九年级上册期中模拟卷01-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（苏科版）

2025-2026学年数学九年级上册期中模拟卷1 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 4．测试范围：苏科版 九年级上册 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．某学习小组的6名同学在第一次数学测试中的成绩分别是94分、98分、90分、94分、80分、90分，则下列结论正确的是（　　） A．中位数是90分 B．众数是94分 C．平均数是91分 D．极差是20 3．若是方程的一个根，则m的值为（   ） A． B． C．2 D．6 4．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 5．的半径为5，点到圆心的距离为5，点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法确定 6．如图，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．今年为庆祝共青团成立100周年，教体局举行篮球友谊赛，初赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，则一共邀请了多少支球队参加比赛？设一共邀请了支球队参加比赛．根据题意可列方程是（        ） A． B． C． D． 8．不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（　　）． A． B． C． D． 9．如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 10．阅读理解：把数用大括号围起来，如：、，我们称之为“集”，其中大括号内的数称其为“集”的元素．如果一个“集”满足：只要其中有一个元素a，使得还是这个“集”的元素，这样的“集”我们称之为“回归集”．若“集”是“回归集”，则n的值个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分．） 11．方程的根为 ． 12．如图，四边形是的内接四边形，是它的一个外角，若，则的度数是 ． 13．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 14．有甲、乙两组数据，若甲组数据1，2，3，7，8的方差是，乙组数据1，2，3，3，4的方差是，则 ．（填“”“”或“”） 15．已知圆锥的侧面积是，底面半径是3，则母线长为 ． 16．如图，，，，，为的内切圆，与三边的切点分别为、、，则的面积为 （结果保留）． 17．若a，b是关于x的方程的两个实数根，则 ． 18．如图，已知中，，点E是边上的动点，以为直径作，连接交于点D，则的最小值 三、解答题（本题共9小题，共84分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）解方程： (1)； (2)． 20．（8分）如图，在中，，证明．    21．（8分）已知关于x的一元二次方程. (1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若m是方程的一个实数根，求m的值. 22．（8分）为保护环境，增强居民环保意识，某校积极参加即将到来的6月5日的“世界环境日”宣传活动，七年级（1）班所有同学在同一天调查了各自家庭丢弃塑料袋的情况，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题： (1)本次共调查多少户居民？计算并请将图（1）的条形统计图补充完整； (2)这组数据的居民丢弃塑料袋个数的中位数是 个，众数是 个； (3)该校所在的居民区约有3000户居民，估计该居民区每天丢弃的塑料袋总数大约是多少？ 23．（8分）已知如图，中，，平分． (1)尺规作图：以上一点为圆心（不含端点、），作与相切，与相交（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，与相离，求半径的取值范围． 25．（12分）随旅游业的快速发展，外来游客对住宿的需求明显增大，某宾馆拥有的床位数不断增加． (1)该宾馆床位数从2021年底的200个增长到2023年底的288个，求该宾馆这两年（从2021年底到2023年底）拥有的床位数的年平均增长率； (2)该宾馆打算向游客出售了一款纪念工艺品，每件成本50元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件。若该馆想要每天的销售利润达到4000元，且销量尽可能大，应该如何定价？ 26．（12分）如图，在中，，厘米，厘米．点从点开始沿边向点以1厘米秒的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以2厘米秒的速度移动（到达点即停止运动）． (1)如果、分别从、两点同时出发，经过几秒钟，的面积等于的三分之一？ (2)如果、两点分别从、两点同时出发，而且动点从点出发，沿移动（到达点即停止运动），动点从出发，沿移动（到达点即停止运动），几秒钟后，、相距6厘米？ 27．（12分）阅读下列材料，完成相应学习任务：四点共圆的条件 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？小明经过实践探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，下面是小明运用反证法证明上述命题的过程： 已知：在四边形中，． 求证：过点可作一个圆． 证明：假设过点四点不能作一个圆，过、三点作圆．如图1，若点在圆外，设与圆相交于点，连接，则______，而已知，所以，而是的外角，，出现矛盾，故假设不成立，因此点在过三点的圆上． 如图2，若点在圆内，（请同学们补充完成省略的部分证明过程） 因此得到四点共圆的条件：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆． 学习任务： (1)材料中划线部分的结论是______，依据是______； (2)请将图2的证明过程补全； (3)如图3，在四边形中，，，，则的大小为______ (4)如图4，已知正方形的边长为6，点是边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，以为边作正方形，顶点在线段上，对角线相交于点．当点从运动到时，点也随之运动，求经过的路径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年数学九年级上册期中模拟卷1 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 4．测试范围：苏科版 九年级上册 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义：经化简后，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2次的整式方程，根据定义解题即可． 【详解】解：．，含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； ．，化简后为：，不含二次项，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； ．，是一元二次方程，故本选项符合题意； ．，还有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．某学习小组的6名同学在第一次数学测试中的成绩分别是94分、98分、90分、94分、80分、90分，则下列结论正确的是（　　） A．中位数是90分 B．众数是94分 C．平均数是91分 D．极差是20 【答案】C 【分析】直接根据平均数、中位数、众数以及极差的计算公式对各选项进行判断即可． 【详解】A、这组数据按从小到大排列为：80分、90分、90分、94分、94分、98分，所以这组数据的中位数为92分，所以A选项错误； B、这组数据的众数是90分和94分，所以B选项错误； C、这组数据的平均分：（分），所以C选项正确； D、极差是，所以D选项错误． 故选：C． 【点睛】此题考查了平均数、中位数、众数和极差的意义，解题的关键是正确理解各概念的含义． 3．若是方程的一个根，则m的值为（   ） A． B． C．2 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握方程的根能使方程左右两边相等是解题的关键．将方程的根代入方程，通过计算求出的值． 【详解】解：把代入方程，得， ， ， ， 故选：D． 4．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的根与的关系列出不等式即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，， 解得：，且， 故选：C． 5．的半径为5，点到圆心的距离为5，点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外⇔；点P在圆上⇔；点P在圆内⇔． 直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【详解】解：∵的半径为5，点P到圆心O的距离为5， ∴点P到圆心O的距离等于圆的半径， ∴点P在上． 故选：C． 6．如图，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半求解即可． 【详解】解：∵， ∴= ， 故选A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理及其推论是解答本题的关键． 7．今年为庆祝共青团成立100周年，教体局举行篮球友谊赛，初赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，则一共邀请了多少支球队参加比赛？设一共邀请了支球队参加比赛．根据题意可列方程是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解决本题的关键． 根据题意得赛制为单循环形式（每两支球队之间都进行一场比赛），则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 【详解】解：根据题意得，每个队参加场比赛，共有场比赛， ∴， 故选C． 8．不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了运用列表法与树状图法求概率，根据题意正确画出树状图是解题的关键． 先根据题意画出相应的树状图，即可确定所有等可能结果数以及满足题意的结果数，再运用概率公式求解即可． 【详解】解：树状图如下所示， 由上可得，一共有4种等可能性，其中两次摸球摸到的小球都是红球的可能性有1种， ∴两次摸出的都是红球的概率是． 故选A． 9．如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 【答案】C 【分析】此题重点考查三角形的周长、三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出，是解题的关键．设与、、、直线分别相切于点、、、，由的周长为，，求得，由，，求得，由，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与、、、直线分别相切于点、、、， 的周长为，， ， ，， ， ， ，， ， 剪下的三角形的周长为， 故选：C． 10．阅读理解：把数用大括号围起来，如：、，我们称之为“集”，其中大括号内的数称其为“集”的元素．如果一个“集”满足：只要其中有一个元素a，使得还是这个“集”的元素，这样的“集”我们称之为“回归集”．若“集”是“回归集”，则n的值个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查新定义下的运算，一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据新定义下的运算，分类讨论计算即可． 【详解】解：①当时，， ∴6是集合中的元素，则， ②当，且时， ， 即， ， 解得或， ③当，且时， ， 即， 解得， 综上所述，n的值为6，1，，0． 故选D． 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分．） 11．方程的根为 ． 【答案】 【分析】把看成整体，然后直接开方求解． 【详解】解：， ∴， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，其解法是先将一元二次方程整理成，然后两边同时开平方即可． 12．如图，四边形是的内接四边形，是它的一个外角，若，则的度数是 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了圆内接四边形，对角互补，据此即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∵四边形是的内接四边形， ∴ 故答案为： 13．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根． 根据关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则，求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：9． 14．有甲、乙两组数据，若甲组数据1，2，3，7，8的方差是，乙组数据1，2，3，3，4的方差是，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了求方差，分别根据方差的计算公式求出、，比较即可得出答案． 【详解】解：甲组数据的平均数为， 故， 乙组数据的平均数为， 故， ∴， 故答案为：． 15．已知圆锥的侧面积是，底面半径是3，则母线长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查求圆锥的母线长，根据圆锥的侧面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵圆锥的侧面积是，底面半径是3， ∴圆锥的母线长为； 故答案为：5． 16．如图，，，，，为的内切圆，与三边的切点分别为、、，则的面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，切线长定理，正方形的判定和性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键；连接，根据切线长定理得出，，进而得出四边形为正方形，设，则，，根据，列出方程，求出，即，最后根据圆的面积公式，即可求解． 【详解】解：连接， ∵为的内切圆，与三边的切点分别为、、， ∴，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， 设， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 即， ∴的面积， 故答案为：． 17．若a，b是关于x的方程的两个实数根，则 ． 【答案】2020 【分析】把所求代数式化成，结合根的定义及根与系数的关系可求得答案． 【详解】解：∵a，b是方程的两根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：2020． 【点睛】本题考查一元二次方程根的定义及根与系数的关系，把所求代数式化为是解题的关键． 18．如图，已知中，，点E是边上的动点，以为直径作，连接交于点D，则的最小值 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，圆周角定理，三角形三边关系，根据题意找出，当点在一直线上时，的值最小是解题的关键． 连接，利用直径定理得出直角，确定，得出当点在同一条直线上时，的值最小，然后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴动点在以中点为圆心，2为半径的圆上运动， ∵， 当点在同一条直线上时，的值最小， ∵，， ∴由勾股定理得，， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共84分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）由配方法即可求解； （2）先移项，再根据因式分解法求解． 【详解】（1）解： ， 解得：，； （2）解 ， 或 解得：，． 20．（8分）如图，在中，，证明．    【答案】见解析 【分析】根据等式的性质得到，再根据弧、弦、圆心角的关系证明即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，学生掌握运用定理进行推理的能力是关键． 21．（8分）已知关于x的一元二次方程. (1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若m是方程的一个实数根，求m的值. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0的根的判别式△=b2-4ac的符号来判定该方程的根的情况； (2)把代入方程，解关于的一元二次方程即可. 【详解】证明：(1)=(m+3)2－4(m+1) =m2+2m+5 =(m+1)2+4>0 ∴原方程总有两个不相等的实数根. (2)m2+m(m+3)+m+1=0 2m2+4m+1=0 ∴ 【点睛】考查一元二次方程根的判别式， 当时，方程有两个不相等的实数根. 当时，方程有两个相等的实数根. 当时，方程没有实数根. 22．（8分）为保护环境，增强居民环保意识，某校积极参加即将到来的6月5日的“世界环境日”宣传活动，七年级（1）班所有同学在同一天调查了各自家庭丢弃塑料袋的情况，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题： (1)本次共调查多少户居民？计算并请将图（1）的条形统计图补充完整； (2)这组数据的居民丢弃塑料袋个数的中位数是 个，众数是 个； (3)该校所在的居民区约有3000户居民，估计该居民区每天丢弃的塑料袋总数大约是多少？ 【答案】(1)本次共调查多少户居民 (2)4；4 (3)该居民区每天丢弃的塑料袋总数大约是12600个， 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，中位数和众数，样本估计总体． （1）根据选择丢弃塑料袋5个的户数和所占的百分比，求出调查的总居民数；再计算出丢弃塑料袋3个的户数，即可将条形统计图补充完整； （2）根据“中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据”即可求解； （3）求出样本平均数来估计总体． 【详解】（1）解：（户）， 丢弃塑料袋3个的人数为（户）， 补全图形如图： ； （2）解：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的中位数是4； 4出现了20次，出现次数最多，则众数是4； 故答案为：4；4； （3）解：该校所在的居民区约有3000户居民，则该居民区每天丢弃的塑料袋总数大约是 （个）. 23．（8分）已知如图，中，，平分． (1)尺规作图：以上一点为圆心（不含端点、），作与相切，与相交（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，与相离，求半径的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的平分线交于点H，再线段上任取一点O，作于点E，再以点O为圆心，的长为半径画圆，即可求解； （2）当与相切时，设与的切点为点F，与的切点为点E，过点O作与于点G，则，证明四边形是正方形，可得，再证明与相切，根据切线长定理可得，再由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，当与相切时，设与的切点为点F，与的切点为点E，过点O作交于点G，则， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴与相切， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴当与相离时，半径的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，切线长定理，角平分线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质和判定，切线长定理是解题的关键． 25．（12分）随旅游业的快速发展，外来游客对住宿的需求明显增大，某宾馆拥有的床位数不断增加． (1)该宾馆床位数从2021年底的200个增长到2023年底的288个，求该宾馆这两年（从2021年底到2023年底）拥有的床位数的年平均增长率； (2)该宾馆打算向游客出售了一款纪念工艺品，每件成本50元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件。若该馆想要每天的销售利润达到4000元，且销量尽可能大，应该如何定价？ 【答案】(1) (2)应定价为70元 【分析】设该宾馆这两年床位的年平均增长率为x，根据该宾馆2021年底及2023年底的床位数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； (2) 设降价a元，根据利润=单个利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论； 【详解】（1）设增长率为x， 则可列方程为， 解得（舍） 增长率为 （2）设降价a元， 则可列方程， 化简得， 解得， 因为销量要尽可能大，所以降价30元，故应定价为70元； 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 26．（12分）如图，在中，，厘米，厘米．点从点开始沿边向点以1厘米秒的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以2厘米秒的速度移动（到达点即停止运动）． (1)如果、分别从、两点同时出发，经过几秒钟，的面积等于的三分之一？ (2)如果、两点分别从、两点同时出发，而且动点从点出发，沿移动（到达点即停止运动），动点从出发，沿移动（到达点即停止运动），几秒钟后，、相距6厘米？ 【答案】(1)2秒或4秒 (2)秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握三角形的面积计算方法，勾股定理，能够表示出线段和的长是解答本题的关键． （1）设经过秒钟，的面积等于的三分之一，分别表示出线段和线段的长，然后根据面积之间的关系列出方程求得时间即可； （2）设秒时，、相距6厘米，根据勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设秒后，的面积等于的三分之一，根据题意得： ， 解得：或4． 答：2秒或4秒后，的面积等于的三分之一． （2）解：设秒时，、相距6厘米，根据题意得： ， 解得：（舍去）或． 答：秒时，、相距6厘米． 27．（12分）阅读下列材料，完成相应学习任务：四点共圆的条件 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？小明经过实践探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，下面是小明运用反证法证明上述命题的过程： 已知：在四边形中，． 求证：过点可作一个圆． 证明：假设过点四点不能作一个圆，过、三点作圆．如图1，若点在圆外，设与圆相交于点，连接，则______，而已知，所以，而是的外角，，出现矛盾，故假设不成立，因此点在过三点的圆上． 如图2，若点在圆内，（请同学们补充完成省略的部分证明过程） 因此得到四点共圆的条件：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆． 学习任务： (1)材料中划线部分的结论是______，依据是______； (2)请将图2的证明过程补全； (3)如图3，在四边形中，，，，则的大小为______ (4)如图4，已知正方形的边长为6，点是边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，以为边作正方形，顶点在线段上，对角线相交于点．当点从运动到时，点也随之运动，求经过的路径长． 【答案】(1)，圆内接四边形对角互补 (2)见解析； (3)32 (4)点经过的路径为． 【分析】本题考查了对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，反证法，圆内接四边形，圆周角定理，勾股定理． （1）根据材料得出结论，依据圆内接四边形对角互补； （2）同（1）利用反证法结合圆内接四边形对角互补证明即可； （3）利用题中结论，结合直径的性质及等腰三角形的性质即可求解； （4）连接连接，由勾股定理求出，由圆周角定理得出，点在上，当运动到点时，为的中点，即可求解． 【详解】（1）解：材料中划线部分的结论是：， 依据：圆内接四边形对角互补， 故答案为：，圆内接四边形对角互补； （2）证明：假设过点四点不能作一个圆，过、三点作圆，如图2， 若点在圆内，设延长与圆相交于点，连接，则， ∵， ∴， ∴是的外角， ∴，出现矛盾，故假设不成立， ∴点在过三点的圆上； （3）解：∵， ∴过四边形的四个顶点能作一个圆，如图： ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：32； （4）解：连接如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四点共圆， ∴， ∴点在上， 当运动到点时，为的中点， ∴， ∴点经过的路径为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $