第3章 双曲线（高效培优单元测试·提升卷）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

第三章 双曲线（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.双曲线离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. y=±2x B. y= C. D. 【答案】B 【分析】根据双曲线方程及离心率直接可得解. 【解析】双曲线的离心率为，渐进性方程为，计算得，故渐进性方程为. 故选：B 2.设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程表示焦点在轴上的双曲线列式计算求解. 【解析】方程表示焦点在轴上的双曲线， 由题意可得 解得， 故选：B． 3.双曲线的焦点坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据双曲线方程及焦点坐标直接可得解. 【解析】由已知双曲线的焦点为，则 双曲线方程为， 则， 解得， 故选：A. 4.已知，若动点满足直线与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直接法可得轨迹方程。. 【解析】设，由题意可得，整理可得， 即动点的轨迹方程为， 故选：A 5.已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由题设双曲线的方程为，进而待定系数求解即可. 【解析】由双曲线与双曲线有相同的渐近线，故可设双曲线的方程为， 又因为过点，所以，解得， 所以，双曲线的标准方程是． 故选：A． 6.若双曲线的渐近线与圆：相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】双曲线的渐近线与圆相交，则圆心到渐近线的距离小于半径，解出的不等式代入离心率算式即可． 【解析】由圆化为标准方程，得到圆心，半径． 双曲线的渐近线与圆相交， 则圆心到渐近线的距离小于半径，即，可得，∴，即，又∵， ． 该双曲线的离心率的取值范围是． 故选：A． 7.设为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】利用点差法、联立方程组的方法来求得正确答案. 【解析】双曲线对应，， 设，则， 两式相减并化简得， 由于，所以， 而B选项中，点，对应，所以B选项错误. C选项中，点，对应，所以C选项错误. A选项，点，对应，所以， 则直线的方程为， 由消去并化简得，， 所以方程组无解，所以A选项错误. D选项，点，对应，所以， 则直线的方程为， 由消去并化简得， ，所以D选项正确. 故选：D 8.已知椭圆与双曲线具有相同的左、右焦点，，点为它们在第一象限的交点，动点在曲线上，若记曲线，的离心率分别为，，满足，且直线与轴的交点的坐标为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据椭圆、双曲线的定义可得，结合离心率可得，在中，利用余弦定理可得，进而结合椭圆性质可知：当为椭圆短轴顶点时，取到最大值，分析求解即可. 【解析】由题意可知：，解得， 又因为，可得， 由直线与轴的交点的坐标为可得， 在中，由余弦定理可得 ， 可得，整理得，解得或（舍去）， 且，所以， 由椭圆性质可知：当为椭圆短轴顶点时，取到最大值， 此时， 且，则，所以，即. 故选：A. . 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知，，点的轨迹方程为，则（  ） A．点的轨迹为双曲线的一支 B．直线上存在满足题意的点 C．满足的点共有2个 D．的周长的取值范围是 【答案】ABD 【分析】由题意可得点的轨迹方程为，设，则，再根据双曲线的定义与性质逐一判断即可. 【解析】因为点的轨迹方程为， 即， 设， 则， 所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的右支， 所以，故， 所以的轨迹方程为，故A正确； 联立，解得（舍去）， 所以直线上存在满足题意的点，故B正确； 双曲线的渐近线方程为， 则点到渐近线的距离， 所以满足的点共有0个，故C错误； 因为即左焦点， 而， 因为，所以， 所以的周长为 ， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的周长的取值范围是，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知曲线．点，，则以下说法正确的是（ ） A. 曲线C关于原点对称 B. 曲线C存在点P，使得 C. 直线与曲线C没有交点 D. 点Q是曲线C上在第三象限内的一点，过点Q向作垂线，垂足分别为A，B，则 【答案】CD 【分析】分的零的大小讨论，得到曲线方程，并画出图形，由对称性可得A错误；由双曲线的定义可得B错误；由渐近线方程可得C正确；由点到直线的距离公式可得D正确； 【解析】当时，曲线，即； 当时，曲线，即；不存在； 时，曲线，即； 时，曲线，即； 画出图形如下： 对于A，由图可得A错误，故A错误； 对于B，方程是以为上下焦点的双曲线， 当时，曲线C存在点P，使得，故B错误； 对于C，一三象限曲线的渐近线方程为，所以直线与曲线C没有交点，故C正确； 对于D，设，设点在直线上，点在直线， 则由点到直线的距离公式可得 ，， 所以， 又点Q是曲线C上在第三象限内的一点， 代入曲线方程可得，故D正确； 故选：CD. 11.已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线的右支上一点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，则（　　） A. 的最小值为8 B. 为定值 C. 若直线与双曲线相切，则点的纵坐标之积为-3； D. 若直线经过，且与双曲线交于另一点，则的最小值为. 【答案】ABC 【分析】设，由，可判定A正确；化简，可判定B正确；设直线的方程为，联立方程组，结合，得到，在化简，可判定C不正确；根据通经长和实轴长，可判定D错误. 【解析】由题意，双曲线，可得，则， 所以焦点，且， 设，则，且，即， 双曲线的两条渐近线的方程为， 对于A中，由， 所以A正确； 对于B中， （定值），所以B正确； 对于C中，不妨设，直线的方程为， 联立方程组，整理得， 若直线与双曲线相切，则， 整理得， 联立方程组，解得，即点的纵坐标为， 联立方程组，解得，即点的纵坐标为， 则点的纵坐标之积为 所以C正确； 对于D中，若点在双曲线的右支上，则通经最短，其中通经长为， 若点在双曲线的左支上，则实轴最短，实轴长为，所以D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为__________. 【答案】 【分析】由离心率公式可得，根据双曲线的渐近线方程及斜率公式即可求解. 【解析】由题意，即，可得， 所以渐近线的斜率为，所以两条渐近线的倾斜角为和， 所以双曲线的两条渐近线所成的锐角为. 故答案为：. 13.已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为____________ 【答案】 【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案. 【解析】如图，    因为，不妨设渐近线方程为，即， 所以， 所以. 设,则，所以，所以. 因为,所以，所以，所以， 所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为 故答案为： 14.已知双曲线与平行于轴的动直线交于两点，点在点左侧，双曲线的左焦点为，且当时，.则双曲线的离心率是__________；当直线运动时，延长至点使，连接交轴于点，则的值是__________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【分析】根据条件，设，代入双曲线方程得，再根据条件即可得，从而求出结果；利用，得到，设，则有，，，代入化简即可得出结果. 【解析】当时，设， 则有，解得，又，所以， 又，所以，两边同除，得到， 解得或（舍）， 因为，有， 设，则，，，， 所以， 又，所以， 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知双曲线的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 【答案】（1） （2）23 【分析】（1）利用点到直线的距离公式列和离心率列方程求，即可得到双曲线的方程； （2）根据双曲线的定义将的最小值转化为的最小值，然后根据两点之间线段最短求最小值即可. 【解析】（1）由题意知，解得， 则， 所以双曲线的方程为. （2）记双曲线的左焦点为，则， 可得， 当三点共线时，最小， 且最小值为.故的最小值为. 16.设双曲线C的方程为． （1）若点在双曲线C上，且双曲线C为等轴双曲线． （ⅰ）求双曲线C的方程； （ⅱ）直线l的方程为，直线与双曲线C的右支仅有一个交点，求实数k的取值范围． （2）已知过点，的直线的倾斜角为，求双曲线C的离心率． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）； （2） 【分析】（1）（ⅰ）代入已知点的坐标，结合解方程组可得；（ⅱ）直线方程与双曲线方程联立方程组，消去后得关于的一元二次方程，由方程有两个相等的正根或一正一负根分类讨论可得； （2）由斜率得，平方后可求得离心率． 【解析】（1）（ⅰ）由题意，又，故解得， 所以双曲线标准方程为； （ⅱ）由得（*）， ①若，，时，方程（*）的解为，不合题意； 时，方程（*）的解为，满足题意， ②若，则方程（*）有两个相等正根，或一正一负根， 时，方程有两个相等实根： ， 时，方程（*）的解为，不合题意， 时，方程（*）解为，满足题意， 时，方程有两个不等实根，方程（*）要有一正根一负根， 则，解得， 综上，的范围是； （2）由题意， ，所以． 17.已知双曲线的左、右焦点分别为. （1）若直线与双曲线交于P，Q两点，求线段的长； （2）若双曲线上存在两点，，满足，求直线的斜率. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）联立直线的方程和双曲线的方程，利用根与系数关系求得线段的长. （2）根据对称性进行转化，设出直线的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，向量的坐标运算求得正确答案. 【解析】（1）由消去并化简得， 设，则， 所以. （2）依题意，双曲线上存在两点，，满足， 设直线与双曲线的另一个交点为，根据对称性可知， 双曲线对应， 则，依题意可知直线的斜率存在， 设直线的方程为， 由消去并化简得， 则， 即. 设，则①，②， 由得， 所以③， 由①③解得，代入②得： ，由于， 所以，整理得，解得. 18.在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，若点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）过点的直线（斜率存在且不为）与曲线相交于，两点. ①若的中点为，设直线和的斜率分别为，，求的值； ②满足，求直线方程. 【答案】（1） （2）①；②或 【分析】（1）根据双曲线的定义可得轨迹方程； （2）①利用点差法可得斜率乘积；②设直线方程为，联立直线与双曲线方程，根据，可得，结合韦达定理可得，即可得直线方程. 【解析】（1）由已知，，动点满足， 则动点满足到两定点的距离之差的绝对值为定值，满足双曲线定义， 即点的轨迹为以，为焦点，实轴长为的双曲线， 即轨迹方程为； （2） ①设点，，中点， 则，， 又点，在曲线上， 则，作差可得， 即， 则； ②设直线， 联立直线与双曲线，得， 恒成立， 且，， 又，，， 则， 则，， 所以， 解得，， 即直线方程为， 即或 19.设a为实数，点在双曲线上． （1）求双曲线C的方程； （2）过点作斜率为k的动直线l与双曲线右支交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足． ①求斜率k的取值范围； ②证明：点H恒在一条定直线上． 【答案】（1） （2）① ；②证明见解析 【分析】（1）由点在双曲线上，代入解出即可； （2）①设出直线方程，直曲联立，消去，利用方程有两个正根，得到判别式大于零，两根之和和积大于零求出取值范围即可； ②设，表示出韦达定理，由题中线段长度的关系得到，再结合韦达定理化简，求出定直线即可； 【解析】（1）因为点在双曲线C上，所以，整理得， 即，解得，则双曲线C的方程为； （2）（ⅰ）易知直线l的方程为，即， 联立，消去y并整理得， 设，， 因为直线l与双曲线右支有两个不同的交点M，N， 所以关于x的方程有两个不同的正数根，， ， 解得，则斜率k的取值范围为； （ⅱ）设， 由（ⅰ）得，， 因为，，， 又P，M，N，H在同一直线l上，所以，， 由得，即， 化简得，所以， 整理得，解得，即 又点在直线上，所以 即，整理得，故点H恒在定直线上． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 双曲线（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.双曲线离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. y=±2x B. y= C. D. 2.设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3.双曲线的焦点坐标为，则（ ） A. B. C. D. 4.已知，若动点满足直线与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 5.已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 6.若双曲线的渐近线与圆：相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7.设为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（ ） A. B. C. D. 8.已知椭圆与双曲线具有相同的左、右焦点，，点为它们在第一象限的交点，动点在曲线上，若记曲线，的离心率分别为，，满足，且直线与轴的交点的坐标为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知，，点的轨迹方程为，则（  ） A．点的轨迹为双曲线的一支 B．直线上存在满足题意的点 C．满足的点共有2个 D．的周长的取值范围是 10. 已知曲线．点，，则以下说法正确的是（ ） A. 曲线C关于原点对称 B. 曲线C存在点P，使得 C. 直线与曲线C没有交点 D. 点Q是曲线C上在第三象限内的一点，过点Q向作垂线，垂足分别为A，B，则 11.已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线的右支上一点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，则（　　） A. 的最小值为8 B. 为定值 C. 若直线与双曲线相切，则点的纵坐标之积为-3； D. 若直线经过，且与双曲线交于另一点，则的最小值为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为__________. 13.已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为____________ 14.已知双曲线与平行于轴的动直线交于两点，点在点左侧，双曲线的左焦点为，且当时，.则双曲线的离心率是__________；当直线运动时，延长至点使，连接交轴于点，则的值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知双曲线的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 16.设双曲线C的方程为． （1）若点在双曲线C上，且双曲线C为等轴双曲线． （ⅰ）求双曲线C的方程； （ⅱ）直线l的方程为，直线与双曲线C的右支仅有一个交点，求实数k的取值范围． （2）已知过点，的直线的倾斜角为，求双曲线C的离心率． 17.已知双曲线的左、右焦点分别为. （1）若直线与双曲线交于P，Q两点，求线段的长； （2）若双曲线上存在两点，，满足，求直线的斜率. 18.在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，若点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）过点的直线（斜率存在且不为）与曲线相交于，两点. ①若的中点为，设直线和的斜率分别为，，求的值； ②满足，求直线方程. 19.设a为实数，点在双曲线上． （1）求双曲线C的方程； （2）过点作斜率为k的动直线l与双曲线右支交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足． ①求斜率k的取值范围； ②证明：点H恒在一条定直线上． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $