微专题01 平面直角坐标系的五大题型（专项训练）数学北师大版2024八年级上册

微专题01 平面直角坐标系的五大题型 题型一 点到坐标轴的距离 1.点到x轴的距离 这个距离等于该点的纵坐标的绝对值。 例如，点 P(3, -5) 到 x 轴的距离就是 |-5| = 5。 2.点到y轴的距离 这个距离等于该点的横坐标的绝对值。 例如，点 P(3, -5) 到 y 轴的距离就是 |3| = 3。 记忆口诀： - 到 x 轴，看 y 值 - 到 y 轴，看 x 值 - 不管正负，都取绝对值 1．（25-26八年级上·广东佛山·阶段练习）已知点，它到轴的距离是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，熟知点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键．根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值即可求解． 【详解】解：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值， 点它到轴的距离是， 故答案为：3． 2．（25-26八年级上·广东佛山·阶段练习）点的坐标为，它到轴的距离为 ． 【答案】4 【分析】本题考查平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，解题的关键是掌握点到轴的距离为其横坐标的绝对值． 根据平面直角坐标系中，点到轴的距离等于其横坐标的绝对值这一性质，求出点到轴的距离． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点到轴的距离为． 已知点的坐标为，其横坐标为，则它到轴的距离为． 故答案为：4． 3．（24-25七年级下·江苏南京·期中）若，则点到x轴的距离是 ，到y轴的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求点到坐标轴的距离，涉及了绝对值和算术平方根的非负性，由题意得，即可求解； 【详解】解：由题意得， ∴， ∴； 故点到x轴的距离是，到y轴的距离是； 故答案为：①② 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）点P在第一象限，且到x轴的距离为1，到y轴的距离为4，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，以及象限内点的坐标特征，根据点到坐标轴的距离可知点P横坐标的绝对值是4，纵坐标的绝对值是1，因为点在第一象限，即可得到答案． 【详解】解：点P在第一象限，且到x轴的距离为1，到y轴的距离为4， 点P的坐标为， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·福建南平·期末）已知点在第二象限，且点P到x轴的距离与到y轴的距离相等，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，第二象限内的点的坐标特点，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此可得，再根据第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正可得，据此求解即可． 【详解】解：∵点到x轴的距离与到y轴的距离相等， ∴， ∵点在第二象限， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 6．（23-24七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，点P在y轴的右侧，距x轴3个单位，距y轴2个单位，则P点坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了点的坐标，根据题意可得点的横坐标为，纵坐标为或，由此即可得解，熟练掌握点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点P在y轴的右侧，距x轴3个单位，距y轴2个单位， ∴点的横坐标为，纵坐标为或， ∴P点坐标为或， 故答案为：或． 7．（24-25七年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，对于点若点Q的坐标为其中a为常数,则称点Q是点P的“a级关联点”．如：点的“3级关联点”即 （1）点的“2级关联点”的坐标是 ； （2）已知点的“级关联点”C到x轴、y轴的距离相等，则点C的坐标是 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握点到坐标轴的距离与坐标的关系，正确理解已知条件中的新定义的含义． （1）根据已知条件中的新定义求出答案即可； （2）先根据已知条件中的新定义求出点的“级关联点”C的坐标，再根据点C到x轴、y轴的距离相等，列出关于b的方程，解方程求出b，从而求出点C的坐标即可． 【详解】解：点， 点的“2级关联点”的坐标是，即点的“2级关联点”的坐标是， 故答案为：； 点的“级关联点”C的坐标为，即， 点的“级关联点”C到x轴、y轴的距离相等， ， ， 解得：或， 当时， ， 当时， 点C坐标为或． 故答案为：或． 题型二 平面直角坐标系点的特征 1. 点在坐标轴上 - 在x轴上：纵坐标等于0。 - 在y轴上：横坐标等于0。 - 在原点：横、纵坐标都等于0。 2. 点在各象限内 记住每个象限内点的坐标符号规律： - 第一象限：(正, 正) - 第二象限：(负, 正) - 第三象限：(负, 负) - 第四象限：(正, 负) 3. 点到坐标轴的距离 - 到x轴的距离：等于纵坐标的绝对值。 - 到y轴的距离：等于横坐标的绝对值。 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，有一点． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为． 【分析】本题主要考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，第一象限内点的坐标特点，在y轴上的点的坐标特点，熟练掌握是解答本题的关键． （1）在y轴上的点横坐标为0，据此列出方程求解即可； （2）第一象限内的点横纵坐标都为正，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此求出点P到两坐标轴的距离，再根据点P到两坐标轴的距离之和为9建立方程求出a的值即可得到答案． 【详解】（1）解：点在轴上， ， ； （2）解：在第一象限， 点到轴的距离为，到轴的距离为， 点到两坐标轴的距离之和为9， ， ， ，， 点的坐标为． 2．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）已知点是平面直角坐标系中的一点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且轴，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】此题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中点的特征是解题的关键． （1）根据轴上点的横坐标为0即可得到答案； （2）根据平行于轴的直线上各点纵坐标相等进行解答即可． 【详解】（1）解：因为点在轴上，所以， 解得， 所以， 所以点的坐标为． （2）因为点的坐标为，且轴， 所以， 解得， 所以， 所以点的坐标为． 3．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点 (1)若点P的横坐标比纵坐标大7，求点P的坐标． (2)若点P在坐标轴上，求m的值． (3)若点P到x轴与到y轴的距离相等，求m的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系及点的坐标特征，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）直接根据题意建立方程求解即可； （2）根据坐标轴上点的特征：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点，横坐标为0，据此求解即可； （3）分类讨论，根据横纵坐标相同或者相反，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：， 解得， ； （2）解：当点P在x轴上时，则， 解得， ； 当点P在y轴上时，则， 解得， ； （3）解：当点P在第一象限或者第三象限时，则， 解得， 此时； 当点P在第二象限或者第四象限时，则， 解得， 此时； 综上，m的值为或3． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知点，解答下列各题． (1)点在轴上，求出点的坐标； (2)点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (3)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系坐标系中点的坐标的特点等知识． （1）根据点在轴上得到，解得，即可求出点P的坐标； （2）根据点的坐标为，直线轴，得到，解得，即可求出点P的坐标； （3）根据点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，得到，解得，即可求出的值． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得， ， 点的坐标； （2）解：点的坐标为，直线轴， ， 解得， ， 点的坐标为； （3）解：点到轴、轴的距离相等， ∴， ∵点在第二象限， ， 解得， ． 5．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点在轴上，求此时点的坐标； (2)若点在过点且与轴平行的直线上，求此时的值； (3)若点到轴的距离与到轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或 【分析】本题考查点的坐标，熟练掌握坐标轴上的点的特征，平行于坐标轴的直线上的点的特征，是解题的关键： 根据轴上的点纵坐标为，得到，解方程求出的值，根据的值求出点的坐标即可； 根据平行于轴上的点的横坐标相同，得到，解方程求出的值，根据的值求出点的坐标即可； 根据点到坐标轴的距离等于横纵坐标的绝对值，分两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：当点在轴上时，点的纵坐标为， ， 解得：， ， 点的坐标是； （2）解：点在过点且与轴平行的直线上， ， 解得：； （3）解：点到轴的距离与到轴的距离相等， 或， 解得：或， 当时，， 当时，，， 点的坐标为或． 6．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知点，请分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的纵坐标比横坐标大； (3)点在过点且与轴平行的直线上． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征以及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征是解题的关键． （1）根据轴上点的纵坐标为0列方程求出的值，再求解即可； （2）根据纵坐标与横坐标的关系列方程求出的值，再求解即可； （3）根据平行于轴的直线上的点的横坐标相同列方程求出的值，再求解即可． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得， ， 所以，点的坐标为； （2）解：点的纵坐标比横坐标大3， ， 解得， ， ， 点的坐标为； （3）解：点在过点且与轴平行的直线上， ， 解得， ， 点的坐标为． 7．（25-26八年级上·全国·期中）已知点 ，根据下列条件分别求出点的坐标． (1)点在x轴上． (2)点的纵坐标比横坐标大． (3)点到x轴的距离是点到y轴距离的2倍． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了点的坐标． （1）根据x轴上的点的纵坐标为0得出，即可求出m的值，从而得出点P的坐标； （2）根据点P的纵坐标比横坐标大得出，即可求出m的值，从而得出点P的坐标； （3）根据点P到x轴的距离是点P到y轴距离的2倍得出，结合绝对值的意义即可求出m的值，从而得出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵点P在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标是； （2）解：∵点P的纵坐标比横坐标大， ∴， 解得， ∴点P的坐标是； （3）解：∵点P到x轴的距离是点P到y轴距离的2倍， ∴， ∴或， 解得或， ∴点P的坐标是或． 8．（25-26八年级上·河北保定·阶段练习）已知点的坐标为，试分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在轴上． (2)点在过点且与轴平行的直线上． (3)若点在第三象限，且点到轴的距离是，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特点，掌握相关知识点是解题的关键． （）根据轴上的点的横坐标为解答即可； （）根据与轴平行的直线上的点的横坐标相同解答即可； （）根据点到轴的距离等于点的纵坐标的绝对值可得，结合点在第三象限求出的值，进而即可求解； 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：由题意可得，， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：由题意得，， ∴或， ∵点在第三象限， ∴点的纵坐标为负数， ∴，则， ∴， ∴点的坐标为． 9．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点在轴上，求此时点的坐标； (2)若点在过点且与轴平行的直线上，求此时的值； (3)若点到轴的距离与到轴的距离相等，求点N 的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查点的坐标，熟练掌握坐标轴上的点的特征，平行于坐标轴的直线上的点的特征，是解题的关键： （1）根据x轴上的点纵坐标为，进行求解即可； （2）根据平行于轴上的点的横坐标相同，进行求解即可； （3）根据点到坐标轴的距离等于横纵坐标的绝对值，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵在轴上， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点在过点且与轴平行的直线上， ∴， ∴， （3）解：∵点到x轴的距离与到y轴的距离相等， ∴， ∴或， ∴或． 题型三 在平面直角坐标系中求图形的面积 1.利用坐标求长度 这是计算面积的基础。 - 水平方向的线段长度，用横坐标之差的绝对值来计算。 - 垂直方向的线段长度，用纵坐标之差的绝对值来计算。 2.割补法求面积 这是最常用的技巧。 - 补：把不规则图形补成一个大的长方形或梯形。 - 割：用大图形面积减去周围空白的小图形面积。 - 最终得到原图形的面积。 1．（24-25七年级下·广东中山·期末）已知点，，点B在x轴正半轴上，且三角形的面积等于3，则点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形． 先设，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵点B在x轴正半轴上， ∴可设， ∵三角形的面积等于3， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·湖北黄石·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，，，已知三角形的面积是三角形面积的倍，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，准确得出三角形的底边、高的长度是解题的关键 先根据点、的横坐标相等得出轴以及的长，再根据三角形面积之间的关系得出关于的方程求解即可． 【详解】解：点，， 轴，， 由题意得，， 即， 解得或， 3．（24-25七年级下·陕西·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．若在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积及坐标与图形性质，先根据点A，B，C的坐标求出和的面积，再结合四边形的面积是的面积的得出的面积，据此求出a的值即可． 【详解】解：由题知， ∵的顶点坐标分别为，，， ∴，． 又∵四边形的面积是的面积的， ∴四边形的面积为， ∴， 则， 解得， 所以点P的坐标为． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·江西上饶·期末）在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形的面积是三角形面积的2倍，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的面积及坐标与图形性质，解题的关键是根据题意分两种情况进行讨论（当点C在x轴上时和当点C在y轴上时），根据三角形的面积公式求得，再得出点C的坐标，也可以适当的画草图进行分析．根据题意点C的位置可分当点C在x轴上时和当点C在y轴上时两种情况进行讨论，从而根据三角形的面积公式列式，进而求得，得出点C的坐标． 【详解】解：根据题意可知三角形AOB面积×OB， 当点C在x轴上时， ∵， ∴， 解得：， ∴点C的坐标为或； 当点C在y轴上时， ∵， ∴， ∴， ∴点C坐标为或． 综上所述，点C的坐标为． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·广东东莞·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都落在格点上，各顶点的坐标分别为：，完成下列问题． (1)在图中描出A，B，C三点； (2)顺次连接A，B，C三点构成，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题考查了平面直角坐标系中描点以及三角形面积的计算，解题的关键是准确描点并利用坐标特征求三角形面积． （1）根据坐标在平面直角坐标系中找到对应点并描出； （2）通过分析的位置特征，结合坐标求出底和高，进而计算三角形面积． 【详解】（1）如图所示； （2）如图所示， ， 的面积是． 6．（24-25八年级上·全国·课后作业）沿轴正方向平移10个单位长度得到，的顶点坐标如图所示． (1)点的坐标是________，点的坐标是________； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)   (2)四边形ACED的面积为63 【分析】本题主要考查了图形的平移，点的坐标，四边形的面积等知识点，掌握平移的性质，是解答本题的关键． （1）平移前后两个三角形全等，对应边相等，由此可得点的坐标； （2）根据即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴，， ∵沿轴正方向平移个单位长度得到， ∴，，， ∴点的坐标是，点的坐标是； （2）解：四边形可看作是一个长方形和一个三角形的面积之差， ． 7．（24-25七年级下·江西宜春·期末）如图1，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，且a，b满足关系式：，其中，连接，． (1)填空：_____，______，三角形的面积是______； (2)如图2，点C是x轴负半轴上一点，连接，延长与x轴相交于点D． ①当三角形的面积与三角形的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形的面积等于三角形面积的一半，三角形的面积等于，求点B，C，D的坐标． 【答案】(1)3，2，3 (2)①；②，， 【分析】本题考查了平面直角坐标系、算术平方根与绝对值的非负性、三角形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据绝对值、完全平方式的非负性得到，，求出的值，再利用三角形的面积公式求出三角形的面积即可； （2）①利用三角形的面积公式即可求解；②利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴三角形的面积； 故答案为：3，2，3； （2）解：①由（1）知：三角形的面积是3，， ∴， ∴； ∴； ②∵三角形的面积等于三角形面积的一半， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴综上所述：，，． 8．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知，，过的直线平行于y轴，平移线段至线段(点A的对应点是点D，点B的对应点是点C)． (1)如图1，当时． ①直接写出点D的坐标； ②连接，求的面积； (2)已知点P在线段上，连接，记的面积为S． ①如图2，当时，若，求m的值； ②如图3，若，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①；②8 (2)①；②或 【分析】该题考查了平移的性质，坐标与图形综合等知识点，解题的关键是分类讨论． （1）①当时，，根据平移的性质可得平移方式是先向左平移6个单位，再向下平移1个单位，从而得出． ②如图1， 过 作 轴，过 作 轴，依题意得：，，，，根据即可求解． （2）①如图，过D作直线l，过A作直线l，作，连接，根据线段平移得线段，，，，得出，依题意得：，，，得出，根据平移可得，则，即，即可求出． ②由（2）①得：当时，，则，解得；，解得；当时，如图，过D作直线l，过A作，作，连接，依题意得：，，，则，即，则，解得；，解得；即可得出若，则或． 【详解】（1）解：（1）①当时，， ∵，，，线段平移至线段（点A的对应点是点D，点B的对应点是点C）， ∴平移方式是先向左平移6个单位，再向下平移1个单位， ∴，即， ②如图1， 过 作 轴，过 作 轴， 依题意得：，，，， ； （2）解：①如图，过D作直线l，过A作直线l，作，连接， ∵线段平移得线段，，，， ∴， 依题意得：，，， ∴ ， ∵线段平移得线段， ∴， ∴， ∴， ∴， (此题还可以用逆向思维，根据去求m的值．) ②由（2）①得：当时，， 则，解得；，解得； 当时， 如图，过D作直线l，过A作，作，连接， 依题意得：，，， ∴ ， ∴， 则，解得；，解得； 综上可得：若，则或． 题型四 与图形面积相关的点的存在性问题 1.先假设，后求解 - 先假设满足条件的点是存在的 - 把这个点的坐标或位置设为未知数 - 目标是通过计算验证假设是否成立 2.用面积列方程 - 这是解题的核心步骤 - 用未知数表示出所求图形的底和高 - 根据题目给出的面积关系列出方程 3.求解并检验 - 解出方程，得到未知数的值 - 检验这些解是否符合题目的实际情况 - 比如点是否在线段上，或者在指定的范围内 1．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足关系式． (1)求三点的坐标； (2)若在第四象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； (2)； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出的值，即可得出答案； （2）根据求解即可； （3）当时，，根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （2）解： ； （3）解：存在，设点的坐标为， 当时，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴点的坐标为或 2．（24-25七年级下·陕西·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点，且，． (1)点A的坐标为__________，点B的坐标为__________； (2)将线段平移得到线段，点A的对应点是点C，求三角形的面积； (3)在（2）的条件下，过点D作轴于点E，请问在射线上，是否存在点P，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，． (2)12 (3)存在，点 【分析】本题考查绝对值和平方根的性质、图形的平移、坐标与图形等知识，熟练掌握相关知识的运用，分类讨论是解答的关键． （1）利用绝对值和算术平方根的性质求得a、b值即可； （2）先由点A和其对应点C的坐标得到平移方式，进而得到点B对应点D的坐标，过点D作轴于点F，然后根据面积公式即可求解； （3）设，三角形的面积为，则，然后分当时，当时，当时，当时四种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵A在x轴负半轴， ∴， ∴，， 故答案为：，． （2）解：点的对应点是点， 将线段先向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度得到线段， 点对应点D坐标为． 如图-1，过点D作轴于点F，则，． 三角形的面积． （3）解：存在，点． 设，三角形的面积为，三角形的面积为，则． 当时，如图-1，连接． ，， ． 不成立； 当时，，不成立； 当时，如图-2． ． ，． ． ，此时点P的坐标为． 当时，，不成立． 综上可知，点P的坐标为． 3．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）如图（1）：在平面直角坐标系中，点，点，点，且a与c满足条件； (1)求的值以及点的坐标． (2)如图（2）：在轴上是否存在一点，使的面积等于面积的2倍，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由． (3)线段，轴，直接写出D点坐标． 【答案】(1)，，； (2)存在，或 (3)或 【分析】本题考查坐标与图形，非负性，掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）利用非负性求出的值，进而写出点A，C的坐标即可； （2）先求出面积，设，再根据的面积等于面积的2倍结合三角形面积公式进行求解即可得出P的值．进而可得出点P的坐标． （3）根据垂线段最短得出轴时，线段的长最小，再根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相同求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∴； （2）解：∵，； ∴， ∴的面积； 设， 由题意，得：， 即：， ∴， ∴， ∴或． （3）解：∵点为x轴上的一个动点， ∴轴时，线段的长最小， ∵， ∴ ∵，， ∴设， ∵， ∴， ∴或， ∴或． 4．（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）在平面直角坐标系中、，a、b满足． (1)如图1，求点A、B的坐标； (2)如图2，y轴上有一点E，的面积是6，求点E的坐标； (3)如图3，将线段沿x轴的正方向平移4个单位长度，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、C，在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且与的面积相等？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题是三角形综合题，考查了非负性，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）利用非负性可求a、b的值，即可求解； （2）分两种情况讨论：①当E在直线上方时；②当E在直线下方时；分别根据的面积是6，列方程求解； （3）由与的面积相等，列出方程可求m的值，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， 又∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：设E为， 分以下两种情况讨论： ①如图，当E在直线上方时，作轴，作连接， 则 ， ∴，， ②当E在直线下方时，同样可得， ∴，， ∴点E的坐标为或； （3）解：存在，设点P的坐标为，由平移得、，则、， 依题意知点P不可能在梯形的上方或线段的右上方或线段左方，故分以下两种情形： ①如图，当点P在梯形的内部时， ∵， ∴， ∴，， ∵， ， ∴， 解得， ∴； ②如图，当点P在梯形的下方时， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点在x轴上， 如图，作轴于G，连接， ， ， ∴， 解得， ∴， 综上所述，P点的坐标为或． 5．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为．且、满足，现同时将点分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点的对应点．连接． (1)求点的坐标； (2)若点E在y轴负半轴上，连接、，如图2，请判断的数量关系？并说明理由； (3)在x轴正半轴上是否存在点M，使三角形的面积是三角形面积的？若存在，请求出点的坐标：若不存在，试说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，点的坐标为 【分析】本题考查了实数的非负性，坐标及其平移，平行线的判定和性质，熟练掌握实数的非负性，平行线的判定和性质，三角形面积坐标表示法是解题的关键． （1）运用非负数的性质，确定a，b的值，得到A，B的坐标，根据平移的规律得到C，D的坐标，根据计算即可． （2）如图，过点E作，则，运用平行线性质证明即可． （3）设点M坐标为，根据面积公式计算即可． 【详解】（1）∵， ∴，， ∴，， 将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D， ∴，， ∵，， ∴， （2）解：，理由如下： 如图，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴； （3）解：∵三角形的面积是三角形面积的 ∴的面积， 当点M在x轴正半轴上时，设点， ∴， ∴， ∴，且点， ∴点或点(不合题意舍去)， ∴当点时，使三角形的面积是三角形面积的． 题型五 平面直角坐标系中新定义型问题 1.精读定义，抓住本质 - 新定义题目会创造一个你没学过的概念，比如"距离"或"图形" - 逐字阅读，找出定义中的关键词和限制条件 - 用自己的话重新解释这个定义，确保完全理解 2.结合图形，辅助理解 - 题目通常会给出坐标系和相关点的坐标 - 在草稿纸上画出坐标系和点的位置 - 对照图形理解新定义，会清晰很多 3.套用定义，模仿解题 - 理解定义后，严格按照定义要求解题 - 题目会给示例，或让你判断某个点是否符合定义 - 模仿示例的步骤，代入具体数值进行计算和验证 1．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． (1)点的“长距”为_____； (2)若点的长距为4，且点在第二象限内，点的坐标为，试说明：点是“完美点”； (3)若点是“完美点”，求的值． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，理解“长距”和“完美点”的定义是解题的关键． （1）点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值，据此求出点A到x轴和到y轴的距离，再根据“长距”的定义求解即可； （2）求出点C到x轴和到y轴的距离，再根据“长距”的定义求出b的值，进而得到点D的坐标，再求出点D到x轴和到y轴的距离，最后根据“完美点”的证明即可； （3）求出点B到x轴和到y轴的距离，再根据根据“完美点”的定义建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为， ∴点A到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∵， ∴点的“长距”为5， 故答案为：5； （2）证明：∵， ∴点C到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∵点的长距为4， ∴， ∵点在第二象限内， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∴点D到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∴点D到轴、轴的距离相等 ∴点是“完美点”； （3）解：∵， ∴点B到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∵点是“完美点”， ∴， ∴或， ∴或． 2．（23-24七年级下·四川泸州·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a阶华益点”（其中a为常数，且）．例如：点的“2阶华益点”为点，即点Q的坐标为． (1)若点P的坐标为，求它的“3阶华益点”的坐标； (2)已知、、，其中点P的“1阶华益点”为Q，求的面积． (3)若点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点，点的“阶华益点”位于坐标轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)4 (3)P2的坐标为或 【分析】本题考查了根据新定义求点的坐标． （1）根据派生点的定义，结合点的坐标计算后即可得出结论； （2）先根据定义求出Q的坐标，再根据割补法计算即可； （3）先根据点的平移特点得出点的坐标为，再由派生点的定义和点的“阶华益点”位于坐标轴上，即可求出的坐标． 【详解】（1）解：根据新定义， ∴点的“3阶华益点”的坐标为； （2）解：∵，， ∴点P的“1阶华益点”Q的坐标为， ∴的面积为； （3）解：∵点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点 ∴点 ∴的“阶华益点”为： 即 当点在x轴上 解得： 当点在y轴上 解得： ∴点的坐标或． 3．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点和点的关联值如下：若，，在一条直线上，；若，，不在一条直线上，（且）．已知点坐标为点坐标为，回答下列问题：        (1)_____； (2)若，，则点坐标为_____； (3)若，且点的纵坐标为2，求点的坐标； (4)若点和点的关联值满足，请在平面直角坐标系中画出满足条件的所有的点形成的路径图形． 【答案】(1)8 (2)或， (3)或． (4)见详解 【分析】本题考查了，坐标与图形及坐标系中三角形面积问题，解题的关键是：熟练应用数形结合的思想解决问题． （1）根据题中的定义直接回答即可； （2）由可得点P在x轴上，由可得，据此求出点P的坐标； （3）设点P的坐标为：，分别求出，，根据已知条件可得出，解方程即可点P的坐标． （4）根据可得点P在一三象限的角平分线，二四象限的角平分线上，据此画出图象即可． 【详解】（1）解：∵点A坐标为点B坐标为， ∴， 故答案为：8， （2）解：∵， ∴点P在x轴上， ∵ ∴， 设， ∴， 解得：， ∴或， 故答案为：或， （3）解：设点P的坐标为：， ，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴或． （4）解：解：设点P坐标为，则：， ∴． ∴或， 即为一三象限和二四象限的角平分线． 画图如下： 4．（25-26八年级上·全国·期末）新定义：对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”． 例如：的“2属派生点”为，即． (1)点的“2属派生点”的坐标为________； (2)若点的“3属派生点”的坐标为，则点的坐标为________； (3)若点在轴的正半轴上，点的“属派生点”为点，且线段的长度为线段长度的2倍，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了坐标与图形： （1）根据“k属派生点”的定义即可得； （2）设点的坐标为，根据“k属派生点”的定义列方程组求解即可； （3）根据题意得点的坐标为，点的坐标为，求出和，根据线段的长度为线段长度的2倍列方程求解即可 【详解】（1）解：点的“2属派生点”的坐标为， 即， 故答案为：； （2）解：设点的坐标为， 由题意知， 解得：， 即点的坐标为， 故答案为：； （3）解：∵点在轴的正半轴上， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴线段的长为到轴距离为， ∵在轴正半轴，线段的长为， ∴，即， ∴． 5．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：点P到x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． (1)已知点A的坐标为 ①点，，中，与点A为“等距点”的是____； ②若点M的坐标为，且A，M两点为“等距点”，求出点M的坐标； (2)若点与点两点为“等距点”，在y轴上有一点，连接，，，．若三角形的面积为三角形的面积的倍时，求出b的值． 【答案】(1)①C，D；②点或 (2)或 【分析】本题考查了根据新定义求点的坐标，绝对值方程． （1）①根据“等距点”的定义作答即可； ②根据“等距点”的定义列出方程即的取值范围，再计算即可； （2）根据“等距点”的定义求出，或，，根据面积法列方程计算即可． 【详解】（1）①解：点到x，y轴的距离中的最大值为4， 到x，y轴的距离中的最大值为，不是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 故答案为：C，D； ②解：∵A，M两点为“等距点” ∴或且， 解得：，，且 ∴或 ∴点或 （2）解：∵点与点两点为“等距点” ∴或 解得： ∴，或，（舍去）或，或，（舍去） ∴，或，， 当，时 分别过点E，F向x轴作垂线，垂足为P，Q，过点F向y轴作垂线，垂足为K ∴ ∴ ∴ ∴ ∴    当，时 与y轴交于点K ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 综上所述，或    6．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，我们称点是点的等距平移点，其中为等距平移常量．例如：当时，点的等距平移点为． (1)①当等距平移常量时，点坐标为，则它的等距平移点的坐标为________； ②若点坐标为，它的等距平移点的坐标为，则等距平移常量________． (2)若点在轴上，且它的等距平移点的坐标为，其中为等距平移常量，为坐标原点，求的面积； (3)点的等距平移点是，其中为等距平移常量，若，且其中一个点到轴的距离等于另一个点到轴的距离的2倍，求的值． 【答案】(1)①，② (2) (3)或或或3 【分析】本题考查了坐标变换、等距平移点的定义及几何图形的面积计算，解题的关键在于根据定义准确计算坐标，利用绝对值条件分类讨论，以及灵活运用几何公式求解面积． （1）直接应用定义计算坐标； （2）需结合点的位置与坐标关系求解面积； （3）需联立方程并分类讨论绝对值条件． 【详解】（1）解： ①由定义，N的坐标为：， 故N的坐标为； 故答案为：， 根据定义：， ，解得； 检验：当时，，成立， 故答案为：3． （2）设M为，根据定义，N的坐标为：，解得， ， ，解得，， ， 的坐标为， ，即N为， O为原点， ． （3）N的坐标为， ， ， ， 验证：，符合题意， 其中一个点到轴的距离等于另一个点到轴的距离的2倍， |或， 因，分情况讨论： 情况一： 即，分四种情况： ①：且（即）， 方程变为，解得 ，符合题意； ②：且（即） ，此时， 方程为：解得，，符合题意； ③：且（即） 此时， 方程为：，解得， 不合题意，舍去； ④：且（即且），矛盾，无解； 综上，情况一所有可能的a值为． 情况二： 即|，分四种情况： ①：且（即） ， 方程变为，解得 ，符合题意； ②：且（即） 此时， 方程为：，解得，不合题意，舍去； ③：且（即） 此时， 方程为：，解得， 符合题意； ④：且（矛盾），无解， 综上，情况二解为或． 综上所述，的值为或或或3． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题01平面直角坐标系的五大题型 题型一点到坐标轴的距离 题型二平面直角坐标系点的特征 平面直角坐标系 题型三在平面直角坐标系中求图形的面积 的五大题型 题型四与图形面积相关的点的存在性问题 题型五平面直角坐标系中新定义型问题 / 德点璃 题型一点到坐标轴的距离 嫁方法 1.点到x轴的距离 这个距离等于该点的纵坐标的绝对值。 例如，点P(3,-5)到x轴的距离就是|-5引=5。 2.点到y轴的距离 这个距离等于该点的横坐标的绝对值。 例如，点P(3,-5)到y轴的距离就是|3=3。 记忆口诀： 到x轴，看y值 到y轴，看x值 不管正负，都取绝对值 1.(25-26八年级上·广东佛山阶段练习)已知点P(-2,-3),它到x轴的距离是」 2.(25-26八年级上广东佛山阶段练习)点A的坐标为(4,3)，它到y轴的距离为 3.(24-25七年级下江苏南京期中)若√a+5+|2025-2b=0,则点P(a,b)到x轴的距离是 一，到y 1/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 轴的距离是 4.(25-26八年级上·全国·随堂练习)点P在第一象限，且到x轴的距离为1，到y轴的距离为4，则点P的 坐标为 5.(24-25七年级下·福建南平期末)已知点P(1-2m,m+3在第二象限，且点P到x轴的距离与到y轴的距 离相等，则m的值为一： 6.(23-24七年级下·全国期末)在平面直角坐标系中，点P在y轴的右侧，距x轴3个单位，距y轴2个 单位，则P点坐标为 7.(24-25七年级下广东广州期末)在平面直角坐标系x0y中，对于点P(x,y),若点Q的坐标为 (ax+y,x+ay),其中a为常数，则称点Q是点P的a级关联点”.如：点P(2,1)的3级关联点” 0(3×2+1,2+3×1,即0(7,5. (1)点A(3,4)的2级关联点”的坐标是 (2)己知点B(2b-1,b+2)的“-2级关联点”C到x轴、y轴的距离相等，则点C的坐标是 题型二平面直角坐标系点的特征 啸方法 1.点在坐标轴上 -在x轴上：纵坐标等于0。 -在y轴上：横坐标等于0。 -在原点：横、纵坐标都等于0。 2.点在各象限内 记住每个象限内点的坐标符号规律： 第一象限：（正，正） 第二象限：（负，正） 第三象限：（负，负） 、 第四象限：（正，负） 3.点到坐标轴的距离 、 到x轴的距离：等于纵坐标的绝对值。 ~到y轴的距离：等于横坐标的绝对值。 1.(25-26八年级上全国课后作业)在平面直角坐标系中，有一点P(2a-4,a-2). (1)若点P在y轴上，求a的值； 2/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若点P在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求点P的坐标. 2.(25-26八年级上·陕西西安·阶段练习)已知点A(m-1,2m+3)是平面直角坐标系中的一点. (1)若点A在y轴上，求点A的坐标： (2)若点B的坐标为5,1，且AB∥x轴，求点A的坐标， 3.(25-26八年级上·安微准北阶段练习)在平面直角坐标系中，已知点P(2m-4,1-m】 (1)若点P的横坐标比纵坐标大7，求点P的坐标. (2)若点P在坐标轴上，求m的值 (3)若点P到x轴与到y轴的距离相等，求m的值. 4.(25-26八年级上全国·课后作业)已知点P(2a-3,a+6),解答下列各题. (1)点P在x轴上，求出点P的坐标； (2)点Q的坐标为(3,3)，直线PQ∥y轴，求出点P的坐标； (3)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a225+2024的值. 5.(24-25七年级下.河北邯郸期中)已知平面直角坐标系中有一点N(n+2,2n-3). (I)若点N在x轴上，求此时点N的坐标； (2)若点N在过点A(2,8且与y轴平行的直线上，求此时的值； (3)若点N到x轴的距离与到y轴的距离相等，求点N的坐标。 6.(25-26八年级上，安徽毫州阶段练习)已知点P(2m+4,m-1),请分别根据下列条件，求出点P的坐标. (1)点P在y轴上； (2)点P的纵坐标比横坐标大3： (3)点P在过点A2,-4)且与y轴平行的直线上. 7.(25-26八年级上全国期中)已知点P2m,m+V2),根据下列条件分别求出点P的坐标. (1)点P在x轴上. (2)点P的纵坐标比横坐标大√2. (3)点P到x轴的距离是点P到y轴距离的2倍. 8.(25-26八年级上河北保定·阶段练习)已知点P的坐标为3m-6,m+1),试分别根据下列条件，求出点 P的坐标. 3/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)点P在y轴上. (2)点P在过点A(-3,5)且与y轴平行的直线上. (3)若点P在第三象限，且点P到x轴的距离是2，求点P的坐标. 9.(25-26八年级上·四川成都阶段练习)已知平面直角坐标系中有一点N(n+2,2n-3). (I)若点N[在x轴上，求此时点W的坐标： (②)若点N在过点A(2,8)且与卫轴平行的直线上，求此时a的值； (3)若点N到x轴的距离与到卫轴的距离相等，求点N的坐标. 题型三在平面直角坐标系中求图形的面积 城方法 1.利用坐标求长度 这是计算面积的基础。 水平方向的线段长度，用横坐标之差的绝对值来计算。 垂直方向的线段长度，用纵坐标之差的绝对值来计算。 2.割补法求面积 这是最常用的技巧。 - 补：把不规则图形补成一个大的长方形或梯形。 割：用大图形面积减去周围空白的小图形面积。 最终得到原图形的面积。 1.(24-25七年级下广东中山期末)已知点O(0,0),A(2,2),点B在x轴正半轴上，且三角形A0B的面 积等于3，则点B的坐标是 2.(24-25七年级下.湖北黄石·阶段练习)在平面直角坐标系中，已知点A(m-4,m+2),B(m-4,m), C(m,0),D(2,0),己知三角形ABD的面积是三角形ABC面积的2倍，则m的值为一 3.(24-25七年级下陕西·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知ABC的顶点坐标分别为A(0,3), 88.0),C8,1,若在第二象限内有一点P叫a,,且四边形480P的面积是ABC的面积的子，则点P的 坐标为 4/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A O B 4.(24-25七年级下·江西上饶期末)在平面直角坐标系中，有点A2,4),点B(0,2),若在坐标轴上有一点 C(不与点B重合)，使三角形AOC的面积是三角形AOB面积的2倍，则点C的坐标为 5.(24-25七年级下广东东莞·期末)如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点都落在格点上，各顶点的 坐标分别为：A(-1,-),B(-1,2),C(4,3),完成下列问题. 4 2-1Q 12345x -+一+-+一+- 3 (I)在图中描出A,B,C三点： (2)顺次连接A,B,C三点构成ABC,求ABC的面积. 6.(24-25八年级上全国·课后作业)ABC沿x轴正方向平移10个单位长度得到△DEF，ABC的顶点坐 标如图所示。 Ay A(0,9) B-6,0) C(0.0) (1)点D的坐标是 ,点E的坐标是 (2)求四边形ACED的面积. 7.(24-25七年级下江西宜春期末)如图1，在平面直角坐标系中，0为原点，已知A0,a),B(b,n,且 a,b满足关系式：√a-3+(b-22=0,其中n>0,连接AB,OB. 5/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B 图1 图2 (I)填空：a=,b=,三角形A0B的面积是 (2)如图2，点C是x轴负半轴上一点，连接AC,延长AB与x轴相交于点D. ①当三角形AOC的面积与三角形AOB的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形OBD的面积等于三角形AOB面积的一半，三角形ACD的面积等于12，求点B,C,D的坐标， 8.(24-25七年级下·湖北武汉期末)在平面直角坐标系中，已知A(1,3),B(5,1),过C(-1,m的直线1平行 于y轴，平移线段AB至线段DC(点A的对应点是点D,点B的对应点是点C 八 B B D< C 图1 图2 图3 (1)如图1，当m=0时. ①直接写出点D的坐标： ②连接AC,AD,求△ACD的面积； (2)已知点P在线段AB上，连接PC,PD,记△PCD的面积为S. ①如图2，当m<0时，若S=13,求m的值； ②如图3，若10≤S<13,直接写出m的取值范围. 题型四与图形面积相关的点的存在性问题 6/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 啸方法 1.先假设，后求解 先假设满足条件的点是存在的 把这个点的坐标或位置设为未知数 目标是通过计算验证假设是否成立 2.用面积列方程 这是解题的核心步骤 用未知数表示出所求图形的底和高 根据题目给出的面积关系列出方程 3.求解并检验 解出方程，得到未知数的值 检验这些解是否符合题目的实际情况 比如点是否在线段上，或者在指定的范围内 1.(25-26八年级上·安徽准北阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别为 (0,a,(b,0),(c,a,且a,b,c满足关系式Va-4+(c+5)+b+3=0. (1)求A,B,C三点的坐标； (2)若在第四象限内有一点P(2,n),请用含的式子表示四边形0PBC的面积； (3)在(2)的条件下，当n=-2时，在y轴上是否存在点M,使三角形B0M的面积等于四边形OPBC面积 的？若存在，诗求出点M的坐标：若不存在，储说明理由， 2.(24-25七年级下陕西期中)如图，在平面直角坐标系中，己知点Aα，0)，点B(0,b),点C(0,-4),且 a=4,b=(-2 y个 (1)点A的坐标为 点B的坐标为 7/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)将线段AB平移得到线段CD,点A的对应点是点C,求三角形BCD的面积； (3)在(2)的条件下，过点D作DE⊥x轴于点E,请问在射线EO上，是否存在点P,使得三角形PCD的面 积等于三角形BCD面积的一半？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由 3.(24-25七年级下.甘肃武威期末)如图(1)：在平面直角坐标系中，点Aa,0),点C(c,4),点B(6,0), 且a与c满足条件a+5+Vc-4=0; B衣 B 图1 图2 (1)求a,c的值以及点A,C的坐标， (2)如图(2)：在y轴上是否存在一点P,使△ABP的面积等于ABC面积的2倍，若存在，求出点P的坐标， 若不存在，说明理由. (3)线段CD=5,CD∥x轴，直接写出D点坐标. 4.(24-25七年级下·湖北成宁.期中)在平面直角坐标系中A-a,b)、B(a,a,a、b满足 V2a-4+3a+b-12=0. A A· B B 0 0 图1 图2 图3 (I)如图1，求点A、B的坐标； (②)如图2，y轴上有一点E,△ABE的面积是6，求点E的坐标： (3)如图3，将线段AB沿x轴的正方向平移4个单位长度，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、 C,在坐标平面内是否存在点P(x,y)(0<x<6),使得△PAD与△PBC的面积相等，且△PCD与△PAB的面 积相等？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由. 8/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔期末)如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为 A(0,a,B(b,a.且a、b满足(a+b-6)2+√b-a-2=0,现同时将点A,B分别向下平移2个单位，再向左 平移1个单位，分别得到点A,B的对应点C,D.连接AC,BD,AB,BC. VA A 2 D 3 图1 图2 各用图 (I)求点C,D的坐标； (2)若点E在y轴负半轴上，连接BE、DE,如图2，请判断∠1，∠2，∠3的数量关系？并说明理由： 5 (3)在x轴正半轴上是否存在点M,使三角形BMD的面积是三角形BCD面积的二？若存在，请求出点M的 4 坐标：若不存在，试说明理由. 题型五 平面直角坐标系中新定义型问题 嫦方法 1.精读定义，抓住本质 新定义题目会创造一个你没学过的概念，比如”距离”或”图形” 逐字阅读，找出定义中的关键词和限制条件 用自己的话重新解释这个定义，确保完全理解 2.结合图形，辅助理解 题目通常会给出坐标系和相关点的坐标 在草稿纸上画出坐标系和点的位置 对照图形理解新定义，会清晰很多 3.套用定义，模仿解题 理解定义后，严格按照定义要求解题 题目会给示例，或让你判断某个点是否符合定义 模仿示例的步骤，代入具体数值进行计算和验证 1.(25-26八年级上陕西西安阶段练习)在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的 较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”. (1)点A(-3,5)的“长距”为； (2)若点C-2,3b-2的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为9-2b,-5),试说明：点D是“完美点”； 9/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)若点B(4-2a,-2)是“完美点”，求a的值. 2.(23-24七年级下·四川泸州期中)在平面直角坐标系x0y中，对于点P(x,y),若点Q的坐标为 (ax+y,x+ay),则称点Q是点P的“a阶华益点”（其中a为常数，且a≠0）.例如：点P(1,4的“2阶华益 点”为点0(2×1+4,1+2×4)，即点Q的坐标为6,9). (I)若点P的坐标为-1,5)，求它的3阶华益点的坐标： (2)已知A(2,0)、B(0,2)、P1,2),其中点P的“1阶华益点”为Q,求△AB2的面积. (3)若点P(c+1,2c-1先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点P,点P的“-3阶华 益点”P位于坐标轴上，求点的坐标 3.(24-25七年级下·湖北襄阳·期末)在平面直角坐标系中，0是坐标原点，定义点A和点B的关联值A,B] 如下：若O,A,B在一条直线上，[A,B=0;若O,A,B不在一条直线上，[A,B]=So4B(且SoB>0) 己知点A坐标为4,0)点B坐标为(0,4)，回答下列问题： (1)[A,B]=; (2)若{P,A=0,[P,B]=1,则点P坐标为； (3)若P,4=2[P,B],且点P的纵坐标为2，求点P的坐标； (④)若点A和点B的关联值满足[P,A=[P,B],请在平面直角坐标系中画出满足条件的所有的点P形成的路 径图形. 4.(25-26八年级上·全国期末)新定义：对于平面直角坐标系x0y中的点P(a,b,若点P的坐标为 (a+kb,ka+b)(其中k为常数，且k≠0)，则称点P为点P的“k属派生点”. 例如：P1,4的2属派生点”为P'(1+2×4,2×1+4,即P'(9,6). 10/11