解题的关键． 8．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了与圆锥相关的计算，熟知圆锥侧面展开后是扇形及与圆锥的底面半径的关系是解题的关键； 先计算圆锥展开图的扇形的弧长，再进一步计算即可 【详解】解：圆锥侧面展开图的扇形的弧长， ∴该圆锥的底面圆的半径为； 故选：A 9．古算趣题：“愚人持竿欲入门，怎奈门框把竹阻，横余五尺竖余三，焦急无措泪潸潸．有位邻居智慧高，教其斜竿对两角，愚人依言行一试，不多不少正合适，试问竿长是几何，能解此题我点赞．”大意是：“一人拿着一根竹竿进屋内，竹竿比门宽多5尺，比门高多3尺，如果竹竿斜着进门，恰好通过．若设竹竿的长为x尺，则可列方程为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（与图形有关的问题），勾股定理等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键．若设竹竿的长为x尺，则由题意得，门宽为尺，门高为尺，然后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：因为设竹竿长为x尺，由题意可知门宽为尺，门高为尺． ∴可列方程为：． 故选：B． 10．如图，菱形的边长为4，，为边上的中点，P为直线上方左侧的一个动点，且满足，则线段长度的最大值是（　　） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的性质、圆周角定理、菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确找出点的运动轨迹是解题关键．连接，先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，则可得，再根据圆周角定理可得点的运动轨迹是以为直径的一段圆弧，取的中点，连接，并延长交于点，则线段长度的最大值是，然后利用勾股定理求出，，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵菱形的边长为4，，为边上的中点， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹是以为直径的一段圆弧， 如图，取的中点，连接，并延长交于点，则线段长度的最大值是， ∴， ∴， ∴， 即线段长度的最大值是， 故选：C． 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分．） 11．已知的一个根是2，则另一根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，求出另一个根是解题的关键． 【详解】解：设另一根为， 则， 解得：， 故答案为：． 12．为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表： 一分钟跳绳个数（个） 141 144 145 146 学生人数（名） 5 2 1 2 则这组数据的众数是 【答案】141 【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的一个或几个数据进行求解即可． 【详解】解：由表格中的数据可知，跳绳数量为141个的学生人数最多，即这组数据的众数是141， 故答案为：141． 【点睛】本题主要考查了求众数，熟知众数的定义是解题的关键． 13．如图，在4×4的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是 ．    【答案】/0.25 【分析】只需要用阴影部分面积除以整个正方形的面积即可得到答案． 【详解】解：由题意得： 一个阴影小三角形的面积为：， 则阴影部分面积为：， 正方形网格的面积为：， 所以飞镖击中阴影部分的概率为：， 故填：． 【点睛】本题考查了概率公式和用几何方法求概率，考查的核心是推理能力与模型思想． 14．如图，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，且，的周长为24，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推出及是解题的关键． 由的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，且，得，，，所以，由，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，且， ∴，，， ∴， ∵的周长为24， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 15．如图，已知点A、B、C、D都在⊙O上，且∠BOD＝110°，则∠BCD为 ． 【答案】 【分析】利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵∠A＝∠BOD，∠BOD＝110°， ∴∠A＝55°， ∵∠BCD+∠A＝180°， ∴∠BCD＝180°﹣55°＝125°， 故答案为125°． 【点睛】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 16．温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度为24米，拱高为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为 米． 【答案】20 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，找出石拱桥圆弧形的圆心，连接，设半径为米，则米，由垂径定理可得米，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，找出石拱桥圆弧形的圆心，连接， ， 设半径为米，则米， ∵跨度为24米，， ∴米， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴这个弧形石拱桥设计的半径为米， 故答案为：． 17．“让孩子变聪明的方法，不是补课，不是增加作业量，而是阅读、阅读、再阅读”. 某学校坚持开展阅读活动，学生人均阅读量从年的万字，增加到年的万字，则该校人均阅读量年均增长率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题：设该校人均阅读量年均增长率为，根据“学生人均阅读量从年的万字，增加到年的万字” ，列式，即可作答． 【详解】解：设该校人均阅读量年均增长率为， ∵学生人均阅读量从年的万字，增加到年的万字 ∴ 解得，负值已舍去 则该校人均阅读量年均增长率为 故答案为： 18．如图所示，在中，，，，将绕顶点按顺时针方向旋转至的位置，三点共线，则线段扫过的区域（阴影部分）面积为 ．    【答案】 【分析】在中可得，，，由旋转的性质可得，由，计算即可得到答案． 【详解】解：在中，，，， ， ， 由旋转的性质可知：， ， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积计算，旋转的性质，利用整体与局部的关系，将阴影部分面积转化为规则图形面积的和、差是解答此题的关键． 三、解答题（本题共9小题，共84分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分)解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点选取合适的解法是解题的关键； （1）用开平方法即可求解； （2）利用配方法即可求解． 【详解】（1）解：开平方得：， 解得：． （2）解：移项得：， 配方得：， 即， 解得：． 20．（8分)某校七年级社会实践，安排三辆车，编号分别为，，．小温与小州都可以从这三辆车中任意选择一辆搭乘． (1)求小温没有搭乘车的概率． (2)若小温没有搭乘车，请用画树状图或列表的方法，求出小温与小州不同车的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查用列表法或树状图法求事件发生的概率： （1）直接利用概率公式求解即可； （2）先列表得到所有的等可能结果，再找到符合条件的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：小温没有搭乘车的概率为； （2）解：列表如下：    小温 小州 由表可知，共有6种等可能结果，其中小温和小州搭不同车的结果有4种， 小温和小州搭不同车的概率为． 21．（8分)2025年山西中考体育总分为分，为测试同学们的体育成绩情况，某校从九年级同学中任意选取人，随机分成甲、乙两个小组进行“一分钟跳绳”测试，根据测试成绩绘制出下面的统计表和统计图．已知甲组的平均成绩为分． 甲组成绩统计表： 成绩 12 13 14 15 人数 1 9 5 5 请根据上面的信息，解答下列问题： (1)_______，甲组成绩的中位数是_______，乙组成绩的众数是_______； (2)参考下面甲组成绩方差的计算过程，求乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定？ 【答案】(1)3；13.5；13 (2)，乙组成绩更稳定 【分析】（1）用总人数减去其他成绩的人数，求出，再根据中位数和众数的定义即可求出甲组成绩的中位数和乙组成绩的众数； （2）先求出乙组的平均数，再根据方差公式求出乙组的方差，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：（人， 把甲组成绩从小到大排列，中位数是第10、11个数的平均数， 则中位教是（分， 乙组成绩13分出现的次数最多，出现了9次， 则乙组成绩的众数是13分． 故答案为：3；13.5；13； （2）解：乙组的平均数是（分）， 乙组的方差是： ； ， 乙组的成绩更加稳定． 【点睛】此题考查了平均数、众数、中位数、平均数、方差的有关内容，解题的关键是正确理解统计图． 22．（8分)已知关于的一元二次方程． (1)求证：对于任意实数，该方程总有实数根； (2)若，是此方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）计算一元二次方程根的判别式，进而即可求证； （）利用根与系数的关系，，然后代入求解即可； 此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴对于任意实数，该方程总有实数根； （2）解：根据题意得，，， ∵， ∴， ∴． 23．（8分)如图，已知，分别为半径，的中点，为的中点． (1)求证：； (2)若，，求面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理、全等三角形的性质与判定、勾股定理，掌握圆周角定理是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，再运用全等三角形中的判定方法得到，进而证明； （2）过点作于点，先证出 ，根据直角三角形中所对的直角边是斜边的一半可得到的值，根据勾股定理得到的值，最后运用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图： 为的中点， ， ，分别为半径，的中点，， ， 在和中， ， ． （2）解：过点作于点，如图： ， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， ． 答：的面积为． 24．（8分)某商店经销一批小商品，每件商品的成本为8元．据市场分析，销售单价定为10元时，每天能售出200件；现因货源稀缺，采用提高商品售价减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件． （1）当销售单价为13元，每天可售出多少件？每天销售利润为多少？ （2）针对这种小商品的销售情况，该商店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）当销售单价为13元，每天可售出140件，每天销售利润为700元；（2）销售单价应定为12元/件 【分析】（1）根据若销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件和销售单价定为10元时，每天能售出200件列式即可； （2）根据题意列出一元二次方程计算即可； 【详解】解：（1）200﹣20×（13﹣10）＝140（件）， 利润＝（13﹣8）×140＝700（元）， 答：当销售单价为13元，每天可售出140件，每天销售利润为700元； （2）设销售单价应定为x元/件，则每天可售出[200﹣20（x﹣10）]件， 根据题意得：（x﹣8）[200﹣20（x﹣10）]＝640， 整理得：x2﹣28x+192＝0， 解得：x1＝12，x2＝16． ∵要使顾客得到实惠， ∴x2＝16不合题意． 答：销售单价应定为12元/件． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确列式计算是解题的关键． 25．（12分)如图，在中，，以为直径的交于点D，过D作，垂足为E，的延长线交的延长线于点F． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得出，，得出，进而得出，由，得出，即可证明是的切线； （2）先求出，再由勾股定理求出，最后再用面积法求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵在直角中，， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，三角形的面积，掌握切线的判定，等腰三角形的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 26．（12分)阅读下列材料，完成问题： 材料1：对于一元二次方程，若它有两个实数根和，根与系数的关系（韦达定理）为：，． 材料2：已知一元二次方程（m、n为常数），定义其“关联函数”为且该方程的两个实数根为，． 根据以上内容，解答下列问题： (1)一元二次方程的两个实数根为，，则__________，__________． (2)若方程的一个根为1，且关联函数的图象过点，求、的值． (3)设关联函数的图象与轴的交点为，请直接写出点的坐标；若方程的两根满足，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）根据韦达定理找到对应的系数，代入公式计算即可； （2）将方程的根代入方程，将点坐标代入函数解析式，得到关于、的方程，联立求解即可； （3）根据函数图象与轴相交时横坐标为0，写出点的坐标；根据韦达定理写出的根与系数的表达式，再利用完全平方公式结合，最后根据有两根时，求解的取值范围． 【详解】（1）解：由题意，，，对于， ，， 故，． （2）方程的一个根为1， 将代入， 得，即， 由于函数的图象过点，将点代入函数， 得，即 联立，解得， 故，． （3）函数图象与轴相交时，横坐标为0，将代入可得，， ； 对于，根据韦达定理有， ， 由完全平方公式可得，， 由于的两根满足， 结合完全平方公式可得，， 即， 由于方程有两根， ， 即， 解得． 【点睛】此题主要考查了韦达定理，解二元一次方程组，解不等式，完全平方公式的应用，熟练应用韦达定理是解题的关键． 27．（12分)新定义：三角形两个内角的平分线相交所成的钝角称为该三角形第三个内角的好望角．    (1)如图1，是中的好望角，，请用含的代数式表示 (2)如图2，在中，的平分线与经过两点的圆交于点，且．求证：是中的好望角． (3)如图3，在（2）的条件下，若，求：线段的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线的性质和三角形的内角和定理即可得出结果； （2）圆周角定理，得到，根据，得到，结合三角形的外角和三角形的内角和推出，即可得证； （3）连接，先证明为等腰直角三角形，求出，进而得到，根据，得到当最大时，最大，根据，推出在为直径的圆上，得到为直径时，最大，此时，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵是中的好望角， ∴是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 又∵平分， ∴是中的好望角． （3）解：记圆心为，连接，连接，    ∵平分，平分， ∴平分， ∴是的好望角，而， ∴， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当最大时，的值最大， ∵， ∴， ∴在为直径的圆上， ∴为直径时，最大，此时， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，圆的内接四边形的性质，与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，勾股定理等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，掌握好望角的定义，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $