第三章 函数的概念与性质-【学霸笔记】2025-2026学年高中数学必修第一册单元培优双测卷（人教A版）

第三章 函数的概念与性质 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上1.[2025深圳实验学校高一阶段考试]函数f(x)=+的定义域为(　　) A.[2,+∞) B.[2,3) C.(3,+∞) D.[2,3)∪(3,+∞) 2.[2025宜春中学高一期中]在下列函数中,与函数y=是同一个函数的为(　　) A.y= B.y= C.y= D.y= 3.[2025江苏淮安期中改编]若函数f(+1)=x+,则f(x)的解析式为(　　) A.f(x)=x2+x(x≥0) B.f(x)=x2+x(x≥1) C.f(x)=x2-x(x≥0) D.f(x)=x2-x(x≥1) 4.[2024成都七中入学考试]若函数f(x)=x2+ax+1是定义在(-b,2b-2)上的偶函数,则f()=(　　) A. B. C. D.2 5.[2024黄冈中学高一期末]函数f(x)=的图象大致是(　　) 6.[2025武汉二中、孝感高中等校高一联考]已知幂函数f(x)=(3m2-m-1)x3m-1是定义域上的奇函数,则满足f(a+2)<f(4-2a)的实数a的取值范围为(　　) A.(,+∞) B.(-∞,-2)∪(,2) C.(-∞,2) D.(-∞,-2)∪(-2,2) 7.[2024东北师大附中高一期中]已知函数f(x)=的定义域为[0,+∞),则函数f(x)的值域为(　　) A.[0,+∞) B.[2,+∞) C.[0,] D.[,+∞) 8.[扬州中学高一期末]已知定义域为R的函数f(x)为偶函数,且f(x)在[0,+∞)内单调递减,记a=f(-),b=f(),c=f(-t2+t-1),则a,b,c的大小关系为 (　　 ) A.a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<a<c 2、 选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.[2025铜陵一中高一期末]已知幂函数f(x)=xα,则下列结论正确的是(　　) A.函数y=f(x)的图象都经过点(0,0),(1,1) B.函数y=f(x)的图象不经过第四象限 C.若α>0,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增 D.若α=2,则对任意实数x1,x2,有f()≤ 10.[2025湘潭一中高一期末]已知函数f(x)=则下列结论正确的是(　　) A.若f(f(0))=0,则a= B.若f(x)在R上单调递增,则a的值可以为 C.存在a,使得f(x)在(-∞,3]上单调递减 D.若f(x)的值域为R,则a的取值范围为[,+∞) 11.[2025临川一中高一期末]已知函数f(x)的定义域是R,对任意的实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2 025,且f(1)=0,当x>1时,f(x)>0,则下列结论正确的是(　　) A.f(0)=-2 025 B.f(-2)=6 075 C.函数f(x)为R上的增函数 D.函数f(x)+2 025为奇函数 三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分 12.[2025北大附中高一期中]函数f(x)=|x(x-2)|的单调递减区间是　　　　.  13.[2025北京二中期中]已知函数f(x)=则函数f(x)的最小值为　　　　;若函数f(x)满足f(x)≤x+,则x的取值范围是　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)  14.[2025杭州师大附中高一期中]如图所示,某校园里有一块矩形空地ABCD,要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地(图中四边形EFGH),使其四个顶点分别落在矩形的四条边上.已知AB=a(2<a<6),BC=2,且AE=AH=CF=CG,设AE=x,绿地面积为y,则绿地面积y的最大值为　　　　.(用含a的式子作答)  四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)[2024青岛五十八中高一期中]已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,有f(x)=. (1)求函数f(x)的解析式; (2)判断函数f(x)在[0,+∞)上的单调性,并用定义证明. 16.(15分)[2024山东省德州市高一期末]已知幂函数f(x)=(m2-m-1)在(0,+∞)上满足f(2)<f(4),函数g(x)=2x-k. (1)求m的值; (2)当x∈[1,2)时,记f(x),g(x)的值域分别为A,B,设p:x∈A,q:x∈B,若p是q成立的必要不充分条件,求实数k的取值范围. 17.(15分)[2025荆州中学高一月考]学习机是一种电子教学类产品,根据市场调查,某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元,每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完,每万部的销售收入为R(x)万元,且R(x)=当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时,年利润为1 196万元;当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时,年利润为2 960万元. (1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万部)的函数解析式; (2)当年产量为多少万部时,公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润. 18.(17分)[2025上海实验学校高一期末]已知函数y=f(x)的表达式为f(x)=,且f(x)+f()=-1(x≠0). (1)求实数a的值,并判断函数y=f(x)的奇偶性; (2)判断函数y=f(x)的单调性,并证明; (3)解关于x的不等式f(x)+f()+1<0. 19.(17分)【探索新定义】[2024上海市行知中学高一期末]若函数y=f(x)与y=g(x)满足:对任意x1,x2∈D,都有|f(x1)-f(x2)|≥|g(x1)-g(x2)|,则称函数y=f(x)是函数y=g(x)在集合D上的“约束函数”.已知函数y=f(x)是函数y=g(x)在集合D上的“约束函数”. (1)若f(x)=|x|,D=R,判断函数y=g(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若f(x)=ax2+2x+1,g(x)=x2+ax,其中a>0,D=(0,+∞),求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上1.[2025深圳实验学校高一阶段考试]函数f(x)=+的定义域为(　　) A.[2,+∞) B.[2,3) C.(3,+∞) D.[2,3)∪(3,+∞) 1.D　函数f(x)=+,若函数有意义,则解得x≥2且x≠3,所以函数f(x)=+的定义域是[2,3)∪(3,+∞). 2.[2025宜春中学高一期中]在下列函数中,与函数y=是同一个函数的为(　　) A.y= B.y= C.y= D.y= 2.A　当一个函数的对应关系和定义域确定后,其值域就随之确定,所以两个函数当且仅当定义域与对应关系相同时,才为同一个函数.原函数可化简为y==x(x∈R). A(√)y==x(x∈R),与原函数为同一个函数. B(✕)y==x(x≠-1),与原函数不是同一个函数. C(✕)y==|x|(x∈R),与原函数不是同一个函数. D(✕)y==(x≠0),与原函数不是同一个函数. 3.[2025江苏淮安期中改编]若函数f(+1)=x+,则f(x)的解析式为(　　) A.f(x)=x2+x(x≥0) B.f(x)=x2+x(x≥1) C.f(x)=x2-x(x≥0) D.f(x)=x2-x(x≥1) 3.D　因为f(+1)=x+,设t=+1,则t≥1(换元法,需注意新元的取值范围),所以f(t)=(t-1)2+(t-1)=t2-t,则f(x)=x2-x(x≥1). 4.[2024成都七中入学考试]若函数f(x)=x2+ax+1是定义在(-b,2b-2)上的偶函数,则f()=(　　) A. B. C. D.2 4.D　偶函数+函数值的求解 思路导引　利用偶函数的定义可计算a,b的值,再根据解析式计算函数值即可. 因为函数f(x)=x2+ax+1是定义在(-b,2b-2)上的偶函数(注意:奇、偶函数的定义域关于原点对称),所以-b+2b-2=0且f(-x)=x2-ax+1=x2+ax+1=f(x),则所以f(x)=x2+1,则f()=f(1)=12+1=2. 5.[2024黄冈中学高一期末]函数f(x)=的图象大致是(　　) 5.A　∵1-x2≥0且|x+1|-1≠0,∴-1≤x≤1且x≠0,x≠-2,∴函数f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称,f(x)=x,f(-x)=-x=-x=-f(x),∴函数f(x)为奇函数,排除C,D;f()=>0,排除B.故选A. 6.[2025武汉二中、孝感高中等校高一联考]已知幂函数f(x)=(3m2-m-1)x3m-1是定义域上的奇函数,则满足f(a+2)<f(4-2a)的实数a的取值范围为(　　) A.(,+∞) B.(-∞,-2)∪(,2) C.(-∞,2) D.(-∞,-2)∪(-2,2) 6.B　因为f(x)=(3m2-m-1)x3m-1为幂函数,所以3m2-m-1=1,解得m=1或m=-.当m=1时,f(x)=x2,此时f(x)为偶函数,不符合题意;当m=-时,f(x)=x-3,此时f(x)为奇函数,符合题意.所以f(x)=x-3,则f(x)的定义域为{x|x≠0},函数f(x)在(0,+∞)上单调递减且函数值恒大于0,则f(x)在(-∞,0)上单调递减且函数值恒小于0,所以不等式f(a+2)<f(4-2a),即a+2>4-2a>0或0>a+2>4-2a或解得<a<2或a<-2,所以实数a的取值范围为(-∞,-2)∪(,2). 7.[2024东北师大附中高一期中]已知函数f(x)=的定义域为[0,+∞),则函数f(x)的值域为(　　) A.[0,+∞) B.[2,+∞) C.[0,] D.[,+∞) 7.C　函数的值域 思路导引　当x∈(0,+∞)时,f(x)=,利用对勾函数的单调性求得t(x)=x+的值域,进而求f(x)在(0,+∞)上的值域,最后结合f(0)=0进而得解. f(x)=,定义域为[0,+∞),且f(0)=0,当x∈(0,+∞)时,f(x)==.令t(x)=x+,x∈(0,+∞),由对勾函数的单调性知,当x∈(0,1)时,函数t(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,函数t(x)单调递增.所以t(x)min=t(1)=2,即t(x)≥2,所以当x∈(0,+∞)时,0<f(x)≤,又f(0)=0,所以当x∈[0,+∞)时,函数f(x)的值域为[0,]. 8.[扬州中学高一期末]已知定义域为R的函数f(x)为偶函数,且f(x)在[0,+∞)内单调递减,记a=f(-),b=f(),c=f(-t2+t-1),则a,b,c的大小关系为 (　　 ) A.a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<a<c 8.B　因为f(x)为偶函数且在[0,+∞)内单调递减,所以f(x)在(-∞,0)内单调递增.-t2+t-1=-(t-)2-≤-,而b=f()=f(-),因为->->-,所以f(-)>f(-)>f(-)≥f(-t2+t-1),所以b>a>c. 2、 选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.[2025铜陵一中高一期末]已知幂函数f(x)=xα,则下列结论正确的是(　　) A.函数y=f(x)的图象都经过点(0,0),(1,1) B.函数y=f(x)的图象不经过第四象限 C.若α>0,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增 D.若α=2,则对任意实数x1,x2,有f()≤ 9.BCD　A(✕)当α=-1时,f(x)=,图象不经过点(0,0). B(√)当x>0时,xα>0,故图象不经过第四象限. C(√)若α>0,由幂函数的性质知,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增. D(√)f(x)=x2,f()=()2=,=,故f()-=-==≤0,当且仅当x1=x2时,等号成立,故f()≤. 10.[2025湘潭一中高一期末]已知函数f(x)=则下列结论正确的是(　　) A.若f(f(0))=0,则a= B.若f(x)在R上单调递增,则a的值可以为 C.存在a,使得f(x)在(-∞,3]上单调递减 D.若f(x)的值域为R,则a的取值范围为[,+∞) 10.AD　A(√)由题意得f(0)=3,得f(f(0))=f(3)=9-6a+2a=(求分段函数的函数值时,关键是判断出自变量的取值所处的区间,再代入相应的函数解析式),得a=. B(✕)若f(x)在R上单调递增,则得 0<a≤(解决此类分段函数的单调性问题时,一般从两个方面思考:一方面每个分段区间上函数具有相同的单调性,由此列出相关式子;另一方面要考虑区间端点处的衔接情况,由此列出另一相关式子,求解即可),故a=不符合题意. C(✕)若f(x)在(-∞,3]上单调递减,则不等式组无解(单调区间是一个整体概念,比如说函数的单调递减区间是I,指的是函数单调递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调递减(增),则指此区间是相应单调递减(增)区间的子区间,因此我们在解决函数的单调性问题时,不能混淆“单调区间”和“在区间上单调”这两个概念). D(√)若f(x)的值域为R,则a>0,得f(x)在(-∞,2)上单调递增.当0<a≤2时,f(x)在[2,+∞)上单调递增,则2a+3≥4-4a+2a,得a≥,即≤a≤2;当a>2时,f(x)在(2,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,则2a+3≥a2-2a2+2a,得a2+3≥0恒成立,即a>2符合题意.综上,a的取值范围为[,+∞). 11.[2025临川一中高一期末]已知函数f(x)的定义域是R,对任意的实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2 025,且f(1)=0,当x>1时,f(x)>0,则下列结论正确的是(　　) A.f(0)=-2 025 B.f(-2)=6 075 C.函数f(x)为R上的增函数 D.函数f(x)+2 025为奇函数 11.ACD　定义法判断函数的单调性+抽象函数的奇偶性 思路导引　令x=y=0,求出f(0)的值,可判断A选项;令x=1,y=-1可求出f(-1)的值,再令x=y=-1,可求出f(-2)的值,可判断B选项;推导出当x>0时,f(x)>-2 025,然后利用函数单调性的定义可判断C选项;令g(x)=f(x)+2 025,可知g(0)=0,再令y=-x,结合函数奇偶性的定义可判断D选项. A(√)对任意的实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2 025,令x=y=0可得f(0)=2f(0)+2 025,解得f(0)=-2 025. B(✕)令x=1,y=-1可得f(0)=f(1)+f(-1)+2 025,即-2 025=0+f(-1)+2 025,解得f(-1)=-4 050,再令x=y=-1可得f(-2)=2f(-1)+2 025=2×(-4 050)+2 025=-6 075. C(√)由题意可知,当x>1时,f(x)>0,即x-1>0时,f(x-1)=f(x)+f(-1)+2 025=f(x)-2 025>-2 025,故当x>0时,f(x)>-2 025.任取x1,x2∈R且x1<x2,则f(x2)=f(x2-x1)+f(x1)+2 025>-2 025+f(x1)+2 025=f(x1),即函数f(x)在R上为增函数(利用定义法判断抽象函数的单调性). D(√)令g(x)=f(x)+2 025,由f(x+y)=f(x)+f(y)+2 025可得f(x+y)+2 025=f(x)+2 025+f(y)+2 025,即g(x+y)=g(x)+g(y),且g(0)=f(0)+2 025=0,令y=-x,则g(x)+g(-x)=g(0)=0,即g(-x)=-g(x),所以函数g(x)=f(x)+2 025为奇函数. 三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分 12.[2025北大附中高一期中]函数f(x)=|x(x-2)|的单调递减区间是　　　　.  12.(-∞,0],[1,2]　根据绝对值的性质作出函数图象,即可得函数的单调区间.把y=x(x-2)的图象位于x轴下方的部分翻折至x轴上方,其余部分不变,据此可得函数f(x)=|x(x-2)|的图象,如图所示: 由图可知函数f(x)=|x(x-2)|的单调递减区间是(-∞,0],[1,2]. 13.[2025北京二中期中]已知函数f(x)=则函数f(x)的最小值为　　　　;若函数f(x)满足f(x)≤x+,则x的取值范围是　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)  13.0　{x|-≤x≤3}　作出f(x)的图象如图所示:   所以当x=时,函数f(x)取得最小值0.当x<0时,f(x)≤x+即1≤x+,解得x≥-,又x<0,所以-≤x<0;当x≥0时,f(x)≤x+即(x-)2≤x+,即x2-2x-3≤0,解得-1≤x≤3,又x≥0,所以0≤x≤3.综上,x的取值范围是{x|-≤x≤3}. 14.[2025杭州师大附中高一期中]如图所示,某校园里有一块矩形空地ABCD,要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地(图中四边形EFGH),使其四个顶点分别落在矩形的四条边上.已知AB=a(2<a<6),BC=2,且AE=AH=CF=CG,设AE=x,绿地面积为y,则绿地面积y的最大值为　　　　.(用含a的式子作答)  14.　利用函数单调性求最值+利用二次函数模型解决实际问题 思路导引　由y=S矩形ABCD-2S△AEH-2S△BEF计算即可得到y关于x的函数关系式,再结合可求得其定义域,最后 研究函数的单调性,可求得其最大值. 由题意,得S△AEH=S△CFG=x2,S△BEF=S△DGH=(a-x)(2-x),所以y=S矩形ABCD-2S△AEH-2S△BEF=2a-2×x2-2×(a-x)(2-x)=-2x2+(a+2)x.又因为所以0<x≤2,故y=-2x2+(a+2)x的定义域为(0,2].因为y=-2x2+(a+2)x=-2(x-)2+,2<a<6,所以1<<2,函数y=-2x2+(a+2)x在(0,)上单调递增,在(,2]上单调递减,所以当x=时,ymax=. 四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)[2024青岛五十八中高一期中]已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,有f(x)=. (1)求函数f(x)的解析式; (2)判断函数f(x)在[0,+∞)上的单调性,并用定义证明. 15.【解析】 (1)由题意,当x<0时,-x>0,可得f(-x)=, 因为函数f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=, 所以函数f(x)的解析式为f(x)=(6分) (2)当x∈[0,+∞)时,f(x)===4-,则f(x)在[0,+∞)上单调递增.(8分) 证明如下:设0≤x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(4-)-(4-)=. 因为0≤x1<x2,所以x1-x2<0,(x1+4)(x2+4)>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 故f(x)在[0,+∞)上单调递增.(13分) 16.(15分)[2024山东省德州市高一期末]已知幂函数f(x)=(m2-m-1)在(0,+∞)上满足f(2)<f(4),函数g(x)=2x-k. (1)求m的值; (2)当x∈[1,2)时,记f(x),g(x)的值域分别为A,B,设p:x∈A,q:x∈B,若p是q成立的必要不充分条件,求实数k的取值范围. 16.幂函数+必要不充分条件 思路导引　(1)根据幂函数的定义求出m的值,再结合f(2)<f(4)进行检验,即可得出实数m的值; (2)求出集合A,B,根据题意可得出B⫋A,得关于实数k的不等式组,即可求得实数k的取值范围. 【解析】 (1)因为函数f(x)=(m2-m-1)为幂函数,所以m2-m-1=1, 即m2-m-2=0,解得m=-1或m=2.(2分) 当m=-1时,f(x)=x2,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,则f(2)<f(4),符合题意, 当m=2时,f(x)=x-16,则f(x)在(0,+∞)上单调递减,则f(2)>f(4),不符合题意. 综上所述,m=-1.(7分) (2)由(1)得f(x)=x2, 当x∈[1,2)时,f(x)∈[1,4),即A=[1,4).(8分) 当x∈[1,2)时,g(x)∈[2-k,4-k),即B=[2-k,4-k).(9分) 由p是q成立的必要不充分条件,知B⫋A.(11分) 显然B≠∅, 则或解得0≤k≤1, 所以实数k的取值范围为[0,1].(15分) 17.(15分)[2025荆州中学高一月考]学习机是一种电子教学类产品,根据市场调查,某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元,每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完,每万部的销售收入为R(x)万元,且R(x)=当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时,年利润为1 196万元;当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时,年利润为2 960万元. (1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万部)的函数解析式; (2)当年产量为多少万部时,公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润. 17.分段函数模型的应用+基本不等式的应用 思路导引　(1)根据题意求出a,b,根据W=xR(x)-(16x+20)分别求出当0<x≤10时和当x>10时的年利润,即可求解; (2)分类讨论,当0<x≤10时根据二次函数的单调性求出最大值,当x>10时,根据基本不等式求出最大值,综合分析即可求解. 【解析】 (1)因为当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时,年利润为1 196万元, 所以(a-4×8)×8-20-8×16=1 196,解得a=200.(2分) 又当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时,年利润为2 960万元, 所以(-)×20-20-20×16=2 960, 解得b=40 000.(4分) 当0<x≤10时,W=xR(x)-(16x+20)=x(200-4x)-(16x+20)=-4x2+184x-20;(6分) 当x>10时,W=xR(x)-(16x+20)=x(-)-(16x+20)=--16x+5 280. 综上,W=(8分) (2)①当0<x≤10时,W=-4(x-23)2+2 096单调递增,所以Wmax=W(10)=1 420;(11分) ②当x>10时,W=--16x+5 280, 由于+16x≥2=1 600, 当且仅当=16x,即x=50>10时取等号, 所以此时W的最大值为5 280-1 600=3 680.(14分) 综合①②知,当x=50时,W取得最大值,最大利润为3 680万元.(15分)  18.(17分)[2025上海实验学校高一期末]已知函数y=f(x)的表达式为f(x)=,且f(x)+f()=-1(x≠0). (1)求实数a的值,并判断函数y=f(x)的奇偶性; (2)判断函数y=f(x)的单调性,并证明; (3)解关于x的不等式f(x)+f()+1<0. 18.【解析】 (1)f()==, 故f(x)+f()=+==1-a=-1,解得a=2.(2分) 则f(x)=, 故f(x)的定义域为R,关于原点对称, 且f(-x)===f(x), 所以y=f(x)为偶函数.(5分) (2)f(x)==-2在[0,+∞)上单调递减,在(-∞,0]上单调递增.(7分) 证明如下: 设x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=-=3×=3×=3×. 因为x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,所以x2-x1>0,x2+x1>0,1+>0,1+>0, 所以3×>0,即f(x1)-f(x2)>0,所以f(x1)>f(x2). 根据函数单调性的定义可知,函数f(x)在[0,+∞)上单调递减. 又因为f(x)是偶函数,所以f(x)在(-∞,0]上单调递增(偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性).(11分) (3)因为f(x)+f()=-1,所以f()=-1-f(x), 由f(x)+f()+1<0得f(x)<-1-f()=f(2x-1)(x≠),(13分) 由函数f(x)的性质得|x|>|2x-1|(x≠), 则⇒ 解得x∈(,)∪(,1). 故该不等式的解集为(,)∪(,1).(17分) 19.(17分)【探索新定义】[2024上海市行知中学高一期末]若函数y=f(x)与y=g(x)满足:对任意x1,x2∈D,都有|f(x1)-f(x2)|≥|g(x1)-g(x2)|,则称函数y=f(x)是函数y=g(x)在集合D上的“约束函数”.已知函数y=f(x)是函数y=g(x)在集合D上的“约束函数”. (1)若f(x)=|x|,D=R,判断函数y=g(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若f(x)=ax2+2x+1,g(x)=x2+ax,其中a>0,D=(0,+∞),求实数a的取值范围. 19.新定义+函数的奇偶性 思路导引　(1)先分析得到f(x)-f(-x)=0,然后根据|f(x1)-f(x2)|≥|g(x1)-g(x2)|得到g(x),g(-x)的关系,由此完成证明; (2)根据题设条件将问题转化为“0<x1≤x2时,f(x2)-g(x2)≥f(x1)-g(x1)”,然后构造h(x)=f(x)-g(x)并对a进行分类讨论,由此求出结果. 【解析】 (1)g(x)是偶函数.(1分) 理由如下:因为f(x)=|x|, 所以对任意x∈R有f(x)-f(-x)=0, 令x1=x,x2=-x,且x1,x2∈R, 因为|f(x1)-f(x2)|≥|g(x1)-g(x2)|, 所以|f(x)-f(-x)|≥|g(x)-g(-x)|, 所以|g(x)-g(-x)|≤0, 所以g(x)=g(-x),且定义域R关于原点对称, 所以g(x)是偶函数.(5分) (2)因为a>0,所以f(x)=ax2+2x+1图象的对称轴为x=-<0,且图象开口向上,g(x)=x2+ax图象的对称轴为x=-<0,且图象开口向上, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,g(x)在(0,+∞)上单调递增.(8分) 不妨假设0<x1≤x2, 所以|f(x1)-f(x2)|≥|g(x1)-g(x2)|⇔f(x2)-f(x1)≥g(x2)-g(x1), 即f(x2)-g(x2)≥f(x1)-g(x1).(9分) 设h(x)=f(x)-g(x)=(a-1)x2+(2-a)x+1, 当a=1时,h(x)=x+1,在(0,+∞)上单调递增,显然满足要求;(11分) 当a>1时,h(x)为二次函数,其图象的对称轴为x=-,图象开口向上,故只需-≤0即可,解得1<a≤2;(13分) 当a<1时,h(x)为二次函数,其图象的对称轴为x=->0,图象开口向下,此时不满足要求.(15分) 综上可知,a的取值范围是[1,2].(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 1.D　函数f(x)=+,若函数有意义,则解得x≥2且x≠3,所以函数f(x)=+的定义域是[2,3)∪(3,+∞). 2.A　当一个函数的对应关系和定义域确定后,其值域就随之确定,所以两个函数当且仅当定义域与对应关系相同时,才为同一个函数.原函数可化简为y==x(x∈R). A(√)y==x(x∈R),与原函数为同一个函数. B(✕)y==x(x≠-1),与原函数不是同一个函数. C(✕)y==|x|(x∈R),与原函数不是同一个函数. D(✕)y==(x≠0),与原函数不是同一个函数. 3.D　因为f(+1)=x+,设t=+1,则t≥1(换元法,需注意新元的取值范围),所以f(t)=(t-1)2+(t-1)=t2-t,则f(x)=x2-x(x≥1). 4.D　偶函数+函数值的求解 思路导引　利用偶函数的定义可计算a,b的值,再根据解析式计算函数值即可. 因为函数f(x)=x2+ax+1是定义在(-b,2b-2)上的偶函数(注意:奇、偶函数的定义域关于原点对称),所以-b+2b-2=0且f(-x)=x2-ax+1=x2+ax+1=f(x),则所以f(x)=x2+1,则f()=f(1)=12+1=2. 5.A　∵1-x2≥0且|x+1|-1≠0,∴-1≤x≤1且x≠0,x≠-2,∴函数f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称,f(x)=x,f(-x)=-x=-x=-f(x),∴函数f(x)为奇函数,排除C,D;f()=>0,排除B.故选A. 6.B　因为f(x)=(3m2-m-1)x3m-1为幂函数,所以3m2-m-1=1,解得m=1或m=-.当m=1时,f(x)=x2,此时f(x)为偶函数,不符合题意;当m=-时,f(x)=x-3,此时f(x)为奇函数,符合题意.所以f(x)=x-3,则f(x)的定义域为{x|x≠0},函数f(x)在(0,+∞)上单调递减且函数值恒大于0,则f(x)在(-∞,0)上单调递减且函数值恒小于0,所以不等式f(a+2)<f(4-2a),即a+2>4-2a>0或0>a+2>4-2a或解得<a<2或a<-2,所以实数a的取值范围为(-∞,-2)∪(,2). 7.C　函数的值域 思路导引　当x∈(0,+∞)时,f(x)=,利用对勾函数的单调性求得t(x)=x+的值域,进而求f(x)在(0,+∞)上的值域,最后结合f(0)=0进而得解. f(x)=,定义域为[0,+∞),且f(0)=0,当x∈(0,+∞)时,f(x)==.令t(x)=x+,x∈(0,+∞),由对勾函数的单调性知,当x∈(0,1)时,函数t(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,函数t(x)单调递增.所以t(x)min=t(1)=2,即t(x)≥2,所以当x∈(0,+∞)时,0<f(x)≤,又f(0)=0,所以当x∈[0,+∞)时,函数f(x)的值域为[0,]. 8.B　因为f(x)为偶函数且在[0,+∞)内单调递减,所以f(x)在(-∞,0)内单调递增.-t2+t-1=-(t-)2-≤-,而b=f()=f(-),因为->->-,所以f(-)>f(-)>f(-)≥f(-t2+t-1),所以b>a>c. 9.BCD　A(✕)当α=-1时,f(x)=,图象不经过点(0,0). B(√)当x>0时,xα>0,故图象不经过第四象限. C(√)若α>0,由幂函数的性质知,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增. D(√)f(x)=x2,f()=()2=,=,故f()-=-==≤0,当且仅当x1=x2时,等号成立,故f()≤. 10.AD　A(√)由题意得f(0)=3,得f(f(0))=f(3)=9-6a+2a=(求分段函数的函数值时,关键是判断出自变量的取值所处的区间,再代入相应的函数解析式),得a=. B(✕)若f(x)在R上单调递增,则得 0<a≤(解决此类分段函数的单调性问题时,一般从两个方面思考:一方面每个分段区间上函数具有相同的单调性,由此列出相关式子;另一方面要考虑区间端点处的衔接情况,由此列出另一相关式子,求解即可),故a=不符合题意. C(✕)若f(x)在(-∞,3]上单调递减,则不等式组无解(单调区间是一个整体概念,比如说函数的单调递减区间是I,指的是函数单调递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调递减(增),则指此区间是相应单调递减(增)区间的子区间,因此我们在解决函数的单调性问题时,不能混淆“单调区间”和“在区间上单调”这两个概念). D(√)若f(x)的值域为R,则a>0,得f(x)在(-∞,2)上单调递增.当0<a≤2时,f(x)在[2,+∞)上单调递增,则2a+3≥4-4a+2a,得a≥,即≤a≤2;当a>2时,f(x)在(2,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,则2a+3≥a2-2a2+2a,得a2+3≥0恒成立,即a>2符合题意.综上,a的取值范围为[,+∞). 11.ACD　定义法判断函数的单调性+抽象函数的奇偶性 思路导引　令x=y=0,求出f(0)的值,可判断A选项;令x=1,y=-1可求出f(-1)的值,再令x=y=-1,可求出f(-2)的值,可判断B选项;推导出当x>0时,f(x)>-2 025,然后利用函数单调性的定义可判断C选项;令g(x)=f(x)+2 025,可知g(0)=0,再令y=-x,结合函数奇偶性的定义可判断D选项. A(√)对任意的实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2 025,令x=y=0可得f(0)=2f(0)+2 025,解得f(0)=-2 025. B(✕)令x=1,y=-1可得f(0)=f(1)+f(-1)+2 025,即-2 025=0+f(-1)+2 025,解得f(-1)=-4 050,再令x=y=-1可得f(-2)=2f(-1)+2 025=2×(-4 050)+2 025=-6 075. C(√)由题意可知,当x>1时,f(x)>0,即x-1>0时,f(x-1)=f(x)+f(-1)+2 025=f(x)-2 025>-2 025,故当x>0时,f(x)>-2 025.任取x1,x2∈R且x1<x2,则f(x2)=f(x2-x1)+f(x1)+2 025>-2 025+f(x1)+2 025=f(x1),即函数f(x)在R上为增函数(利用定义法判断抽象函数的单调性). D(√)令g(x)=f(x)+2 025,由f(x+y)=f(x)+f(y)+2 025可得f(x+y)+2 025=f(x)+2 025+f(y)+2 025,即g(x+y)=g(x)+g(y),且g(0)=f(0)+2 025=0,令y=-x,则g(x)+g(-x)=g(0)=0,即g(-x)=-g(x),所以函数g(x)=f(x)+2 025为奇函数. 12.(-∞,0],[1,2]　根据绝对值的性质作出函数图象,即可得函数的单调区间.把y=x(x-2)的图象位于x轴下方的部分翻折至x轴上方,其余部分不变,据此可得函数f(x)=|x(x-2)|的图象,如图所示: 由图可知函数f(x)=|x(x-2)|的单调递减区间是(-∞,0],[1,2]. 13.0　{x|-≤x≤3}　作出f(x)的图象如图所示:   所以当x=时,函数f(x)取得最小值0.当x<0时,f(x)≤x+即1≤x+,解得x≥-,又x<0,所以-≤x<0;当x≥0时,f(x)≤x+即(x-)2≤x+,即x2-2x-3≤0,解得-1≤x≤3,又x≥0,所以0≤x≤3.综上,x的取值范围是{x|-≤x≤3}. 14.　利用函数单调性求最值+利用二次函数模型解决实际问题 思路导引　由y=S矩形ABCD-2S△AEH-2S△BEF计算即可得到y关于x的函数关系式,再结合可求得其定义域,最后 研究函数的单调性,可求得其最大值. 由题意,得S△AEH=S△CFG=x2,S△BEF=S△DGH=(a-x)(2-x),所以y=S矩形ABCD-2S△AEH-2S△BEF=2a-2×x2-2×(a-x)(2-x)=-2x2+(a+2)x.又因为所以0<x≤2,故y=-2x2+(a+2)x的定义域为(0,2].因为y=-2x2+(a+2)x=-2(x-)2+,2<a<6,所以1<<2,函数y=-2x2+(a+2)x在(0,)上单调递增,在(,2]上单调递减,所以当x=时,ymax=. 15.【解析】 (1)由题意,当x<0时,-x>0,可得f(-x)=, 因为函数f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=, 所以函数f(x)的解析式为f(x)=(6分) (2)当x∈[0,+∞)时,f(x)===4-,则f(x)在[0,+∞)上单调递增.(8分) 证明如下:设0≤x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(4-)-(4-)=. 因为0≤x1<x2,所以x1-x2<0,(x1+4)(x2+4)>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 故f(x)在[0,+∞)上单调递增.(13分) 16.幂函数+必要不充分条件 思路导引　(1)根据幂函数的定义求出m的值,再结合f(2)<f(4)进行检验,即可得出实数m的值; (2)求出集合A,B,根据题意可得出B⫋A,得关于实数k的不等式组,即可求得实数k的取值范围. 【解析】 (1)因为函数f(x)=(m2-m-1)为幂函数,所以m2-m-1=1, 即m2-m-2=0,解得m=-1或m=2.(2分) 当m=-1时,f(x)=x2,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,则f(2)<f(4),符合题意, 当m=2时,f(x)=x-16,则f(x)在(0,+∞)上单调递减,则f(2)>f(4),不符合题意. 综上所述,m=-1.(7分) (2)由(1)得f(x)=x2, 当x∈[1,2)时,f(x)∈[1,4),即A=[1,4).(8分) 当x∈[1,2)时,g(x)∈[2-k,4-k),即B=[2-k,4-k).(9分) 由p是q成立的必要不充分条件,知B⫋A.(11分) 显然B≠∅, 则或解得0≤k≤1, 所以实数k的取值范围为[0,1].(15分) 17.分段函数模型的应用+基本不等式的应用 思路导引　(1)根据题意求出a,b,根据W=xR(x)-(16x+20)分别求出当0<x≤10时和当x>10时的年利润,即可求解; (2)分类讨论,当0<x≤10时根据二次函数的单调性求出最大值,当x>10时,根据基本不等式求出最大值,综合分析即可求解. 【解析】 (1)因为当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时,年利润为1 196万元, 所以(a-4×8)×8-20-8×16=1 196,解得a=200.(2分) 又当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时,年利润为2 960万元, 所以(-)×20-20-20×16=2 960, 解得b=40 000.(4分) 当0<x≤10时,W=xR(x)-(16x+20)=x(200-4x)-(16x+20)=-4x2+184x-20;(6分) 当x>10时,W=xR(x)-(16x+20)=x(-)-(16x+20)=--16x+5 280. 综上,W=(8分) (2)①当0<x≤10时,W=-4(x-23)2+2 096单调递增,所以Wmax=W(10)=1 420;(11分) ②当x>10时,W=--16x+5 280, 由于+16x≥2=1 600, 当且仅当=16x,即x=50>10时取等号, 所以此时W的最大值为5 280-1 600=3 680.(14分) 综合①②知,当x=50时,W取得最大值,最大利润为3 680万元.(15分)  18.【解析】 (1)f()==, 故f(x)+f()=+==1-a=-1,解得a=2.(2分) 则f(x)=, 故f(x)的定义域为R,关于原点对称, 且f(-x)===f(x), 所以y=f(x)为偶函数.(5分) (2)f(x)==-2在[0,+∞)上单调递减,在(-∞,0]上单调递增.(7分) 证明如下: 设x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=-=3×=3×=3×. 因为x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,所以x2-x1>0,x2+x1>0,1+>0,1+>0, 所以3×>0,即f(x1)-f(x2)>0,所以f(x1)>f(x2). 根据函数单调性的定义可知,函数f(x)在[0,+∞)上单调递减. 又因为f(x)是偶函数,所以f(x)在(-∞,0]上单调递增(偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性).(11分) (3)因为f(x)+f()=-1,所以f()=-1-f(x), 由f(x)+f()+1<0得f(x)<-1-f()=f(2x-1)(x≠),(13分) 由函数f(x)的性质得|x|>|2x-1|(x≠), 则⇒ 解得x∈(,)∪(,1). 故该不等式的解集为(,)∪(,1).(17分) 19.新定义+函数的奇偶性 思路导引　(1)先分析得到f(x)-f(-x)=0,然后根据|f(x1)-f(x2)|≥|g(x1)-g(x2)|得到g(x),g(-x)的关系,由此完成证明; (2)根据题设条件将问题转化为“0<x1≤x2时,f(x2)-g(x2)≥f(x1)-g(x1)”,然后构造h(x)=f(x)-g(x)并对a进行分类讨论,由此求出结果. 【解析】 (1)g(x)是偶函数.(1分) 理由如下:因为f(x)=|x|, 所以对任意x∈R有f(x)-f(-x)=0, 令x1=x,x2=-x,且x1,x2∈R, 因为|f(x1)-f(x2)|≥|g(x1)-g(x2)|, 所以|f(x)-f(-x)|≥|g(x)-g(-x)|, 所以|g(x)-g(-x)|≤0, 所以g(x)=g(-x),且定义域R关于原点对称, 所以g(x)是偶函数.(5分) (2)因为a>0,所以f(x)=ax2+2x+1图象的对称轴为x=-<0,且图象开口向上,g(x)=x2+ax图象的对称轴为x=-<0,且图象开口向上, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,g(x)在(0,+∞)上单调递增.(8分) 不妨假设0<x1≤x2, 所以|f(x1)-f(x2)|≥|g(x1)-g(x2)|⇔f(x2)-f(x1)≥g(x2)-g(x1), 即f(x2)-g(x2)≥f(x1)-g(x1).(9分) 设h(x)=f(x)-g(x)=(a-1)x2+(2-a)x+1, 当a=1时,h(x)=x+1,在(0,+∞)上单调递增,显然满足要求;(11分) 当a>1时,h(x)为二次函数,其图象的对称轴为x=-,图象开口向上,故只需-≤0即可,解得1<a≤2;(13分) 当a<1时,h(x)为二次函数,其图象的对称轴为x=->0,图象开口向下,此时不满足要求.(15分) 综上可知,a的取值范围是[1,2].(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $