第13讲 倍数问题（知识梳理+例题讲解+考点练习）-五年级奥数培优讲义 通用版

第13讲 倍数问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.清晰理解和差问题、和倍问题、差倍问题的概念与特点。 2.熟练掌握这三类倍数问题的解题思路与方法。 3.能够灵活运用所学方法解决各类相关的实际数学问题，提升逻辑思维与解题能力。 知识梳理 知识点一、和差问题 1.概念：已知两个数的和与差，求这两个数各是多少的应用题，叫做和差问题。 2.基本数量关系： （1）大数 =（和 + 差）÷ 2 （2）小数 =（和 - 差）÷ 2 3.解题关键：找到题目中两个数的和与差，再代入公式进行计算。例如：小明和小红一共有 50 颗糖，小明比小红多 10 颗。这里两数和是 50，两数差是 10 。根据公式，小明有糖（50 + 10）÷ 2 = 30（颗），小红有糖（50 - 10）÷ 2 = 20（颗）。 知识点二、和倍问题 1.概念：已知两个数的和及这两个数之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题，就是和倍问题。 2.基本数量关系： （1）较小数 = 和 ÷（倍数 + 1） （2）较大数 = 较小数 × 倍数（或较大数 = 和 - 较小数） 3.解题关键：把较小数看作 1 倍数，根据倍数关系画出线段图，找到和对应的倍数，从而求出 1 倍数（较小数），进而求出较大数。例如：甲、乙两数的和是 36，甲数是乙数的 3 倍。把乙数看作 1 倍数，那么两数和 36 对应的倍数就是 3 + 1 = 4 倍，所以乙数为 36 ÷（3 + 1）= 9 ，甲数为 9 × 3 = 27 。 知识点三、差倍问题 1.概念：已知两个数的差以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题，叫做差倍问题。 2.基本数量关系： （1）较小数 = 差 ÷（倍数 - 1） （2）较大数 = 较小数 × 倍数（或较大数 = 较小数 + 差） 3.解题关键：同样把较小数看作 1 倍数，通过线段图分析，找到差所对应的倍数，求出 1 倍数（较小数），再求出较大数。例如：小明的邮票数比小红多 40 张，小明的邮票数是小红的 5 倍。差 40 张对应的倍数是 5 - 1 = 4 倍，所以小红有邮票 40 ÷（5 - 1）= 10 张，小明有邮票 10 × 5 = 50 张。 例题讲解 一、和差问题 【例题1】小勇家养的白兔和黑兔一共有22只，如果再买4只白兔，白兔和黑兔的只数一样多。小勇家养的白兔和黑兔各多少只？ 【答案】白兔9只，黑兔13只 【分析】解决这道题的关键就是理解“如果再买4只白兔，白兔和黑兔的只数一样多”，这句话的意思也就是白兔的只数比黑兔的只数少4只，或黑兔的只数比白兔多4只．只要理解了这个已知条件，我们就可以把这个题转换成典型和差问题来解决了． 【详解】白兔：（22-4）÷2＝9（只） 黑兔：22-9=13（只） 【例题2】张亮用60元买了科技书、故事书和美术书各一本。科技书比故事书贵12元，科技书和故事书一共比美术书贵40元。科技书、故事书和美术书的单价各是多少元？ 【答案】科技书31元，故事书19元，美术书10元 【分析】根据题意可知，三本书总共是60元，科技书和故事书一共比美术书贵40元，所以60减去40等于美术书价钱的2倍，再除以2即等于美术书的单价，60减去美术书的价钱等于科技书和故事书的价钱和，又知科技书和故事书的价钱差为12元，根据和差公式即求出科技书和故事书的价钱，据此即可解答。 【详解】美术书： （60－40）÷2 ＝20÷2 ＝10（元） 60－10＝50（元） 故事书： （50－12）÷2 ＝38÷2 ＝19（元） 科技书：50－19＝31（元） 答：科技书的单价为31元，故事书的单价为19元，美术书的单价是10元。 【例题3】周明和王刚两人数学成绩的和是182分。周明如果多考5分，就比王刚多3分。周明和王刚的数学各考了多少分？ 【答案】92分；90分 【分析】已知周明和王刚两人数学成绩的和是182分，根据条件“周明如果多考5分，就比王刚多3分“可知，王刚的数学成绩比周明多：（分）。转换成和差问题解答即可。 【详解】[182＋（5－3）]÷2 ＝[182＋2]÷2 ＝184÷2 ＝92（分） 92－2＝90（分） 答：王刚考了92分，周明考了90分。 二、和倍问题 【例题1】欢欢一家三口人今年的年龄和为86岁，妈妈比爸爸小2岁，妈妈的年龄是欢欢年龄的3倍，问欢乐家每人的年龄各是多少岁？ 【答案】欢欢12岁；妈妈36岁；爸爸38岁 【分析】一家三口人今年的年龄和为86岁，妈妈比爸爸小2岁，妈妈的年龄是欢欢年龄的3倍，因此可以把欢欢的年龄看成1份，则妈妈的年龄为3份，爸爸的年龄为3份多2岁。因此可以用86岁先减去2岁，再除以总的份数即可求出欢欢的年龄，继而求出爸爸妈妈各自的年龄。 【详解】欢欢：（86－2）÷（1＋3＋3） ＝84÷7 ＝12（岁） 妈妈：12×3＝36（岁） 爸爸：36＋2＝38（岁） 答：欢欢12岁，妈妈36岁，爸爸38岁。 【例题2】北京某小学的同学为幼儿园的小朋友做红花和黄花共300朵。已知红花的朵数比黄花的2倍少30朵。问两种花各有多少朵？ 【答案】110朵；190朵 【分析】把黄花朵数看作一份，画出线段图如下，从线段图中可以看出，两种花的总和再添上30朵，正好对应了3份。据此解题即可。 【详解】把黄花朵数看作一份，画出线段图如下： 黄花朵数为： （300＋30）÷（1＋2） ＝330÷3 ＝110（朵） 红花朵数为： 300－110＝190（朵）。 答：黄花有110朵，红花有190朵。 【例题3】甲桶里有油470千克，乙桶里有油190千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲桶油是乙桶油的2倍？ 【答案】30千克 【分析】根据题意可知，甲、乙两桶油总重量：470＋190＝660（千克）；当甲桶油是乙桶油2倍时，乙桶油是：660÷（2＋1）＝220（千克）；由甲桶倒入乙桶中的油：220－190＝30（千克）。由此即可解题。 【详解】（470＋190）÷（2＋1）－190 ＝660÷3－190 ＝220－190 ＝30（千克） 答：甲桶的油倒入乙桶30千克，才能使甲桶油是乙桶油的2倍。 三、差倍问题 【例题1】现有甲、乙两个仓库，甲仓库的货物重量是乙仓库的3.5倍。如果甲仓库减少120吨，乙仓库增加100吨，则两个仓库的货物一样重，两个仓库原来各有多少吨货物？ 【答案】甲仓库原来有货物308吨，乙仓库原来有货物88吨。 【分析】如果甲仓库减少120吨，乙仓库增加100吨，则两个仓库的货物一样重，由此即可求出甲、乙两个仓库原来的货物重量之差为：120＋100＝220（吨）。再结合甲仓库的货物重量是乙仓库的3.5倍，即可根据差倍问题的公式“较小数＝差÷（倍数－1）”来求解。 【详解】乙：（120＋100）÷（3.5－1） ＝220÷2.5 ＝88（吨） 甲：88×3.5＝308（吨） 答：甲仓库原来有货物308吨，乙仓库原来有货物88吨。 【例题2】甲、乙俩人存款若干元，甲存款是乙存款的3倍。如果甲取出80元，乙存入20元，甲、乙的存款正好相等。问甲、乙俩人原来各存款多少元？ 【答案】150元；50元 【分析】“甲存款数是乙存款数的3倍”，乙存款数就是倍数，而甲存款数比乙存款数多的倍数是：（倍）。因为“甲取出80元，乙存入20元，甲、乙的存款正好相等”，可知甲的存款数比乙的存款数多：（元）。利用差倍问题的公式，可求出1倍数，即乙原来的存款数：（元），从而求出甲原来的存款数：（元）。 【详解】（80＋20）÷（3－1） ＝100÷2 ＝50（元） 50×3＝150（元） 答：甲、乙俩人原来的存款分别有150元、50元。 【例题3】两组学生参加义务劳动，甲组学生人数是乙组的3倍，而乙组的学生人数比甲组的3倍少40人，求参加义务劳动的学生共有多少人？ 【答案】20人 【分析】把乙组学生人数看作1份，甲组学生人数是乙组学生人数的3倍，则甲组学生人数的3倍就是乙组人数的（3×3）倍，即9倍。所以，乙组人数为：40÷（9－1）＝5（人）；参加义务劳动的学生共有：5×（1＋3）＝20（人）。 【详解】把乙组学生人数看作1份，画出线段图如下： 40÷（9－1） ＝40÷8 ＝5（人） 5×（1＋3） ＝5×4 ＝20（人） 答：求参加义务劳动的学生共有20人。 考点练习 一、和差问题 1．今年小勇和妈妈两人的年龄和是38岁，3年前，小勇比妈妈小26岁．今年妈妈和小勇各多少岁？ 【答案】妈妈：32岁  小勇：6岁 【分析】3年前，小勇比妈妈小26岁，这个年龄差是不变的，即今年小勇也比妈妈小26岁．显然，这属于和差问题． 【详解】妈妈：（38+26）÷2=32（岁） 小勇：（38－26）÷2=6（岁） 2．甲、乙两堆货物共180吨，甲堆货物运走30吨仍比乙堆货物多12吨，求甲乙两堆货物各多少吨？ 【答案】甲有111吨，乙有69吨 【详解】当甲运走30吨时，甲乙两堆的和为：180-30＝150（吨） 因为这时甲比乙多12吨，所以甲、乙分别为： 乙：（150-12）÷2＝69（吨） 甲：180-69＝111（吨） 故答案为甲有111吨，乙有69吨． 3．小华和小敏共有铅笔25支，如果小华用去4支，小敏用去3支，那么小华还比小敏多2支，小华和小敏原来各有多支铅笔？ 【答案】14支；11支 【分析】如果小华用去4支，小敏用去3支，那么小华还比小敏多2支，这就说明原来小华的铅笔比小敏的铅笔多3支。 【详解】根据题意画线段示意图如下： （25＋3）÷2 ＝28÷2 ＝14（支） （支） 答：小华原来有14支铅笔，小敏原来有11支铅笔。 4．有大、小两个油桶，一共装油24千克，两个油桶都倒出同样多的油后分别还剩9千克和5千克。问：原来大、小两个油桶各装油多少千克？ 【答案】14千克；10千克 【分析】两个油桶都倒出同样多的油后分别还剩9千克和5千克，那么也就是说大桶比小桶多4千克的油，知道这两桶油的和，又找到了这两桶油的差，据此解题即可。 【详解】根据题意画线段图如下： 大桶：（24＋4）÷2 ＝28÷2 ＝14（千克） 小桶：14－4＝10（千克） 答：原来大、小两个油桶各装油14千克、10千克。 5．商店共有足球、篮球、排球213个，足球比排球多26个，篮球比排球少38个，商店里三种球各有多少个？ 【答案】排球75个，足球101个，篮球37个 【分析】因为足球比排球多26个，篮球比排球少38个，那么（213-26+38）是排球个数的3倍，因此排球个数为（213-26+38）÷3=75（个），进而求出足球、篮球的个数． 【详解】排球：（213-26+38）÷3 =225÷3 =75（个） 足球：75+26=101（个） 篮球：75-38=37（个） 答：排球75个，足球101个，篮球37个． 6．图书馆的书架上、下两层共存书220本，如果从上层拿出10本放入下层，则两层书架上书数相等。求原来上、下层各存书多少本？ 【答案】120本；100本 【分析】根据从上层拿出10本放入下层后两层书架上的书同样多，可以知道上层书架上的书比下层书架上的书多2个10本，如果从上层书架中减去：（本），就和下层书架上的书同样多，那么上、下两层书架上书的总数减少了20本，这时上、下两层书架上的书的总数就相当于下层书架上书的2倍；那么上、下两层书架上书的总数加上20本，这时上、下两层书架上的书的总数就相当于上层书架上书的2倍。 【详解】画数量关系示意图如下： 方法一： 下层： （220－20）÷2 ＝200÷2 ＝100（本）   上层： （本） 方法二： 上层：（220＋20）÷2 ＝240÷2 ＝120（本） 下层：（本） 答：原来上、下层分别存书120本、100本。 7．有一块长120米、宽105米的果园地，栽苹果树和梨树。每126平方米栽8棵。全园栽的苹果树比梨树多160棵。两种果树各有多少棵？ 【答案】480棵；320棵 【分析】果园地的长120米、宽105米，根据“长方形面积＝长×宽”求出这块果园的面积。每126平方米栽8棵树，因此可以用果园的面积除以126，然后再乘8，即可求出一共可以种多少棵树。全园栽的苹果树比梨树多160棵，最后再用和差问题的公式“较小数＝（和－差）÷2、较大数＝（和＋差）÷2”求出两种果树各有多少棵。 【详解】一共：120×105÷126×8 ＝12600÷126×8 ＝100×8 ＝800（棵） 苹果树：（800＋160）÷2 ＝960÷2 ＝480（棵） 梨树：（800－160）÷2 ＝640÷2 ＝320（棵） 答：苹果树有480棵，梨树有320棵。 8．姐姐今年13岁，弟弟今年9岁，几年后姐弟俩岁数和是40岁？姐姐到时多少岁了？ 【答案】年；岁 【分析】根据题意，用线段图显示数量关系，画线段图如下。姐弟俩的年龄差总是：（岁），不管经过多少年，姐弟年龄的差仍是4岁，由图可见，如果从40岁中减去姐弟年龄的差，再除以2就得到所求的几年后弟弟的年龄，也就可以求出几年后姐姐的年龄了。弟弟的年龄：（岁），姐姐的年龄：（岁）。用姐姐或弟弟几年后的年龄减去姐姐或弟弟现在的年龄，就是他们两经过的年数。 【详解】由题意得： [40－（13－9）]÷2＋（13－9） ＝[40－4]÷2＋4 ＝36÷2＋4 ＝18＋4 ＝22（岁） 22－13＝9（年） 答：9年后姐弟俩岁数和是40岁？姐姐到时22岁了。 9．文具王国的尺子点点和跳跳是一对好朋友，他们一会儿高兴地把自己绑在一起，一会儿又闹起小别扭，竖起小脑袋比比谁长的高，每天他们总是有使不完的劲儿。同学们！你能根据下面的图，算出点点和跳跳各有多长吗？ 【答案】厘米； 厘米 【分析】方法一：假设跳跳多4厘米，那么就和点点一样长，这时总长增长到了：（厘米），2个点点的长是20厘米，那么点点的长就是：（厘米），跳跳就是：（厘米）。 方法二：假设点点少4厘米，那么就和跳跳一样长，这时总长就减少到了：（厘米），2个跳跳的长是12厘米，那么跳跳的长就是：（厘米），点点就是：（厘米）。 【详解】方法一： 点点（大数）：（16＋4）÷2 ＝20÷2 ＝10（厘米）； 跳跳（小数）：（厘米）。 方法二： 跳跳（小数）：（16－4）÷2 ＝12÷2 ＝6（厘米）； 点点（大数）：（厘米） 答：跳跳厘米；点点厘米。 10．方方和圆圆共有图书70本，如果方方给圆圆5本，那么圆圆就比方方多4本。问：方方和圆圆原来各有图书多少本？ 【答案】38本；32本 【分析】方方给圆圆5本后，圆圆比方方多4本。，那么芳芳比圆圆多：（本）图书。原来方方有：（本），圆圆有：（本）。 【详解】[70＋（5×2－4）]÷2 ＝[70＋（10－4）]÷2 ＝[70＋6]÷2 ＝76÷2 ＝38（本） 70－38＝32（本） 答：方方和圆圆原来各有图书38本、32本。 二、和倍问题 1．今年，妈妈和小红的年龄之和是45岁，并且妈妈的年龄正好是小红年龄的4倍。妈妈和小红今年各多少岁？ 【答案】妈妈36岁，小红9岁 【分析】根据题意已知了两个数的和以及两个数的倍数关系，根据和倍公式：小数＝和÷（倍数＋1），大数＝和－小数，代入数据求解即可。 【详解】45÷（4＋1） ＝45÷5 ＝9（岁） 45－9＝36（岁） 答：妈妈今年36岁，小红今年9岁。 2．有两堆棋子，第一堆有87个，第二堆有69个，那么从第一堆拿多少个棋子到第二堆，就能使第二堆棋子数是第一堆的5倍？ 【答案】61个 【分析】第一堆有87个棋子，第二堆有69个棋子，棋子总数为：87＋69＝156（个）。从第一堆拿一些棋子到第二堆后，棋子的总数不会发生变化，还是156个。此时第二堆棋子数是第一堆的5倍，因此可以利用和倍问题的公式“较小数＝和÷（倍数＋1）”求出此时第一堆的棋子数量。最后再用第一堆原有的棋子数减去第一堆现有的棋子数即可求出需要从第一堆拿多少个棋子到第二堆。 【详解】（87＋69）÷（5＋1） ＝156÷6 ＝26（个） 87－26＝61（个） 答：从第一堆拿61个棋子到第二堆，就能使第二堆棋子数是第一堆的5倍。 3．玩具厂生产红、黄、白三种小汽车共400辆，红汽车是黄汽车的4倍，白汽车比黄汽车多40辆，三种小汽车各多少辆？ 【答案】红汽车有240辆；白汽车有100辆；黄汽车有60辆 【分析】红汽车是黄汽车的4倍，白汽车比黄汽车多40辆，因此可以将黄汽车的数量看成1份，则红汽车的数量为4份，白汽车的数量为1份多40辆。再结合玩具厂生产红、黄、白三种小汽车共400辆，因此用400辆减去40辆，再除以（4＋1＋1）份，即可求出黄汽车的数量，由此即可解决。 【详解】黄汽车：（400－40）÷（4＋1＋1） ＝360÷6 ＝60（辆） 红汽车：60×4＝240（辆） 白汽车：60＋40＝100（辆） 答：红汽车有240辆，白汽车有100辆，黄汽车有60辆。 4．实验小学共有学生人，男生比女生倍少人。问：实验小学男学生和女学生各有多少人？ 【答案】636人；320人 【分析】把女生人数看作单位“1”，则男生是女生2倍4人，即女生人数的（1＋2）倍是（956＋4）人，由此根据已知一个数的几倍是多少，用除法求出女生人数，进而求出男生人数。 【详解】（956＋4）÷（2＋1） ＝960÷3 ＝960÷3 ＝320（人） 956－320＝636（人） 答：女生有320人，男生有636人。 5．某镇上有东西两个公交车站，东站有客车84辆，西站有客车56辆，每天从东站到西站有7辆车，从西站到东站有11辆车，几天后，东站车辆是西站的4倍？ 【答案】7天 【分析】“每天从东站到西站有7辆车，从西站到东站有11辆车”，则每天东站增加车：（11－7）＝4（辆），西站减少4辆车，但两站车辆总数不变为：84＋56＝140（辆）。要使东站车辆是西站车辆的4倍，西站只能有车辆：140÷（4＋1）＝28（辆）。用西站需要减少的总车辆数除以每天减少的车辆数，可以得出所求天数：（56－28）÷4＝7（天）。所以，7天后，东站车辆是西站的4倍。 【详解】（84＋56）÷（4＋1） ＝140÷5 ＝28（辆） （56－28）÷4 ＝28÷4 ＝7（天） 答：7天后，东站车辆是西站的4倍。 6．学校买来一些乒乓球和羽毛球共个，乒乓球的个数是羽毛球的倍。买来的乒乓球和羽毛球各多少个？ 【答案】8个；32个 【分析】羽毛球的个数看作1份数，乒乓球的个数就是4份数，40个就相当于（4＋1）份数，这样就可求出1份数，也就是羽毛球的个数，把羽毛球的个数乘4就是乒乓球的个数。羽毛球有：40÷4＋1＝40÷5＝8（个），乒乓球有：8×4＝32（个）。 【详解】40÷（4＋1） ＝40÷5 ＝8（个） 8×4＝32（个） 答：羽毛球8个；乒乓球有32个。 7．果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵。桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？ 【答案】桃树292棵；梨树140棵；苹果树120棵 【分析】根据题意画出线段示意图如下，可以看出桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，都是同梨树相比较，以梨树的棵数为标准、作为1份数容易解答。又知三种树的总数是552棵。如果给苹果树增加20棵，那么就和梨树同样多了；再从桃树里减少12棵，那么就相当于梨树的2倍了，而总棵树则变为（552＋20－120）棵，即560棵，相当于梨树棵数的4倍，据此即可求出梨树的棵数，由此即可解题。 【详解】 梨树的棵数： （552＋20－12）÷（1＋1＋2） ＝560÷4 ＝140（棵） 桃树的棵数： 140×2＋12 ＝280＋12 ＝292（棵） 苹果树的棵数： 140－20＝120（棵） 答：桃树、梨树、苹果树分别是292棵、140棵和120棵。 8．甲、乙两个粮仓存粮320吨,后来从甲仓运出40吨,给乙仓运进20吨,这时甲仓存粮是乙仓的2倍,两个粮仓原来各存粮分别为多少吨？ 【答案】240,80 【分析】如下图,甲、乙两仓原来共存粮320吨,“后来从甲仓运出40吨,给乙仓运进20吨，”甲、乙两仓现在共存粮(320-40+20)=300吨，这时甲仓存粮是乙仓的2倍，可以先求出在乙仓存粮多少吨，然后再减去运进的20吨就是乙仓原来存粮的吨数．这样甲仓原吨数就好求了． 【详解】现乙仓存粮=(320-40+20)÷(2+1)=100(吨) 乙仓原存粮=100-20=80(吨) 甲仓原存粮=320-80=240(吨) 答：甲仓原存粮240吨，乙仓原存粮80吨． 三、差倍问题 1．新老运动员把话谈，手拉手儿笑微微。老将说：“我比你大10岁。”新手说：“上次你比我大一倍。”运动会四年开一次，两人年龄各几岁？ 【答案】14岁；24岁 【分析】我们把这个问题译成常见应用题表述形式为：今年，老运动员年龄比新运动员大10岁；四年前，老运动员年龄比新运动员大一倍。新、老运动员今年各几岁？大家还记得年龄问题的基本关系吗？所以现在新运动员：（岁），老运动员：（岁）。 【详解】10÷（2－1）＋4 ＝10÷1＋4 ＝10＋4 ＝14（岁） 14＋10＝24（岁） 答：新运动员14岁；老运动员24岁。 2．红旗小学三年级有甲、乙、丙三个班，一共有学生162人。如果从甲班转出2个人到乙班，则甲、乙两班人数相同。如果这时再从丙班转出3个人到乙班，则乙、丙两班人数相同。请问：甲班原来有多少人？ 【答案】人 【分析】由题意，现在的甲班比乙班多：（人），丙班比乙班多：（人），即丙班比甲班还多：（人）。所以甲班人数为：（人）。 【详解】[162－（3×2＋2－4）＋4]÷（1＋1＋1） ＝[162－（6＋2－4）＋4]÷3 ＝[162－4＋4]÷3 ＝162÷3 ＝54（人） 答：甲班原来有54人。 3．幼儿园大班每人发张画片，小班每人发张画片，小班人数是大班人数的倍，小班比大班多发张画片，那么小班有多少人？ 【答案】人 【分析】小班每个人就会发（13×2）张，即26张画片，那么，小班的个人比大班的个人多发了（26－17）张，即9张画片，总共多发了张，所以小班有：（人）。 【详解】126÷（13×2－17）×2 ＝126÷9×2 ＝14×2 ＝28（人） 答：小班有28人。 4．有两条纸带，一条长厘米，一条长厘米，两条纸带都剪下同样的一段后，长纸带剩下的长度是短纸带剩下的倍，问剪下的一段有多长？ 【答案】厘米 【分析】长纸带剩下长度比短纸带剩下的长度长：（厘米），短纸带剩下：（厘米），剪下：（厘米）。 【详解】（21－13）÷（3－1） ＝8÷2 ＝4（厘米） 13－4＝9（厘米） 答：剪下的一段有9厘米长。 5．一家汽车销售店有若干部福特汽车和丰田汽车等待销售。福特汽车的数量是丰田汽车的3倍，如果每周销售2辆丰田汽车和4辆福特汽车，丰田汽车销售完时还剩下30辆福特汽车，请问：原有丰田汽车和福特汽车各多少辆？ 【答案】30辆；90辆 【分析】假设福特汽车的数量是3份，丰田车的数量是1份，根据福特车销售量是丰田车的两倍知道，销售完一份丰田车肯定要销售完（4÷2）份福特车，即2份福特车，也就是说当丰田车销售完的时候，福特车应该只剩下（3－2）份，即1份；所以我们知道1份数量是30，那么原来的丰田车和福特车就分别应有30辆和（30×3）辆。 【详解】假设福特汽车的数量是3份，丰田车的数量是1份，可得： 30×[3－（4÷2）] ＝30×[3－2] ＝30×1 ＝30（辆） 30×3＝90（辆） 答：丰田有辆，福特有辆。 6．甲、乙各有若干本书，若甲给乙本，则二人的书相等，若乙给甲本则甲的本数是乙的倍，甲、乙各有书多少本？ 【答案】本；本 【分析】当甲给乙45本的时候，两人相等，说明原来两人相差45×2＝90本；当乙给甲45本的时候，甲乙两人相差：90＋45×2＝180本，这180本对应着现在乙的（4－1）倍，由此求出现在乙的本数。即，乙给甲本书后剩下的书：（本），乙原有书：（本），甲原有书：（本）。 【详解】（45×2＋45×2）÷（4－1） ＝180÷3 ＝60（本） 60＋45＝105（本） 105＋45×2 ＝105＋90 ＝195（本） 答：甲有书195本，乙有书105本。 7．有甲、乙两艘货船，甲船所载货物是乙船的3倍。若甲船增加货物1200吨，乙船增加货物900吨，则甲船所载货物是乙船的2倍。甲船原载货物多少吨？ 【答案】吨 【分析】甲船所载货物是乙船所载货物的3倍，乙船增加900吨，甲船就应增加：900×3＝2700（吨），实际少增加：2700－1200＝1500（吨）。少增加的重量等于乙船现有货物的：3－2＝1（倍），所以甲船原载货物：（1500－900）×3＝1800（吨）。 【详解】（900×3－1200）÷（3－2） ＝（2700－1200）÷1 ＝1500（吨） （1500－900）×3 ＝600×3 ＝1800（吨） 答：甲船原载货物1800吨。 8．有两盘苹果，如果从第一盘中拿个放到第二个盘里，那么两盘的苹果数相同；如果从第二个盘中拿个放到第一盘里，那么第一盘的苹果数是第二盘的倍。第一盘有苹果多少个？ 【答案】个 【分析】原来第一盘比第二盘多：（个），从第二盘拿个到第一盘里，第一盘就比第二盘多：（个），第二盘拿走个后剩下的苹果数为：（个），第一盘原有苹果：（个）。 【详解】[（2＋2）＋（2＋2）]÷（2－1） ＝[4＋4]÷1 ＝8÷1 ＝8（个） 8×2－2＝14（个） 答：第一盘有苹果14个。 9．小云比小雨少20本书，后来小云丢了5本书，小雨新买了11本书，这时小雨的书比小云的书多2倍。问：原来两人各有多少本书？ 【答案】23本；43本 【分析】小雨的书比小云的书多2倍”，即小雨的书是小云的书的3倍。这个“倍数”是变化后的，所以“1倍”数应是小云变化后的书，“差”是20＋5＋11＝36（本）。小云现有书：（20＋5＋11）÷（3－1）＝18（本）；小云原来有书：18＋5＝23（本），小雨原来有书：23＋20＝43（本）。 【详解】（20＋5＋11）÷（3－1）＋5 ＝36÷2＋5 ＝18＋5 ＝23（本） 23＋20＝43（本） 答：小云有书23本，小雨有书43本。 10．盒子里有红球和白球若干，若每次从里面拿出1个红球和1个白球，那么当拿到没有红球时，还剩下白球50个，若每次拿出1个红球和3个白球，则拿到没有白球时，还剩下50个红球，那么盒子里有红球和白球各多少个？ 【答案】100个；150个 【分析】方法一：第二次拿到没有白球的时候还剩下50个红球，因此如果再增加150个白球，可以使得“每次拿出1个红球和3个白球”两种球都不剩下，这样增加150个白球后，按照第一种取法，白球会剩下（50＋150）个，即200个，这说明白球增加150个后，白球的数量是红球的3倍且白球比红球多200个，转化为差倍问题，所以，红球的数量是[200÷（3－1）]个，即100个，此时白球的数量是（100×3）个，即300个；不过这个数量是白球增加150个之后的结果，所以原来盒子里有白球（300－150）个，即150个，红球100个。 方法二：用下图表示它们的关系： 把红球的数量减去50个看做“1倍量”，可以得到，“2倍量”的数量是（）个。所以红球的数量有[50＋（50＋50）÷2]个，即100个；白球的数量比红球多50个，有（100＋50）个。可以看出作图表示简洁明了得多，也更容易发现隐含的关系。 【详解】方法一：如果增加150个白球，则每次拿出1个红球和3个白球正好可以拿完，即此时白球的个数是红球的3倍。 （50＋150）÷（3－1） ＝200÷2 ＝100（个） 100×3－150 ＝300－150 ＝150（个） 答：红球有个；白球有个。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 倍数问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.清晰理解和差问题、和倍问题、差倍问题的概念与特点。 2.熟练掌握这三类倍数问题的解题思路与方法。 3.能够灵活运用所学方法解决各类相关的实际数学问题，提升逻辑思维与解题能力。 知识梳理 知识点一、和差问题 1.概念：已知两个数的和与差，求这两个数各是多少的应用题，叫做和差问题。 2.基本数量关系： （1）大数 =（和 + 差）÷ 2 （2）小数 =（和 - 差）÷ 2 3.解题关键：找到题目中两个数的和与差，再代入公式进行计算。例如：小明和小红一共有 50 颗糖，小明比小红多 10 颗。这里两数和是 50，两数差是 10 。根据公式，小明有糖（50 + 10）÷ 2 = 30（颗），小红有糖（50 - 10）÷ 2 = 20（颗）。 知识点二、和倍问题 1.概念：已知两个数的和及这两个数之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题，就是和倍问题。 2.基本数量关系： （1）较小数 = 和 ÷（倍数 + 1） （2）较大数 = 较小数 × 倍数（或较大数 = 和 - 较小数） 3.解题关键：把较小数看作 1 倍数，根据倍数关系画出线段图，找到和对应的倍数，从而求出 1 倍数（较小数），进而求出较大数。例如：甲、乙两数的和是 36，甲数是乙数的 3 倍。把乙数看作 1 倍数，那么两数和 36 对应的倍数就是 3 + 1 = 4 倍，所以乙数为 36 ÷（3 + 1）= 9 ，甲数为 9 × 3 = 27 。 知识点三、差倍问题 1.概念：已知两个数的差以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题，叫做差倍问题。 2.基本数量关系： （1）较小数 = 差 ÷（倍数 - 1） （2）较大数 = 较小数 × 倍数（或较大数 = 较小数 + 差） 3.解题关键：同样把较小数看作 1 倍数，通过线段图分析，找到差所对应的倍数，求出 1 倍数（较小数），再求出较大数。例如：小明的邮票数比小红多 40 张，小明的邮票数是小红的 5 倍。差 40 张对应的倍数是 5 - 1 = 4 倍，所以小红有邮票 40 ÷（5 - 1）= 10 张，小明有邮票 10 × 5 = 50 张。 例题讲解 一、和差问题 【例题1】小勇家养的白兔和黑兔一共有22只，如果再买4只白兔，白兔和黑兔的只数一样多。小勇家养的白兔和黑兔各多少只？ 【例题2】张亮用60元买了科技书、故事书和美术书各一本。科技书比故事书贵12元，科技书和故事书一共比美术书贵40元。科技书、故事书和美术书的单价各是多少元？ 【例题3】周明和王刚两人数学成绩的和是182分。周明如果多考5分，就比王刚多3分。周明和王刚的数学各考了多少分？ 二、和倍问题 【例题1】欢欢一家三口人今年的年龄和为86岁，妈妈比爸爸小2岁，妈妈的年龄是欢欢年龄的3倍，问欢乐家每人的年龄各是多少岁？ 【例题2】北京某小学的同学为幼儿园的小朋友做红花和黄花共300朵。已知红花的朵数比黄花的2倍少30朵。问两种花各有多少朵？ 【例题3】甲桶里有油470千克，乙桶里有油190千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲桶油是乙桶油的2倍？ 三、差倍问题 【例题1】现有甲、乙两个仓库，甲仓库的货物重量是乙仓库的3.5倍。如果甲仓库减少120吨，乙仓库增加100吨，则两个仓库的货物一样重，两个仓库原来各有多少吨货物？ 【例题2】甲、乙俩人存款若干元，甲存款是乙存款的3倍。如果甲取出80元，乙存入20元，甲、乙的存款正好相等。问甲、乙俩人原来各存款多少元？ 【例题3】两组学生参加义务劳动，甲组学生人数是乙组的3倍，而乙组的学生人数比甲组的3倍少40人，求参加义务劳动的学生共有多少人？ 考点练习 一、和差问题 1．今年小勇和妈妈两人的年龄和是38岁，3年前，小勇比妈妈小26岁．今年妈妈和小勇各多少岁？ 2．甲、乙两堆货物共180吨，甲堆货物运走30吨仍比乙堆货物多12吨，求甲乙两堆货物各多少吨？ 3．小华和小敏共有铅笔25支，如果小华用去4支，小敏用去3支，那么小华还比小敏多2支，小华和小敏原来各有多支铅笔？ 4．有大、小两个油桶，一共装油24千克，两个油桶都倒出同样多的油后分别还剩9千克和5千克。问：原来大、小两个油桶各装油多少千克？ 5．商店共有足球、篮球、排球213个，足球比排球多26个，篮球比排球少38个，商店里三种球各有多少个？ 6．图书馆的书架上、下两层共存书220本，如果从上层拿出10本放入下层，则两层书架上书数相等。求原来上、下层各存书多少本？ 7．有一块长120米、宽105米的果园地，栽苹果树和梨树。每126平方米栽8棵。全园栽的苹果树比梨树多160棵。两种果树各有多少棵？ 8．姐姐今年13岁，弟弟今年9岁，几年后姐弟俩岁数和是40岁？姐姐到时多少岁了？ 9．文具王国的尺子点点和跳跳是一对好朋友，他们一会儿高兴地把自己绑在一起，一会儿又闹起小别扭，竖起小脑袋比比谁长的高，每天他们总是有使不完的劲儿。同学们！你能根据下面的图，算出点点和跳跳各有多长吗？ 10．方方和圆圆共有图书70本，如果方方给圆圆5本，那么圆圆就比方方多4本。问：方方和圆圆原来各有图书多少本？ 二、和倍问题 1．今年，妈妈和小红的年龄之和是45岁，并且妈妈的年龄正好是小红年龄的4倍。妈妈和小红今年各多少岁？ 2．有两堆棋子，第一堆有87个，第二堆有69个，那么从第一堆拿多少个棋子到第二堆，就能使第二堆棋子数是第一堆的5倍？ 3．玩具厂生产红、黄、白三种小汽车共400辆，红汽车是黄汽车的4倍，白汽车比黄汽车多40辆，三种小汽车各多少辆？ 4．实验小学共有学生人，男生比女生倍少人。问：实验小学男学生和女学生各有多少人？ 5．某镇上有东西两个公交车站，东站有客车84辆，西站有客车56辆，每天从东站到西站有7辆车，从西站到东站有11辆车，几天后，东站车辆是西站的4倍？ 6．学校买来一些乒乓球和羽毛球共个，乒乓球的个数是羽毛球的倍。买来的乒乓球和羽毛球各多少个？ 7．果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵。桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？ 8．甲、乙两个粮仓存粮320吨,后来从甲仓运出40吨,给乙仓运进20吨,这时甲仓存粮是乙仓的2倍,两个粮仓原来各存粮分别为多少吨？ 三、差倍问题 1．新老运动员把话谈，手拉手儿笑微微。老将说：“我比你大10岁。”新手说：“上次你比我大一倍。”运动会四年开一次，两人年龄各几岁？ 2．红旗小学三年级有甲、乙、丙三个班，一共有学生162人。如果从甲班转出2个人到乙班，则甲、乙两班人数相同。如果这时再从丙班转出3个人到乙班，则乙、丙两班人数相同。请问：甲班原来有多少人？ 3．幼儿园大班每人发张画片，小班每人发张画片，小班人数是大班人数的倍，小班比大班多发张画片，那么小班有多少人？ 4．有两条纸带，一条长厘米，一条长厘米，两条纸带都剪下同样的一段后，长纸带剩下的长度是短纸带剩下的倍，问剪下的一段有多长？ 5．一家汽车销售店有若干部福特汽车和丰田汽车等待销售。福特汽车的数量是丰田汽车的3倍，如果每周销售2辆丰田汽车和4辆福特汽车，丰田汽车销售完时还剩下30辆福特汽车，请问：原有丰田汽车和福特汽车各多少辆？ 6．甲、乙各有若干本书，若甲给乙本，则二人的书相等，若乙给甲本则甲的本数是乙的倍，甲、乙各有书多少本？ 7．有甲、乙两艘货船，甲船所载货物是乙船的3倍。若甲船增加货物1200吨，乙船增加货物900吨，则甲船所载货物是乙船的2倍。甲船原载货物多少吨？ 8．有两盘苹果，如果从第一盘中拿个放到第二个盘里，那么两盘的苹果数相同；如果从第二个盘中拿个放到第一盘里，那么第一盘的苹果数是第二盘的倍。第一盘有苹果多少个？ 9．小云比小雨少20本书，后来小云丢了5本书，小雨新买了11本书，这时小雨的书比小云的书多2倍。问：原来两人各有多少本书？ 10．盒子里有红球和白球若干，若每次从里面拿出1个红球和1个白球，那么当拿到没有红球时，还剩下白球50个，若每次拿出1个红球和3个白球，则拿到没有白球时，还剩下50个红球，那么盒子里有红球和白球各多少个？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $