期中复习压轴题专练（41个高频易错题型 共82题 尖子生高分题库）2025-2026学年北师大版数学五年级上册

2025-2026学年北师大版数学五年级上册期中复习压轴题专练 （尖子生高分题库） 【41个高频易错题型 共82题】 讲义简介： 同学你好，该份讲义针对2025-2026学年上学期期中考试制作。考察范围为北师大版五年级上册第一单元-第四单元知识内容，精选近两年全国各地名校优选题，结合常考易错培优类型题，精心优选41个题型，题目难度适合培优拔尖的学生使用，非常有助于提升考试适应性，提高解题能力，掌握答题技巧。相信你在正式考试中取得满意成绩！ 题型1 除数是整数的小数除法 2 题型2 除数是整数，需要补0的小数除法 3 题型3 除数是整数，商小于1的小数除法 3 题型4 除数是整数的小数除法的应用 4 题型5 与小数点移动相关的和差倍问题 4 题型6 除数是小数的小数除法 4 题型7 除数是小数的小数除法的应用 5 题型8 被除数和商的大小关系（小数除法） 5 题型9 小数的连除运算 6 题型10 小数的乘、除法混合运算 6 题型11 小数的四则运算及法则 7 题型12 小数除法相关的简便计算 8 题型13 用“四舍五入”法求商的近似数 9 题型14 判定被除数的最大值和最小值 9 题型15 循环小数的认识与简写 10 题型16 有限小数和无限小数的认识 10 题型17 循环小数比大小 10 题型18 循环小数和周期性规律综合问题 10 题型19 用“进一法”解决问题 11 题型20 用“去尾法”解决问题 11 题型21 利用小数四则混合运算解决问题 12 题型22 分段计费问题（小数除法) 13 题型23 因数和倍数的认识 14 题型24 找一个数的因数及因数的特征 14 题型25 根据因数的特征解决问题 14 题型26 找一个数的倍数及倍数的特征 15 题型27 根据倍数的特征解决问题 15 题型28 倍数和因数的综合应用 16 题型29 2、5的倍数特征 17 题型30 奇数与偶数的认识 17 题型31 3的倍数特征 17 题型32 2、3、5的倍数特征综合 18 题型33 质数与合数的认识 18 题型34 质数与合数的综合应用 18 题型35 运算性质（奇数和偶数) 19 题型36 平行四边形面积的计算 19 题型37 平行四边形面积的应用 20 题型38 三角形面积的计算 20 题型39 三角形面积的应用 21 题型40 梯形面积的计算 21 题型41 梯形面积的应用 23 题型1 除数是整数的小数除法 1．（24-25五年级上·广东广州·期中）电力公司规定：居民家庭每月用电量在80度以下（含80度），则按基本电价计费；超过80度，超过部分按提高电价计费，小头爸爸家今年4月份用电100度，缴纳电费68元，5月用电120度，缴纳电费88元，那么基本电价和提高电价各是多少元？ 2．（21-22五年级上·重庆黔江·期末）一个一位小数，如果去掉小数点后比原来多1.8，原来的小数是( )。 3．（24-25五年级上·江西赣州·期中）新一代标准高速动车组“复兴号”是中国自主研发、具有完全知识产权的新一代高速列车。复兴号动车组列车5小时可以行驶1750千米，一列普通火车每小时可以行驶120千米。复兴号动车组列车的速度大约是普通火车的多少倍？（得数保留一位小数） 题型2 除数是整数，需要补0的小数除法 4．（25-26五年级上·河北邢台·阶段练习）列竖式计算。 0.38×62＝         7.4×9.02＝        0.32×0.035＝ 11.7÷18＝                 44÷16＝ 题型3 除数是整数，商小于1的小数除法 5．（24-25五年级上·河南洛阳·期末）下面算式的商（    ）小于1。 A． B． C． 6．（24-25五年级上·辽宁鞍山·期中）科学研究表明，10000平方米的森林每周可吸收6.3吨二氧化碳。城北的森林公园有50000平方米森林，今年9月份这片森林一共吸收了多少二氧化碳？ 题型4 除数是整数的小数除法的应用 7．（23-24五年级上·全国·课后作业）笑笑和天天拿出同样多的钱买练习本，结果笑笑比天天多拿了8本，所以笑笑又给天天6.4元。每本练习本（    ）元。 A．0.8 B．1.6 C．3.2 8．（24-25五年级上·河南南阳·期中）一个小数，如果把它的小数点向右移动一位，所得的数比原数增加了41.4，原来这个小数是 。 题型5 与小数点移动相关的和差倍问题 9．（24-25四年级下·全国·单元测试）有一个四位整数，在某一位的数字前点上小数点，变成小数后，再与原整数相加，和是4003.64，求原数是多少？ 10．（22-23五年级上·贵州遵义·期末）一个两位小数去掉小数点后，得到的新数比原来的数大147.51，这个两位小数是（    ）。 A．1.49 B．14.9 C．147.51 D．14.751 题型6 除数是小数的小数除法 11．（25-26五年级上·浙江杭州·期中）实验小学食堂平均每星期（5天）用掉大米3.5袋，每袋80kg。 ①实验小学食堂一个学期（20个星期）用掉大米多少千克？ ②原来大米的批发价为3.8元／千克，现在购买超过1t的部分每千克可以优惠0.3元，原来一个学期买大米的钱，现在大约可以买多少千克大米？（得数保留整数） 12．（24-25五年级上·福建厦门·期中）如果甲数×0.7＝乙数×1.4＝丙数÷0.5＝丁数×1（甲乙丙丁均不等于0），那么（    ）。 A．甲数＞乙数＞丙数＞丁数 B．丙数＞甲数＞乙数＞丁数 C．丙数＞乙数＞甲数＞丁数 D．甲数＞丁数＞乙数＞丙数 题型7 除数是小数的小数除法的应用 13．（2024·四川内江·小升初真题）某市为了鼓励市民节约用水，用分段收费方式，自来水的收费标准如表： 每月用水量 15m3及以下 15～25m3部分 25m3以上部分 收费标准 2.40元/m3 3.60元/m3 7.20元/m3 已知小红家七月份的水费为86.4元，她家七月份用水量为多少立方米？ 14．（24-25五年级上·广东江门·期中）国庆黄金周王老师带一组同学去森林公园，公园门票每人4.5元，购买门票一共花了58.5元。购买返程车票一共需要32.5元。_________________？下图有三个问题，请你选择其中一个问题序号，选______号，并进行解答。 ①王老师带了多少名同学去森林公园？ ②返程车票每人多少元？ ③从学校到森林公园一共行多少千米？ 题型8 被除数和商的大小关系（小数除法） 15．（21-22五年级上·四川·期中）在（    ）里填上“＜”“＞”或“＝”。 8.48×0.99( )8.48               5.26×1.01( )5.26 8.19÷1.7( )8.19                168×0.99( )1.68×99 16．（24-25五年级上·河南南阳·期中）a、b、c都是小数，将它们表示在直线上。位置如图所示，则下列选项中结果大于1的是（    ）。 A．a÷1.1 B．b÷c C．a×c D．c÷a 题型9 小数的连除运算 17．（24-25五年级上·山东临沂·期中）奶牛场6头奶牛上周一共产奶411.6千克，平均每头奶牛每天产奶多少千克？ 18．（24-25五年级下·湖北武汉·期中）计算下面各题。 4.75÷0.25÷4                    0.78＋0.22÷0.5 21÷3.5＋21÷1.5                3.24×1.5＋0.324×85 题型10 小数的乘、除法混合运算 19．（2021五年级上·江苏·竞赛）计算。 （1）7×2.4÷2.5      （2）4.8×15.4÷1.6÷0.77 20．（24-25五年级上·海南海口·期中）脱式计算（能简算的要用简算）。                                                          题型11 小数的四则运算及法则 21．（23-24五年级上·广东东莞·期中）东莞市为鼓励居民节约用水，实行按月分段计费的方法收取水费。收费标准如图：（其中不足1吨按1吨计算） 阶梯 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 居民用水量 22吨及以下 23～40吨 41吨以上 计费单价 1.72元/吨 2.58元/吨 5.16元/吨 （1）小明家上个月的用水量为19.6吨，应缴水费多少元？ （2）小红家上个月的用水量为24吨，应缴水费多少元？ （3）小刚家上个月的水费是68.8元，则他家用水多少吨？ 22．（22-23五年级上·河南商丘·期末）李阿姨每天开车上班（中午不回家），她公司附近有两个停车场，收费标准如下表。 甲停车场 2小时内（含2小时） 收费5元 超过2小时的部分（不足1小时按1小时计算） 每小时收费3.5元 乙停车场 按月收费 每月收费500元 （1）在甲停车场停车6小时，需要付停车费多少元？ （2）某天李阿姨加班，下班后到甲停车场取车回家，共付了36.5元停车费。她这天最多停车多长时间？ （3）李阿姨每周工作5天（每周四值一天班）。她算了算，自己除周四外每天需要停车8小时，每个周四需要多停4小时。如果一个月的工作时间按4周计算，你认为李阿姨选择哪个停车场比较合算？ 题型12 小数除法相关的简便计算 23．（24-25五年级上·广东江门·期中）脱式计算，能简便就简便。 0.96÷2.5÷0.4         12.5×32×2.5           （10－0.4）×2.5 3.6×4.5÷1.5         （7.5－2.3×0.4）÷0.01           8.5＋1.5÷6 24．（24-25五年级上·湖北·期中）简算。 4.53÷0.25÷4           1.58×99＋1.58        6.3×10.1 2.5×3.2×1.25          （6.9＋6.9＋6.9＋6.9）×0.25 题型13 用“四舍五入”法求商的近似数 25．（24-25五年级上·福建莆田·期中）列竖式计算。 0.83×4.7＝          5.02÷3.6≈      （保留两位小数） 26．（24-25五年级上·全国·单元测试）一张电影票的价格由票价和手续费两部分构成。《摔跤吧，爸爸》在两家影院上映时的价格如下，中影国际的票价是36元，手续费10元，时代院线的票价是40元，手续费2元。以下说法错误的是（    ）。 A．去时代院线看这部电影更便宜 B．中影国际电影票的价格大约是时代院线价格的1.1倍 C．时代院线的票价大约是中影国际票价的1.1倍 D．中影国际的票价大约是时代院线票价的1.1倍 题型14 判定被除数的最大值和最小值 27．（23-24五年级上·河北·课后作业）x÷0.7＝y，已知y是一个两位小数，保留一位小数是2.5。x最大是多少？最小呢？ 28． （2024四年级·全国·课后作业）一个数除以1.2，商是两位小数，商保留一位小数取近似值是2.8.这个数最大是 ，最小是 。 题型15 循环小数的认识与简写 29．（24-25五年级上·广东佛山·期中）在、、、中，最大的是( )，最小的是( )。 30．（24-25五年级上·河南周口·期中）在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 0.7( )        ( )3.083083        ( ) 4÷3( )        2÷4( )        ( ) 题型16 有限小数和无限小数的认识 31．（24-25五年级上·河南安阳·期中）下列说法正确的有（    ）个。 ①一个数乘小数，积不一定小于这个数。 ②一个整数除以小数，所得的商一定比这个整数大。 ③0.9898保留三位小数是0.990。 ④无限小数都是循环小数。 A．0 B．1 C．2 D．3 32．（24-25五年级上·河南·期中）89.871871…是一个( )小数，也是一个循环小数，用简便写法写作( )，它的循环节是( )，保留三位小数是( )。 题型17 循环小数比大小 33．（24-25五年级上·河南周口·期中）的循环节是( )，如果想移动循环节的第一个圆点，将小数变为，这个小数比原来的循环小数( )（填“大”或“小”）。 34．（24-25五年级上·河南信阳·期中）在括号里填上“＞”“＜”或者“＝”。 12.3×1.4( )12.3    15.6÷1.2( )15.6     7.2÷0.5( )7.2×2 ( )    0.908÷0.1( )0.908×10     5.4×0.1( )5.4÷0.1 题型18 循环小数和周期性规律综合问题 35．（25-26五年级上·浙江杭州·期中）6.317142857142857…的小数点后第2024位数字是( )。 36．（23-24五年级上·全国·单元测试）真分数化成小数后，如果从小数点后第一位起连续若干个数字之和是2000，应该是多少？ 题型19 用“进一法”解决问题 37．（24-25五年级上·广东·期中）果农们要将670千克的葡萄装进纸箱，每个纸箱最多能装进15千克的葡萄，装这些葡萄需要准备多少个纸箱？ 38．（24-25五年级上·浙江·期中）“老吾老，以及人之老。”为发扬中华民族的传统美德，小乐一家打算利用周末的时间去看望敬老院的老人。他们准备了11.8千克的蜂蜜，分装在小瓶中，一个瓶子最多能装500克。他们至少要准备多少个瓶子来装这些蜂蜜？他们还准备了一根15米长的丝带来包装瓶子，每包装一个瓶子需要0.7米长的丝带。这根丝带最多可以包装多少瓶蜂蜜？ 题型20 用“去尾法”解决问题 39．（24-25五年级上·湖北·期中）好香蛋糕店特制一种蛋糕，每个需要0.32千克面粉。李师傅领了4千克面粉做蛋糕，他最多可以做几个这样的蛋糕？ 40．（24-25五年级上·广东东莞·期中）陈阿姨带了20元钱去买面包，如果每个面包2.6元，最多可以买（    ）个。 A．10 B．8 C．7 D．6 题型21 利用小数四则混合运算解决问题 41．（24-25五年级上·重庆巴南·期末）在外游玩，手机需要使用移动数据，小李妈妈办理了每月158元的话费套餐，具体计费标准如下。 158元套餐包含 国内主叫300分钟，接听免费；流量40GB（当月剩余流量，可结转至次月使用）。 超出部分 超出套餐包含的部分后，国内主叫0.15元/分钟，流量5元/GB。 （1）11月份她一共使用流量33GB（10月份未剩余流量），国内主叫460分钟。她11月的话费账单一共是多少钱？ （2）12月份她的话费账单是183元，国内主叫290分钟。算上11月份剩余的流量，这个月她一共用了多少GB流量？ 42．（24-25五年级上·湖北武汉·期中）某市居民用电按阶梯收费，收费标准如下表。 分档 户月用电量（千瓦时） 电价标准（元/千瓦时） 第一档 1~240 0.49 第二档 241~400 0.53 第三档 400以上 0.79 （1）小明家上月用电440千瓦时，电费是多少？ （2）小聪家上月电费160元，用电多少千瓦时？ 题型22 分段计费问题（小数除法) 43．（23-24五年级上·湖南长沙·期末）代驾是指当车主不能自行开车到达目的地时，由专业驾驶人员驾驶车主的车，将其送到指定地点，并收取一定费用的行为。某平台日常代驾计费标准如下表： 行驶里程 7千米及以内 超过7千米的部分 7：00－－21：59 45元 每千米3.5元 22：00－－次日6：59 68元 每千米4.5元 说明：行驶里程不足1千米，按1千米计算。 （1）王阿姨在公司工作到21：00，感觉很累，于是她在该平台预约了代驾服务回家。从公司到家共行驶了13.5千米，需要支付多少元代驾费？ （2）李叔叔在饭店参加聚会，22：30聚会结束，他在该平台预约了代驾服务。服务结束后李叔叔支付了117.5元代驾费。这次代驾服务的行驶里程最多是多少千米？ 44．（23-24五年级上·福建厦门·期中）阅读下面材料，解决问题。 某城市新规定的出租车收费标准为： 出租车起步价为8元（包含3千米）； 超过3千米。每千米计价金额为1.6元（不足1千米按1千米计算）； 当时速处于每小时12千米以下时（堵车时段），计价器除正常按千米数计价外，还要向乘客增收每分钟0.32元的营运候时费。 （1）刘阿姨早晨乘坐出租车从家到单位，共13.5千米，其中出租车时速处于每小时12千米以下（堵车时段）共有10分钟。刘阿姨一共需要付多少元车费？ （2）张叔叔加完班后乘坐出租车从单位到家，全程一路畅通，到家后，张叔叔付了25.6元乘车费。张叔叔从单位到家，出租车最多开了多少千米？ 题型23 因数和倍数的认识 45．（2024·重庆九龙坡·小升初真题）设某个N位自然数的N个数字是{1，2，3，…，N}的一个排列，如果它的前K个数字所组成的整数能被K整除，其中K＝1，2，3，…，N，那么就称这个N位数为一个“好数”，例如三位数321就是一个“好数”，因为1|3，2|32，3|321（2|32表示2被32整除）。求六位“好数”共有多少个？ 46．（24-25六年级下·重庆九龙坡·开学考试）日历上连续6天的号数和一定是6的倍数。( )（判断对错） 题型24 找一个数的因数及因数的特征 47．（23-24五年级下·河南许昌·期中）黑板上贴着7张数字卡片，细心的妙想发现：这7个数字正好是某个自然数的所有因数，这个自然数是 。 48．（20-21六年级下·河南焦作·期末）古希腊学者认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。例如6有4个因数1，2，3，6，除本身6以外，还有1，2，3三个因数。，所以6是“完全数”。下面的数中是“完全数”的是（    ）。 A．10 B．12 C．16 D．28 题型25 根据因数的特征解决问题 49．（24-25六年级下·北京海淀·开学考试）找出5个互不相同的大于1的自然数，使得其中两个数的积等于其余三个数的积，两个数的和（不一定是刚才的两个数）等于其余三个数的和，请写出满足条件的式子。 50．（2023六年级下·福建莆田·竞赛）小明带了100元出去购物，在第一家店买了若干件A商品，在第二家店买了若干件B商品，在第三家店买了若干件C商品，在第四家店买了若干件D商品，在第五家买了若干件E商品，在第六家店买了若干件F商品，六种商品的单价各不相同且都是整数元，他在六家店里花的钱相同，最后他剩( )元。 题型26 找一个数的倍数及倍数的特征 51．（2025·重庆渝北·小升初真题）一个能被13整除的自然数我们称为十三数，“十三数”的特征是：这个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数的差，如果能被13整除，那么这个自然数就一定能被13整除。 例如：判断383357能不能被13整除，这个数的末三位数字是357，末三位以前的数字组成的数是383，这两个数的差是383－357＝26。26能被13整除，因此383357是“十三数”。 （1）判断3253和254514是否为“十三数”，请说明理由。 （2）若一个四位自然数，千位数字和十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“间同数”。 ①求证：任意一个四位“间同数”都能被101整除。 ②若一个四位自然数既是“十三数”，又是“间同数”，求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差。 52．（2024·重庆九龙坡·小升初真题）从7开始，把7的倍数依次写下去，一直写到994，即71421…987994，这个数是( )位数。 题型27 根据倍数的特征解决问题 53．（2025五年级下·全国·专题练习）小兵在文具店买了3本笔记本、1支钢笔、2支自动铅笔和4块橡皮。笔记本每本2元，钢笔每支5元，自动铅笔和橡皮的价格小兵记不清了售货员要小兵付18元，小兵马上说售货员把账算错了，你知道为什么吗？ 54．（23-24五年级下·河南南阳·期中）4月2日城北小学开展“党旗飘飘队旗红承古传今文化行”研学活动。五年级有526人，若6人一组，至少需要再来多少人就可以正好6人一组？至少减少多少人也正好6人一组？ 题型28 倍数和因数的综合应用 55．（2024六年级·全国·竞赛）某旅游景点的门票价格及优惠方法如下表： 人数 50人以内 51~99人 100人及以上 票价 30元/人 28元/人 25元/人 （例如：60人需要付门票费28×60＝1680元。） 导游星星和望望各带一个旅游团，如果分别购票，两个团共应付门票费3660元；如果两个旅游团合并在一起购票，两个团一共只需门票费3200元。若星星带的团人数多一些，那么星星带的团共有多少人？ 56．（23-24五年级下·全国·期中）请你按下面的要求为明明家设计一个四位数的门牌号。 （1）a，b，c，d代表的数字各不相同，并且分别代表6的一个因数。 （2）a，b组成的数ab既是3的倍数，又是7的倍数。 （3）4和9都是c，d组成的数cd的因数。 题型29 2、5的倍数特征 57．（2025五年级下·全国·专题练习）判断以下6个数的整除性： 8875，198954，6512，93625，864，407。 （1）哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？ （2）哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？ 58．（2024三年级下·全国·竞赛）有10个灯泡，编号为1到10，前5个亮着，后5个没亮着，每个灯泡都只有一个开关控制他们，第一次按一下编号为2的倍数的灯泡的开关，第二次按一下编号为3的倍数的灯泡的开关，第三次按一下编号为4的倍数的灯泡的开关，第三次之后还有 个灯泡亮着。 题型30 奇数与偶数的认识 59．（2025五年级·全国·竞赛）相邻三个偶数的乘积是一个六位数，该六位数的首位是5，尾数是8，试列出这三个相邻偶数。 60．（24-25六年级下·北京海淀·开学考试）规定※n表示不大于n的所有偶数的积，□n表示不能整除n的最小的数。例如：※6＝6×4×2＝48，□10＝3，那么□（※x）＝13，x最小是( )。 题型31 3的倍数特征 61．（23-24六年级下·湖北武汉·开学考试）有101个不同的正整数，在这101个数中有100个数互相不成倍数，但任意两数的和是2的倍数，任意三个数的和是3的倍数，任意四个数的和是4的倍数，任意六个数的和是6的倍数，则这101个数平均数的最小值可能是（    ）。 A．505 B．600 C．601 D．606 62．（2023六年级·全国·竞赛）对自然数n进行如下操作：如果n是偶数，就把它除以2；如果n是奇数，就把它加上105。现在对123进行有限次操作，得到的结果不可能是（    ）。 A．57 B．99 C．100 D．114 题型32 2、3、5的倍数特征综合 63．（24-25五年级上·河南商丘·期中）用0，1，3，5这四张卡片按要求组数。（至少填写一个数） (1)选两张数字卡片，组成两位数，是3的倍数的是( )，同时是2和3的倍数的是( )； (2)选三张数字卡片，组成三位数，最大的偶数是( )，同时是2、3、5的倍数的是( )。 64．（24-25五年级上·河北邯郸·期中）一个四位数是1□7□，它同时是2、3、5的倍数，这个数最大是( )，最小是( )。 题型33 质数与合数的认识 65．（2025五年级下·全国·专题练习）已知a、b均为质数（a＞b），ab表示a与b的乘积，如果a＋ab＋b＝55，那么a－b的值是多少？ 66．（2024·河南郑州·小升初真题）一个质数的平方与一个奇数的和等于105，那么这两个数的积等于 。 题型34 质数与合数的综合应用 67．（24-25五年级下·湖北十堰·期中）美美用一张手工纸折爱心，妈妈告诉她这张长方形纸的周长是10分米，并且它的长、宽的分米数是两个质数，这张长方形纸的面积是多少平方分米？ 68．（23-24五年级下·重庆綦江·期末）小明、小华、小敏3个小朋友周末到公园去游玩，在公园里看到有许多行排列整齐的银杏树，每行棵数相等。他们三人分别数出了银杏树的总棵数，小明71棵，小华78棵，小敏79棵。他们只有一个人数对了，（    ）数对了。 A．小明 B．小华 C．小敏 D．都对 题型35 运算性质（奇数和偶数) 69．（2024六年级·全国·竞赛）如图所示的一张6行4列的方格纸上。每个方格内填入最上边与最左边两个数的乘积，例如：m＝5×9＝45。如果可以重新排列最上边与最左边的10个数字的位置，并且重排后，每个方格内的数字也更新为重排后的最上边与最左边两个数的乘积。 那么重排后：24个方格内最多能有 个奇数。24个方格内最多能有 个10的倍数。 70．（23-24五年级下·浙江杭州·期末）下面表述有（    ）句是正确的。 ①除2之外，任意两个质数的和一定是偶数。 ②一个质数和一个合数一定是互质数。 ③两个连续的非零自然数一定是互质数。 ④a和b是两个不同的非零自然数，并且a是b的倍数，那么a的因数个数一定多于b的因数个数。 A．1 B．2 C．3 D．4 题型36 平行四边形面积的计算 71．（21-22五年级上·河南新乡·期末）下图中，平行四边形的一条高是7厘米，这个平行四边形的面积是（    ）平方厘米。 A．48 B．42 C．56 D．64 72．（2023五年级·全国·课后作业）一个平行四边形的底增加3厘米，高增加5厘米，它的面积增加15平方厘米　 　。（判断对错） 题型37 平行四边形面积的应用 73．（23-24五年级上·全国·课后作业）如图，一个用木条订成的长方形框架ABCD的面积是79.2cm2，将它拉伸成一个平行四边形BCEF，面积是43.2cm2，如果DG＝4cm，BC的长度＝（    ）cm。 A．4.8 B．8.8 C．9 D．36 74．（24-25五年级上·河北衡水·期末）一个面积是572平方米的平行四边形土地，如果这块平行四边形土地的高是22米，则高对应的底是( )米。 题型38 三角形面积的计算 75．（2024六年级·全国·竞赛）三条边长分别是6厘米、8厘米、10厘米的直角三角形。将它的最短边对折到斜边相重合，（如图）图中阴影部分面积是( )平方厘米。 76．（2024·福建厦门·小升初真题）《九章算术》记载：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”转化为数学问题：如图1、图2，在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝5cm，AC＝12cm，D、E、F是三角形三边上的点，且四边形CDEF是一个正方形。根据下述阅读材料，则正方形CDEF的边长为( )cm。 题型39 三角形面积的应用 77．（23-24六年级下·四川内江·期末）如图，在一个三角形中剪掉一个最大的正方形，剩下的阴影部分的面积是( )。 78．（23-24五年级下·重庆开州·期末）在学习平行四边形、三角形、梯形面积公式的推导时，其基本思路都是将图形“转化”为以前学过的图形。请你回想一下三角形的面积公式是怎么推导出来的？画图并写一写推导过程，至少写出一种转化的方法。 题型40 梯形面积的计算 79．（23-24六年级上·广东阳江·期中）如图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 80．（23-24五年级上·山西阳泉·期末）梯形面积计算公式是怎样推导出来的呢？在课本中我们是把两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于梯形的（        ），平行四边形的高等于梯形的高。因为平行四边形的面积等于底×高，所以梯形的面积等于（                  ）。 （1）丽丽是个爱动脑筋的孩子，她认为可以用老师讲过的转化思想把它转化成已学过的图形来求面积（如下图）。 平行四边形的面积S＝ a × h 相等↓ ↓ ↓ 梯形的面积S＝ × （2）乐乐不甘示弱，他想：我可不可以用分割法把梯形分成两个三角形，来推导梯形的面积计算公式呢？（请你采用文字、图表等喜欢的方式，来说说乐乐是怎样得到梯形的面积计算公式的） 题型41 梯形面积的应用 81．（25-26五年级上·全国·单元测试）妙妙不小心将自己的一件外套划破了，她想让奶奶在划破处绣一个好看的图案，于是她找来一块梯形的布（如图①），在梯形布上画出了字母“A”（如图②），并涂上了她喜欢的颜色，奶奶按照妙妙的图案剪出字母“A”。 （1）字母“A”的面积是多少？ （2）奶奶在家里找到一些紫色的线，大约长70厘米，绣了如图③所示的一部分后，还剩余48厘米，那么剩余的线能将字母全部绣完吗？如果能绣完，请说明理由；如果不能绣完，还需要多长的线？（按面积绣） 82．（25-26五年级上·全国·单元测试）解答。 (1)同学们在探究梯形面积公式时，有以下几种方法： 这四种转化方法对应的算式分别是：( )、( )、( )和( )。 ①（a＋b）×h÷2        ②（a＋b）×（h÷2） ③ah÷2＋bh÷2            ④（a＋b）÷2×h (2)图图用了一种特殊的方法把梯形转化成为三角形，如下图。已知图①的面积是20cm2，可求出图③中涂色三角形的面积是( )cm2。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北师大版数学五年级上册期中复习压轴题专练 （尖子生高分题库） 【41个高频易错题型 共82题】 讲义简介： 同学你好，该份讲义针对2025-2026学年上学期期中考试制作。考察范围为北师大版五年级上册第一单元-第四单元知识内容，精选近两年全国各地名校优选题，结合常考易错培优类型题，精心优选41个题型，题目难度适合培优拔尖的学生使用，非常有助于提升考试适应性，提高解题能力，掌握答题技巧。相信你在正式考试中取得满意成绩！ 题型1 除数是整数的小数除法 2 题型2 除数是整数，需要补0的小数除法 4 题型3 除数是整数，商小于1的小数除法 5 题型4 除数是整数的小数除法的应用 6 题型5 与小数点移动相关的和差倍问题 7 题型6 除数是小数的小数除法 7 题型7 除数是小数的小数除法的应用 9 题型8 被除数和商的大小关系（小数除法） 10 题型9 小数的连除运算 11 题型10 小数的乘、除法混合运算 13 题型11 小数的四则运算及法则 14 题型12 小数除法相关的简便计算 17 题型13 用“四舍五入”法求商的近似数 20 题型14 判定被除数的最大值和最小值 21 题型15 循环小数的认识与简写 22 题型16 有限小数和无限小数的认识 23 题型17 循环小数比大小 24 题型18 循环小数和周期性规律综合问题 26 题型19 用“进一法”解决问题 27 题型20 用“去尾法”解决问题 28 题型21 利用小数四则混合运算解决问题 28 题型22 分段计费问题（小数除法) 31 题型23 因数和倍数的认识 33 题型24 找一个数的因数及因数的特征 34 题型25 根据因数的特征解决问题 36 题型26 找一个数的倍数及倍数的特征 37 题型27 根据倍数的特征解决问题 39 题型28 倍数和因数的综合应用 40 题型29 2、5的倍数特征 41 题型30 奇数与偶数的认识 42 题型31 3的倍数特征 43 题型32 2、3、5的倍数特征综合 45 题型33 质数与合数的认识 46 题型34 质数与合数的综合应用 47 题型35 运算性质（奇数和偶数) 48 题型36 平行四边形面积的计算 49 题型37 平行四边形面积的应用 50 题型38 三角形面积的计算 51 题型39 三角形面积的应用 53 题型40 梯形面积的计算 54 题型41 梯形面积的应用 57 题型1 除数是整数的小数除法 1．（24-25五年级上·广东广州·期中）电力公司规定：居民家庭每月用电量在80度以下（含80度），则按基本电价计费；超过80度，超过部分按提高电价计费，小头爸爸家今年4月份用电100度，缴纳电费68元，5月用电120度，缴纳电费88元，那么基本电价和提高电价各是多少元？ 【答案】0.6元；1元 【技巧点拨】5月比4月多用电的度数为5月用电量减去4月用电量，多交的电费为5月电费减去4月电费，多交的电费即为多用电的度数按提高电价计算的费用，因此提高电价等于多交的电费除以多用电的度数； 4月用电量中，80度按基本电价计费，超过80度的部分按提高电价计费。先计算超过部分的电费，用4月总电费减去超过部分的电费得到80度的基本电费，再除以80度得到基本电价； 据此解答即可。 【规范解答】提高电价：（88－68）÷（120－100） ＝20÷20 ＝1（元） 100－80＝20（度） 20×1＝20（元） 68－20＝48（元） 基本电价：48÷80＝0.6（元） 答：基本电价是一度0.6元，提高电价是一度1元。 【考点剖析】先通过两个月的电费差和用电差求出提高电价，再利用其中一个月的电费数据求出基本电价。 2．（21-22五年级上·重庆黔江·期末）一个一位小数，如果去掉小数点后比原来多1.8，原来的小数是( )。 【答案】0.2 【技巧点拨】根据题意，一个一位小数如果去掉小数点，即扩大到原来的10倍，把原数看作1份，新数看作10份，则新数比原数多（10－9）份；已知新数比原数多1.8，除以多的份数，求出一份数，即是原来的小数。 【规范解答】1.8÷（10－1） ＝1.8÷9 ＝0.2 原来的小数是0.2。 【考点剖析】本题考查小数除数的应用，运用差倍问题解答，明确一位小数去掉小数点即扩大到原来的10倍。 3．（24-25五年级上·江西赣州·期中）新一代标准高速动车组“复兴号”是中国自主研发、具有完全知识产权的新一代高速列车。复兴号动车组列车5小时可以行驶1750千米，一列普通火车每小时可以行驶120千米。复兴号动车组列车的速度大约是普通火车的多少倍？（得数保留一位小数） 【答案】2.9倍 【技巧点拨】根据“速度＝路程÷时间”，再结合：复兴号动车组列车5小时可以行驶1750千米，则复兴号动车组列车的速度＝1750÷5，又知：一列普通火车每小时可以行驶120千米，则求复兴号动车组列车的速度大约是普通火车的几倍，用复兴号动车组列车的速度除以普通火车的速度即可。 【规范解答】（1750÷5）÷120 ＝350÷120 ≈2.9 答：复兴号动车组列车的速度大约是普通火车的2.9倍。 题型2 除数是整数，需要补0的小数除法 4．（25-26五年级上·河北邢台·阶段练习）列竖式计算。 0.38×62＝         7.4×9.02＝        0.32×0.035＝ 11.7÷18＝                 44÷16＝ 【答案】23.56；66.748；0.0112 0.65；2.75 【技巧点拨】小数乘法的计算法则：小数乘法先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果小数的位数不够，需要在前面补0占位。 除数是整数的小数除法，按照整数除法进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐，被除数的数字用完时，在被除数的末尾添“0”继续除。 【规范解答】0.38×62＝23.56 7.4×9.02＝66.748 0.32×0.035＝0.0112                      11.7÷18＝0.65 44÷16＝2.75         题型3 除数是整数，商小于1的小数除法 5．（24-25五年级上·河南洛阳·期末）下面算式的商（    ）小于1。 A． B． C． 【答案】C 【技巧点拨】判断商是否小于1，只需比较被除数和除数的大小；被除数大于除数，商大于1，被除数小于除数，商小于1，据此逐项分析，进行解答。 【规范解答】A．6.04÷6；6.04＞6，所以商大于1； B．60.4÷60；60.4＞60，所以商大于1； C．50.4÷60；50.4＜60，所以商小于1。 算式的商50.4÷60小于1。 故答案为：C 6．（24-25五年级上·辽宁鞍山·期中）科学研究表明，10000平方米的森林每周可吸收6.3吨二氧化碳。城北的森林公园有50000平方米森林，今年9月份这片森林一共吸收了多少二氧化碳？ 【答案】135吨 【技巧点拨】一周有7天，每周可吸收6.3吨二氧化碳，先用除法求出10000平方米森林平均每天吸收二氧化碳的吨数，50000平方米是10000平方米的5倍，用10000平方米森林平均每天吸收二氧化碳的吨数乘5求出50000平方米森林平均每天吸收二氧化碳的吨数，再乘30天求出9月份这片森林一共吸收二氧化碳的吨数。 【规范解答】一周有7天，9月份有30天。 6.3÷7＝0.9（吨） 50000÷10000＝5 （吨） 答：今年9月份这片森林一共吸收了135吨二氧化碳。 题型4 除数是整数的小数除法的应用 7．（23-24五年级上·全国·课后作业）笑笑和天天拿出同样多的钱买练习本，结果笑笑比天天多拿了8本，所以笑笑又给天天6.4元。每本练习本（    ）元。 A．0.8 B．1.6 C．3.2 【答案】B 【技巧点拨】这8本练习本其实是两人共同出钱买的，‌因为他们的钱是一样多的。‌所以，‌这8本练习本应该被两人平分，‌每人应该得到8÷2＝4（本）。‌但笑笑已经多拿了8本，‌所以她需要给天天她多拿的那部分，‌也就是4本。‌已知笑笑给了天天6.4元作为这4本练习本的钱。‌那么，‌每本练习本的价格就是6.4÷4＝1.6（元）。 【规范解答】8÷2＝4（本） 6.4÷4＝1.6（元） 每本练习本1.6元。 故答案为：B 【考点剖析】本题关键是明确笑笑只需要给天天她多拿的4本练习本的价钱。 8．（24-25五年级上·河南南阳·期中）一个小数，如果把它的小数点向右移动一位，所得的数比原数增加了41.4，原来这个小数是 。 【答案】4.6 【技巧点拨】小数点向右移动一位，新数是原数扩大到原来的10倍。新数比原数多的部分，就是原数的10－1＝9倍。新数比原数增加了41.4，这41.4正好是原数的9倍。因此原数＝增加的差值÷倍数差，即41.4÷9＝4.6。 【规范解答】小数点向右移动一位，新数是原数扩大到原来的10倍。 41.4÷（10－1） ＝41.4÷9 ＝4.6 原来这个小数是4.6。 题型5 与小数点移动相关的和差倍问题 9．（24-25四年级下·全国·单元测试）有一个四位整数，在某一位的数字前点上小数点，变成小数后，再与原整数相加，和是4003.64，求原数是多少？ 【答案】3964 【技巧点拨】根据题意，这个小数和原来的四位数相加，得数是4003.64，那么得到的小数是两位小数。则四位数是这个小数的100倍，即这个小数的（100＋1）倍是4003.64，由此用除法求出这个小数，进而求出这个四位数。 【规范解答】4003.64÷（100＋1） ＝4003.64÷101 ＝39.64 39.64×100＝3964 答：这个四位数是3964。 【考点剖析】根据题意，求出两个数的和与倍数之间的关系，然后再根据和倍公式：两数之和÷（倍数＋1）＝较小数，较小数×倍数＝较大数。 10．（22-23五年级上·贵州遵义·期末）一个两位小数去掉小数点后，得到的新数比原来的数大147.51，这个两位小数是（    ）。 A．1.49 B．14.9 C．147.51 D．14.751 【答案】A 【技巧点拨】根据题意，把一个两位小数去掉小数点，即扩大到原来的100倍，把原数看作1份，则新数是100份，相差（100－1）份；已知新数比原数大147.51，用两数的差值除以份数差，求出一份数，即是原数。 【规范解答】147.51÷（100－1） ＝147.51÷99 ＝1.49 这个两位小数是1.49。 故答案为：A 题型6 除数是小数的小数除法 11．（25-26五年级上·浙江杭州·期中）实验小学食堂平均每星期（5天）用掉大米3.5袋，每袋80kg。 ①实验小学食堂一个学期（20个星期）用掉大米多少千克？ ②原来大米的批发价为3.8元／千克，现在购买超过1t的部分每千克可以优惠0.3元，原来一个学期买大米的钱，现在大约可以买多少千克大米？（得数保留整数） 【答案】①5600千克；②5994千克 【技巧点拨】①要计算一个学期（20个星期）用掉大米的重量，需先求出每星期用掉大米的重量，再乘学期的星期数20。每星期用掉3.5袋大米，每袋80kg，所以先通过“每袋重量×袋数”求出每星期用米量，再计算一个学期（20个星期）用掉大米的重量。 ②首先要算出原来一个学期买大米的总花费，然后确定现在购买大米的价格政策（超过1t的部分每千克优惠0.3元），接着计算出1t大米按原价购买的花费，用总花费减去该花费得到可用于优惠部分购买的钱数，再根据优惠后的价格算出优惠部分能买的大米重量，最后加上1t，得到现在总共能买的大米重量。 【规范解答】①计算每星期用米量：（千克） 计算学期用米量：（千克） 答：实验小学食堂一个学期（20个星期）用掉大米5600千克。 ②计算原来一个学期买大米的总花费：（元） 单位换算： 计算1000kg大米按原价的花费：（元） 计算总花费中用于购买超过1t部分大米的钱数：（元） 计算超过1t部分大米的优惠后单价：（元/千克） 计算用优惠部分的钱能买的大米重量：（千克） 计算现在总共能买的大米重量：（千克） 5994.29千克≈5994千克 答：现在大约可以买5994千克大米。 【考点剖析】①通过“每袋重量、每星期用米量、学期用米量”的逐步推导，利用乘法运算解决总量问题。 ②先算原总价，再结合优惠政策，分“1t以内（原价）”和“超过1t（优惠价）”两部分计算，最后求和得到现在可购买的总量。 12．（24-25五年级上·福建厦门·期中）如果甲数×0.7＝乙数×1.4＝丙数÷0.5＝丁数×1（甲乙丙丁均不等于0），那么（    ）。 A．甲数＞乙数＞丙数＞丁数 B．丙数＞甲数＞乙数＞丁数 C．丙数＞乙数＞甲数＞丁数 D．甲数＞丁数＞乙数＞丙数 【答案】D 【规范解答】利用假设法，假设甲数×0.7＝乙数×1.4＝丙数÷0.5＝丁数×1＝7，分别算出它们代表的数，再比较大小即可。 【解答】假设甲数×0.7＝乙数×1.4＝丙数÷0.5＝丁数×1＝7 那么甲数＝7÷0.7＝10 乙数＝7÷1.4＝5 丙数＝7×0.5＝3.5 丁数＝7÷1＝7 因为：10＞7＞5＞3.5 所以：甲数＞丁数＞乙数＞丙数。 故答案为：D 【考点剖析】利用假设法，分别算出它们代表的数，再比较大小。 题型7 除数是小数的小数除法的应用 13．（2024·四川内江·小升初真题）某市为了鼓励市民节约用水，用分段收费方式，自来水的收费标准如表： 每月用水量 15m3及以下 15～25m3部分 25m3以上部分 收费标准 2.40元/m3 3.60元/m3 7.20元/m3 已知小红家七月份的水费为86.4元，她家七月份用水量为多少立方米？ 【答案】27立方米 【技巧点拨】先确定小红家七月份的水费86.4元是在哪段收费的，根据“总价＝单价×数量”，求出第一段15立方米的费用为2.4×15＝36（元），第二段15～25立方米部分的费用为3.6×（25－15）＝36（元），这两段的费用一共是36＋36＝72（元）；86.4元＞72元，由此确定小红家七月份的用水量超过25立方米，用七月份的水费减去前两段的费用，即是第三段的费用，单价7.2元，根据“总价÷单价＝数量”，求出这部分的用水量；最后把这三段的用水量相加，即是小红家七月份的用水量。 【规范解答】2.4×15＝36（元） 3.6×（25－15） ＝3.6×10 ＝36（元） 36＋36＝72（元） 86.4－72＝14.4（元） 14.4÷7.2＝2（立方米） 一共：25＋2＝27（立方米） 答：小红家七月份用水量为27立方米。 【考点剖析】本题考查分段计费问题，弄清楚每段的临界点和每段的收费标准，然后根据单价、数量、总价之间的关系列式计算。 14．（24-25五年级上·广东江门·期中）国庆黄金周王老师带一组同学去森林公园，公园门票每人4.5元，购买门票一共花了58.5元。购买返程车票一共需要32.5元。_________________？下图有三个问题，请你选择其中一个问题序号，选______号，并进行解答。 ①王老师带了多少名同学去森林公园？ ②返程车票每人多少元？ ③从学校到森林公园一共行多少千米？ 【答案】①；12名 【技巧点拨】选①：已知门票每人4.5元，购买门票一共花了58.5元，首先根据“数量＝总价÷单价”计算出总人数（包括王老师和同学），将总人数减1即可计算出学生人数。 选②：根据“数量＝总价÷单价”，用58.5除以4.5计算出总人数（包括王老师和同学），已知购买返程车票一共需要32.5元，用32.5除以总人数即可计算出每人的返程车票价格。 选③：求总路程，但因题干未给出与路程相关的信息，无法解答，所以不能选③号。 【规范解答】①王老师带了多少名同学去森林公园？ 58.5÷4.5＝13（名） 13－1＝12（名） 答：王老师带了12名同学去森林公园。（答案不唯一） 题型8 被除数和商的大小关系（小数除法） 15．（21-22五年级上·四川·期中）在（    ）里填上“＜”“＞”或“＝”。 8.48×0.99( )8.48               5.26×1.01( )5.26 8.19÷1.7( )8.19                168×0.99( )1.68×99 【答案】 ＜ ＞ ＜ ＝ 【技巧点拨】（1）积和因数的大小比较：一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小；一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大； （2）商和被除数的大小比较：一个数（0除外）除以小于1的数（0除外），商比被除数大；一个数（0除外）除以大于1的数，商比被除数小。 【规范解答】据分析可得：0.99＜1，即8.48×0.99＜8.48； 1.01＞1，即5.26×1.01＞5.26； 1.7＞1，即8.19÷1.7＜8.19； 168×0.99＝1.68×99 【考点剖析】灵活运用积和因数的大小比较方法与商和被除数的大小比较方法，这是解决此题的关键。 16．（24-25五年级上·河南南阳·期中）a、b、c都是小数，将它们表示在直线上。位置如图所示，则下列选项中结果大于1的是（    ）。 A．a÷1.1 B．b÷c C．a×c D．c÷a 【答案】D 【技巧点拨】根据直线上的刻度，可知0＜a＜b＜1＜c＜2。可根据范围设出符合题意的a，b，c的值，计算出选项中的数，即可判断哪个结果大于1。 【规范解答】由直线上的刻度可知0＜a＜b＜1＜c＜2。设a＝0.3，b＝0.7，c＝1.3。 A.a÷1.1＝0.3÷1.1＜0.3＜1。 B.b÷c＝0.7÷1.3＜0.7＜1。 C.a×c＝0.3×1.3＝0.39＜1。 D.c÷a＝1.3÷0.3＞1.3＞1。 故答案为：D 【考点剖析】本题可根据直线上个小数的位置，设出符合题意得小数，代入计算选项中的数，与1比较大小即可。 题型9 小数的连除运算 17．（24-25五年级上·山东临沂·期中）奶牛场6头奶牛上周一共产奶411.6千克，平均每头奶牛每天产奶多少千克？ 【答案】9.8千克 【技巧点拨】根据题意，计算每头奶牛一周的产奶量，用总产奶量除以奶牛的数量，即411.6÷6＝68.6（千克）。接下来，我们需要计算每头奶牛每天的产奶量，将每头奶牛一周产奶量除以7天，即68.6÷7＝9.8（千克），据此解答。 【规范解答】411.6÷6÷7 ＝68.6÷7 ＝9.8（千克） 答：平均每头奶牛每天产奶9.8千克。 18．（24-25五年级下·湖北武汉·期中）计算下面各题。 4.75÷0.25÷4                    0.78＋0.22÷0.5 21÷3.5＋21÷1.5                3.24×1.5＋0.324×85 【答案】4.75；1.22 20；32.4 【技巧点拨】4.75÷0.25÷4，根据除法性质，原式化为：4.75÷（0.25×4），再进行计算。 0.78＋0.22÷0.5，先计算除法，再计算加法。 21÷3.5＋21÷1.5，先计算除法，再计算加法。 3.24×1.5＋0.324×85，把原式化为：3.24×1.5＋3.24×8.5，再根据乘法分配律的逆运算，原式化为：3.24×（1.5＋8.5），再进行计算。 【规范解答】4.75÷0.25÷4 ＝4.75÷（0.25×4） ＝4.75÷1 ＝4.75 0.78＋0.22÷0.5 ＝0.78＋0.44 ＝1.22 21÷3.5＋21÷1.5 ＝6＋14 ＝20 3.24×1.5＋0.324×85 ＝3.24×1.5＋3.24×8.5 ＝3.24×（1.5＋8.5） ＝3.24×10 ＝32.4 题型10 小数的乘、除法混合运算 19．（2021五年级上·江苏·竞赛）计算。 （1）7×2.4÷2.5      （2）4.8×15.4÷1.6÷0.77 【答案】6.72；60 【技巧点拨】第1题，按照运算顺序计算； 第2题，应用乘法结合律、结合律，4.8÷1.6凑整，15.4÷0.77凑整。 【规范解答】 20．（24-25五年级上·海南海口·期中）脱式计算（能简算的要用简算）。                                                                 【答案】3.56；173.4； 83.2；78.9； 19；15.5 【技巧点拨】第一题、第二题和第六题都按一般的四则运算顺序计算即可；第三题和第五题灵活运用乘法分配律进行简便计算即可；第四题运用减法性质进行简便计算即可。 【规范解答】 ＝46.28÷13 ＝3.56 ＝ ＝ ＝173.4 ＝ ＝83.2 ＝ ＝78.9÷1 ＝78.9 ＝ ＝ ＝1.9×10 ＝19 ＝ ＝15.5 题型11 小数的四则运算及法则 21．（23-24五年级上·广东东莞·期中）东莞市为鼓励居民节约用水，实行按月分段计费的方法收取水费。收费标准如图：（其中不足1吨按1吨计算） 阶梯 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 居民用水量 22吨及以下 23～40吨 41吨以上 计费单价 1.72元/吨 2.58元/吨 5.16元/吨 （1）小明家上个月的用水量为19.6吨，应缴水费多少元？ （2）小红家上个月的用水量为24吨，应缴水费多少元？ （3）小刚家上个月的水费是68.8元，则他家用水多少吨？ 【答案】（1）34.4元 （2）43元 （3）34吨 【技巧点拨】（1）已知小明家上个月的用水量为19.6吨，按20吨计；20吨＜22吨，在第一阶梯计费；用水量为20吨，单价1.72元，根据“总价＝单价×数量”，求出小明家上个月应缴的水费。 （2）已知小红家上个月的用水量为24吨，24吨＞22吨，分两个阶梯计费： 第一阶梯：用水量为22吨，单价1.72元； 第二阶梯：用水量（24－22）吨，单价为2.58元； 根据“总价＝单价×数量”，分别求出两个阶梯的费用，再相加，即是小红家上个月应缴的水费。 （3）已知小刚家上个月的水费是68.8元，先根据“总价＝单价×数量”，分别求出第一阶梯、第二阶梯的水费，再相加，求出第一、第二阶梯的总水费，与68.8元进行比较，得出小刚家上个月用水量没有超过第二阶梯的用水量； 用小刚家上个月缴的总水费减去第一阶梯的水费，即是第二阶梯的水费，根据“数量＝总价÷单价”求出第二阶梯的用水量；然后用第一阶梯的用水量加上第二阶梯的用水量，即是小刚家上个月的用水量。 【规范解答】（1）19.6≈20 1.72×20＝34.4（元） 答：小明家上个月应缴水费34.4元。 （2）1.72×22＋2.58×（24－22） ＝1.72×22＋2.58×2 ＝37.84＋5.16 ＝43（元） 答：小红家上个月应缴水费43元。 （3）1.72×22＋2.58×（40－22） ＝37.84＋2.58×18 ＝37.84＋46.44 ＝84.28（元） 68.8＜84.28，所以小刚家上个月用水量没有超过第二阶梯的用水量。 22＋（68.8－1.72×22）÷2.58 ＝22＋（68.8－37.84）÷2.58 ＝22＋30.96÷2.58 ＝12＋22 ＝34（吨） 答：小刚家上个月用水34吨。 【考点剖析】本题考查分段计费问题，弄清楚每段的临界点和每段的收费标准，然后根据单价、数量、总价之间的关系列式计算。 22．（22-23五年级上·河南商丘·期末）李阿姨每天开车上班（中午不回家），她公司附近有两个停车场，收费标准如下表。 甲停车场 2小时内（含2小时） 收费5元 超过2小时的部分（不足1小时按1小时计算） 每小时收费3.5元 乙停车场 按月收费 每月收费500元 （1）在甲停车场停车6小时，需要付停车费多少元？ （2）某天李阿姨加班，下班后到甲停车场取车回家，共付了36.5元停车费。她这天最多停车多长时间？ （3）李阿姨每周工作5天（每周四值一天班）。她算了算，自己除周四外每天需要停车8小时，每个周四需要多停4小时。如果一个月的工作时间按4周计算，你认为李阿姨选择哪个停车场比较合算？ 【答案】（1）19元； （2）11小时； （3）乙停车场 【技巧点拨】（1）先求出超过2小时后的时间，乘超过2小时部分的计费标准＋2小时内的费用即可； （2）李阿姨共付停车费36.5元，超过了5元，超出部分的费用是（36.5－5）元，再除以超出部分的收费标准3.5元每小时，求出超出部分的时间，再加上2小时，即可求出李阿姨停车的时间； （3）计算出甲停车场停车一个月需要付费多少钱，再与乙停车场一个月的费用做比较即可。 【规范解答】（1）（6－2）×3.5 ＝4×3.5 ＝14（元） 5＋14＝19（元） 答：在甲停车场停车6小时，需要付停车费19元。 （2）（36.5－5）÷3.5 ＝31.5÷3.5 ＝9（小时） 9＋2＝11（小时） 答：她这天最多停车11小时。 （3）甲停车场每天停8小时：5＋（8－2）×3.5 ＝5＋6×3.5 ＝5＋21 ＝26（元） 周四多停4小时：4×3.5＝14（元） 甲停车场一个月的费用：（26×5＋14）×4 ＝（130＋14）×4 ＝144×4 ＝576（元） 576＞500 答：李阿姨选择乙停车场比较合算。 【考点剖析】此题考查分段计费问题，解题的关键在于确认不同场地不同时间段的收费标准，其次是确认停放时间，分段计费。 题型12 小数除法相关的简便计算 23．（24-25五年级上·广东江门·期中）脱式计算，能简便就简便。 0.96÷2.5÷0.4         12.5×32×2.5           （10－0.4）×2.5 3.6×4.5÷1.5         （7.5－2.3×0.4）÷0.01           8.5＋1.5÷6 【答案】0.96；1000；24； 10.8；658；8.75 【技巧点拨】第一题，根据除法的性质加括号，将式子变为0.96÷（2.5×0.4），先算括号里乘法，再算括号外除法，即可简算。 第二题，将32拆成8乘4，再利用乘法结合律，计算12.5×8和4×2.5，计算出结果后，再算两个积的乘积，即可简算。 第三题，利用乘法分配律，先计算10×2.5和0.4×2.5，再计算二者的差，即可简算。 第四题，先计算4.5÷1.5，计算出商后，再做乘法，即可简算。 第五题，按照四则运算法则，先算括号里的乘法，再算括号里的减法，最后再算括号外的除法即可。 第六题，按照四则运算法则，先算除法，再算加法即可。 【规范解答】0.96÷2.5÷0.4 ＝0.96÷（2.5×0.4） ＝0.96÷1 ＝0.96 12.5×32×2.5 ＝12.5×（8×4）×2.5 ＝12.5×8×4×2.5 ＝（12.5×8）×（4×2.5） ＝100×10 ＝1000 （10－0.4）×2.5 ＝10×2.5－0.4×2.5 ＝25－1 ＝24 3.6×4.5÷1.5 ＝3.6×（4.5÷1.5） ＝3.6×3 ＝10.8 （7.5－2.3×0.4）÷0.01 ＝（7.5－0.92）÷0.01 ＝6.58÷0.01 ＝658 8.5＋1.5÷6 ＝8.5＋0.25 ＝8.75 24．（24-25五年级上·湖北·期中）简算。 4.53÷0.25÷4           1.58×99＋1.58          6.3×10.1 2.5×3.2×1.25          （6.9＋6.9＋6.9＋6.9）×0.25 【答案】4.53；158；63.63； 10；6.9 【技巧点拨】（1）根据除法的性质a÷b÷c＝a÷（b×c）把算式写成4.53÷（0.25×4），再进一步计算即可； （2）先把算式写成1.58×99＋1.58×1，再逆用乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把算式写成1.58×（99＋1），再进一步计算即可； （3）先把10.1写成10＋0.1，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把算式写成6.3×10＋6.3×0.1，再进一步计算即可； （4）先把3.2写成4×0.8，再根据乘法交换律a×b×c＝a×c×b，乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）把算式写成（2.5×4）×（0.8×1.25），再进一步计算即可； （5）先把6.9＋6.9＋6.9＋6.9写成6.9×4，再根据乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）把算式写成6.9×（4×0.25），再进一步计算即可。 【规范解答】4.53÷0.25÷4    ＝4.53÷（0.25×4） ＝4.53÷1 ＝4.53       1.58×99＋1.58    ＝1.58×99＋1.58×1 ＝1.58×（99＋1）       ＝1.58×100 ＝158 6.3×10.1 ＝6.3×（10＋0.1） ＝6.3×10＋6.3×0.1 ＝63＋0.63 ＝63.63 2.5×3.2×1.25 ＝2.5×（4×0.8）×1.25 ＝（2.5×4）×（0.8×1.25）   ＝10×1 ＝10 （6.9＋6.9＋6.9＋6.9）×0.25 ＝6.9×4×0.25 ＝6.9×（4×0.25） ＝6.9×1 ＝6.9 题型13 用“四舍五入”法求商的近似数 25．（24-25五年级上·福建莆田·期中）列竖式计算。 0.83×4.7＝          5.02÷3.6≈      （保留两位小数） 【答案】3.901；1.39 【技巧点拨】小数乘法的计算法则：小数乘法先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果小数的位数不够，需要在前面补0占位。 根据“四舍五入”法求积的近似数，找到要求保留的数位，看下一位；如果下一位的数字大于或等于5，要往前进一；如果下一位的数字小于5，要舍去。 除数是小数的小数除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按除数是整数的小数除法进行计算。 除不尽时，要求得数保留几位小数，要除到它的下一位，再用四舍五入的方法取商的近似数。 【规范解答】0.83×4.7＝3.901 5.02÷3.6≈1.39                    26．（24-25五年级上·全国·单元测试）一张电影票的价格由票价和手续费两部分构成。《摔跤吧，爸爸》在两家影院上映时的价格如下，中影国际的票价是36元，手续费10元，时代院线的票价是40元，手续费2元。以下说法错误的是（    ）。 A．去时代院线看这部电影更便宜 B．中影国际电影票的价格大约是时代院线价格的1.1倍 C．时代院线的票价大约是中影国际票价的1.1倍 D．中影国际的票价大约是时代院线票价的1.1倍 【答案】D 【技巧点拨】可以这样理解：中影国际的票价是36元，价格是36＋10＝46（元）； 时代院线的票价是40元，价格是40＋2＝42（元）； 然后依照题意对号入座进行小数除法计算，求得答案。 【规范解答】A.中影国际：36＋10＝46（元），时代院线：40＋2＝42（元），46＞42，所以，时代院线票价更便宜，A正确； B．46÷42≈1.1，所以，中影国际电影票的价格大约是时代院线价格的1.1倍，B正确； C．40÷36≈1.1，所以，时代院线的票价大约是中影国际票价的1.1倍，C正确； D．36÷40＝0.9，所以，中影国际的票价大约是时代院线票价的0.9倍，D错误。 故答案为：D 【考点剖析】题意十分复杂，相近的字眼又很多。要尽量避免被数据，被相近的词语所干扰；关键还是懂得求一个数是另一个数的几倍用除法计算。 题型14 判定被除数的最大值和最小值 27．（23-24五年级上·河北·课后作业）x÷0.7＝y，已知y是一个两位小数，保留一位小数是2.5。x最大是多少？最小呢？ 【答案】最大是1.778；最小是1.715。 【技巧点拨】2.5是一个两位小数的近似数，有两种情况，“四舍”得到2.5最大是2.54，“五入”得到2.5最小是2.45，由于x＝0.7×y，把y最大值和最小值代入即可求解。 【规范解答】由分析可知： y最大是2.54；y最小是2.45 2.54×0.7＝1.778 2.45×0.7＝1.715 答：x最大是1.778；最小是1.715。 【考点剖析】此题考查了小数的近似数，“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近似数比原数大。 28．（2024四年级·全国·课后作业）一个数除以1.2，商是两位小数，商保留一位小数取近似值是2.8.这个数最大是 ，最小是 。 【答案】 3.408 3.3 【技巧点拨】要考虑2.8是一个两位小数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的2.8最大是2.84，“五入”得到的2.8最小是2.75，因为除数不变，当商最大时，被除数最大，商最小时，被除数最小，根据“商×除数＝被除数”分别求出即可。 【规范解答】由分析可知：商最大是2.84，最小是2.75， 则被除数最大：2.84×1.2＝3.408， 最小为：2.75×1.2＝3.3； 【考点剖析】取一个数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近似数比原数大，根据题的要求灵活掌握解答方法。 题型15 循环小数的认识与简写 29．（24-25五年级上·广东佛山·期中）在、、、中，最大的是( )，最小的是( )。 【答案】 0.788 【技巧点拨】（1）明确循环小数的展开形式： ：循环节是787，所以…。 ：循环节是87，所以…。 ：循环节是7，所以…。 0.788是有限小数，可以看作0.788000…。 （2）比较大小 从高位到低位依次比较：整数部分都为0，十分位都为7，百分位都为8。千分位，千分位是7，千分位是7，千分位是7，0.788千分位是8，所以0.788在千分位就比其他三个数大。再比较、、的万分位，万分位是7，万分位是8，万分位是7，所以大于和。接着比较和的十万分位，十万分位是8，十万分位是7，所以大于。 【规范解答】由分析可得，，所以最大的是0.788，最小的是。 【考点剖析】比较循环小数和有限小数的大小时，先把循环小数的循环节多写几位，转化为便于比较的形式，再从高位到低位依次比较每一位上的数字大小。 30．（24-25五年级上·河南周口·期中）在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 0.7( )        ( )3.083083        ( ) 4÷3( )        2÷4( )        ( ) 【答案】 ＜ ＞ ＜ ＝ ＜ ＞ 【技巧点拨】①＝0.7777…，整数部分与十分位跟0.7相等，但0.7没有更多的小数位，所以较大； ②＝3.083083…，跟3.083083相比较，百万分位之前的数字都相同，但3.083083没有更多的小数位，所以较大； ③＝1.777…，＝1.8181…，两数的整数部分相等，但十分位较大，所以＜； ④算出4÷3＝1.333333…，可简写成，跟相等； ⑤算出2÷4的结果是0.5， 的整数部分比0.5大，所以较大； ⑥＝5.37575…， ＝5.375375…，两数千分位之前的数字都相同，万分位5.37575…是7，比5.375375…的3大，所以较大。 【规范解答】①＝0.7777…，0.7＜0.7777…，所以0.7＜； ②＝3.083083…，3.083083…＞3.083083，所以＞3.083083； ③＝1.777…，＝1.8181…，1.777…＜1.8181…，所以＜； ④4÷3＝1.333333…＝，＝，所以4÷3＝； ⑤2÷4＝0.5，0.5＜，所以2÷4＜； ⑥＝5.37575…， ＝5.375375…，5.37575…＞5.375375…，所以＞。 【考点剖析】简写形式的循环小数先多写几个循环节，再比较大小，比较大小时先比较整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同，则比较十分位，十分位大的数大；十分位相同则比较百分位，依次类推，直到比较出大小。 题型16 有限小数和无限小数的认识 31．（24-25五年级上·河南安阳·期中）下列说法正确的有（    ）个。 ①一个数乘小数，积不一定小于这个数。 ②一个整数除以小数，所得的商一定比这个整数大。 ③0.9898保留三位小数是0.990。 ④无限小数都是循环小数。 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【技巧点拨】一个数（0除外）乘大于1的小数，积大于这个数；乘小于1且不为0的小数，积小于这个数；乘1，积等于这个数。一个整数（0除外）除以大于1的小数，商小于这个整数；除以小于1且不为0的小数，商大于这个整数。保留三位小数，就是看小数点后第四位数字，如大于等于5则向前进一，如小于5，则舍去。无限小数包括循环小数和无限不循环小数。 【规范解答】①例如2×1.5＝3，3＞2，所以“一个数乘小数，积不一定小于这个数”是正确的。 ②例如5÷2.5＝2，2＜5，所以“一个整数除以小数，所得的商一定比这个整数大”是错误的。 ③0.9898保留三位小数，第四位小数是8，8＞5，所以0.9898保留三位小数是0.990，该说法是正确的。 ④例如3.14159…是无限不循环小数，不是循环小数，所以“无限小数都是循环小数”是错误的。 所以①和③说法正确，共2个。 故答案为：C 32．（24-25五年级上·河南·期中）89.871871…是一个( )小数，也是一个循环小数，用简便写法写作( )，它的循环节是( )，保留三位小数是( )。 【答案】 无限 89.7 871 89.872 【技巧点拨】根据有限小数和无限小数的定义，小数部分的位数是有限的是有限小数，小数部分的位数是无限的是无限小数，可以判断89.871871…是一个无限小数；写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点；根据循环节的定义，一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节，可找出89.871871…的循环节；保留三位小数，即精确到千分位，根据“四舍五入”法，看万分位上的数字是几，大于或等于5的，千分位上的数字加1，然后省略千分位后面的数字，小于等于4的，千分位上的数字不变，省略千分位后面的数字，据此即可解答。 【规范解答】89.871871…的位数是无限的，所以89.871871…是一个无限小数； 89.871871…＝89.7 在89.871871…中，871是依次不断重复出现的数字，所以循环节是871； 89.7≈89.872 题型17 循环小数比大小 33．（24-25五年级上·河南周口·期中）的循环节是( )，如果想移动循环节的第一个圆点，将小数变为，这个小数比原来的循环小数( )（填“大”或“小”）。 【答案】 81 小 【技巧点拨】根据循环节的意义，一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。要比较两个循环小数的大小，可以从最高位比起，最高位上的数大的那个数就大，如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数。 【规范解答】这个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字是81，所以它的循环节是81。 和这两个循环小数的个位上的数是2，相同；十分位上的数相同，百分位上的数相同，千分位上的数相同，万分位上的数相同。的十万分位上的数是8，的十万分位上的数是1，8＞1，所以＞。 所以，的循环节是（81）；这个小数比原来的循环小数（小）。 【考点剖析】把两个循环小数写成省略号的形式，再比较。 ＝2.8681818⋯ ＝2.8681111⋯ 34．（24-25五年级上·河南信阳·期中）在括号里填上“＞”“＜”或者“＝”。 12.3×1.4( )12.3    15.6÷1.2( )15.6     7.2÷0.5( )7.2×2 ( )    0.908÷0.1( )0.908×10     5.4×0.1( )5.4÷0.1 【答案】 ＞ ＜ ＝ ＞ ＝ ＜ 【技巧点拨】（1）一个大于0的数乘大于1的数，积比原来的数大； （2）被除数大于0时，被除数除以大于1的数，所得结果一定小于原来这个数； （3）（5）分别求出括号两边算式的结果，再比较大小； （4）多位小数比较大小时，从高位到低位依次比较各个位上的数字，较高位上数字大的小数值大，较高位上数字小的小数值小； （6）一个大于0的数乘小于1的数，积比原来的数小；被除数大于0时，被除数除以小于1的数，所得结果一定大于原来这个数；先比较括号两边算式与5.4的大小关系，再比较括号两边算式的大小关系，据此解答。 【规范解答】（1）因为1.4＞1，所以12.3×1.4＞12.3； （2）因为1.2＞1，所以15.6÷1.2＜15.6； （3）因为7.2÷0.5＝14.4，7.2×2＝14.4，所以7.2÷0.5＝7.2×2； （4）和的整数部分和小数点后面前两位数字相同，的小数点后面第三位是5，的小数点后面第三位是4，所以＞； （5）因为0.908÷0.1＝9.08，0.908×10＝9.08，所以0.908÷0.1＝0.908×10； （6）因为0.1＜1，所以5.4×0.1＜5.4，5.4÷0.1＞5.4，即5.4×0.1＜5.4÷0.1。 综上所述，12.3×1.4＞12.3，15.6÷1.2＜15.6，7.2÷0.5＝7.2×2，＞，0.908÷0.1＝0.908×10，5.4×0.1＜5.4÷0.1。 题型18 循环小数和周期性规律综合问题 35．（25-26五年级上·浙江杭州·期中）6.317142857142857…的小数点后第2024位数字是( )。 【答案】 5 【技巧点拨】首先确定循环小数6.317142857142857…的循环节为“714285”，从第三位开始循环，每6位为一个周期。接下来需要看2024里面有几个循环周期，先需排除前两位非循环部分（3和1），剩余2022位。用2022除以循环节长度6，看商是多少，如果有余数就依据余数来判断是循环节的第几位；如果没有余数，那么就是循环节的最后一位；据此解答。 【规范解答】1：循环节确定：6.317142857142857…的小数部分中，前两位“3”和“1”不循环，从第三位开始，循环节为“714285”，共6位。 2：计算循环部分位数：2024－2＝2022（位）。 3：确定位置：2022÷6＝337（组）。余数为0时，说明对应循环节的最后一位即第6位。 4：循环节“714285”的第6位是5。 因此，小数点后第2024位数字是5。 【考点剖析】本题关键是先确定小数的循环节的位数，再计算出2024里面包含循环周期的个数，通过余数判断对应循环节的第几位，余数为0，说明正好对应最后一位，假如余数为1，那就对应第一位，假如余数为2，那就对应第二位，依此类推。 36．（23-24五年级上·全国·单元测试）真分数化成小数后，如果从小数点后第一位起连续若干个数字之和是2000，应该是多少？ 【答案】2 【技巧点拨】先将分母是7的所有真分数化成循环小数，根据循环变化的规律可以发现：不管是七分之几，化成小数后，从小数点后第一位开始，对应分数的循环节都是六位且都由1、4、2、8、5、7这些数字组成，只是起始数字不同。每个循环节数字之和都是1＋4＋2＋8＋5＋7＝27，再求2000里有多少组数字和，也就是循环了多少次，最后看余数是循环节中哪几个连续数的和，就可确定循环节的第一个数字，对应找出此时的分子即可。 【规范解答】                1＋4＋2＋8＋5＋7＝27 2000÷27＝74（组）……2 多出部分数字和为2，则循环节只能以2开头，，即分子为2 答：应该是2。 【考点剖析】理解循环小数的意义，明确不管是七分之几，化成小数后，小数部分都是按照1、4、2、8、5、7循环的。 题型19 用“进一法”解决问题 37．（24-25五年级上·广东·期中）果农们要将670千克的葡萄装进纸箱，每个纸箱最多能装进15千克的葡萄，装这些葡萄需要准备多少个纸箱？ 【答案】45个 【技巧点拨】已知总共有670千克葡萄，每个纸箱最多装15千克，用葡萄的总重量除以每个纸箱最多能装的重量即可计算出纸箱的个数；由于纸箱个数必须是整数，且即使剩下的葡萄不足15千克，也需要再用一个纸箱来装，所以这里需要采用“进一法”取整。据此解答。 【规范解答】670÷15≈45（个） 答：装这些葡萄需要准备45个纸箱。 38．（24-25五年级上·浙江·期中）“老吾老，以及人之老。”为发扬中华民族的传统美德，小乐一家打算利用周末的时间去看望敬老院的老人。他们准备了11.8千克的蜂蜜，分装在小瓶中，一个瓶子最多能装500克。他们至少要准备多少个瓶子来装这些蜂蜜？他们还准备了一根15米长的丝带来包装瓶子，每包装一个瓶子需要0.7米长的丝带。这根丝带最多可以包装多少瓶蜂蜜？ 【答案】24个；21瓶 【技巧点拨】化500克＝0.5千克，求至少要准备多少个瓶子来装这些蜂蜜，就是求11.8里面有多少个0.5，再根据“进一法”，用商＋1即是所求；求这根丝带最多可以包装多少瓶蜂蜜，就是求15里面有多少个0.7，根据“去尾法”，商即是所求。 【规范解答】500克＝0.5千克 11.8÷0.5＝23（个）……0.3（千克） 23＋1＝24（个） 15÷0.7＝21（瓶）……0.3（米） 答：他们至少要准备24个瓶子来装这些蜂蜜，这根丝带最多可以包装21瓶蜂蜜。 题型20 用“去尾法”解决问题 39．（24-25五年级上·湖北·期中）好香蛋糕店特制一种蛋糕，每个需要0.32千克面粉。李师傅领了4千克面粉做蛋糕，他最多可以做几个这样的蛋糕？ 【答案】12个 【技巧点拨】分析题目，先用面粉的总质量除以做一个蛋糕需要的面粉质量即可解答，注意：结果要根据“去尾法”保留商的整数部分。 【规范解答】4÷0.32≈12（个） 答：他最多可以做12个这样的蛋糕。 40．（24-25五年级上·广东东莞·期中）陈阿姨带了20元钱去买面包，如果每个面包2.6元，最多可以买（    ）个。 A．10 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【技巧点拨】由题意得，实际上是求20里面有几个2.6，根据求一个数里面有几个另一个数的方法，用除法解答即可。由于剩下的钱不够买一个面包，应该舍去，此题应使用“去尾法”保留整数。 【规范解答】20÷2.6≈7（个） 所以最多可以买7个。 故答案为：C 题型21 利用小数四则混合运算解决问题 41．（24-25五年级上·重庆巴南·期末）在外游玩，手机需要使用移动数据，小李妈妈办理了每月158元的话费套餐，具体计费标准如下。 158元套餐包含 国内主叫300分钟，接听免费；流量40GB（当月剩余流量，可结转至次月使用）。 超出部分 超出套餐包含的部分后，国内主叫0.15元/分钟，流量5元/GB。 （1）11月份她一共使用流量33GB（10月份未剩余流量），国内主叫460分钟。她11月的话费账单一共是多少钱？ （2）12月份她的话费账单是183元，国内主叫290分钟。算上11月份剩余的流量，这个月她一共用了多少GB流量？ 【答案】（1）182元 （2）52GB 【技巧点拨】（1）33GB＜40GB，流量没有超出；460分钟＞300分钟，国内主叫时间超过套餐国内主叫时间；用11月份国内主叫的时间－套餐国内主叫时间，即460－300，求出超出部分的时间；再用超出部分的时间×0.15，求出超出部分需要的话费，再加上每月话费套餐，即可求出11月份话费账单。 （2）290分钟＜300分钟，国内主叫时间没有超出；11月份流量还剩40－33＝7（GB）；用12月份话费－套餐话费，求出超出部分话费；再用超出部分话费÷5，求出超出的流量；再用套餐流量＋11月份剩余流量＋超出的流量，即可求出这个月一共用的流量，据此解答， 【规范解答】33GB＜40GB，流量没有超出。 （460－300）×0.15＋158 ＝160×0.15＋158 ＝24＋158 ＝182（元） 答：她11月的话费账单一共是182元。 （2）290分钟＜300分钟，国内主叫没超。 40－33＝7（GB） （183－158）÷5＋7＋40 ＝25÷5＋7＋40 ＝5＋7＋40 ＝12＋40 ＝52（GB） 答：这个月她一共用了52GB流量。 42．（24-25五年级上·湖北武汉·期中）某市居民用电按阶梯收费，收费标准如下表。 分档 户月用电量（千瓦时） 电价标准（元/千瓦时） 第一档 1~240 0.49 第二档 241~400 0.53 第三档 400以上 0.79 （1）小明家上月用电440千瓦时，电费是多少？ （2）小聪家上月电费160元，用电多少千瓦时？ 【答案】（1）234元 （2）320千瓦时 【技巧点拨】（1）440＞400，小明家是三个档；先用240×0.49＝117.6元，求出第一档电费的钱数；用400－240，求出第二档用电量，再用第二档用电量×0.53，求出第二档电费的钱数，再用440－400，求出第三档的用电量，再用第三档的用电量×0.79，求出第三档电费的钱数，再把它们相加，即可求出电费。 （2）用240×0.49，求出第一档电费的钱数，再和160元比较，如果比160元小；则用（400－240）×0.53，求出第二档电费的钱数；再把第一档和第二档的电费钱数相加，再和小聪家上月电费比较，如果第一档和第二档的电费钱数大于小明家上月电费的钱数，用总电费减去第一档电费的钱数，求出第二档的电费钱数，再除以第二档电价标准，求出第二档用电量，再加上第一档用电量，即可求出小明家上月用电量；如果第一档和第二档的电费钱数小于小明家上月电费的钱数，用总钱数－第一档电费的钱数－第二档电费的钱数，求出第三档电费的钱数，再用第三档电费的钱数除以第三档电价标准，求出第三档用电量，再加上第一档、第二档的用电量，即可解答。 【规范解答】（1）440＞400，小明家上个月应是三个档。 240×0.49＋（400－240）×0.53＋（440－400）×0.79 ＝117.6＋160×0.53＋40×0.79 ＝117.6＋84.8＋31.6 ＝234（元） 答：电费是234元。 （2）240×0.49＝117.6（元） （400－240）×0.53 ＝160×0.53 ＝84.8 117.6＋84.8＝202.4（元） 202.4＞160，小聪家上月应是2个档。 （160－117.6）÷0.53＋240 ＝42.4÷0.53＋240 ＝80＋240 ＝320（千瓦时） 答：用电320千瓦时。 题型22 分段计费问题（小数除法) 43．（23-24五年级上·湖南长沙·期末）代驾是指当车主不能自行开车到达目的地时，由专业驾驶人员驾驶车主的车，将其送到指定地点，并收取一定费用的行为。某平台日常代驾计费标准如下表： 行驶里程 7千米及以内 超过7千米的部分 7：00－－21：59 45元 每千米3.5元 22：00－－次日6：59 68元 每千米4.5元 说明：行驶里程不足1千米，按1千米计算。 （1）王阿姨在公司工作到21：00，感觉很累，于是她在该平台预约了代驾服务回家。从公司到家共行驶了13.5千米，需要支付多少元代驾费？ （2）李叔叔在饭店参加聚会，22：30聚会结束，他在该平台预约了代驾服务。服务结束后李叔叔支付了117.5元代驾费。这次代驾服务的行驶里程最多是多少千米？ 【答案】（1）69.5元 （2）18千米 【技巧点拨】（1）王阿姨在21：00预约代驾服务，按代驾计费标准表格中的第一行进行收费，从公司到家共行驶了13.5千米，把13.5千米看作14千米，14千米＞7千米，所以分两段计费： 第一段，行驶7千米，收费45元； 第二段，超过7千米的部分，行驶了（14－7）千米，单价3.5元，根据“单价×数量＝总价”，求出这一段的费用； 最后把这两段的费用相加，就是王阿姨需要支付的代驾费。 （2）李叔叔在22：30预约代驾服务，按代驾计费标准表格中的第二行进行收费，共支付了117.5元代驾费，117.5元＞68元，所以分两段计费： 第一段：行驶7千米，收费68元； 第二段：超过7千米的部分，这部分交了（117.5－68）元，单价4.5元，根据“总价÷单价＝数量”，求出这一段行驶的路程； 最后把两段的路程相加，即是这次代驾服务的行驶里程。 【规范解答】（1）13.5千米按14千米计算。 45＋3.5×（14－7） ＝45＋3.5×7 ＝45＋24.5 ＝69.5（元） 答：需要支付69.5元代驾费。 （2）7＋（117.5－68）÷4.5 ＝7＋49.5÷4.5 ＝7＋11 ＝18（千米） 答：这次代驾服务的行驶里程最多是18千米。 【考点剖析】本题考查分段计费问题，弄清楚每段的临界点和每段的收费标准，然后根据单价、数量、总价之间的关系列式计算。 44．（23-24五年级上·福建厦门·期中）阅读下面材料，解决问题。 某城市新规定的出租车收费标准为： 出租车起步价为8元（包含3千米）； 超过3千米。每千米计价金额为1.6元（不足1千米按1千米计算）； 当时速处于每小时12千米以下时（堵车时段），计价器除正常按千米数计价外，还要向乘客增收每分钟0.32元的营运候时费。 （1）刘阿姨早晨乘坐出租车从家到单位，共13.5千米，其中出租车时速处于每小时12千米以下（堵车时段）共有10分钟。刘阿姨一共需要付多少元车费？ （2）张叔叔加完班后乘坐出租车从单位到家，全程一路畅通，到家后，张叔叔付了25.6元乘车费。张叔叔从单位到家，出租车最多开了多少千米？ 【答案】（1）28.8元 （2）14千米 【技巧点拨】（1）13.5千米≈14千米；先用14－3，求出超出3千米部分的路程；再用超出部分的路程×1.6，求出超出部分应付的车费，再用0.32×10，求出出租车时速处于每小时12千米以下的营运候时费，再把超出部分应付的车费＋营运候时的费用＋3千米内应付车费，即可求出刘阿姨一共需要付的车费。 （2）先用25.6－8，求出超出3千米路程需要付的车费，再用超出部分应付的车费除以1.6，求出超出部分行驶的路程，再加上3千米，即可求出出租车最多开的路程。 【规范解答】（1）13.5千米≈14千米 （14－3）×1.6＋0.32×10＋8 ＝11×1.6＋3.2＋8 ＝17.6＋3.2＋8 ＝20.8＋8 ＝28.8（元） 答：刘阿姨一共需要付28.8元车费。 （2）（25.6－8）÷1.6＋3 ＝17.6÷1.6＋3 ＝11＋3 ＝14（千米） 答：出租车最多开了14千米。 题型23 因数和倍数的认识 45．（2024·重庆九龙坡·小升初真题）设某个N位自然数的N个数字是{1，2，3，…，N}的一个排列，如果它的前K个数字所组成的整数能被K整除，其中K＝1，2，3，…，N，那么就称这个N位数为一个“好数”，例如三位数321就是一个“好数”，因为1|3，2|32，3|321（2|32表示2被32整除）。求六位“好数”共有多少个？ 【答案】2个 【技巧点拨】根据“好数”的定义，六位“好数”是由1，2，3，4，5，6这六个数字排列而成，且第二位必须是偶数（前两位组成的数能被2整除），第五位上必须是5，首位可在其他四个数字中任取，据此分类讨论解答。 【规范解答】当首位为1时， （1）若第二位为2，第三位必为3或6（前三位组成的数能被3整除），第六位和第四位只能是4或6，可能的“好数”为123456，123654，126453，126354，但1234和1263不能被4整除，126453不能被6整除，只有123654为所求的一个“好数； （2）若第二位为4，第三位为2，3，6时，142，143，146都不能被3整除，此时没有“好数”； （3）若第二位为6，第三位只能是2，此时162453不能被6整除，1623不能被4整除，此时仍无“好数”。 当首位为2时， （1）若第二位为4，第三位必为3或6（前三位组成的数能被3整除），可能的“好数”为246351，246153，243156，243651。但是2463，2461，2431不能被4整除，243651不能被6整除，此时没有“好数”； （2）若第二位为6，第三位必为1或4（前三位组成的数能被3整除），可能的“好数”为261354，261453，264356，264653。但是2613，2614，2643，2646不能被4整除，此时没有“好数”。 当首位为3时， （1）若第二位为2，第三位必为1或4（前三位组成的数能被3整除），可能的“好数”为321456，321654，324156，324651。但是3214，3241，3246不能被4整除，3216能被4整除，321654能被6整除，只有321654为所求的一个“好数； （2）若第二位为4，第三位只能为2，可能的“好数”为342156，342651。但是3421，3426不能被4整除，此时没有“好数”； （3）若第二位为6，第三位是1，2，4中的任意一个，都不能被3整除，此时没有“好数”。 以同样的方法讨论，当首位是4，6时都不存在“好数”。 答：所求的“好数”只有123654和 321654共计2个。 46．（24-25六年级下·重庆九龙坡·开学考试）日历上连续6天的号数和一定是6的倍数。( )（判断对错） 【答案】× 【技巧点拨】根据相邻的两个自然数相差1的特点，从而求出6个连续自然数的和，判断结果能否被6整除即可。 【规范解答】解：设第一天为a，则连续6天的号数的和为： a＋（a＋1）＋（a＋2）＋（a＋3）＋（a＋4）＋（a＋5） ＝a＋a＋1＋a＋2＋a＋3＋a＋4＋a＋5 ＝6a＋15 15不能被6整除，所以日历上连续6天的号数和不是6的倍数，原题说法错误。 故答案为：× 【考点剖析】本题考查了倍数问题，知道相邻的两个自然数相差1是解题的关键。 题型24 找一个数的因数及因数的特征 47．（23-24五年级下·河南许昌·期中）黑板上贴着7张数字卡片，细心的妙想发现：这7个数字正好是某个自然数的所有因数，这个自然数是 。 【答案】64 【技巧点拨】根据因数和倍数的意义，a、b、c是不为0的自然数，当a×b＝c时，a和b是c的因数，c是a和b的倍数。如8＝1×8＝2×4，8的因数就有1、8、2、4，共4个。一个数的因数总是成对出现的，因数的个数一般是偶数个；又如16＝1×16＝2×8＝4×4，16的因数有1、16、2、8、4共5个，因为16＝4×4＝42，16因数的个数是奇数个。当一个数能表示成某个整数的平方的形式时，它的因数的个数是奇数个。据此解答即可。 【规范解答】16是这个数的因数，16的因数也一定是这个数的因数。16的因数有1、2、4、8、16共5个。16是这个数的因数，这个数就是16的倍数。当16的倍数中，16×4＝64＝82，64的因数有1、2、4、8、16、32、64，共7个因数。因此这个自然数是64。 【考点剖析】本题考查的是因数和倍数的意义，明确这个数是某个整数的平方是解题的关键。 48．（20-21六年级下·河南焦作·期末）古希腊学者认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。例如6有4个因数1，2，3，6，除本身6以外，还有1，2，3三个因数。，所以6是“完全数”。下面的数中是“完全数”的是（    ）。 A．10 B．12 C．16 D．28 【答案】D 【技巧点拨】根据题意可知，把每个选项的因数都写出来，再相加，看看是否符合“完全数”的规律。 【规范解答】A．10的因数有：1、10、2、5。 1＋2＋5＝8 10不是“完全数”。 B．12的因数有：1、12、2、6、3、4 1＋2＋3＋4＋6＝16 12不是“完全数”。 C．16的因数有：1、16、2、8、4 1＋2＋4＋8＝15 16不是“完全数”。 D．28的因数有：1、28、2、14、4、7 1＋2＋4＋7＋14＝28 28是“完全数”。 故答案为：D 【考点剖析】熟练掌握“完全数”的概念特征，是解决本题的关键。 题型25 根据因数的特征解决问题 49．（24-25六年级下·北京海淀·开学考试）找出5个互不相同的大于1的自然数，使得其中两个数的积等于其余三个数的积，两个数的和（不一定是刚才的两个数）等于其余三个数的和，请写出满足条件的式子。 【答案】见详解 【技巧点拨】首先考虑数较小并且因数比较多的数，比如36，60等，然后快速地逐步把组合数放大，进行尝试计算。 【规范解答】因为36＝2×3×6＝4×9，而2＋4＋6＝3＋9，所以5个数是：2、3、4、6、9； 因为，60＝3×4×5＝6×10，而3＋5＋6＝4＋10，所以5个数是：3、4、5、6、10； 120＝2×3×20＝5×24 ，2＋5＋20＝3＋24，所以5个数是：2、3、5、20、24。 【考点剖析】本题主要考查了学生对计算的速度和对数字的敏感度。 50．（2023六年级下·福建莆田·竞赛）小明带了100元出去购物，在第一家店买了若干件A商品，在第二家店买了若干件B商品，在第三家店买了若干件C商品，在第四家店买了若干件D商品，在第五家买了若干件E商品，在第六家店买了若干件F商品，六种商品的单价各不相同且都是整数元，他在六家店里花的钱相同，最后他剩( )元。 【答案】28 【技巧点拨】由于小明只带了100元出去购物，并且在六家店里花的钱相同，因此，小明在每个商店内所花的钱不能超过16元。在小于等于16的自然数中，只有12可以分解成有6个因数的积，因此，小明在每个商店所花的钱都是12元，进而求得剩下的钱数。 【规范解答】（元）……4（元） 小明在每个商店内所花的钱不能超过16元，且这个数有6个不同的因数。 在小于16的数中，只有12有6个不同的因数。 ＝ ＝28（元） 最后他剩（28）元。 【考点剖析】先明确小明在每个商店内所花的钱的最高金额、以及找到12的因数，是解答题的关键。 题型26 找一个数的倍数及倍数的特征 51．（2025·重庆渝北·小升初真题）一个能被13整除的自然数我们称为十三数，“十三数”的特征是：这个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数的差，如果能被13整除，那么这个自然数就一定能被13整除。 例如：判断383357能不能被13整除，这个数的末三位数字是357，末三位以前的数字组成的数是383，这两个数的差是383－357＝26。26能被13整除，因此383357是“十三数”。 （1）判断3253和254514是否为“十三数”，请说明理由。 （2）若一个四位自然数，千位数字和十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“间同数”。 ①求证：任意一个四位“间同数”都能被101整除。 ②若一个四位自然数既是“十三数”，又是“间同数”，求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差。 【答案】（1）3253不是；254514是；见详解 （2）①见详解； ②7878 【技巧点拨】（1）3253的末三位数是253，末三位以前的数字是3，判断它们的差能否被13整除即可；254514的末三位数是514，末三位以前的数字组成的数是254，判断它们的差能否被13整除即可； （2）①用表示任意一个四位“间同数”，则这个四位数可以表示为，化简后结果为，由此可知任意一个四位“间同数”都是101的倍数，即任意一个四位“间同数”都能被101整除； ②由上可知，任意一个四位“间同数”可以表示为，因为这个四位数能被13整除，而101不能被13整除，说明一定是13的倍数，即两位数一定是13的倍数，那么这个两位数最小是13，最大是91，最大值与最小值的差为101×（91－13），据此解答。 【规范解答】（1）3253：253－3＝250 250÷13≈19.23 因为3253的末三位与末三位以前的数字组成的数的差不能被13整除，所以3253不是“十三数”。 254514：514－254＝260 260÷13＝20 因为254514的末三位与末三位以前的数字组成的数的差能被13整除，所以254514是“十三数”。 （2）①假设四位间同数为（，）。 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 因为是101的倍数，所以任意一个四位“间同数”都能被101整除。 ②分析可知，四位“间同数”为，且这个数一定是13的倍数，因为101不能被13整除，所以一定是13的倍数。 13×1＝13 13×2＝26 13×3＝39 13×4＝52 13×5＝65 13×6＝78 13×7＝91 由上可知，最小为13，最大为91。 101×（91－13） ＝101×78 ＝7878 答：满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差是7878。 【考点剖析】本题主要考查“十三数”与“间同数”，分析题意理解这两种数的特征，并可以用含有字母的式子表示出任意一个四位“间同数”是解答题目的关键。 52．（2024·重庆九龙坡·小升初真题）从7开始，把7的倍数依次写下去，一直写到994，即71421…987994，这个数是( )位数。 【答案】411 【技巧点拨】要确定这个数的位数，需分别计算出由7的倍数组成的数中一位数、两位数、三位数的个数，7的倍数是一位数的只有7，7的倍数是两位数的最小数是：7×2＝14，最大数是7×14＝98，共有14－2＋1＝13（个）两位数，7的倍数是三位数的最小数是：7×15＝105，最大数是7×142＝994，共有142－15＋1＝128（个）三位数，根据不同位数的数字个数与对应位数相乘，最后将结果相加即可。 【规范解答】7的倍数是一位数的只有7×1＝7，共有1个一位数； 7的倍数是两位数的最小数是：7×2＝14，最大数是7×14＝98，共有14－2＋1＝12＋1＝13（个）两位数； 7的倍数是三位数的最小数是：7×15＝105，最大数是7×142＝994，共有142－15＋1＝127＋1＝128（个）三位数； 1×1＋13×2＋128×3 ＝1＋26＋384 ＝411（位） 所以这个数是411位数。 【考点剖析】找到7的倍数组成的数中一位数、两位数、三位数的个数是解题的关键。 题型27 根据倍数的特征解决问题 53．（2025五年级下·全国·专题练习）小兵在文具店买了3本笔记本、1支钢笔、2支自动铅笔和4块橡皮。笔记本每本2元，钢笔每支5元，自动铅笔和橡皮的价格小兵记不清了售货员要小兵付18元，小兵马上说售货员把账算错了，你知道为什么吗？ 【答案】见详解 【技巧点拨】从题意可以知道，四种商品的数量已知，根据，笔记本和钢笔的价格能够算出来一共是11元，但是因为自动笔和橡皮的数量是双数，所以，不管买多少，它们的总价格也应该是双数，因为偶数乘偶数，偶数乘奇数积都是偶数，而11是奇数，根据奇数加偶数等于奇数，因此，要付款的钱数应是奇数，但是根据售货员算的价格是偶，所以判断是错误的。 【规范解答】 （元） 答：因为2支自动铅笔和4块橡皮的价格是偶数，而3本笔记本、1支钢笔的价格是奇数，根据奇数加偶数等于奇数可知，总价应该是奇数，而售货员算的是18元（偶数），所以账算错了。 54．（23-24五年级下·河南南阳·期中）4月2日城北小学开展“党旗飘飘队旗红承古传今文化行”研学活动。五年级有526人，若6人一组，至少需要再来多少人就可以正好6人一组？至少减少多少人也正好6人一组？ 【答案】2人；4人 【技巧点拨】根据题意，五年级有526人，分成6人一组，如果总人数是6的倍数，则刚好分完；用总人数除以6，商是分成的组数，有余数，用6减去余数，即是至少需要再来的人数，去掉余数即是至少减少的人数。 【规范解答】526÷6＝87（组）……4（人） 6－4＝2（人） 答：至少需要再来2人就可以正好6人一组，至少减少4人也正好6人一组。 题型28 倍数和因数的综合应用 55．（2024六年级·全国·竞赛）某旅游景点的门票价格及优惠方法如下表： 人数 50人以内 51~99人 100人及以上 票价 30元/人 28元/人 25元/人 （例如：60人需要付门票费28×60＝1680元。） 导游星星和望望各带一个旅游团，如果分别购票，两个团共应付门票费3660元；如果两个旅游团合并在一起购票，两个团一共只需门票费3200元。若星星带的团人数多一些，那么星星带的团共有多少人？ 【答案】90人 【技巧点拨】当人数在50以内，最大为50时，需要票价50×30＝1500（元）；当人数在51～99人时，最大为99时，票价应该是99×28＝2772（元）；两个旅游团合并在一起购票，两个团一共只需门票费3200元，超过了2772元，则两个团合并在一起超过100人，每人25元，则有128人。如果两个班级带团的人数都在51～99人之间，总门票付的钱是28的倍数，显然3660不是28的倍数。星星带的团人数多一些，则星星带的团51~99人，望望带的团50人以内。假设两个团的人都是30元/人的门票，128人应该付128×30＝3840（元），和总门票钱3660元对比，多了180元，也就是需要将180元的门票钱减去。两种购票的一张门票的钱可以减2元，就是求180元里面有几个2元，用除法。则星星带的团有90人。 【规范解答】3200÷25＝128（人） （128×30－3660）÷（30－28） ＝（3840－3660）÷（30－28） ＝180÷2 ＝90（人） 答：星星带的团共有90人。 56．（23-24五年级下·全国·期中）请你按下面的要求为明明家设计一个四位数的门牌号。 （1）a，b，c，d代表的数字各不相同，并且分别代表6的一个因数。 （2）a，b组成的数ab既是3的倍数，又是7的倍数。 （3）4和9都是c，d组成的数cd的因数。 【答案】2136 【技巧点拨】整数a除以整数b（b不为0）除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a，a称为b的倍数，b称为a的因数。 【规范解答】6的因数有1、2、3、6，所以a、b、c、d代表1、2、3、6中的数字； a，b组成的数ab既是3的倍数，又是7的倍数，那么组成的数是21，说明a是2，b是1； 4和9都是c，d组成的数cd的因数，说明c是3，d是6。 所以门牌号是2136。 【考点剖析】本题考查因数与倍数，解答本题的关键是掌握因数与倍数的概念。 题型29 2、5的倍数特征 57．（2025五年级下·全国·专题练习）判断以下6个数的整除性： 8875，198954，6512，93625，864，407。 （1）哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？ （2）哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？ 【答案】（1）6512、864；6512、864 （2）8875、93625；8875、93625 【技巧点拨】（1）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除；一个数的末三位是8的倍数，这个数就是8的倍数； （2）25的倍数特征：尾数是0或5，后两位数不是25、50、75就或是00；后三位数字如果是125的倍数，那么这个数就是125的倍数。 【规范解答】（1）12能被4整除，即6512能被4整除；64能被4整除，即864能被4整除。 512÷8＝64，即6512能被8整除；864÷8＝108，即864能被8整除。 答：能被4整除的数有：6512，864。能被8整除的数有：6512，864。 （2）8875、93625的后两位数是75、25，即8875、93625能被25整除。 875÷125＝7，即8875能被125整除；625÷125＝5，即93625能被125整除。 答：能被25整除的数有：8875、93625；能被125整除的有8875、93625。 【考点剖析】解答本题的关键是熟练掌握2、5的倍数的特征，在此基本上延伸出4、8、25及125的倍数的特征。 58．（2024三年级下·全国·竞赛）有10个灯泡，编号为1到10，前5个亮着，后5个没亮着，每个灯泡都只有一个开关控制他们，第一次按一下编号为2的倍数的灯泡的开关，第二次按一下编号为3的倍数的灯泡的开关，第三次按一下编号为4的倍数的灯泡的开关，第三次之后还有 个灯泡亮着。 【答案】5 【技巧点拨】2的倍数有2、4、6、8、10，3的倍数有3、6、9，4的倍数有4、8；开关按奇数次会改变原来的状态，按偶数次不会改变原来的状态；编号1，没按开关，亮着，编号2、 3按了一次开关，不亮，编号4按了两次开关，亮着，编号5，没按开关，亮着，编号6，按了两次开关，不亮着，编号7，没按开关，不亮，编号8，按了两次，不亮，编号9、10按了一次开关，亮着。据此可知，一共有5个灯泡亮着；据此解答。 【规范解答】根据分析可知，第三次之后还有5个灯泡亮着。 【考点剖析】明确开关按奇数次会改变原来的状态，按偶数次不会改变原来的状态是解答本题的关键。 题型30 奇数与偶数的认识 59．（2025五年级·全国·竞赛）相邻三个偶数的乘积是一个六位数，该六位数的首位是5，尾数是8，试列出这三个相邻偶数。 【答案】82、84、86 【技巧点拨】三个相邻的偶数的乘积是一个六位数，从中可以知道这三个偶数一定是两位数，决不能是三位数以上。由乘积的末尾是8，可以确定这相邻三个偶数的尾数是2，4，6（2×4×6＝48）；有乘积的最高位是5，即范围在500000~599999之间，70×70×70＝343000，80×80×80＝51200，90×90×90＝729000，由此可知，每个偶数的十位上数字都是8，所以这三个偶数是82，84，86，据此解答。 【规范解答】根据分析可知，这三个相邻偶数是82，84，86。 82×84×86 ＝6888×86 ＝592368 592368的首尾是5，尾数为8。 答：这三个相邻偶数是82，84，86。 【考点剖析】由已知条件，确定个位上的数，再确定十位上的数，是解答本题的关键。 60．（24-25六年级下·北京海淀·开学考试）规定※n表示不大于n的所有偶数的积，□n表示不能整除n的最小的数。例如：※6＝6×4×2＝48，□10＝3，那么□（※x）＝13，x最小是( )。 【答案】22 【技巧点拨】首先要理解题目中※n和口n这两个新运算的定义。根据已知条件口（※x）＝13，我们要找出※x能被哪些数整除，再根据※x是不大于x的所有偶数的积这一特性，求出※x的最小值，从而得出x的最小值。 【规范解答】因为□（※x）＝13，所以不能整除的最小的数是13，所以※x能被1、2、3、4、……12整除；因为※x表示不大于x的所有偶数的积，所以※x能被这些偶数整除：12、11×2、2、10、8、18、14、6，则※x最小＝2×4×6×……×22，所以x最小是22。 【考点剖析】理解※n、□n表示的意义以及偶数、数的整除的特征是解题的关键。 题型31 3的倍数特征 61．（23-24六年级下·湖北武汉·开学考试）有101个不同的正整数，在这101个数中有100个数互相不成倍数，但任意两数的和是2的倍数，任意三个数的和是3的倍数，任意四个数的和是4的倍数，任意六个数的和是6的倍数，则这101个数平均数的最小值可能是（    ）。 A．505 B．600 C．601 D．606 【答案】C 【技巧点拨】个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数；如果一个数的各个数位上的数的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数，根据题目条件逐步分析得出这 100个数的特征，进而判断平均数的特点； 除以2的余数情况：因为任意两个数的和是2的倍数，两个数相加和是2的倍数，说明这两个数要么都是偶数（即除以2余数为0），要么都是奇数（即除以2余数为1）。又因为这100个数互相不成倍数，所以不能都是偶数（如果都是偶数，必然存在倍数关系），所以这100个数除以2的余数都为1。 除以3的余数情况：由于任意三个数的和是3的倍数，设这三个数分别为a、b、c，a＋b＋c＝3k（k为整数）。根据余数的性质，a、b、c除以3的余数之和要是3的倍数。因为这100个数互相不成倍数，若有不同余数，就很难保证任意三个数和是3的倍数，所以这100个数除以3的余数都相同，又因为要满足和是3的倍数，所以余数只能为1（若余数为0，则这些数有倍数关系）。 除以4的余数情况：同理，任意四个数的和是4的倍数，设这四个数为m、n、p、q，m＋n＋p＋q＝4s（s为整数），根据余数性质，这100个数除以4的余数之和要是4的倍数。由于这100个数互相不成倍数，所以它们除以4的余数都相同，且为1（若余数为0或其他情况容易出现倍数关系不符合题意）。 除以6的余数情况：任意六个数的和是6的倍数，设这六个数为、、、、、，＋＋＋＋＋＝6t（t为整数），根据余数性质，这100个数除以6的余数之和要是6的倍数。因为这100个数互相不成倍数，所以它们除以6的余数都相同，且为1（若余数为0或其他情况，会出现倍数关系不符合要求）。 分析平均数：因为这100个数的平均数等于这100个数的总和除以100，而这100个数除以2、3、4、6余数都为1，那么它们的平均数除以2、3、4、6余数也都为1。 【规范解答】A．505÷2＝252……1，505÷3＝168……1，505÷4＝126……1，505÷6＝84……1，满足余数都为1； B．600÷2＝300，余数为0，不满足除以2余数为1，所以B选项错误； C．601÷2＝300……1，601÷3＝200……1、601÷4＝150……1、601÷6＝100……1，满足余数都为1； D．606÷2＝303，余数为0，不满足除以2余数为1，所以D选项错误。 比较505和601，505＜601，但题目问的是这101个数平均数的最小值，因为101个数中有100个数满足上述余数条件，当这100个数最小且满足余数条件时，平均数会最小，601比505更符合这101个数平均数最小的情况（因为505作为平均数时，可能无法满足101个数整体的条件，而601满足所有余数条件且能保证101个数整体的合理性）。 故答案为：C 【考点剖析】找出这100个数余数的特点，通过余数特点来判断平均数满足的条件是解题的关键。 还可以这样理解：这100个数的除以2、3、4、6的余数都为1，可写作12k＋1的形式（k＝1-100），求和为12×（1＋2＋3＋…100）＋1×100＝60700，再取1为第101个数，60701为这101个数最小和，60701÷101＝601，故选C。 62．（2023六年级·全国·竞赛）对自然数n进行如下操作：如果n是偶数，就把它除以2；如果n是奇数，就把它加上105。现在对123进行有限次操作，得到的结果不可能是（    ）。 A．57 B．99 C．100 D．114 【答案】C 【技巧点拨】123是奇数，123＋105＝228，228是偶数，228÷2＝114；依次类推，对123进行有限次操作，得到的结果228、114、57、162、81…… 228、114、57、162、81都是3的倍数，所以操作过程中产生的数都是3的倍数。据此判断每个数即可。 【规范解答】57、99、114是3的倍数，100不是3的倍数，所以得到的结果不可能是100。 故答案为：C 【考点剖析】本题需要从3的倍数特征进行考虑，掌握相应的特征是解答本题的关键。 题型32 2、3、5的倍数特征综合 63．（24-25五年级上·河南商丘·期中）用0，1，3，5这四张卡片按要求组数。（至少填写一个数） (1)选两张数字卡片，组成两位数，是3的倍数的是( )，同时是2和3的倍数的是( )； (2)选三张数字卡片，组成三位数，最大的偶数是( )，同时是2、3、5的倍数的是( )。 【答案】(1) 15、30、51 30 (2) 530 150、510 【技巧点拨】（1）3的倍数特征是各位数字之和是3的倍数。从0、1、3、5中选两张，1＋5＝6，6是3的倍数，所以组成的两位数15是3的倍数；3＋0＝3，3是3的倍数，所以30也是3的倍数；5＋1＝6，6是3的倍数，所以组成的两位数51是3的倍数。同时是2和3的倍数的数：2的倍数特征是个位是0、2、4、6、8，结合3的倍数特征，个位只能是0，且各位数字之和是3的倍数。选0和3，组成30，3＋0＝3是3的倍数，所以30同时是2和3的倍数。 （2）偶数是能被2整除的数，偶数的个位是0、2、4、6、8，这里只有0符合。要组成最大的三位数，百位选最大的数5，十位选次大的数3，个位选0，所以最大的偶数是530。同时是2、3、5的倍数的数：2和5的倍数特征是个位是0，3的倍数特征是各位数字之和是3的倍数。个位选0，剩下选1和5，1＋5＋0＝6是3的倍数，所以组成的150是同时是2、3、5的倍数；也可以选5和1，组成510。 【规范解答】（1）1＋5＝6，6是3的倍数，组成的两位数15是3的倍数； 3＋0＝3，3是3的倍数，30也是3的倍数； 5＋1＝6，6是3的倍数，组成的两位数51是3的倍数； 选0和3，组成30，3＋0＝3，是3的倍数，所以30同时是2和3的倍数。 是3的倍数的是15、30、51，同时是2和3的倍数的是30。 （2）百位选最大的数5，十位选次大的数3，个位选0，最大的偶数是530。 个位选0，剩下选1和5，1＋5＋0＝6是3的倍数，所以组成的150是同时是2、3、5的倍数；或组成510。 最大的偶数是530，同时是2、3、5的倍数的是150、510。 64．（24-25五年级上·河北邯郸·期中）一个四位数是1□7□，它同时是2、3、5的倍数，这个数最大是( )，最小是( )。 【答案】 1770 1170 【技巧点拨】2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【规范解答】要想同时是2、3、5的倍数，个位数字必须为0，1＋7＝8，百位数字最小是9－8＝1，百位数字可以是1、4、7。 这个数最大是1770，最小是1170。 题型33 质数与合数的认识 65．（2025五年级下·全国·专题练习）已知a、b均为质数（a＞b），ab表示a与b的乘积，如果a＋ab＋b＝55，那么a－b的值是多少？ 【答案】10 【技巧点拨】将a＋ab＋b＝55变形为a＋ab＋b＋1＝56，即（a＋1）×（b＋1）＝56。因为56＝1×56＝2×28＝4×14＝7×8，a、b均为质数且a＞b，所以符合要求的只有“4×14”一组，即a＋1＝14，b＋1＝4，得到a和b的值，进而求出（a－b）的值。 【规范解答】因为a＋ab＋b＝55 所以a＋ab＋b＋1＝56 即（a＋1）×（b＋1）＝56 因为56＝1×56＝2×28＝4×14＝7×8，且a、b均为质数（a＞b）。 所以a＋1＝14，b＋1＝4，因此a＝13，b＝3。 a－b＝13－3＝10 因此a－b的值是10。 【考点剖析】能够想到把将a＋ab＋b＝55变形为（a＋1）×（b＋1）＝56，根据两个数的积是56来思考是解决本题关键。 66．（2024·河南郑州·小升初真题）一个质数的平方与一个奇数的和等于105，那么这两个数的积等于 。 【答案】202 【技巧点拨】先设这个质数为p，奇数为q，则p2＋q＝105，因为105是奇数，所以p、q必为一奇、一偶，由于q为奇数，所以P为偶数，再根据在所有偶数中只有2是质数可求出p的值，进而可求出q的值，再把两数相乘即可。 【规范解答】设这个质数为p，奇数为q，则p2＋q＝105， 因为105是奇数， 所以p、q必为一奇、一偶， 因为q为奇数， 所以P为偶数， 因为p是质数， 所以p＝2， 因为q＝105－p2＝105－4＝101， 所以pq＝2×101＝202。 故这两个数的积等于202。 【考点剖析】本题考查的是质数与合数的概念，解答此题的关键是熟知在所有偶数中只有2是质数这一概念。 题型34 质数与合数的综合应用 67．（24-25五年级下·湖北十堰·期中）美美用一张手工纸折爱心，妈妈告诉她这张长方形纸的周长是10分米，并且它的长、宽的分米数是两个质数，这张长方形纸的面积是多少平方分米？ 【答案】6平方分米 【技巧点拨】根据长方形周长＝（长＋宽）×2，则长＋宽＝周长÷2，据此求出长方形纸的长与宽的和；一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，求出和是5分米的两个质数，再根据长方形面积＝长×宽，据此求出这张长方形纸的面积。 【规范解答】10÷2＝5（分米） 和是5的两个质数是3和2，长方形纸的长是3分米，宽是2分米。 3×2＝6（平方分米） 答：这张长方形纸的面积是6平方分米。 68．（23-24五年级下·重庆綦江·期末）小明、小华、小敏3个小朋友周末到公园去游玩，在公园里看到有许多行排列整齐的银杏树，每行棵数相等。他们三人分别数出了银杏树的总棵数，小明71棵，小华78棵，小敏79棵。他们只有一个人数对了，（    ）数对了。 A．小明 B．小华 C．小敏 D．都对 【答案】B 【技巧点拨】根据题意，银杏树的总棵数应能被行数和每行棵数整除，即总棵数为合数。判断71、78、79是否为质数：71和79是质数，无法分解为两个大于1的整数相乘；78是合数，符合条件。因此小华数对了。 【规范解答】根据分析可知，小明、小华、小敏3个小朋友周末到公园去游玩，在公园里看到有许多行排列整齐的银杏树，每行棵数相等。他们三人分别数出了银杏树的总棵数，小明71棵，小华78棵，小敏79棵。他们只有一个人数对了，小华数对了。 故答案为：B 题型35 运算性质（奇数和偶数) 69．（2024六年级·全国·竞赛）如图所示的一张6行4列的方格纸上。每个方格内填入最上边与最左边两个数的乘积，例如：m＝5×9＝45。如果可以重新排列最上边与最左边的10个数字的位置，并且重排后，每个方格内的数字也更新为重排后的最上边与最左边两个数的乘积。 那么重排后：24个方格内最多能有 个奇数。24个方格内最多能有 个10的倍数。 【答案】 6 10 【技巧点拨】①根据奇偶的运算性质，可知奇数×奇数＝奇数，题目中一共有5个奇数，5＝1＋4＝2＋3，只有当一边有2个奇数，另一边有3个奇数时，方格内奇数个数最多，有（2×3）个。 ②根据10的倍数倍数特征：末尾是0，数字10应该放在最上边，相应的列有6个10的倍数；数字5也应该放在最上边，除10以外的4个偶数放在最左边，最多有4个10的倍数。所以方格内最多能有（6＋4）个10的倍数。 【规范解答】①奇数：2×3＝6（个） ②10的倍数：6＋4＝10（个） 根据分析可知，24个方格内最多能有6个奇数。24个方格内最多能有10个10的倍数 【考点剖析】掌握奇偶数的运算性质以及倍数的认识是解答本题的关键。 70．（23-24五年级下·浙江杭州·期末）下面表述有（    ）句是正确的。 ①除2之外，任意两个质数的和一定是偶数。 ②一个质数和一个合数一定是互质数。 ③两个连续的非零自然数一定是互质数。 ④a和b是两个不同的非零自然数，并且a是b的倍数，那么a的因数个数一定多于b的因数个数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【技巧点拨】①除2之外，所有的质数都是奇数，因为奇数加奇数等于偶数， 所以除2之外，任意两个质数的和一定是偶数，表述正确； ②一个质数和一个合数不一定是互质数，例如2和4，其中2是质数，4是合数，它们公因数除了1还有2，2和4不是互质数 ，所以一个质数和一个合数一定是互质数，表述不正确； ③假设a和b是相邻的两个连续自然数，且a＞b， 若c为它们的公因数， 则c一定能整除a －b，由于a－b＝1，所以c ＝1，所以两个连续的非零自然数一定是互质数，表述正确； ④a和b是两个不同的非零自然数，并且a是b的倍数，假设a＝4，b＝2，则a的因数有1，2和4，b的因数有1和2，则a的因数个数一定多于b的因数个数。所以a和b是两个不同的非零自然数，并且a是b的倍数，那么a的因数个数一定多于b的因数个数，表述正确。 【规范解答】根据分析可得①③④正确，所以有3句是正确的。 故答案为：C 【考点剖析】本题考查因数与倍数、质数与合数、奇数与偶数，解答本题的关键是掌握这些知识点。 题型36 平行四边形面积的计算 71．（21-22五年级上·河南新乡·期末）下图中，平行四边形的一条高是7厘米，这个平行四边形的面积是（    ）平方厘米。 A．48 B．42 C．56 D．64 【答案】B 【技巧点拨】分两种情况考虑： （1）如果平行四边形的底是8厘米，高是7厘米；因为高是直角边，6厘米是直角三角形的斜边，6＜7，不符合“直角三角形中斜边最长”，所以7厘米不可能是8厘米底边上的高； （2）如果平行四边形的底是6厘米，高是7厘米；因为高是直角边，8厘米是直角三角形的斜边，8＞7，符合“直角三角形中斜边最长”，所以7厘米是6厘米底边上的高； 确定了平行四边形的底和高，再根据平行四边形的面积＝底×高，代入数据计算即可。 【规范解答】6×7＝42（平方厘米） 这个平行四边形的面积是42平方厘米。 故答案为：B 【考点剖析】本题考查平行四边形面积公式的运用，确定平行四边形的高7厘米对应的底是解题的关键。 72．（2023五年级·全国·课后作业）一个平行四边形的底增加3厘米，高增加5厘米，它的面积增加15平方厘米　 　。（判断对错） 【答案】× 【技巧点拨】如图所示，原来平行四边形的底是a厘米，高是b厘米，增加的面积即为底为5厘米、高为3厘米；底为a厘米、高为5厘米；底为3厘米、高为b厘米的三个平行四边形的面积，据此等量关系即可求解。 【规范解答】如上图：原来平行四边形的底是a厘米，高是b厘米，增加的面积是（5a＋3b＋3×5）平方厘米。 故答案为：× 【考点剖析】解答此题可以通过画图分析，增加的面积分为三部分，由此解答。 题型37 平行四边形面积的应用 73．（23-24五年级上·全国·课后作业）如图，一个用木条订成的长方形框架ABCD的面积是79.2cm2，将它拉伸成一个平行四边形BCEF，面积是43.2cm2，如果DG＝4cm，BC的长度＝（    ）cm。 A．4.8 B．8.8 C．9 D．36 【答案】C 【技巧点拨】根据梯形可知，长方形的长等于平行四边形的底；长方形面积公式：面积＝长×宽；长方形ABCD的面积＝BC×CD；平行四边形的面积公式：面积＝底×高；平行四边形BCEF的面积＝BC×CG；长方形面积－平行四边形面积＝BC×CD－BC×CG；由此可知，长方形面积－平行四边形面积＝BC×（CD－CG）；因为CD－CG＝DG＝4cm，所以长方形面积－平行四边形面积＝BC×4；由此求出BC，据此解答。 【规范解答】根据分析可知： BC＝（79.2－43.2）÷4 ＝36÷4 ＝9（cm） 如图，一个用木条订成的长方形框架ABCD的面积是79.2cm2，将它拉伸成一个平行四边形BCEF，面积是43.2cm2，如果DG＝4cm，BC的长度＝9cm。 故答案为：C 74．（24-25五年级上·河北衡水·期末）一个面积是572平方米的平行四边形土地，如果这块平行四边形土地的高是22米，则高对应的底是( )米。 【答案】 26 【技巧点拨】已知平行四边形的面积和高，求对应的底，根据“平行四边形面积＝底×高”，可得“平行四边形的底＝面积÷高”，代入数值计算即可。 【规范解答】572÷22＝26（米） 所以高对应的底是26米。 题型38 三角形面积的计算 75．（2024六年级·全国·竞赛）三条边长分别是6厘米、8厘米、10厘米的直角三角形。将它的最短边对折到斜边相重合，（如图）图中阴影部分面积是( )平方厘米。 【答案】6 【技巧点拨】因为对折有重合，所以两个空白部分的三角形面积相等，则10厘米的边分成了6厘米和4厘米两部分，4厘米的线段是阴影部分的最长直角边，阴影部分三角形的角与大三角形的完全一样，阴影部分的最长直角边为4厘米，大三角形最长直角边为8厘米，大三角形直角边长是阴影直角边长的2倍，所以阴影部分的最短直角边为（6÷2）厘米，两条直角边分别为直角三角形的底和高，根据三角形的面积公式，代入数据即可求出阴影部分的面积。 【规范解答】阴影部分大直角边长：（厘米） 阴影部分小直角边长：（厘米） 阴影部分面积：（平方厘米） 图中阴影部分面积是6平方厘米。 【考点剖析】分析图形，明确大三角形直角边长是阴影直角边长的2倍是解答本题的关键。 76．（2024·福建厦门·小升初真题）《九章算术》记载：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”转化为数学问题：如图1、图2，在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝5cm，AC＝12cm，D、E、F是三角形三边上的点，且四边形CDEF是一个正方形。根据下述阅读材料，则正方形CDEF的边长为( )cm。 【答案】 【技巧点拨】 如图所示，拼成的长方形的长等于（AC＋BC），设正方形CDEF的边长为xcm，则拼成的长方形的宽为xcm；根据长方形的面积＝2×三角形ABC的面积，三角形的面积＝底×高÷2，代入相应数值计算，据此解答。 【规范解答】解：设正方形的边长为xcm，则拼成的长方形的宽为xcm。 三角形ABC的面积为： 5×12÷2 ＝60÷2 ＝30（cm2） 拼成的长方形的长＝BC＋AC＝5＋12＝17（cm） 拼成的长方形的面积＝17x＝三角形面积×2 即17x＝2×30 17x＝60 17x÷17＝60÷17 x＝ 因此正方形CDEF的边长为cm。 【考点剖析】关键是找出拼成的图形和原图形之间的面积关系，再将面积转化到边长的计算。 题型39 三角形面积的应用 77．（23-24六年级下·四川内江·期末）如图，在一个三角形中剪掉一个最大的正方形，剩下的阴影部分的面积是( )。 【答案】99 【技巧点拨】 如图：把小阴影三角形以O点为旋转中心，逆时针旋转90°，则红色阴影的小三角形就是原黑色小阴影三角形，剩下的阴影部分的面积就转化成红色小三角形与大黑色直角三角形组成的底为9、高为22的直角三角形，根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据解答即可。 【规范解答】9×22÷2 ＝9×（22÷2） ＝9×11 ＝99 所以剩下的阴影部分的面积是99。 【考点剖析】把小阴影三角形经过旋转，把求剩余部分的面积转化成一个直角三角形的面积是解题的关键。 78．（23-24五年级下·重庆开州·期末）在学习平行四边形、三角形、梯形面积公式的推导时，其基本思路都是将图形“转化”为以前学过的图形。请你回想一下三角形的面积公式是怎么推导出来的？画图并写一写推导过程，至少写出一种转化的方法。 【答案】见详解 【技巧点拨】准备两个完全相同的三角形，将这两个三角形的一条对应边重合，并将它们旋转后拼在一起，组成一个平行四边形，如下图，则平行四边形与三角形等底等高，三角形的面积等于平行四边形面积的一半，由平行四边形的面积＝底×高，推导出三角形的面积公式。 【规范解答】如图：    把两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，则： 三角形的面积＝平行四边形面积的一半 平行四边形的底＝三角形的底，平行四边形的高＝三角形的高 平行四边形的面积＝底×高 推导出：三角形的面积＝底×高÷2。 （答案不唯一） 题型40 梯形面积的计算 79．（23-24六年级上·广东阳江·期中）如图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】63平方厘米 【技巧点拨】由图可知：两个三角形都去掉公共部分，则剩余部分的面积仍然相等，即阴影部分的面积＝梯形的面积，已知梯形的下底是12厘米，高为6厘米。先求出梯形的上底，进而利用梯形的面积公式即可求解。 【规范解答】上底：12－3＝9（厘米） （9＋12）×6÷2 ＝21×6÷2 ＝126÷2 ＝63（平方厘米） 答：阴影部分的面积是63平方厘米。 【考点剖析】解答此题的关键是明白阴影部分的面积＝梯形的面积。 80．（23-24五年级上·山西阳泉·期末）梯形面积计算公式是怎样推导出来的呢？在课本中我们是把两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于梯形的（        ），平行四边形的高等于梯形的高。因为平行四边形的面积等于底×高，所以梯形的面积等于（                  ）。 （1）丽丽是个爱动脑筋的孩子，她认为可以用老师讲过的转化思想把它转化成已学过的图形来求面积（如下图）。 平行四边形的面积S＝ a × h 相等↓ ↓ ↓ 梯形的面积S＝ × （2）乐乐不甘示弱，他想：我可不可以用分割法把梯形分成两个三角形，来推导梯形的面积计算公式呢？（请你采用文字、图表等喜欢的方式，来说说乐乐是怎样得到梯形的面积计算公式的） 【答案】上底＋下底；（上底＋下底）×高÷2 （1）a＋b；h÷2 （2）见详解 【技巧点拨】在课本中我们是把两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，找出平行四边形的底、高与梯形的上底、下底、高之间的关系，再根据平行四边形的面积＝底×高，推导出梯形的面积公式。 （1）丽丽是把一个梯形转化成平行四边形，根据平行四边形的面积＝底×高，推导出梯形的面积公式。 （2）乐乐用分割法把梯形分成两个三角形，根据三角形的面积＝底×高÷2，分别求出两个三角形的面积，再相加，即可推导出梯形的面积公式。 【规范解答】在课本中我们是把两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于梯形的（上底＋下底），平行四边形的高等于梯形的高。因为平行四边形的面积等于底×高，所以梯形的面积等于（上底＋下底）×高÷2。 （1）丽丽的方法： 平行四边形的面积S＝ a × h 相等↓ ↓ ↓ 梯形的面积S＝ a＋b × h÷2 （2）乐乐的方法，如图： 梯形的面积＝三角形①的面积＋三角形②的面积 ah÷2＋bh÷2＝（a＋b）×h÷2 所以，梯形的面积S＝（a＋b）×h÷2。 【考点剖析】本题考查转化思想、分割法在数学中的应用，掌握图形转换和面积公式推导的过程是解题的关键。 题型41 梯形面积的应用 81．（25-26五年级上·全国·单元测试）妙妙不小心将自己的一件外套划破了，她想让奶奶在划破处绣一个好看的图案，于是她找来一块梯形的布（如图①），在梯形布上画出了字母“A”（如图②），并涂上了她喜欢的颜色，奶奶按照妙妙的图案剪出字母“A”。 （1）字母“A”的面积是多少？ （2）奶奶在家里找到一些紫色的线，大约长70厘米，绣了如图③所示的一部分后，还剩余48厘米，那么剩余的线能将字母全部绣完吗？如果能绣完，请说明理由；如果不能绣完，还需要多长的线？（按面积绣） 【答案】（1）52平方厘米 （2）能绣完；理由见详解 【技巧点拨】（1）首先，计算图①中梯形的面积。梯形面积公式为，接着，计算图②中小三角形的面积。三角形面积公式为，计算图②中小梯形的面积。最后，字母“A”的面积为大梯形面积减去小三角形面积和小梯形面积。 （2）首先，计算图③中阴影部分的面积。阴影部分是一个底为、高为的平行四边形，其面积公式为由第一问可知，字母“A”剩余部分的面积。根据比例关系计算需要的线长。比较剩余的线长得出结论。 【规范解答】（1）图①中梯形的面积： （2＋11）×14÷2 ＝13×14÷2 ＝182÷2 ＝91（平方厘米） 图②小三角形的面积：3×4÷2＝6（平方厘米） 图②小梯形的面积： （4＋7）×6÷2 ＝11×6÷2 ＝66÷2 ＝33（平方厘米） 字母“A”的面积：91－6－33＝52（平方厘米） 答：字母“A”的面积是52平方厘米。 （2）（11－7）÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 图③阴影部分是底为2厘米、高为14厘米的平行四边形。 2×14＝28（平方厘米） 52－28＝24（平方厘米） 答：因为绣了28平方厘米用了22厘米的线，剩余的24平方厘米，还有48厘米的线，所以剩余的线能将字母全部绣完。 【考点剖析】本题主要考查三角形面积公式和梯形面积公式的应用，先计算出总面积，再减去空余面积。 82．（25-26五年级上·全国·单元测试）解答。 (1)同学们在探究梯形面积公式时，有以下几种方法： 这四种转化方法对应的算式分别是：( )、( )、( )和( )。 ①（a＋b）×h÷2        ②（a＋b）×（h÷2） ③ah÷2＋bh÷2            ④（a＋b）÷2×h (2)图图用了一种特殊的方法把梯形转化成为三角形，如下图。已知图①的面积是20cm2，可求出图③中涂色三角形的面积是( )cm2。 【答案】(1) ③ ① ② ④ (2)3 【技巧点拨】（1）根据梯形的面积公式的推导方法可知，用两个完全一样的图形拼成一个平行四边形，这个平行四边形底等于梯形的上底和下底的和，平行四边形的高等于梯形的高，根据平行四边形的面积公式推导出梯形的面积公式；也可以把一个梯形沿两条腰的中点的连线剪开，然后通过旋转、平移拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于梯形的上底和下底之和，平行四边形的高是梯形的高的一半，根据平行四边形的面积公式推导出梯形的面积公式，或者把一个梯形分成两个三角形，根据三角形的面积推导出梯形的面积公式。 （2）利用已知条件结合梯形面积公式得出梯形的上底，进而得出涂色三角形的底，再结合中点的性质得出涂色三角形的高，再由三角形的面积公式得出图③中涂色三角形的面积。 【规范解答】（1）第一个图求梯形面积采用切割法，即一个梯形由两个三角形拼接而成， 梯形的面积：ah÷2＋bh÷2，所以填③； 第二个图求梯形面积采用拼接法，即将一个梯形补成一个平行四边形， 梯形的面积为这个平行四边形的面积的一半，即梯形的面积为：（a＋b）×h÷2，所以填①； 第三个图求梯形面积采用切割法和拼接法，将一个梯形切一个梯形，再补成一个平行四边形，这个梯形的面积为这个平行四边形的面积的面积，梯形的面积为：（a＋b）×（h÷2），所以填②； 第四个图求梯形面积采用切割法和拼接法，将一个梯形切两个小三角形，再补成一个长方形，梯形的面积为：（a＋b）÷2×h，所以填④。 这四种转化方法对应的算式分别是：③、①、②和④。 （2）因为图①的面积是20cm2，所以，梯形的面积为20cm2， 梯形的上底： 20×2÷4－7 ＝40÷4－7 ＝10－7 ＝3（cm） 涂色三角形的高是梯形高的一半，底是梯形的上底，即为3cm， 涂色三角形高：4÷2＝2（cm） 面积：3×2÷2＝3（cm2） 图③中涂色三角形的面积是3cm2。 【考点剖析】本题主要考查利用切割法和拼接法求图形面积，关键是熟悉掌握运用图形的面积公式。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $