第四章 抛体运动与圆周运动-【备战高考】江苏省13大市2026年高三物理上学期阶段考真题分类汇编（人教版） （第一期）

第四章 抛体运动与圆周运动 1、 曲线运动 1.（苏州市苏州高新区第一中学2025-2026学年高三上学期第一次月考）生活中曲线运动随处可见.关于曲线运动，下列说法正确的是（　　） A. 匀速圆周运动是一种匀速运动 B. 平抛运动是匀变速曲线运动，斜抛运动是变加速曲线运动 C. 速度方向有时与曲线上的某点相切，有时与曲线上某点的切线垂直 D. 物体所受合外力恒定时，可能做曲线运动 2.（扬州高邮市2025-2026学年高三上学期开学调研）如图所示，飞镖在空中做曲线运动，其速度为，所受合力为，下列图示正确的是（　　） A. B. C. D. 2、 运动合成与分解 3.（泰州市兴化第一中学2025-2026学年高三上学期教学质量调研）一同学在桌面的白纸上匀速划一道竖直线，如图所示.在划线的过程中另一位同学水平向左加速抽动了白纸，白纸上的划痕图样可能是（　　） A. B. C. D. 4.（马坝高级中学2025-2026学年高三上学期第一次调研）如图所示，某同学利用无人机玩“投弹”游戏.无人机沿水平方向匀速飞行，在某时刻释放了一个小球.忽略空气阻力的影响.小球在空中运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球的速度始终沿竖直方向变化 B．小球的速度方向始终沿竖直方向 C．小球落地的速度方向与地面垂直 D．小球的速度方向和加速度方向都在不断变化 5.（苏州市苏州高新区第一中学2025-2026学年高三上学期第一次月考）小船在静水中的速度为5m/s，某河流的宽度为150米，水流速度为4m/s，若小船在此河流中以最短时间渡河，则最短时间为（　　） A. 45s B. 40s C. 35s D. 30s 6.（扬州高邮市2025-2026学年高三上学期开学调研）足球训练中，甲乙两人在同一位置，甲将足球沿平直地面踢出，乙立即由静止开始追赶球，乙和球沿同一直线运动，且在t时刻追上足球，下列能反映该过程的图像是（　　） A. B. C D. 7．（盐城市五校2025-2026学年高三上学期联考）如图所示，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率相向运动，某时刻绳与竖直方向夹角为.此时塔块沿竖直方向下落的速度为（   ） θ A． B． C． D． 8.（泰州中学2025-2026学年高三上学期10月月考）如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动.为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v（ ） A. 一直减小 B. 一直增大 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小 9.（南通市如皋中学2025-2026学年高三上学期测试）如图所示，长为L的直杆一端可绕固定轴O无摩擦转动，另一端靠在以水平速度v匀速向左运动、表面光滑的竖直挡板上，当直杆与竖直方向夹角为θ时，直杆端点A的线速度为（ ） A. B. vsin θ C. D. vcos θ 10.（淮安市某重点中学2025-2026学年高三上学期月考）如图所示，小球C套在竖直杆上，通过两根轻绳分别与物块A、B相连，A、B、C三者始终在同一竖直平面内运动，A、B与轻滑轮之间的绳平行于斜面，某时刻小球C两侧的绳与杆的角度如图，此时C向下的速度大小为v，A、B沿斜面向上的速度大小分别为、，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11.（南通市如皋中学2025-2026学年高三上学期测试）如图所示，压缩机通过活塞在汽缸内做往复运动来压缩和输送气体，活塞的中心A与圆盘在同一平面内，O为圆盘圆心，B为圆盘上一点，A、B处通过铰链连接在轻杆两端，圆盘绕过O点的轴做角速度为ω的匀速圆周运动.已知O、B间距离为r，AB杆长为，则（　　） A. L越大，活塞运动的范围越大 B. 圆盘半径越大，活塞运动的范围越大 C. 当OB垂直于AB时，活塞速度为ωr D. 当OB垂直于AO时，活塞速度为ωr 12.（常州市金坛区第一中学2025-2026学年高三上学期9月）汽车发动机的曲柄连杆机构其结构示意图如图所示.曲轴可绕固定的O点自由转动，连杆两端分别连接曲轴上的A点和活塞上的B点，若曲轴绕O点做匀速圆周运动，速率12m/s，，.下列说法正确的是（　　） A. 活塞在水平方向上做匀速直线运动 B. 当OA竖直时，活塞的速度为8m/s C. 当OA与AB共线时，活塞的速度为12m/s D. 当OA与AB垂直时，活塞的速度为15m/s 13．（盐城市五校2025-2026学年高三上学期联考）质量为2 kg的物体在xy平面上做曲线运动，在x方向的速度象和y方向的位移图像如图所示，试求： （1）质点的初速度大小； （2）质点所受的合外力大小. 3、 抛体运动 1. 平抛运动 14.（泰州中学2025-2026学年高三上学期10月月考）如图所示，某趣味游戏中小球从圆柱形水杯口边缘沿直径方向水平射入，设球与杯壁碰撞是弹性碰撞，不计空气阻力．则小球入水前的运动轨迹情景图可能正确的是（ ） A. B. C. D. 15．（盐城市五校2025-2026学年高三上学期联考）如图所示，某同学同时将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点接到鸟食.鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则（　　） A．两只小鸟同时接到鸟食 B．在M点的鸟先接到鸟食 C．两颗鸟食平抛的初速度相同 D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大 16. （南京市临江高级中学2025-2026学年高三上学期一模）如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食.鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则（　　） A. 两颗鸟食同时抛出 B. 在N点接到的鸟食后抛出 C. 两颗鸟食平抛的初速度相同 D. 在M点接到的鸟食平抛的初速度较大 17.（南通市如皋中学2025-2026学年高三上学期测试）如图所示，从倾角为θ斜面足够长的顶点A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为α1，第二次初速度为v2，球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为α2，则（　　） A. α1>α2　v1>v2 B. α1<α2　v1<v2 C. α1=α2　v1>v2 D. α1=α2　v1<v2 18.（淮安市某重点中学2025-2026学年高三上学期月考）如图所示，O为抛物线OM的顶点，A、B为抛物线上两点，O点的切线水平.从A、B两点分别以初速度、水平抛出两小球，同时击中O点，不计空气阻力，则两球（ ） A. 必须同时抛出 B. 击中O点时速度相同 C. 击中O点时速度方向相同 D. 初速度与相等 19. 如图所示，某海洋乐园里正在进行海豚戏球表演，驯兽师由静止释放球的同时，海豚沿正对着球的方向跃出水面，设海豚出水后姿势保持不变，不计空气阻力，海豚在落水前（　　） A. 相同时间内速度方向变化的角度相同 B. 相对球做匀速直线运动 C. 一定能顶到球 D. 增大出水时的仰角能顶到球 20.（南通市海安市2025-2026学年高三上学期开学）如图所示，从A、B两点分别沿水平方向发射两弹珠，弹珠恰好落在B、A两点的正下方.A、B两点距地面高度为h，A、B两点间的水平位移为，重力加速度为.求： （1）弹珠的发射速度； （2）两弹珠空中轨迹的交点距地面的高度. 21.（泰州市兴化第一中学2025-2026学年高三上学期教学质量调研）某同学以初速度水平抛出一个石子，石子在空中运动的轨迹照片如图所示.从照片可看出石子恰好垂直打在一倾角为的斜坡上的A点.不计空气阻力，取，，，求： （1）石子打在A点的速度大小； （2）石子在空中运动的时间； （3）抛出点与A点在竖直方向的距离. 22.（扬州市宝应县2025-2026学年高三上学期期初检测）如图所示，倾角为37°的斜面长l=1.9 m，在斜面底端正上方的O点将一小球以v0=3 m/s的速度水平抛出，与此同时由静止释放斜面顶端的滑块，经过一段时间后，小球恰好能够以垂直于斜面的速度在斜面P点处击中滑块.（小球和滑块均可视为质点，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8）求： （1）抛出点O离斜面底端的高度； （2）滑块与斜面间的动摩擦因数μ. 23.（南通市如皋中学2025-2026学年高三上学期测试）一辆货车以速度在平直的公路上匀速行驶，某时刻车上的石子从车尾高处掉落，假设石子与地面碰撞反弹时的速率为撞击地面时速率的，反弹前后速度方向与地面的夹角相等.重力加速度，忽略空气阻力.求 （1）石子第一次落地时的速度大小v； （2）石子第二次落地时距车尾的水平距离L. 2.斜抛运动 24.（常州市金坛区第一中学2025-2026学年高三上学期9月）如图所示，一个小球放在水平地面上的O点，先后以初速度、从O点斜向上抛出，与水平方向的夹角比与水平方向的夹角大，不计空气阻力，则下列判断一定正确的是（　　） A. 若两次落到地面上的同一点，则 B. 若两次落到地面上同一点，则 C. 若两次上升的最大高度相同，则 D. 若两次上升的最大高度相同，则 25.（南通市如皋中学2025-2026学年高三上学期测试）甲、乙两球在同一竖直平面内同时从同一水平线上抛出，并同时落到P点，轨迹如图所示，甲、乙两球运动的最大高度相等，不计空气阻力.则上述整个过程中（　　） A. 甲球的速度变化量比乙球的大 B. 甲球抛出的初速度比乙球的大 C. 甲球的最小动能比乙球的大 D. 甲球相对于乙球做匀加速直线运动 26.（常州市北郊高级中学2025-2026学年高三上学期月考）如图所示，某人站在山顶上，将一质量的石块沿与水平方向成夹角的方向斜向上抛出，石块出手离地面的高度，石块落在水平地面上的动能，不计空气阻力作用，重力加速度g取，则（　　） A. 石块抛出时的速度大小为 B. 石块在空中运动的时间约为 C. 石块在运动过程中，最大速度为 D. 石块在运动过程中，最小速度为 27.（盐城市四校2025-2026学年高三（上）第一次质量检测）室内足球运动的某次传球过程，足球在地面位置1被踢出后落到位置3，2为空中达到的最高点，速度大小为，则 A. 足球在空中运动时只受重力 B. 足球在位置1和位置3的动能相等 C. 与下落过程相比，足球在上升过程中用时少 D. 若在位置2以大小为的速度水平向左抛出，足球将沿原轨迹返回位置1 28.（南通市海安市2025-2026学年高三上学期开学）“苏超”重新点燃了足球的魅力.比赛中，一足球被踢出后在空中依次经过1、2、3三点，运动轨迹如图所示，2为最高点，1、3两点等高.则足球运动过程中（　　） A. 位置2的速度最小 B. 位置3的加速度最小 C. 位置1的机械能最小 D. 位置1到2和位置2到3的耗时相等 29.（南京市中华中学2025-2026学年高三上学期9月）蹴鞠最早出现在我国春秋时期，蹴鞠的球门称为“鞠城”.如图，现将鞠在鞠城中央的正前方点斜向上踢出，第一次击中横梁中央点，第二次击中点右侧的点，两次击中时速度均沿水平方向，忽略空气对鞠的作用力，下列说法正确的是（　　） A. 第一次的踢出速度比第二次的大 B. 第一次踢出时的速度与水平方向的夹角比第二次小 C. 鞠从踢出到击中点的动能变化量比从踢出到击中点的大 D. 鞠从踢出到击中两点的动量变化量相同 30.（泰州中学2025-2026学年高三上学期10月月考）在一次篮球运动训练中，篮球在空中划出完美的弧线，现在篮球运动所在的竖直平面内建立平面直角坐标系xOy，如图所示.篮球从A点投出，最后到达地面上的D点，B、C是其运动轨迹上的两点，B为篮球运动的最高点.A、B、C、D四点的坐标分别为（L、0）、（0，L）、（L，0）、（2L，y）.不计空气阻力，篮球可视为质点，重力加速度大小为g，求： （1）篮球从A运动到D的时间； （2）篮球从A点投出时的初速度大小. 31.（淮安市某重点中学2025-2026学年高三上学期月考）如图所示，坡面倾角为，一个小球从坡面上O点垂直坡面斜向上抛出，初速度大小，重力加速度，，，不计空气阻力.求： （1）小球落在斜面上的时间t； （2）小球落点A到O点的距离. 4、 圆周运动 1.圆周运动的描述 32.（常州市北郊高级中学2025-2026学年高三上学期月考）如图，A、B分别为两传动轮边缘上的两点，转动过程中皮带不打滑，A、B两点的（　　） A. 速率相等 B. 线速度相等 C. 转速相等 D. 角速度相等 33.（淮安市某重点中学2025-2026学年高三上学期月考）长L的轻杆两端分别固定着可以视为质点的小球A、B，放置在光滑水平桌面上，杆中心O有一竖直方向的固定转轴，A、B的质量分别为5m、m.当轻杆以角速度绕轴在水平桌面上转动时，转轴受到杆的拉力大小为（ ） A. B. C. D. 34.（盐城市四校2025-2026学年高三（上）第一次质量检测）如图所示是链球比赛的场景．运动员双手握住柄环，经过预摆和圈连续加速旋转后用力将链球掷出．把链球整个运动过程简化为加速圆周运动和斜抛运动，忽略空气阻力．下列说法正确的是      A. 链球圆周运动过程中受到的拉力指向圆心 B. 链球掷出瞬间速度方向沿圆周的切线方向 C. 链球掷出后运动过程中加速度的方向不断变化 D. 链球掷出瞬间的速度越大运动的水平距离越远 35.（扬州高邮市2025-2026学年高三上学期开学调研）遥控汽车以恒定速率绕周长为s的圆形赛道一周用时t，则遥控汽车（　　） A. 线速度大小为 B. 角速度为 C. 线速度方向不变 D. 加速度为零 36.（无锡市第一中学2025-2026学年高三上学期9月检测）电风扇在闪光灯下转动，灯每秒闪光30次，风扇有三个均匀分布的叶片，如果转动时观察到有六个叶片，则其转速可能为（　　） A. 10转/秒 B. 15转/秒 C. 20转/秒 D. 30转/秒 37．（盐城市五校2025-2026学年高三上学期联考）某同学在傍晚用内嵌多个彩灯的塑料绳跳绳，照片录了彩灯在曝光时间内的运动轨迹，简图如图所示.彩灯的运动可视为匀速圆周运动，相机本次曝光时间是，圆弧对应的圆心角约为，则该同学每秒钟跳绳的圈数约为（　　） A．2.5 B．5 C．10 D．12 38.（南通市海安市2025-2026学年高三上学期开学）早在战国的《石氏星经》中对“黄道、赤道”已有记载，如图所示，静置在地球黄道面和赤道面上的、两物体（　　） A. 角速度相等 B. 线速度相等 C. 向心加速度相等 D. 重力加速度相等 39.（无锡市第一中学2025-2026学年高三上学期9月检测）如图所示，质点a、b在同一平面内绕质点c沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的周期之比Ta∶Tb＝1∶k（k＞1，为正整数）.从图示位置开始，在b运动一周的过程中（　　） A. a、b距离最近的次数为k次 B. a、b距离最近的次数为k－1次 C. a、b、c共线的次数为2k次 D. a、b、c共线的次数为2k＋2次 40.（苏州市苏州高新区第一中学2025-2026学年高三上学期第一次月考）打水漂是民间小朋友喜爱的一种娱乐项目.用扁型瓦片或石片，用力旋转飞出，石片擦水面飞行，利用物体的惯性和旋转时具有定轴性，触水面后受水作用而弹起，石片将不断在水面上向前弹跳直至沉水.假设一块圆饼形石头被扔出后，若只研究石头在水平面上的运动，可将石头看成是在平行水面绕其中心以匀速旋转，同时以的初速度向前匀减速直线运动，直到前进速度为0后沉入水底，水平方向向前的运动距离为，则此段时间内石头转的圈数为（　　） A. B. C. D. 41.（扬州市新华中学2025-2026学年高三上学期10月学情检测）抓着手机使之在水平桌面上做圆周运动，手机内置的传感器记录了角速度随时间的变化关系，如图所示，则手机（　　） A. 从3.20 s到3.40 s，速度增大 B. 在3.20 s时，所受合力指向圆心 C. 在3.40 s时，合力的功率最大 D. 从3.00 s到3.80 s，运动的路程可用图线与横轴围成图形的面积表示 42.（常州市金坛区第一中学2025-2026学年高三上学期9月）如图所示是一个玩具陀螺，a、b和c是陀螺表面上三个点.当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度稳定旋转时，下列表述正确的是（　　） A. a、b和c三点的线速度大小相等 B. a、b和c三点的角速度大小不相等 C. a、b两点的角速度比c的大 D. a、b两点的加速度比c点的大 43.（南京市金陵中学2025-2026学年高三上学期10月）如图所示，汽车转弯时，四个车轮轮轴延长线交于同一点.已知四个车轮的规格完全相同，且转弯时车轮不打滑，则汽车转弯时，四个车轮的（　　） A. 轮轴绕点运动的线速度大小相等 B. 轮轴绕点运动的角速度大小相等 C. 边缘绕轮轴转动的线速度大小相等 D. 边缘绕轮轴转动的角速度大小相等 44.（扬州高邮市2025-2026学年高三上学期开学调研）把一个小球放在玻璃漏斗中，晃动漏斗，可以使小球短时间内沿光滑的漏斗壁在水平面内做匀速圆周运动.若小球第二次做匀速圆周运动的半径比第一次小，则小球第二次做匀速圆周运动时（　　） A. 周期较小 B. 线速度较大 C. 加速度较小 D. 对漏斗壁的压力较大 45.（泰州中学2025-2026学年高三上学期10月月考）如图所示，螺旋测微器旋钮转动一周，旋钮同时沿着轴线方向前进或后退0.5mm.旋钮上“0”刻线处A点的旋转半径为5.0mm.若匀速转动旋钮，则A点绕轴线转动的线速度和沿轴线移动的速度大小之比约为（　　） A. B. C. D. 46.（南通市如皋中学2025-2026学年高三上学期测试）如图所示，在“探究向心力大小的表达式”实验中，两质量相等的钢球做匀速圆周运动，若图中左、右标尺上红白相间的等分格显示的比值为1：4，则与皮带连接的左、右变速轮塔对应的半径之比为（　　） A. 2：1 B. 1：2 C. 1：4 D. 4：1 47.（无锡市第一中学2025-2026学年高三上学期9月检测）如图甲是“向心力大小演示仪”，图乙是其传动部分侧视图，某次实验时，小球摆放位置如图甲所示，皮带安装在两侧中间塔轮上，此时左右两侧塔轮的半径之比为2：1，则（　　） A. 图乙中A、C两点角速度之比为1：2 B. 左右两球线速度大小之比为2：1 C. 左右两球向心力加速度大小之比为4：1 D. 若左右两球质量之比为2：1，两球所需要的向心力大小之比为1：1 2.水平面内的圆周运动 48.小明同学很喜欢玩旋转木马，如图所示，假设旋转木马以恒定角速度在水平面上做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A. 坐在最外侧的木马上，小明同学的线速度最大 B. 坐在同一木马上，小明同学的加速度不变 C. 小明同学所受的合外力总是为零 D. 小明同学有向外飞的趋势，是因为受到离心力的作用 49.（南通市如皋中学2025-2026学年高三上学期测试）如图所示，质量相同的小球甲、乙、丙用长度不同的轻绳悬于O点，均在水平面内做匀速圆周运动.已知甲、乙在同一水平面内运动，乙、丙经过同一抛物线，则（　　） A. 甲、乙的向心力大小相等 B. 甲、乙的向心加速度大小相等 C. 乙、丙的角速度大小相等 D. 乙、丙的线速度大小相等 50.（淮安市某重点中学2025-2026学年高三上学期月考）将一根不可伸长的轻绳穿过竖直杆上的光滑圆孔，轻绳两端连接质量分别为、的小球A、B，旋转直杆使两球在水平面内做匀速圆周运动．如图所示，稳定时，轻绳和杆始终共面，连接A、B的轻绳与杆的夹角分别为、，圆孔与A、B间轻绳长度分别为、．若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 51.（无锡市第一中学2025-2026学年高三上学期9月检测）如图所示，水平圆盘左右边缘各系一不可伸长的轻绳p、q，轻绳p的长度大于轻绳q的长度，两轻绳另一端分别悬挂可视为质点的小球.当小球随圆盘绕竖直中心轴匀速转动时，轻绳与转轴在同一竖直平面内，轻绳p、q与竖直方向的夹角分别为，不计一切阻力.则（　　） A. B. C. D. 无法判断 52.（扬州市新华中学2025-2026学年高三上学期10月学情检测）如图所示，一T型支架长的横杆上用等长的细线等间距悬挂4个相同小球A、B、C、D，支架绕轴线缓慢加速转动，当支架转动的角速度为ω时（　　） A. A、D的加速度相同 B. A、B悬线与竖直方向的夹角相等 C. A的机械能大于B的机械能 D. A的动能等于该过程中细线对A做的功 53.（连云港市板浦高级中学2025-2026学年高三上学期月考）如图所示，静止框架中的杆竖直，杆与水平面间的夹角，且杆光滑.弹簧与竖直方向间的夹角，上端用铰链与固定点相连，下端与穿在杆上的质量为的小环相连，已知两点间的距离为.则（　　） A. 弹簧弹力的大小为 B. 杆对小环的弹力大小为 C. 若整个框架以为轴开始转动，当小环稳定在与点等高的点时转速为 D. 若整个框架以为轴开始转动，当小环缓慢运动到与点等高的点时杆对小环做的功为 54.（连云港市板浦高级中学2025-2026学年高三上学期月考）如图甲为游乐场的旋转飞椅，当中心转柱旋转后，所有飞椅均在同一水平内做匀速圆周运动.为了研究飞椅的运动，某同学建立的简化模型如图乙所示，质量为的球，被长为细绳悬挂，悬挂点距转轴距离为，当中心转柱以恒定角速度旋转时，细绳与竖直方向的夹角为，重力加速度取，，，则（　　） A. 球的质量越大，角越小 B. 球的动能为 C. 球所受合外力为0 D. 若中心转柱的转速减少时，细绳对球做正功 55.（无锡市第一中学2025-2026学年高三上学期9月检测）如图所示，为了测量列车通过一圆弧形弯道在水平面内转弯的半径的大小，某人设计了如下方法：将一小球（可视为质点）用轻绳悬挂在列车车厢顶部，当列车以恒定速率v通过该弯道时，发现小球稳定时轻绳与竖直方向夹角为α.已知弯道处的铁轨路面与水平面间夹角为（<α），空气阻力不计，重力加速度为g.则（　　） A. 列车转弯半径大小为，列车车轮挤压内侧铁轨 B. 列车转弯半径大小为，列车车轮挤压外侧铁轨 C. 列车转弯半径大小为 ，列车轮与铁轨无侧向挤压 D. 列车转弯半径大小为 ，列车轮与铁轨无侧向挤压 56.（南通市如皋中学2025-2026学年高三上学期测试）如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿直径方向放着用轻绳相连的物体A和B，A和B质量都为m.它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为RA＝r，RB＝2r，A、B与盘间的动摩擦因数相同且均为μ.若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法错误的是（　　） A. 绳子的张力为 B. 烧断绳子，物体A、B仍将随盘一块转动 C. 圆盘的角速度为 D. A所受摩擦力方向沿绳指向圆外 57．（马坝高级中学2025-2026学年高三上学期第一次调研）游乐场旋转装盘的模拟装置如图所示.绕竖直轴以角速度ω匀速转动的水平圆盘上放着质量为m的物块，物块与圆盘保持相对静止且离圆心距离为r.求： （1）物块的线速度v； （2）物块受到的摩擦力大小. 58．（盐城市五校2025-2026学年高三上学期联考）图甲是一游乐场西瓜飞椅游玩项目，其模型简化为图乙，转轴两侧对称，水平横杆半径，西瓜座椅和游客总质量，等效为大小不计的小球，悬线长，运动过程不计阻力，（取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2）求： （1）若转轴不转动，小球绕点在竖直面内左右摆动. ①当小球通过最低点时的速度为时，悬线的拉力大小； ②当悬线与竖直方向的夹角时小球的速度为，此时悬线的拉力大小. （2）若转轴匀速转动，稳定后悬线与竖直方向的夹角，转轴转动的角速度大小. 59．（盐城市五校2025-2026学年高三上学期联考）如图所示，一半径R＝4 m的圆盘水平放置，在其边缘E点固定一个小桶，在圆盘直径DE的正上方平行放置一水平滑道BC，滑道右端C点与圆盘圆心O在同一竖直线上，高度差h＝5 m.AB为一竖直面内的圆弧轨道，且与水平滑道相切于B点.一质量m＝2kg的滑块(可视为质点)由A点释放，当滑块经过B点时，对B点压力为52 N，恰在此时，圆盘从图示位置以一定的角速度ω绕通过圆心的竖直轴匀速转动，最终滑块由C点水平抛出，恰好落入圆盘边缘的小桶内.已知滑块与滑道BC间的动摩擦因数为0.3，g＝10 m/s2，求： （1）滑块到达B点时的速度； （2）水平滑道BC的长度； （3）若在圆盘边缘离E点圆处再各放一个小桶，使滑块恰好落入圆盘边缘的小桶内，圆盘转动的周期T应满足的条件. 60.（无锡市第一中学2025-2026学年高三上学期9月检测）如图所示，V形细杆AOB能绕其对称轴OO′转动，OO′沿竖直方向，V形杆的两臂与转轴间的夹角均为.两质量均为m=0.1kg的小环，分别套在V形杆的两臂上，并用长为、能承受最大拉力的轻质细线连结.环与臂间的最大静摩擦力等于两者间弹力的0.2倍.当杆以角速度ω转动时，细线始终处于水平状态，取. （1）求杆转动角速度ω的最小值； （2）将杆的角速度从（1）问中求得的最小值开始缓慢增大，直到细线断裂，写出此过程中细线拉力F随角速度ω变化的函数关系式； （3）在坐标纸上作出（2）问对应的F-ω2图像. 61.（无锡市第一中学2025-2026学年高三上学期9月检测）如图所示，半径为3r的水平圆形转盘可绕竖直轴转动，圆盘距离水平地面高为h，圆盘上放有小物体A、B、C，质量分别为m、2m、12m，物块A叠放在B上，B、C到转盘中心O的距离分别为3r、2r，B、C间用一轻质细线相连，圆盘静止时，细线刚好伸直无拉力，已知C与圆盘间的动摩擦因数为μ，B与圆盘间的动摩擦因数为2μ，A、B间动摩擦因数为3μ.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g.A、B、C均可视为质点，现让圆盘从静止开始逐渐缓慢加速，求 （1）时，C受到转盘的摩擦力； （2）当增加到某一数值时，C、B哪个物体不受圆盘的摩擦力？求此时圆盘角速度大小（物体仍在圆盘上且圆盘角速度不为零）； （3）当增加到某一数值时，A从B上滑动并飞出，求A落地点与盘中心O在地面投影点之间的距离. 62.（常州市北郊高级中学2025-2026学年高三上学期月考）如图所示，一个质量的小物块（可看成质点）放在水平圆盘上距圆心处，它与圆盘之间的最大静摩擦力为其重力的倍，先后进行如下两次实验. ①使圆盘以的角速度顺时针匀速转动，此时物块与圆盘之间恰好没有相对滑动. ②将物块固定在圆盘上，将圆盘顺时针转速调为，然后将装置放入暗室，用每秒闪光次的频闪光源照射圆盘. （1）求实验①中物块的线速度大小； （2）求的值； （3）求实验①中圆盘对物块的作用力大小； （4）实验②中会观察到物块转动的方向为___（填“顺时针”或“逆时针”），并求观察到的物块转动周期. 3.竖直面内的圆周运动 63.（南通市通州区、如东县2025-2026学年高三上学期第一次月考）下列说法正确的是（　　） A．图甲中，小朋友荡秋千过最低点时处于失重状态 B．图乙中，制作棉花糖时，糖液因受离心力而被甩出 C．图丙中，卡车通过拱桥最高点时，对桥面的压力小于重力 D．图丁中，只要铁道的外轨高于内轨，火车在转弯时轮缘就不会对外轨产生侧向挤压 64.（连云港市板浦高级中学2025-2026学年高三上学期月考）某滚筒洗衣机如图甲所示，脱水时衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，如图乙所示，其中a、b点分别为衣服做圆周运动的最高位置和最低位置.已知衣服（可视为质点）的质量为m，滚筒半径为r，圆周运动的角速度为，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A. 衣服转到b位置时的脱水效果最好 B. 衣服在a位置对滚筒壁的压力比在b位置的大 C. 衣服转到与圆心等高时，滚筒壁对衣服的作用力大小为 D. 衣服从a位置转到b位置过程所受合力的冲量大小为0 65.（盐城市四校2025-2026学年高三（上）第一次质量检测）如图所示，用六根符合胡克定律且原长均为的橡皮筋将六个质量为m的小球连接成正六边形，放在光滑水平桌面上.现在使这个系统绕垂直于桌面通过正六边形中心的轴以角速度匀速转动.在系统稳定后，观察到正六边形边长变为l，则橡皮筋的劲度系数为(    ) A. B. C. D. 66.（南通市如皋中学2025-2026学年高三上学期测试）一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是（　　） A. 小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零 B. 小球过最高点的最小速度是 C. 小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大 D. 小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小 67.（南京市六校联合体2025-2026学年高三上学期学情调研）如图所示，光滑半圆形球面体固定在水平面上，半径为R，顶部有一小物块，现给小物块一个水平初速度v0，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A. 若，则小物块做平抛运动直至落地 B. 若，则小物块紧贴着圆面下滑直至落地 C. 无论按照什么轨迹，小物块落地时，重力的瞬时功率均相等 D. 无论按照什么轨迹，小物块始终处于超重状态 68.（无锡市第一中学2025-2026学年高三上学期9月检测）下列关于生活中的圆周运动实例分析，其中说法正确的是（　　） A. 甲图中汽车通过拱桥的最高点时处于超重状态 B. 乙图中洗衣机里衣物随着滚筒做匀速圆周运动时，衣物运动到最低点B时脱水效果最好 C. 丙图中飞机在水平面内转弯时，重力提供向心力 D. 丁图中同一小球在光滑固定的圆锥筒内A、B位置先后做匀速圆周运动，在A、B两位置小球角速度大小相等 69.（无锡市第一中学2025-2026学年高三上学期9月检测）如图所示，在粗糙水平木板上放一个物块，使水平木板和物块一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab为水平直径，cd为竖直直径.在运动过程中木板始终保持水平，物块相对木板始终静止，则（　　） A. 物块始终受到两个力作用 B. 只有在a、b、c、d四点，物块受到的合外力才指向圆心 C. 从c到d，物块所受的摩擦力先增大后减小 D. 从b到a，物块处于失重状态 70.（南通市海安市2025-2026学年高三上学期开学）如图所示，用钉子将长为的细绳一端固定于点，另一端系质量为的小球处于静止状态.现给小球一水平向右的初速度，小球恰能在竖直平面内做完整的圆周运动，重力加速度为. （1）求小球运动到最高点的速度大小； （2）求小球再次回到出发点时绳中拉力的大小； （3）若在点的正下方处有一钉子，求绳子碰到钉子后，绳中拉力的最小值. 71.（南京市两校联合体2025-2026学年高三上学期10月）长为L的轻杆一端安在光滑固定转动轴O上，另一端固定有一只质量为m的小球（视为质点）.给小球一个初速度，使它在竖直面内绕O做圆周运动.已知当小球到达最高点时，小球对杆的压力大小为小球重力的.求：（不计空气阻力） （1）小球通过最高点时的速率v； （2）小球通过最低点时小球对杆的拉力大小F. 72.（泰州中学2025-2026学年高三上学期10月月考）如图所示，一轻支架由水平段和竖直段组成.轻弹簧一端固定于点，另一端与套在水平杆上的球相连，一根长为的轻绳连接A、B两球.球质量，B球质量，球与水平杆的动摩擦因数，弹簧原长，劲度系数.初始时使球尽量压缩弹簧并恰好处于静止状态.现使系统绕轴缓慢转动起来，转动过程中保持A、B两球始终与在同一竖直平面内.当系统以某角速度稳定转动时，细绳与竖直方向成37°角，此时弹簧的弹力大小恰好与初始时相同.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计空气阻力.，，，求： （1）初始时弹簧的长度； （2）细绳与竖直方向成37°角时，系统转动的角速度； （3）整个过程中驱动力对系统所做的总功. 73.（南京市临江高级中学2025-2026学年高三上学期一模）（南通市如皋中学2025-2026学年高三上学期测试）如图所示，半径为半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴重合.转台静止不转动时，将一质量为可视为质点的小物块放入陶罐内，小物块恰能静止于陶罐内壁的A点，且A点与陶罐球心O的连线与竖直轴成角，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取，答案可保留根号，求： （1）物块在A点静止时受到的摩擦力大小； （2）当物块在与O等高的B点处随陶罐一起匀速转动时，转台转动的角速度最小为多少； （3）若物块仍在陶罐中的A点随陶罐一起匀速转动且刚好不上滑，则转台转动的角速度为多少. 5、 实验 1. 探究平抛运动的规律 74．（泰州市靖江市2025-2026学年高三上学期第一次月考）如图所示，用小锤击打弹性金属片，A球沿水平方向飞出，同时B球自由落下.多次改变小球距地面的高度和打击的力度，均可观察到两球同时落地.这个实验现象说明（　　） A．A球在竖直方向上做自由落体运动 B．A球在竖直方向上做匀速直线运动 C．A球在水平方向上做匀速直线运动 D．A球在水平方向上做匀加速直线运动 75.（扬州市宝应县2025-2026学年高三上学期期初检测）某同学利用如图所示实验装置绘制小球做平抛运动的轨迹.下列说法中正确的是（　　） A. 斜槽轨道必须光滑且末端沿水平方向 B. 每次释放小球的初始位置可以任意选择 C. 通过小球与白纸的挤压记录小球的落点 D. 挡板的竖直位置变动必须等间距变化 76.（南通市海安市2025-2026学年高三上学期开学）“探究平抛运动的特点”实验中，下列情况中不会影响实验探究结果的是（　　） A. 斜槽轨道不光滑 B. 斜槽末端不水平 C. 装置的背板不竖直 D. 小球受到空气阻力不能忽略 77.（扬州高邮市2025-2026学年高三上学期开学调研）某实验小组利用如图所示的实验装置探究平抛运动的特点时，下列操作正确的是（　　） A. 调节斜槽末端水平后，将直尺紧靠斜槽末端且与斜槽末端相平，用笔沿直尺画出x轴 B. 建立坐标系时先作x轴后作y轴 C. 上下移动倾斜挡板N时，必须等间距移动 D. 描运动轨迹时，用平滑曲线把印迹连接起来 78.（泰州市兴化第一中学2025-2026学年高三上学期教学质量调研）如图甲是“研究物体的平抛运动”的实验装置. 为保证运动为平抛，应调整轨道，使轨道末端切线水平. （1）为定量研究，建立以水平向右为x轴正方向、竖直向下为y轴正方向的xOy坐标系.取平抛运动的起始点为坐标原点，将钢球静置于该点，钢球的______（选填“最上端”“最下端”或“球心”）对应白纸上的位置即为坐标原点. （2）实验中得到多个痕迹点，为得到钢球平抛运动的轨迹，下列做法正确的是______. A 用一条折线把各个痕迹点连接起来 B. 用一条平滑的曲线把所有痕迹点连接起来 C. 舍去偏差过大的点，用一条平滑的曲线把其余的痕迹点连接起来 （3）实验中通过描点法在xOy坐标系内获得了小球的平抛运动轨迹，在轨迹上确定A、B、C三点，如图乙所示，测出其y坐标值分别为，，，又测得A、B两点间水平距离是60.0cm，那么小球平抛的初速度大小为=______m/s，小球过C点时的速度大小是______m/s.（结果均保留两位有效数字，取） （4）为了进一步研究，某同学在轨迹上确定了一系列测量点，测出各点的坐标（，），作出图像，能说明小球的运动轨迹是抛物线的是______. A. B. C. 79.（无锡市第一中学2025-2026学年高三上学期9月检测）图甲是某种“研究平抛运动”的实验装置，斜槽末端口N与小球离地面的高度均为H，实验时，当P小球从斜槽末端飞出与挡片相碰，立即断开电路使电磁铁释放Q小球，发现两小球同时落地，改变H大小，重复实验，P、Q仍同时落地. （1）关于本题实验说法正确的有__________； A．斜槽轨道末段N端必须水平　　　　　　　　 B．斜槽轨道必须光滑 C．P小球可以从斜槽上不同的位置无初速度释放　D．P小球每次必须从斜槽上相同的位置无初速度释放 （2）该实验结果可表明__________； A．P小球在水平方向的分运动是匀速直线运动 B．P小球在竖直方向的分运动是自由落体运动 C．P小球的分运动是自由落体运动和匀速直线运动 （3）若用一张印有小方格（小方格的边长为）的纸记录P小球的轨迹，小球在同一初速平抛运动途中的几个位置如图乙中的a、b、c、d所示，重力加速度，则：P小球在b处的瞬时速度的大小为__________，若以a点为坐标原点，水平向右为x轴，竖直向下为y轴，则抛出点的坐标为__________（结果以厘米为单位）. 80.（南通市如皋中学2025-2026学年高三上学期测试）某学习小组利用如图甲、乙所示的装置探究平抛运动的特点. （1）如图甲所示，用小锤打击弹性金属片后，A球沿水平方向飞出，同时B球被松开并自由下落，实验现象是A、B球同时落地，该现象说明A球在（　　） A. 竖直方向做的是自由落体运动 B. 水平方向做的是匀速直线运动 （2）如图乙所示，将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直硬板上.A球沿斜槽轨道PQ滑下后从斜槽末端Q水平飞出，落在水平挡板MN上.由于挡板靠近硬板一侧较低，钢球落在挡板上时，A球会在白纸上挤压出一个痕迹点.移动挡板，依次重复上述操作，白纸上将留下一系列痕迹点.下列操作中有必要的有（　　） A. 尽可能减小A球与斜槽之间的摩擦 B. 通过调节使硬板保持竖直 C. 挡板高度等间距变化 D. 重复实验时，A球从斜槽的同一位置由静止释放 （3）利用图乙装置得到如图丙所示轨迹，在轨迹上取A（非抛出点）、B、C三点，AB和BC的水平间距相等且均为x，测得AB和BC的竖直间距分别是y1和y2. ①______（选填“大于”“等于”或“小于”）. ②已知当地重力加速度为g，可求得钢球离开斜槽末端时的速度大小为_____ . ③若在实验中，斜槽末端切线不水平，仅从这一影响因素分析，第②问中求得钢球离开斜槽末端时的速度大小______（选填“偏大”“偏小”或“没有影响”）. 81.（盐城市四校2025-2026学年高三（上）第一次质量检测）图甲是某种利用频闪照相“研究平抛运动”的实验装置，斜槽末端口N与小球Q离地面的高度均为H，实验时，当P小球从斜槽末端飞出与挡片相碰，立即断开电路使电磁铁释放Q小球，发现两小球几乎同时落地，改变H大小，重复实验，P、Q仍几乎同时地.  关于本实验说法不正确的是          . A.选择体积小、质量大的小球 B.斜槽轨道末段N端必须水平 C.P小球每次必须从斜槽上相同的位置无初速度释放 D.挡片质量要尽可能小 借助频闪仪拍摄上述运动过程.图乙为某次实验的频闪照片，在误差允许范围内，根据任意时刻P、Q两球的竖直高度相同，可判断P球竖直方向做          运动. 若用一张印有小方格小方格的边长为的纸和频闪相机记录P小球从斜槽末端飞出的轨迹，小球在某次平抛运动途中的几个位置如图丙中的a、b、c、d所示，重力加速度，则：频闪相机拍摄相邻两张照片的时间间隔是           某同学实验时忘了标记重垂线方向，为解决此问题，他在频闪照片中，以某位置为坐标原点，沿任意两个相互垂直的方向作为x轴和y轴正方向，建立直角坐标系，并测量出另外两个位置的坐标值、，如图丁所示.根据平抛运动规律，利用运动的合成与分解的方法，可得重垂线方向与y轴间夹角的正切值为          . 电磁铁用的铁芯可分为硬磁性材料和软磁性材料.硬磁性材料在磁场撤去后还会有很强的磁性，而软磁性材料在磁场撤去后就没有明显的磁性了.为了减小实验误差本实验中的电磁铁的铁芯应该用          选填“硬”或“软”磁性材料制作 2. 探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 82.（扬州高邮市2025-2026学年高三上学期开学调研）如图所示为向心力演示仪，在探究向心力与半径之间的关系时，下列操作正确的是（　　） A. 将两个相同的钢球分别放在挡板A与B处，传动皮带放在塔轮第一层 B. 将两个相同的钢球分别放在挡板B与C处，传动皮带放在塔轮第一层 C. 将两个相同的钢球分别放在挡板A与C处，传动皮带放在塔轮第二层 D. 将铝球和钢球分别放在挡板A与C处，传动皮带放在塔轮第一层 3. 创新实验 83.（无锡市第一中学2025-2026学年高三上学期9月检测）通过观看“太空授课”，同学们确信在太空站完全失重环境下已无法用天平称量物体的质量.为此，某物理兴趣小组设计了在这种环境中测量物体质量的实验装置及实验方案.如图1所示，将质量待测的小球静置于桌面上，小球与拉力传感器计通过一根细线（质量可忽略）连接，细线穿过圆盘上的一个小孔（尽量光滑些），A为光电门，可记录小球直径通过光电门的时间. （1）以下是实验操作和测量步骤： ①用游标卡尺测量小球的直径d，示数如图2所示，则其读数为____________mm； ②轻推小球，给小球一个初速度，使它在桌面上做匀速圆周运动； ③记录拉力传感器的读数F； ④记录小球通过光电门的时间t： ⑤用毫米刻度尺测出细线在桌面上那部分长度，则小球的运动半径____________（用所测物理量的字母表示）； ⑥根据所测得物理量求得小球质量____________（结果用F、d、r、t表示）： ⑦改变小球的初速度，重复实验，多次测量： ⑧对多次测量的m值取平均值，最后得到小球质量. （2）该实验小组还提出了利用图像法处理实验数据的方案：以为纵坐标、F为横坐标，作出图线，得到图线的斜率为k，则小球质量____________（结果用r、k表示）. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 抛体运动与圆周运动 1、 曲线运动 1.（苏州市苏州高新区第一中学2025-2026学年高三上学期第一次月考）生活中曲线运动随处可见.关于曲线运动，下列说法正确的是（　　） A. 匀速圆周运动是一种匀速运动 B. 平抛运动是匀变速曲线运动，斜抛运动是变加速曲线运动 C. 速度方向有时与曲线上的某点相切，有时与曲线上某点的切线垂直 D. 物体所受合外力恒定时，可能做曲线运动 【答案】D 【解析】匀速圆周运动的物体速度大小不变，但速度方向时刻改变，是变速运动，A错误；斜抛运动和平抛运动都仅受重力，加速度均为重力加速度，都是匀变速曲线运动，B错误；在曲线运动中，质点的速度方向一定是沿着轨迹的切线方向，C错误；物体所受合外力恒定时，也可能做曲线运动，比如平抛运动，D正确.故选D. 2.（扬州高邮市2025-2026学年高三上学期开学调研）如图所示，飞镖在空中做曲线运动，其速度为，所受合力为，下列图示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】飞镖的速度应沿轨迹的切线方向，所受合外力应指向运动轨迹的凹侧.故选D. 2、 运动合成与分解 3.（泰州市兴化第一中学2025-2026学年高三上学期教学质量调研）一同学在桌面的白纸上匀速划一道竖直线，如图所示.在划线的过程中另一位同学水平向左加速抽动了白纸，白纸上的划痕图样可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据题意可知笔尖相对白纸参与水平向右的匀加速运动和水平向外的匀速运动，所以轨迹向右弯曲.故选A. 4.（马坝高级中学2025-2026学年高三上学期第一次调研）如图所示，某同学利用无人机玩“投弹”游戏.无人机沿水平方向匀速飞行，在某时刻释放了一个小球.忽略空气阻力的影响.小球在空中运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球的速度始终沿竖直方向变化 B．小球的速度方向始终沿竖直方向 C．小球落地的速度方向与地面垂直 D．小球的速度方向和加速度方向都在不断变化 【答案】A 5.（苏州市苏州高新区第一中学2025-2026学年高三上学期第一次月考）小船在静水中的速度为5m/s，某河流的宽度为150米，水流速度为4m/s，若小船在此河流中以最短时间渡河，则最短时间为（　　） A. 45s B. 40s C. 35s D. 30s 【答案】D 【解析】当船头垂直河岸渡河时，渡河时间最短为，故选D. 6.（扬州高邮市2025-2026学年高三上学期开学调研）足球训练中，甲乙两人在同一位置，甲将足球沿平直地面踢出，乙立即由静止开始追赶球，乙和球沿同一直线运动，且在t时刻追上足球，下列能反映该过程的图像是（　　） A. B. C D. 【答案】A 【解析】设足球被踢出的方向为正方向，被踢出的位置为坐标原点，因开始时球和乙都在同一位置且同时出发，则图像都从坐标原点开始；则若没有阻力，则足球沿正方向做匀速运动，x-t图像为过原点倾斜的直线；若考虑阻力，则足球沿正方向做减速运动，则x-t图像为斜率减小的曲线；人可能匀速追赶球，则x-t图像为过原点的倾斜的直线；还可能加速，x-t图像为过原点的斜率增加的曲线；综上所述，只有A正确. 故选A. 7．（盐城市五校2025-2026学年高三上学期联考）如图所示，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率相向运动，某时刻绳与竖直方向夹角为.此时塔块沿竖直方向下落的速度为（   ） θ A． B． C． D． 【答案】D 8.（泰州中学2025-2026学年高三上学期10月月考）如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动.为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v（ ） A. 一直减小 B. 一直增大 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小 【答案】B 【解析】设两边绳与竖直方向的夹角为，塔块沿竖直方向匀速下落的速度为，将沿绳方向和垂直绳方向分解，将沿绳子方向和垂直绳方向分解，可得 ，解得 ，由于塔块匀速下落时在减小，故可知v一直增大.故选B. 9.（南通市如皋中学2025-2026学年高三上学期测试）如图所示，长为L的直杆一端可绕固定轴O无摩擦转动，另一端靠在以水平速度v匀速向左运动、表面光滑的竖直挡板上，当直杆与竖直方向夹角为θ时，直杆端点A的线速度为（ ） A. B. vsin θ C. D. vcos θ 【答案】C 【解析】试题分析：如图将A点的速度分解： 根据运动的合成与分解可知，接触点A的实际运动、即合运动为 在A点垂直于杆的方向的运动，该运动由水平向左的分运动和竖直向下的分速度组成，所以，为A点做圆周运动的线速度．故选C． 10.（淮安市某重点中学2025-2026学年高三上学期月考）如图所示，小球C套在竖直杆上，通过两根轻绳分别与物块A、B相连，A、B、C三者始终在同一竖直平面内运动，A、B与轻滑轮之间的绳平行于斜面，某时刻小球C两侧的绳与杆的角度如图，此时C向下的速度大小为v，A、B沿斜面向上的速度大小分别为、，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】将绳端速度分解为沿绳和垂直绳可知，，故选C. 11.（南通市如皋中学2025-2026学年高三上学期测试）如图所示，压缩机通过活塞在汽缸内做往复运动来压缩和输送气体，活塞的中心A与圆盘在同一平面内，O为圆盘圆心，B为圆盘上一点，A、B处通过铰链连接在轻杆两端，圆盘绕过O点的轴做角速度为ω的匀速圆周运动.已知O、B间距离为r，AB杆长为，则（　　） A. L越大，活塞运动的范围越大 B. 圆盘半径越大，活塞运动的范围越大 C. 当OB垂直于AB时，活塞速度为ωr D. 当OB垂直于AO时，活塞速度为ωr 【答案】D 【解析】当B点圆心左侧水平位置时，活塞运动到最左位置，距离O点，当B点在圆心右侧水平位置时，活塞运动到最右位置，距离O点，所以活塞运动范围为，此距离与L无关，与r成正比，与圆盘半径无关，A、B错误；当OB垂直于AB时， 如图甲所示，此时B点速度方向一定沿杆，则，C错误；圆盘B点速度，当OB垂直于AO时，如图乙所示，此时活塞速度方向与圆盘上B点速度方向相同，速度方向与杆夹角相同，沿杆速度，此时有，D正确.故选D. 甲 乙 12.（常州市金坛区第一中学2025-2026学年高三上学期9月）汽车发动机的曲柄连杆机构其结构示意图如图所示.曲轴可绕固定的O点自由转动，连杆两端分别连接曲轴上的A点和活塞上的B点，若曲轴绕O点做匀速圆周运动，速率12m/s，，.下列说法正确的是（　　） A. 活塞在水平方向上做匀速直线运动 B. 当OA竖直时，活塞的速度为8m/s C. 当OA与AB共线时，活塞的速度为12m/s D. 当OA与AB垂直时，活塞的速度为15m/s 【答案】D 【解析】根据题意，活塞沿水平方向往复运动，则活塞的运动不是匀速直线运动，故A错误；已知A点的线速度为，当OA竖直时，将A点和活塞的速度沿杆方向和垂直杆方向分解，如图所示，由几何关系可知，可得，故B错误；当OA和OB共线时，A点在沿杆方向的分速度是0，则活塞的实际速度沿杆也为0，故C错误；当OA与AB垂直时，A点的速度沿杆方向，设AB与OB的夹角为，有，其中，解得，故D正确.故选D. 13．（盐城市五校2025-2026学年高三上学期联考）质量为2 kg的物体在xy平面上做曲线运动，在x方向的速度象和y方向的位移图像如图所示，试求： （1）质点的初速度大小； （2）质点所受的合外力大小. 【答案】(1)， ， (2)，. 3、 抛体运动 1. 平抛运动 14.（泰州中学2025-2026学年高三上学期10月月考）如图所示，某趣味游戏中小球从圆柱形水杯口边缘沿直径方向水平射入，设球与杯壁碰撞是弹性碰撞，不计空气阻力．则小球入水前的运动轨迹情景图可能正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】小球与筒壁相碰，由于碰撞是弹性碰撞，可知碰后的轨迹应该与原来没碰时的轨迹延长线关于筒壁对称，且第二次碰撞到第三次碰撞过程中竖直方向的位移比第一次碰撞前大，可知C图中的轨迹是正确的，故选C. 15．（盐城市五校2025-2026学年高三上学期联考）如图所示，某同学同时将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点接到鸟食.鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则（　　） A．两只小鸟同时接到鸟食 B．在M点的鸟先接到鸟食 C．两颗鸟食平抛的初速度相同 D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大 【答案】B 16. （南京市临江高级中学2025-2026学年高三上学期一模）如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食.鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则（　　） A. 两颗鸟食同时抛出 B. 在N点接到的鸟食后抛出 C. 两颗鸟食平抛的初速度相同 D. 在M点接到的鸟食平抛的初速度较大 【答案】D 【解析】鸟食的运动视为平抛运动，则在竖直方向有，由于hM < hN，则tM < tN，要同时接到鸟食，则在N点接到的鸟食先抛出，故A、B错误；CD．在水平方向有x = v0t，如图 过M点作一水平面，可看出在相同高度处M点的水平位移大，则M点接到的鸟食平抛的初速度较大，故C错误，D正确.故选D. 17.（南通市如皋中学2025-2026学年高三上学期测试）如图所示，从倾角为θ斜面足够长的顶点A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为α1，第二次初速度为v2，球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为α2，则（　　） A. α1>α2　v1>v2 B. α1<α2　v1<v2 C. α1=α2　v1>v2 D. α1=α2　v1<v2 【答案】D 【解析】因为小球落到斜面上，则一定存在，解得，设速度方向与水平方向的夹角为，则，因为一定，所以也是一定的，根据几何知识可得，而和一定，所以一定，即有α1=α2，由图可知，而根据平抛运动竖直方向的关系可得，又，所以v1<v2，故选D. 18.（淮安市某重点中学2025-2026学年高三上学期月考）如图所示，O为抛物线OM的顶点，A、B为抛物线上两点，O点的切线水平.从A、B两点分别以初速度、水平抛出两小球，同时击中O点，不计空气阻力，则两球（ ） A. 必须同时抛出 B. 击中O点时速度相同 C. 击中O点时速度方向相同 D. 初速度与相等 【答案】D 【解析】已知O为抛物线OM顶点，则以O为原点建立xOy直角坐标系，设OM为，则两平抛运动在竖直方向为自由落体运动，有，，联立解得，所以在A点的小球要先抛出才能使两小球同时击中O点；又由平抛在水平方向为匀速直线运动，有，， 联立可得，A错误，D正确；两小球水平方向速度相同，竖直方向速度不同，根据，可知击中O点时的速度不同，B错误；击中O点时速度方向与水平夹角，两小球水平方向速度相同，竖直方向速度不同，夹角不同，C错误.故选D. 19. 如图所示，某海洋乐园里正在进行海豚戏球表演，驯兽师由静止释放球的同时，海豚沿正对着球的方向跃出水面，设海豚出水后姿势保持不变，不计空气阻力，海豚在落水前（　　） A. 相同时间内速度方向变化的角度相同 B. 相对球做匀速直线运动 C. 一定能顶到球 D. 增大出水时的仰角能顶到球 【答案】B 【解析】相同时间内速度的变化量相等，但对应时间的初速度的大小和方向不同，故速度方向变化的角度不同，A错误；海豚和小球都仅受重力作用，加速度相同，故海豚在落水前相对球做匀速直线运动，B正确；设海豚跃出水面距离驯兽师正下方的水平位移为x，小球释放的高度为h，海豚跃出水面的速度方向与水平面的夹角为，故海豚能顶到球满足的关系为，，，当海豚在落水前所经历的时间为，故当海豚落水时恰好顶到求，则有，解得，故当时，海豚不能顶到球，C错误；增大出水时的仰角，即，则，故不能顶到球，D错误.故选B. 20.（南通市海安市2025-2026学年高三上学期开学）如图所示，从A、B两点分别沿水平方向发射两弹珠，弹珠恰好落在B、A两点的正下方.A、B两点距地面高度为h，A、B两点间的水平位移为，重力加速度为.求： （1）弹珠的发射速度； （2）两弹珠空中轨迹的交点距地面的高度. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）弹珠做平抛运动，则有，，解得.（2）根据对称性，两弹珠运动至空中轨迹的交点过程有，，结合上述解得. 21.（泰州市兴化第一中学2025-2026学年高三上学期教学质量调研）某同学以初速度水平抛出一个石子，石子在空中运动的轨迹照片如图所示.从照片可看出石子恰好垂直打在一倾角为的斜坡上的A点.不计空气阻力，取，，，求： （1）石子打在A点的速度大小； （2）石子在空中运动的时间； （3）抛出点与A点在竖直方向的距离. 【答案】（1）25m/s （2）2s （3）20m 【解析】（1）石子垂直打在斜坡上A点，有，解得石子打在A点的速度大小为. （2）石子打在A点时，有，又，解得石子在空中运动的时间为.（3）抛出点与A点在竖直方向距离为，解得. 22.（扬州市宝应县2025-2026学年高三上学期期初检测）如图所示，倾角为37°的斜面长l=1.9 m，在斜面底端正上方的O点将一小球以v0=3 m/s的速度水平抛出，与此同时由静止释放斜面顶端的滑块，经过一段时间后，小球恰好能够以垂直于斜面的速度在斜面P点处击中滑块.（小球和滑块均可视为质点，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8）求： （1）抛出点O离斜面底端的高度； （2）滑块与斜面间的动摩擦因数μ. 【答案】（1）1.7 m （2）0.125 【解析】（1）设小球击中滑块时的速度为，竖直速度为，如图所示 由几何关系得，设小球下落的时间为，竖直位移为，水平位移为，由运动学规律得，，，解得，，，设抛出点到斜面底端的高度为，由几何关系得，联立解得.（2）设在时间内，滑块的位移为，由几何关系得，设滑块的加速度为，由运动学公式得，对滑块，由牛顿第二定律得，联立解得. 23.（南通市如皋中学2025-2026学年高三上学期测试）一辆货车以速度在平直的公路上匀速行驶，某时刻车上的石子从车尾高处掉落，假设石子与地面碰撞反弹时的速率为撞击地面时速率的，反弹前后速度方向与地面的夹角相等.重力加速度，忽略空气阻力.求 （1）石子第一次落地时的速度大小v； （2）石子第二次落地时距车尾的水平距离L. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）设石子从车尾下落到地面的时间为t，石子做平抛运动，竖直方向的速度 ， 石子第一次落地时速度，解得.（2）石子撞击地面前后速度与水平地面夹角相同，反弹速率为撞击地面时速率的，第一次反弹时石子的速度，，第一次反弹后至第二次落地前石子在空中的时间，第二次落地时石子与车尾水平距离，解得. 2.斜抛运动 24.（常州市金坛区第一中学2025-2026学年高三上学期9月）如图所示，一个小球放在水平地面上的O点，先后以初速度、从O点斜向上抛出，与水平方向的夹角比与水平方向的夹角大，不计空气阻力，则下列判断一定正确的是（　　） A. 若两次落到地面上的同一点，则 B. 若两次落到地面上同一点，则 C. 若两次上升的最大高度相同，则 D. 若两次上升的最大高度相同，则 【答案】D 【解析】设初速度与水平方向的夹角为α，与水平方向夹角为β，两次均做斜向上抛运动，则有以v1抛出，在水平方向的初速度为，在竖直方向的初速度，竖直方向是竖直上抛运动，整个运动的时间为t1，则有，水平方向是匀速直线运动，则有水平方向的位移有，同理以v2抛出时，水平方向则有，竖直方向，水平位移，因为，则有， 虽然α>β，由于α与β的确切关系不确定，因此v1与v2的确切关系不能确定，AB错误；若两次上升的最大高度相同，则有，可得，由于α>β，则一定有v1< v2，C错误，D正确.故选D. 25.（南通市如皋中学2025-2026学年高三上学期测试）甲、乙两球在同一竖直平面内同时从同一水平线上抛出，并同时落到P点，轨迹如图所示，甲、乙两球运动的最大高度相等，不计空气阻力.则上述整个过程中（　　） A. 甲球的速度变化量比乙球的大 B. 甲球抛出的初速度比乙球的大 C. 甲球的最小动能比乙球的大 D. 甲球相对于乙球做匀加速直线运动 【答案】B 【解析】A．两球运动时间相同，速度变化量相同，故A错误；B．两球做斜抛运动，竖直方向做竖直上抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向分速度相同，根据，甲水平方向分速度较大，则甲球抛出的初速度比乙球的大，故B正确；C．甲乙质量未知，无法比较二者动能大小，故C错误；D．两球做斜抛运动，竖直方向做竖直上抛运动，水平方向做匀速直线运动，甲球相对于乙球做匀速直线运动，故D错误.故选B. 26.（常州市北郊高级中学2025-2026学年高三上学期月考）如图所示，某人站在山顶上，将一质量的石块沿与水平方向成夹角的方向斜向上抛出，石块出手离地面的高度，石块落在水平地面上的动能，不计空气阻力作用，重力加速度g取，则（　　） A. 石块抛出时的速度大小为 B. 石块在空中运动的时间约为 C. 石块在运动过程中，最大速度为 D. 石块在运动过程中，最小速度为 【答案】D 【解析】石块落地时速度最大，根据,可得石块的最大速度,C错误；根据机械能守恒定律,解得石块抛出时的速度大小,A错误；物体抛出后，在竖直方向上做上抛运动，总运动时间比自由落体运动时间要长，即,B错误；石块运动到轨迹跟高点时，竖直方向速度为零，其速度最小，最小速度等于抛出时的水平速度为,D正确.故选D. 27.（盐城市四校2025-2026学年高三（上）第一次质量检测）室内足球运动的某次传球过程，足球在地面位置1被踢出后落到位置3，2为空中达到的最高点，速度大小为，则 A. 足球在空中运动时只受重力 B. 足球在位置1和位置3的动能相等 C. 与下落过程相比，足球在上升过程中用时少 D. 若在位置2以大小为的速度水平向左抛出，足球将沿原轨迹返回位置1 【答案】C  【解析】根据足球的运动轨迹可知足球空中运动过程中，不仅受到重力，还受到空气阻力，A错误；由于空气阻力对足球做负功，足球的机械能减小，则足球在位置1的动能大于在位置3的动能，B错误；由于空气阻力的存在，上升过程竖直方向加速度大于下降过程竖直方向加速度，根据可知，足球在上升过程中用时少，C正确；若在位置2以大小为的速度水平向左抛出，根据对称性可知，足球的运动轨迹为2到3的对称轨迹，所以足球不沿原轨迹返回位置1，D错误. 28.（南通市海安市2025-2026学年高三上学期开学）“苏超”重新点燃了足球的魅力.比赛中，一足球被踢出后在空中依次经过1、2、3三点，运动轨迹如图所示，2为最高点，1、3两点等高.则足球运动过程中（　　） A. 位置2的速度最小 B. 位置3的加速度最小 C. 位置1的机械能最小 D. 位置1到2和位置2到3的耗时相等 【答案】B 【解析】由足球的运动轨迹可知，足球运动过程受阻力作用，则三点的机械能关系为，即，则位置1的速度一定大于位置2的速度，位置2的速度不一定小于位置3的速度，AC错误；根据三点的受力图，结合牛顿第二定律F=ma可知，位置3的加速度最小，B正确； 从1到2竖直方向，从2到3竖直方向，可知竖直加速度， 根据，可知位置1到2的时间小于位置2到3的时间，D错误.故选B. 29.（南京市中华中学2025-2026学年高三上学期9月）蹴鞠最早出现在我国春秋时期，蹴鞠的球门称为“鞠城”.如图，现将鞠在鞠城中央的正前方点斜向上踢出，第一次击中横梁中央点，第二次击中点右侧的点，两次击中时速度均沿水平方向，忽略空气对鞠的作用力，下列说法正确的是（　　） A. 第一次的踢出速度比第二次的大 B. 第一次踢出时的速度与水平方向的夹角比第二次小 C. 鞠从踢出到击中点的动能变化量比从踢出到击中点的大 D. 鞠从踢出到击中两点的动量变化量相同 【答案】D 【解析】本题利用逆向思维法将斜抛运动转换为从点射出的平抛运动，可以方便解题，竖直位移相等的情况下，根据，两次时间相同，第一次水平位移小，则水平速度较小，故第一次的踢出速度较小，A错误；竖直位移相等的情况下，第一次水平位移小，则位移偏向角大，因速度偏向角的正切等于位移偏向角正切的2倍，则速度偏向角也大，故第一次踢出速度与水平方向夹角比第二次大，B错误；两次飞行过程中，合外力做功即重力做功相同，即动能变化量相同，C错误；由于飞行时间相同，则合外力冲量即重力冲量相同，根据动量定理可知，鞠的动量变化量相同，D正确.故选D. 30.（泰州中学2025-2026学年高三上学期10月月考）在一次篮球运动训练中，篮球在空中划出完美的弧线，现在篮球运动所在的竖直平面内建立平面直角坐标系xOy，如图所示.篮球从A点投出，最后到达地面上的D点，B、C是其运动轨迹上的两点，B为篮球运动的最高点.A、B、C、D四点的坐标分别为（L、0）、（0，L）、（L，0）、（2L，y）.不计空气阻力，篮球可视为质点，重力加速度大小为g，求： （1）篮球从A运动到D的时间； （2）篮球从A点投出时的初速度大小. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）从A到B，由斜抛运动的规律可知，，解得，，则从A到D的时间.（2）从A点抛出的竖直分速度，则篮球从A点投出时的初速度大小. 31.（淮安市某重点中学2025-2026学年高三上学期月考）如图所示，坡面倾角为，一个小球从坡面上O点垂直坡面斜向上抛出，初速度大小，重力加速度，，，不计空气阻力.求： （1）小球落在斜面上的时间t； （2）小球落点A到O点的距离. 【答案】（1）t=2s （2）12m 【解析】（1）将小球的运动沿斜面方向与垂直于斜面方向分解，则垂直于斜面方向的加速度， 根据对称性可知，小球落在斜面上的时间.（2）小球沿斜面方向的加速度，则小球落点A到O点的距离，联立解得. 4、 圆周运动 1.圆周运动的描述 32.（常州市北郊高级中学2025-2026学年高三上学期月考）如图，A、B分别为两传动轮边缘上的两点，转动过程中皮带不打滑，A、B两点的（　　） A. 速率相等 B. 线速度相等 C. 转速相等 D. 角速度相等 【答案】A 【解析】A、B分别为两传动轮边缘上的两点，转动过程中皮带不打滑，所以A、B两点属于共线传动，线速度大小相等.故选A. 33.（淮安市某重点中学2025-2026学年高三上学期月考）长L的轻杆两端分别固定着可以视为质点的小球A、B，放置在光滑水平桌面上，杆中心O有一竖直方向的固定转轴，A、B的质量分别为5m、m.当轻杆以角速度绕轴在水平桌面上转动时，转轴受到杆的拉力大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】以A为研究对象，根据向心力公式有，以B为研究对象，根据向心力公式有，当轻杆以角速度绕轴在水平桌面上转动时，转轴受杆拉力的大小为，故选C. 34.（盐城市四校2025-2026学年高三（上）第一次质量检测）如图所示是链球比赛的场景．运动员双手握住柄环，经过预摆和圈连续加速旋转后用力将链球掷出．把链球整个运动过程简化为加速圆周运动和斜抛运动，忽略空气阻力．下列说法正确的是      A. 链球圆周运动过程中受到的拉力指向圆心 B. 链球掷出瞬间速度方向沿圆周的切线方向 C. 链球掷出后运动过程中加速度的方向不断变化 D. 链球掷出瞬间的速度越大运动的水平距离越远 【答案】B  【解析】链球做加速圆周运动，拉力和重力的合力提供两方面的效果，径向的合力提供向心力，切向的合力提供切向力，故拉力不指向圆心，A错误.迹的切线方向为运动方向，链球掷出瞬间速度方向沿该点圆周运动的切线方向，B正确.松手后链球做斜抛运动，只受重力作用下，做匀变速运动，加速度不变，C错误.速度方向与水平方向夹角为，假设链球掷出的瞬间高度为0，链球掷出后落地水平距离，与速度方向有关，不是速度越大水平距离就越远，D错误. 35.（扬州高邮市2025-2026学年高三上学期开学调研）遥控汽车以恒定速率绕周长为s的圆形赛道一周用时t，则遥控汽车（　　） A. 线速度大小为 B. 角速度为 C. 线速度方向不变 D. 加速度为零 【答案】A 【解析】线速度等于周长和周期的比值，即，A正确；角速度，B错误；线速度方向沿切线方向，时刻改变，C错误；向心加速度，D错误.故选A. 36.（无锡市第一中学2025-2026学年高三上学期9月检测）电风扇在闪光灯下转动，灯每秒闪光30次，风扇有三个均匀分布的叶片，如果转动时观察到有六个叶片，则其转速可能为（　　） A. 10转/秒 B. 15转/秒 C. 20转/秒 D. 30转/秒 【答案】B 【解析】电风扇有三个均匀分布的叶片，相邻叶片夹角为120°，当闪光灯每秒闪光30次（周期为秒），若观察到六个叶片，说明每次闪光时叶片转过的角度为60°的奇数倍，即 此时视觉上叶片位置交替呈现，导致叶片数量翻倍，设转速为，在秒内转过的角度为，解得，当时，转/秒；时，转/秒；时，转/秒.故选B. 37．（盐城市五校2025-2026学年高三上学期联考）某同学在傍晚用内嵌多个彩灯的塑料绳跳绳，照片录了彩灯在曝光时间内的运动轨迹，简图如图所示.彩灯的运动可视为匀速圆周运动，相机本次曝光时间是，圆弧对应的圆心角约为，则该同学每秒钟跳绳的圈数约为（　　） A．2.5 B．5 C．10 D．12 【答案】B 38.（南通市海安市2025-2026学年高三上学期开学）早在战国的《石氏星经》中对“黄道、赤道”已有记载，如图所示，静置在地球黄道面和赤道面上的、两物体（　　） A. 角速度相等 B. 线速度相等 C. 向心加速度相等 D. 重力加速度相等 【答案】A 【解析】、两物体随地球自转，具有相同的角速度，其线速度、向心加速度、重力加速度均不相同，故选A. 39.（无锡市第一中学2025-2026学年高三上学期9月检测）如图所示，质点a、b在同一平面内绕质点c沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的周期之比Ta∶Tb＝1∶k（k＞1，为正整数）.从图示位置开始，在b运动一周的过程中（　　） A. a、b距离最近的次数为k次 B. a、b距离最近的次数为k－1次 C. a、b、c共线的次数为2k次 D. a、b、c共线的次数为2k＋2次 【答案】B 【解析】在b转动一周过程中，a转动k周，a、b距离最远的次数为k-1次，a、b距离最近的次数为k-1次，故a、b、c共线的次数为2k-2，选项B正确，ACD错误.故选B. 40.（苏州市苏州高新区第一中学2025-2026学年高三上学期第一次月考）打水漂是民间小朋友喜爱的一种娱乐项目.用扁型瓦片或石片，用力旋转飞出，石片擦水面飞行，利用物体的惯性和旋转时具有定轴性，触水面后受水作用而弹起，石片将不断在水面上向前弹跳直至沉水.假设一块圆饼形石头被扔出后，若只研究石头在水平面上的运动，可将石头看成是在平行水面绕其中心以匀速旋转，同时以的初速度向前匀减速直线运动，直到前进速度为0后沉入水底，水平方向向前的运动距离为，则此段时间内石头转的圈数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】石头向前运动距离为时，运动时间为，解得，石头圆周运动的周期为，所以石头旋转的圈数为，故选A. 41.（扬州市新华中学2025-2026学年高三上学期10月学情检测）抓着手机使之在水平桌面上做圆周运动，手机内置的传感器记录了角速度随时间的变化关系，如图所示，则手机（　　） A. 从3.20 s到3.40 s，速度增大 B. 在3.20 s时，所受合力指向圆心 C. 在3.40 s时，合力的功率最大 D. 从3.00 s到3.80 s，运动的路程可用图线与横轴围成图形的面积表示 【答案】A 【解析】手机在水平桌面上做圆周运动，从3.20 s到3.40 s，角速度增大，线速度也增大，A正确；在3.20 s时，角速度增大，切线方向有加速度，所受合力不指向圆心，B错误；在3.40 s时，速度达到最大，合力指向圆心，与速度方向垂直，合力的功率为0，C错误；图线与横轴围成图形的面积表示转过的角度，D错误.故选A. 42.（常州市金坛区第一中学2025-2026学年高三上学期9月）如图所示是一个玩具陀螺，a、b和c是陀螺表面上三个点.当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度稳定旋转时，下列表述正确的是（　　） A. a、b和c三点的线速度大小相等 B. a、b和c三点的角速度大小不相等 C. a、b两点的角速度比c的大 D. a、b两点的加速度比c点的大 【答案】D 【解析】 a、b和c三点在陀螺上属于同轴转动，所以a、b和c三点的角速度相同，由可知，，所以，由可知，所以，故选D. 43.（南京市金陵中学2025-2026学年高三上学期10月）如图所示，汽车转弯时，四个车轮轮轴延长线交于同一点.已知四个车轮的规格完全相同，且转弯时车轮不打滑，则汽车转弯时，四个车轮的（　　） A. 轮轴绕点运动的线速度大小相等 B. 轮轴绕点运动的角速度大小相等 C. 边缘绕轮轴转动的线速度大小相等 D. 边缘绕轮轴转动的角速度大小相等 【答案】B 【解析】AB．汽车转弯时，四个车轮轮轴绕点做圆周运动，属于同轴转动，同轴转动的各点角速度大小相等，四个车轮轮轴绕点运动的半径不同，根据，角速度相等时，半径不同则线速度大小不相等， A错误，B正确；C．由于四个车轮规格完全相同且不打滑，但它们绕点运动的半径不同，线速度不同，所以边缘绕轮轴转动的线速度大小不相等，故 C错误；D．根据这里是车轮边缘相对轮轴的线速度，线速度不同，半径相同车轮规格相同，所以边缘绕轮轴转动的角速度大小不相等， 故D错误.故选B. 44.（扬州高邮市2025-2026学年高三上学期开学调研）把一个小球放在玻璃漏斗中，晃动漏斗，可以使小球短时间内沿光滑的漏斗壁在水平面内做匀速圆周运动.若小球第二次做匀速圆周运动的半径比第一次小，则小球第二次做匀速圆周运动时（　　） A. 周期较小 B. 线速度较大 C. 加速度较小 D. 对漏斗壁的压力较大 【答案】A 【解析】ABC．设漏斗侧壁与竖直方向夹角为θ，对小球受力分析可知 可得，，，因第二次做圆周运动的半径较小，可知周期较小，速度较小，加速度与第一次相同，选项A正确，BC错误；受到漏斗壁的弹力，与第一次相同，选项D错误.故选A. 45.（泰州中学2025-2026学年高三上学期10月月考）如图所示，螺旋测微器旋钮转动一周，旋钮同时沿着轴线方向前进或后退0.5mm.旋钮上“0”刻线处A点的旋转半径为5.0mm.若匀速转动旋钮，则A点绕轴线转动的线速度和沿轴线移动的速度大小之比约为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】旋动旋钮一圈，测微螺杆便沿着旋转轴线方向前进或后退一个螺距的距离，A点做圆周运动的线速度为，A点水平移动的速度为，代入数据得，故选C. 46.（南通市如皋中学2025-2026学年高三上学期测试）如图所示，在“探究向心力大小的表达式”实验中，两质量相等的钢球做匀速圆周运动，若图中左、右标尺上红白相间的等分格显示的比值为1：4，则与皮带连接的左、右变速轮塔对应的半径之比为（　　） A. 2：1 B. 1：2 C. 1：4 D. 4：1 【答案】A 【解析】A、B两球做圆周运动的轨道半径相同，两球质量相等，左、右标尺上显示的格数表示两球受到的向心力，由向心力的表达式可知，两球的角速度之比为1：2，由于两轮塔皮带边缘线速度大小相等，由可知，与皮带连接的左、右变速轮塔对应的半径之比为2：1.故选A. 47.（无锡市第一中学2025-2026学年高三上学期9月检测）如图甲是“向心力大小演示仪”，图乙是其传动部分侧视图，某次实验时，小球摆放位置如图甲所示，皮带安装在两侧中间塔轮上，此时左右两侧塔轮的半径之比为2：1，则（　　） A. 图乙中A、C两点角速度之比为1：2 B. 左右两球线速度大小之比为2：1 C. 左右两球向心力加速度大小之比为4：1 D. 若左右两球质量之比为2：1，两球所需要的向心力大小之比为1：1 【答案】A 【解析】皮带传动时轮边缘上各点的线速度相等，左右两侧塔轮的半径之比为2：1，根据,角速度之比为=1：2,而C点位于右侧塔轮上，所以图乙中A、C两点角速度之比为1：2，A正确；左右两球圆周运动半径相等，根据,左右两球线速度大小之比为1：2，B错误；根据,左右两球向心力加速度大小之比为1：4，C错误；若左右两球质量之比为2：1，根据,两球所需要的向心力大小之比为1：2，D错误.故选A. 2.水平面内的圆周运动 48.小明同学很喜欢玩旋转木马，如图所示，假设旋转木马以恒定角速度在水平面上做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A. 坐在最外侧的木马上，小明同学的线速度最大 B. 坐在同一木马上，小明同学的加速度不变 C. 小明同学所受的合外力总是为零 D. 小明同学有向外飞的趋势，是因为受到离心力的作用 【答案】A 【解析】所有木马同轴转动，角速度相等，最外侧的木马圆周运动的半径最大，根据v=ωr，坐在最外侧的木马上，小明同学的线速度最大，A正确；坐在同一木马上，小明同学加速度大小不变，方向不断变化，B错误；小明同学做圆周运动的向心力由合外力提供，小明同学所受的合外力不为零，C错误；小明同学有向外飞的趋势，是因为所受的合外力不足以提供所需的向心力，小明并不受离心力，D错误.故选A. 49.（南通市如皋中学2025-2026学年高三上学期测试）如图所示，质量相同的小球甲、乙、丙用长度不同的轻绳悬于O点，均在水平面内做匀速圆周运动.已知甲、乙在同一水平面内运动，乙、丙经过同一抛物线，则（　　） A. 甲、乙的向心力大小相等 B. 甲、乙的向心加速度大小相等 C. 乙、丙的角速度大小相等 D. 乙、丙的线速度大小相等 【答案】D 【解析】设绳子与竖直方向的夹角为，根据牛顿第二定律可得，可得向心加速度大小为，由于乙对应的较大，所以甲的向心力小于乙的向心力，甲的向心加速度小于乙的向心加速度，A、B错误；已知乙、丙经过同一抛物线，以O点为坐标原点，竖直向下为轴，水平向左为轴，则抛物线方程为，设乙、丙的坐标分别为（，），（，），则有，根据牛顿第二定律可得，其中，，可得，，由于，，则有，，C错误，D正确.故选D. 50.（淮安市某重点中学2025-2026学年高三上学期月考）将一根不可伸长的轻绳穿过竖直杆上的光滑圆孔，轻绳两端连接质量分别为、的小球A、B，旋转直杆使两球在水平面内做匀速圆周运动．如图所示，稳定时，轻绳和杆始终共面，连接A、B的轻绳与杆的夹角分别为、，圆孔与A、B间轻绳长度分别为、．若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 对A有绳子的拉力，对B有绳子拉力，整理得，因为，可知，由题意易知，AB做圆周运动的角速度相同，对A、B分别有，，整理得，综合以上可知，综合可知B选项符合题意.故选B. 51.（无锡市第一中学2025-2026学年高三上学期9月检测）如图所示，水平圆盘左右边缘各系一不可伸长的轻绳p、q，轻绳p的长度大于轻绳q的长度，两轻绳另一端分别悬挂可视为质点的小球.当小球随圆盘绕竖直中心轴匀速转动时，轻绳与转轴在同一竖直平面内，轻绳p、q与竖直方向的夹角分别为，不计一切阻力.则（　　） A. B. C. D. 无法判断 【答案】A 【解析】设圆盘半径为R，细绳长为l，小球在水平面内做匀速圆周运动，设细绳与竖直方向夹角为θ，根据牛顿第二定律有mgtanθ=m（R+lsinθ）ω2,代入数据解得,由题意可知两小球角速度相同，由于Lq＜Lp，所以根据以上公式可知.故选C. 52.（扬州市新华中学2025-2026学年高三上学期10月学情检测）如图所示，一T型支架长的横杆上用等长的细线等间距悬挂4个相同小球A、B、C、D，支架绕轴线缓慢加速转动，当支架转动的角速度为ω时（　　） A. A、D的加速度相同 B. A、B悬线与竖直方向的夹角相等 C. A的机械能大于B的机械能 D. A的动能等于该过程中细线对A做的功 【答案】C 【解析】由于A、D两球角速度相同，转动半径相同，根据可得，A、D两球加速度大小相等，方向不同，故A错误；B．设悬线与竖直方向的夹角为θ，悬线的悬挂点与转轴间的距离为x，根据牛顿第二定律可得,由此可知，A球悬挂点到转轴的距离较大，则A的悬线与竖直方向的夹角较大，故B错误；C．由于A球线速度较大，动能较大，且A的悬线与竖直方向的夹角较大，则A球重力势能较大，所以A球的机械能大于B的机械能，故C正确；D．根据动能定理可得，A的动能变化量，即此时A的动能等于该过程中合力对A做的功，故D错误.故选C. 53.（连云港市板浦高级中学2025-2026学年高三上学期月考）如图所示，静止框架中的杆竖直，杆与水平面间的夹角，且杆光滑.弹簧与竖直方向间的夹角，上端用铰链与固定点相连，下端与穿在杆上的质量为的小环相连，已知两点间的距离为.则（　　） A. 弹簧弹力的大小为 B. 杆对小环的弹力大小为 C. 若整个框架以为轴开始转动，当小环稳定在与点等高的点时转速为 D. 若整个框架以为轴开始转动，当小环缓慢运动到与点等高的点时杆对小环做的功为 【答案】D 【解析】小环在点静止时，受力分析如图所示，根据平衡条件有，，解得，A、B错误；小环在点时，设小环做圆周运动的半径为，所受弹簧的弹力大小为、杆的弹力大小为，则水平方向有，竖直方向有，由几何关系有，弹簧伸长的长度与初始相同，则，解得，根据，解得，C错误；小环将由静止开始沿杆向上滑动，初速度，小环在点的速度大小，小环由点到点的过程中，根据动能定理有，解得，D正确.故选D. 54.（连云港市板浦高级中学2025-2026学年高三上学期月考）如图甲为游乐场的旋转飞椅，当中心转柱旋转后，所有飞椅均在同一水平内做匀速圆周运动.为了研究飞椅的运动，某同学建立的简化模型如图乙所示，质量为的球，被长为细绳悬挂，悬挂点距转轴距离为，当中心转柱以恒定角速度旋转时，细绳与竖直方向的夹角为，重力加速度取，，，则（　　） A. 球的质量越大，角越小 B. 球的动能为 C. 球所受合外力为0 D. 若中心转柱的转速减少时，细绳对球做正功 【答案】B 【解析】小球做匀速圆周运动，所受的合外力提供所需的向心力；设小球做圆周运动的半径为，根据牛顿第二定律可得，可得，可知角度与质量无关，A、C错误；当中心转柱以恒定角速度旋转时，细绳与竖直方向的夹角为，根据牛顿第二定律可得，又，解得小球的速度大小为， 则球的动能为，B正确；若中心转柱的转速减少时，绳子与竖直方向的夹角减小，则小球所处平面的高度变低，可知小球的重力势能减小，小球的动能减小，小球的机械能减小，故细绳对球做负功，D错误.故选B. 55.（无锡市第一中学2025-2026学年高三上学期9月检测）如图所示，为了测量列车通过一圆弧形弯道在水平面内转弯的半径的大小，某人设计了如下方法：将一小球（可视为质点）用轻绳悬挂在列车车厢顶部，当列车以恒定速率v通过该弯道时，发现小球稳定时轻绳与竖直方向夹角为α.已知弯道处的铁轨路面与水平面间夹角为（<α），空气阻力不计，重力加速度为g.则（　　） A. 列车转弯半径大小为，列车车轮挤压内侧铁轨 B. 列车转弯半径大小为，列车车轮挤压外侧铁轨 C. 列车转弯半径大小为 ，列车轮与铁轨无侧向挤压 D. 列车转弯半径大小为 ，列车轮与铁轨无侧向挤压 【答案】B 【解析】重物受到重力、绳子拉力的合力提供重物做圆周运动的向心力，则,解得列车在该弯道的转弯半径大小为,列车理想速度满足关系,因<α，则v>v＇，说明列车速度大于转弯理想速度值，列车会挤压外轨.故选B. 56.（南通市如皋中学2025-2026学年高三上学期测试）如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿直径方向放着用轻绳相连的物体A和B，A和B质量都为m.它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为RA＝r，RB＝2r，A、B与盘间的动摩擦因数相同且均为μ.若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法错误的是（　　） A. 绳子的张力为 B. 烧断绳子，物体A、B仍将随盘一块转动 C. 圆盘的角速度为 D. A所受摩擦力方向沿绳指向圆外 【答案】B 【解析】两物体角速度相同，所以B所受向心力比A大，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B有背离圆心的离心趋势，A有指向圆心的近心趋势.设此时绳子的张力大小为，圆盘的角速度为，分别对A、B应用牛顿第二定律有，，联立解得，，A、C正确，不满足题意要求；此时A有指向圆心的近心趋势，所受摩擦力方向沿半径指向圆外，故D正确，不满足题意要求；A、B以角速度做匀速圆周运动时所需的向心力大小分别为，，若此时烧断绳子，A、B所受最大静摩擦力均不足以提供向心力，所以A、B都将做离心运动，B错误，满足题意要求.故选B. 57．（马坝高级中学2025-2026学年高三上学期第一次调研）游乐场旋转装盘的模拟装置如图所示.绕竖直轴以角速度ω匀速转动的水平圆盘上放着质量为m的物块，物块与圆盘保持相对静止且离圆心距离为r.求： （1）物块的线速度v； （2）物块受到的摩擦力大小. 【答案】 （1）v=rω （2） 58．（盐城市五校2025-2026学年高三上学期联考）图甲是一游乐场西瓜飞椅游玩项目，其模型简化为图乙，转轴两侧对称，水平横杆半径，西瓜座椅和游客总质量，等效为大小不计的小球，悬线长，运动过程不计阻力，（取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2）求： （1）若转轴不转动，小球绕点在竖直面内左右摆动. ①当小球通过最低点时的速度为时，悬线的拉力大小； ②当悬线与竖直方向的夹角时小球的速度为，此时悬线的拉力大小. （2）若转轴匀速转动，稳定后悬线与竖直方向的夹角，转轴转动的角速度大小. 【答案】（1）最低点时根据牛顿第二定律，解得， ，解得.（2）绕转动的半径，由，解得. 59．（盐城市五校2025-2026学年高三上学期联考）如图所示，一半径R＝4 m的圆盘水平放置，在其边缘E点固定一个小桶，在圆盘直径DE的正上方平行放置一水平滑道BC，滑道右端C点与圆盘圆心O在同一竖直线上，高度差h＝5 m.AB为一竖直面内的圆弧轨道，且与水平滑道相切于B点.一质量m＝2kg的滑块(可视为质点)由A点释放，当滑块经过B点时，对B点压力为52 N，恰在此时，圆盘从图示位置以一定的角速度ω绕通过圆心的竖直轴匀速转动，最终滑块由C点水平抛出，恰好落入圆盘边缘的小桶内.已知滑块与滑道BC间的动摩擦因数为0.3，g＝10 m/s2，求： （1）滑块到达B点时的速度； （2）水平滑道BC的长度； （3）若在圆盘边缘离E点圆处再各放一个小桶，使滑块恰好落入圆盘边缘的小桶内，圆盘转动的周期T应满足的条件. 【答案】(1) 滑块到达B点时，由牛顿第二定律得F－mg＝ ，代入数据解得vB＝5 m/s.(2) 滑块离开C点后，做平抛运动，有h＝gt，R＝vCt1，解得t1＝1 s，vC＝4 m/s.滑块在BC上运动时，μmg＝ma，得a＝3 m/s2 .由匀变速运动公式得，所以x＝1.5 m.(3) 滑块由B点运动到C点，由运动学关系得x＝t2 ，代入数据解得t2＝ s，所以t＝t1＋t2＝ s，圆盘转动的周期T应满足条件， ， ，代入数据得T＝ . 60.（无锡市第一中学2025-2026学年高三上学期9月检测）如图所示，V形细杆AOB能绕其对称轴OO′转动，OO′沿竖直方向，V形杆的两臂与转轴间的夹角均为.两质量均为m=0.1kg的小环，分别套在V形杆的两臂上，并用长为、能承受最大拉力的轻质细线连结.环与臂间的最大静摩擦力等于两者间弹力的0.2倍.当杆以角速度ω转动时，细线始终处于水平状态，取. （1）求杆转动角速度ω的最小值； （2）将杆的角速度从（1）问中求得的最小值开始缓慢增大，直到细线断裂，写出此过程中细线拉力F随角速度ω变化的函数关系式； （3）在坐标纸上作出（2）问对应的F-ω2图像. 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】（1）当角速度最小时，沿杆向上，则，,且，,则. （2）当沿杆向下时，有，,则,当细线拉力刚达到最大时，有，,则,所以. （3）F-ω2图像，如图所示 61.（无锡市第一中学2025-2026学年高三上学期9月检测）如图所示，半径为3r的水平圆形转盘可绕竖直轴转动，圆盘距离水平地面高为h，圆盘上放有小物体A、B、C，质量分别为m、2m、12m，物块A叠放在B上，B、C到转盘中心O的距离分别为3r、2r，B、C间用一轻质细线相连，圆盘静止时，细线刚好伸直无拉力，已知C与圆盘间的动摩擦因数为μ，B与圆盘间的动摩擦因数为2μ，A、B间动摩擦因数为3μ.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g.A、B、C均可视为质点，现让圆盘从静止开始逐渐缓慢加速，求 （1）时，C受到转盘的摩擦力； （2）当增加到某一数值时，C、B哪个物体不受圆盘的摩擦力？求此时圆盘角速度大小（物体仍在圆盘上且圆盘角速度不为零）； （3）当增加到某一数值时，A从B上滑动并飞出，求A落地点与盘中心O在地面投影点之间的距离. 【答案】（1），方向沿CO指向O点 （2）B物体 （3） 【解析】（1）当时，对C物体由牛顿第二定律,由于C物体与圆盘之间的最大静摩擦力为,所以当时，C受到转盘的静摩擦力大小为，方向沿CO指向O点.（2）当增加到某一数值时，B或C相对圆盘滑动，最大静摩擦力提供向心力，由，,可得,所以C物体会先滑动，细线产生拉力，B物体可能不受圆盘摩擦力，设此时圆盘的角速度为，由牛顿第二定律，,解得.（3）当A相对B产生滑动时，则,解得 此后A做平抛运动，则， ,落点到的水平距离 ,解得. 62.（常州市北郊高级中学2025-2026学年高三上学期月考）如图所示，一个质量的小物块（可看成质点）放在水平圆盘上距圆心处，它与圆盘之间的最大静摩擦力为其重力的倍，先后进行如下两次实验. ①使圆盘以的角速度顺时针匀速转动，此时物块与圆盘之间恰好没有相对滑动. ②将物块固定在圆盘上，将圆盘顺时针转速调为，然后将装置放入暗室，用每秒闪光次的频闪光源照射圆盘. （1）求实验①中物块的线速度大小； （2）求的值； （3）求实验①中圆盘对物块的作用力大小； （4）实验②中会观察到物块转动的方向为___（填“顺时针”或“逆时针”），并求观察到的物块转动周期. 【答案】（1） （2）0.75 （3）1.25 （4）逆时针 1s 【解析】（1）实验①中小物块的线速度大小.（2）小物块与圆盘间的最大摩擦力，由牛顿第二定律可得，解得.（3）圆盘对小物块有支持力大小等于重力，摩擦力提供向心力，所以圆盘对小物块的作用力大小为两个力的合力.（4）圆盘顺时针转动的频率为，在暗室中用每秒闪光11次的频闪光源照射圆盘，即，则，所以观察到的小物块逆时针旋转，转动频率为，即旋转周期为T=1s. 3.竖直面内的圆周运动 63.（南通市通州区、如东县2025-2026学年高三上学期第一次月考）下列说法正确的是（　　） A．图甲中，小朋友荡秋千过最低点时处于失重状态 B．图乙中，制作棉花糖时，糖液因受离心力而被甩出 C．图丙中，卡车通过拱桥最高点时，对桥面的压力小于重力 D．图丁中，只要铁道的外轨高于内轨，火车在转弯时轮缘就不会对外轨产生侧向挤压 【答案】C 【解析】本题考查学生对生活中的圆周运动的掌握，解题关键是分析出向心力来源，根据圆周运动的牛顿第二定律解答.小朋友荡秋千每次摆到最低点时，向心加速度向上，小朋友处于超重状态，A错误；制作棉花糖时，糖液受到的合力的大小不足以提供糖液所需要的向心力的大小时，做远离圆心的运动被甩出，离心力是一个效果力不能写受离心力的作用，故B错误；卡车通过拱桥最高点时，由重力和支持力提供向心力，有,则,由牛顿第三定律知支持力等于压力，得卡车通过拱桥最高点时，对桥面的压力小于重力，C正确；当铁路弯道处的外轨略高于内轨，火车由重力和支持力的合力恰好提供向心力，以规定速度转弯时内、外轨正好不会受到轮缘的侧向挤压，D错误.故选C. 64.（连云港市板浦高级中学2025-2026学年高三上学期月考）某滚筒洗衣机如图甲所示，脱水时衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，如图乙所示，其中a、b点分别为衣服做圆周运动的最高位置和最低位置.已知衣服（可视为质点）的质量为m，滚筒半径为r，圆周运动的角速度为，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A. 衣服转到b位置时的脱水效果最好 B. 衣服在a位置对滚筒壁的压力比在b位置的大 C. 衣服转到与圆心等高时，滚筒壁对衣服的作用力大小为 D. 衣服从a位置转到b位置过程所受合力的冲量大小为0 【答案】A 【解析】衣服转到a位置时筒壁给衣服的作用力，b位置时筒壁给衣服的作用力，可知衣服在a位置对滚筒壁的压力比在b位置的小，转到b位置时的脱水效果最好，A正确，B错误；衣服转到与圆心等高时，滚筒壁对衣服的水平方向的作用力大小为，竖直方向的作用力为mg，可知滚筒壁对衣服的作用力大小大于，C错误；衣服从a位置转到b位置过程所受合力不为零，根据I=Ft可知合外力的冲量大小不为0，D错误.故选A. 65.（盐城市四校2025-2026学年高三（上）第一次质量检测）如图所示，用六根符合胡克定律且原长均为的橡皮筋将六个质量为m的小球连接成正六边形，放在光滑水平桌面上.现在使这个系统绕垂直于桌面通过正六边形中心的轴以角速度匀速转动.在系统稳定后，观察到正六边形边长变为l，则橡皮筋的劲度系数为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】对小球受力分析，相邻两根橡皮筋的合力提供向心力，解得，故选D. 66.（南通市如皋中学2025-2026学年高三上学期测试）一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是（　　） A. 小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零 B. 小球过最高点的最小速度是 C. 小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大 D. 小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小 【答案】A 【解析】轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，当小球过最高点的速度v＝时，杆所受的弹力等于零，A正确，B错误；若v＜，则杆在最高点对小球的弹力竖直向上mg－F＝m，随v增大，F减小；若v＞，则杆在最高点对小球的弹力竖直向下mg＋F＝m， 随v增大，F增大，C、D均错误.故选A. 67.（南京市六校联合体2025-2026学年高三上学期学情调研）如图所示，光滑半圆形球面体固定在水平面上，半径为R，顶部有一小物块，现给小物块一个水平初速度v0，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A. 若，则小物块做平抛运动直至落地 B. 若，则小物块紧贴着圆面下滑直至落地 C. 无论按照什么轨迹，小物块落地时，重力的瞬时功率均相等 D. 无论按照什么轨迹，小物块始终处于超重状态 【答案】A 【解析】在最高点，若物块只受重力，根据牛顿第二定律得，解得，若，则小物块只受重力，做平抛运动直至落地，A正确；若，则小物块在最高点受到向下的重力和竖直向上的支持力，小物块紧贴着圆面下滑，在下滑过程中，根据牛顿第二定律可得， 随着物块下滑，θ不断增大，cosθ不断减小，v增大，则FN减小，当FN减小到零时，物块做斜下抛运动，不会一直沿着圆面下滑，B错误；若物块做平抛运动，落地时重力瞬时功率为， 若物块先沿圆面下滑，再做斜下抛运动落到地面，由于竖直方向平均加速度小于重力加速度，所以落地时重力的瞬时功率减小，C错误；无论按照什么轨迹，小物块加速度向下或者加速度有向下的分量，所以小物块始终处于失重状态，D错误.故选A. 68.（无锡市第一中学2025-2026学年高三上学期9月检测）下列关于生活中的圆周运动实例分析，其中说法正确的是（　　） A. 甲图中汽车通过拱桥的最高点时处于超重状态 B. 乙图中洗衣机里衣物随着滚筒做匀速圆周运动时，衣物运动到最低点B时脱水效果最好 C. 丙图中飞机在水平面内转弯时，重力提供向心力 D. 丁图中同一小球在光滑固定的圆锥筒内A、B位置先后做匀速圆周运动，在A、B两位置小球角速度大小相等 【答案】B 【解析】甲图中汽车通过拱桥的最高点时，加速度方向向下，处于失重状态，A错误；根据牛顿第二定律，在最低点，在最高点有，在最低点支持力更大，可知衣物运动到最低点B点时脱水效果更好，B正确；丙图中飞机在水平面内转弯时，重力与升力的合力提供向心力，C错误；设筒壁与竖直方向夹角为，对小球，根据牛顿第二定律可得，解得，由于小球在A、B两点做圆周运动的r不同，故角速度不相等，D错误.故选B. 69.（无锡市第一中学2025-2026学年高三上学期9月检测）如图所示，在粗糙水平木板上放一个物块，使水平木板和物块一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab为水平直径，cd为竖直直径.在运动过程中木板始终保持水平，物块相对木板始终静止，则（　　） A. 物块始终受到两个力作用 B. 只有在a、b、c、d四点，物块受到的合外力才指向圆心 C. 从c到d，物块所受的摩擦力先增大后减小 D. 从b到a，物块处于失重状态 【答案】C 【解析】物块只有在c、d两点才受两个力作用，其它位置都受三个力作用，A错误；匀速圆周运动，合外力全部提供向心力，所以合外力总是指向圆心，B错误；在c、d点摩擦力为0，只受重力与支持力，在b点摩擦力全部提供向心力，摩擦力最大，所以从c到d，物块所受的摩擦力先增大后减小，C正确；从b到a，物块处于超重状态，D错误；故选C. 70.（南通市海安市2025-2026学年高三上学期开学）如图所示，用钉子将长为的细绳一端固定于点，另一端系质量为的小球处于静止状态.现给小球一水平向右的初速度，小球恰能在竖直平面内做完整的圆周运动，重力加速度为. （1）求小球运动到最高点的速度大小； （2）求小球再次回到出发点时绳中拉力的大小； （3）若在点的正下方处有一钉子，求绳子碰到钉子后，绳中拉力的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）小球恰能在竖直平面内做完整的圆周运动，则在最高点（设为P点）时满足，解得.（2）小球再次回到出发点时由机械能守恒定律，由牛顿第二定律，解得.（3）若在点的正下方处有一钉子，绳子碰到钉子后，假设小球继续做圆周运动到达最高点（设为Q点），则小球从开始运动的最高点P到达最高点Q过程由机械能守恒定律，解得，而要经过最高点Q的最小速度为，可知小球能经过最高点Q，即细绳在该位置拉力最小，根据 解得. 71.（南京市两校联合体2025-2026学年高三上学期10月）长为L的轻杆一端安在光滑固定转动轴O上，另一端固定有一只质量为m的小球（视为质点）.给小球一个初速度，使它在竖直面内绕O做圆周运动.已知当小球到达最高点时，小球对杆的压力大小为小球重力的.求：（不计空气阻力） （1）小球通过最高点时的速率v； （2）小球通过最低点时小球对杆的拉力大小F. 【答案】（1） （2） 【解析】】（1）当小球到达最高点时，小球对杆的压力大小为小球重力的，以小球为对象，根据牛顿第二定律可得，又，联立解得.（2）小球从最高点到最低点过程，根据机械能守恒可得，解得小球经过最低点的速度大小为，小球经过最低点时，根据牛顿第二定律可得，解得，根据牛顿第三定律可知，小球通过最低点时小球对杆的拉力大小为. 72.（泰州中学2025-2026学年高三上学期10月月考）如图所示，一轻支架由水平段和竖直段组成.轻弹簧一端固定于点，另一端与套在水平杆上的球相连，一根长为的轻绳连接A、B两球.球质量，B球质量，球与水平杆的动摩擦因数，弹簧原长，劲度系数.初始时使球尽量压缩弹簧并恰好处于静止状态.现使系统绕轴缓慢转动起来，转动过程中保持A、B两球始终与在同一竖直平面内.当系统以某角速度稳定转动时，细绳与竖直方向成37°角，此时弹簧的弹力大小恰好与初始时相同.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计空气阻力.，，，求： （1）初始时弹簧的长度； （2）细绳与竖直方向成37°角时，系统转动的角速度； （3）整个过程中驱动力对系统所做的总功. 【答案】（1）0.16m （2） （3） 【解析】（1）初始时弹簧处于压缩状态，球恰好处于静止状态，设初始时弹簧的压缩量为，则，解得，则初始时弹簧的长度为.（2）当系统以某角速度稳定转动，弹簧的弹力大小与初始时相同时，弹簧处于拉伸状态，拉伸量与初始状态的压缩量相等，对B球有，，解得.（3）根据能量守恒，整个过程中驱动力对系统所做功等于A、B球的动能增加，B球的重力势能增加，球与水平横杆间摩擦产生的内能，则有，其中，，，解得. 73.（南京市临江高级中学2025-2026学年高三上学期一模）（南通市如皋中学2025-2026学年高三上学期测试）如图所示，半径为半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴重合.转台静止不转动时，将一质量为可视为质点的小物块放入陶罐内，小物块恰能静止于陶罐内壁的A点，且A点与陶罐球心O的连线与竖直轴成角，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取，答案可保留根号，求： （1）物块在A点静止时受到的摩擦力大小； （2）当物块在与O等高的B点处随陶罐一起匀速转动时，转台转动的角速度最小为多少； （3）若物块仍在陶罐中的A点随陶罐一起匀速转动且刚好不上滑，则转台转动的角速度为多少. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）对静止在A处的物块进行受力分析可得，代入数据可得. 甲 乙 丙 （2）由于，则，当物块在B点处随陶罐一起转动时，由其受力情况可得，，，解得.（3）当物块在A点随陶罐一起转动且刚好不上滑时，物块的受力情况如图丙所示，，，解得. 5、 实验 1. 探究平抛运动的规律 74．（泰州市靖江市2025-2026学年高三上学期第一次月考）如图所示，用小锤击打弹性金属片，A球沿水平方向飞出，同时B球自由落下.多次改变小球距地面的高度和打击的力度，均可观察到两球同时落地.这个实验现象说明（　　） A．A球在竖直方向上做自由落体运动 B．A球在竖直方向上做匀速直线运动 C．A球在水平方向上做匀速直线运动 D．A球在水平方向上做匀加速直线运动 【答案】A 【解析】本实验将A的做平抛运动与竖直方向下落的B的运动对比，只能说明A竖直方向运动情况，不能反映A水平方向的运动情况，每次两球都同时落地，说明A竖直方向的分运动是自由落体运动.故选A. 75.（扬州市宝应县2025-2026学年高三上学期期初检测）某同学利用如图所示实验装置绘制小球做平抛运动的轨迹.下列说法中正确的是（　　） A. 斜槽轨道必须光滑且末端沿水平方向 B. 每次释放小球的初始位置可以任意选择 C. 通过小球与白纸的挤压记录小球的落点 D. 挡板的竖直位置变动必须等间距变化 【答案】C 【解析】斜槽轨道不必光滑但末端必须沿水平方向，A错误；每次释放小球初始位置必须相同，B错误；通过小球与白纸的挤压记录小球的落点，C正确；挡板的竖直位置变动不必等间距变化，D错误.故选C. 76.（南通市海安市2025-2026学年高三上学期开学）“探究平抛运动的特点”实验中，下列情况中不会影响实验探究结果的是（　　） A. 斜槽轨道不光滑 B. 斜槽末端不水平 C. 装置的背板不竖直 D. 小球受到空气阻力不能忽略 【答案】A 【解析】小球每次均从斜槽同一位置静止释放，斜槽对小球摩擦力做功相同，小球飞出斜槽末端速度大小一定，即斜槽轨道的摩擦对实验没有影响，可知，斜槽轨道不光滑不会影响实验探究结果，A正确；斜槽末端不水平，小球飞出斜槽末端速度方向不水平，小球的运动不是平抛运动，可知，斜槽末端不水平会影响实验探究结果，B错误；平抛运动轨迹在竖直平面上，若装置的背板不竖直，将影响精确描绘小球轨迹上的位置，可知，装置的背板不竖直会影响实验探究结果，C错误；若小球受到空气阻力不能忽略，则小球受到重力与空气阻力，小球的运动不是平抛运动，可知小球受到空气阻力不能忽略会影响实验探究结果，D错误.故选A. 77.（扬州高邮市2025-2026学年高三上学期开学调研）某实验小组利用如图所示的实验装置探究平抛运动的特点时，下列操作正确的是（　　） A. 调节斜槽末端水平后，将直尺紧靠斜槽末端且与斜槽末端相平，用笔沿直尺画出x轴 B. 建立坐标系时先作x轴后作y轴 C. 上下移动倾斜挡板N时，必须等间距移动 D. 描运动轨迹时，用平滑曲线把印迹连接起来 【答案】D 【解析】调节斜槽末端水平后，应是用重垂线确定轴（竖直方向），再确定轴（水平方向），不是紧靠斜槽末端画x轴，操作错误，A错误；建立坐标系时应先确定轴（竖直方向），再确定轴（水平方向），不是先作轴后作轴，操作错误，B错误；上下移动倾斜挡板N时，不需要等间距移动，只要能有效记录小球位置即可，操作错误，C错误；描运动轨迹时，要舍去偏离较大的点，用平滑曲线把点迹连接起来，这样才能得到更符合平抛运动规律的轨迹，D正确.故选D. 78.（泰州市兴化第一中学2025-2026学年高三上学期教学质量调研）如图甲是“研究物体的平抛运动”的实验装置. 为保证运动为平抛，应调整轨道，使轨道末端切线水平. （1）为定量研究，建立以水平向右为x轴正方向、竖直向下为y轴正方向的xOy坐标系.取平抛运动的起始点为坐标原点，将钢球静置于该点，钢球的______（选填“最上端”“最下端”或“球心”）对应白纸上的位置即为坐标原点. （2）实验中得到多个痕迹点，为得到钢球平抛运动的轨迹，下列做法正确的是______. A 用一条折线把各个痕迹点连接起来 B. 用一条平滑的曲线把所有痕迹点连接起来 C. 舍去偏差过大的点，用一条平滑的曲线把其余的痕迹点连接起来 （3）实验中通过描点法在xOy坐标系内获得了小球的平抛运动轨迹，在轨迹上确定A、B、C三点，如图乙所示，测出其y坐标值分别为，，，又测得A、B两点间水平距离是60.0cm，那么小球平抛的初速度大小为=______m/s，小球过C点时的速度大小是______m/s.（结果均保留两位有效数字，取） （4）为了进一步研究，某同学在轨迹上确定了一系列测量点，测出各点的坐标（，），作出图像，能说明小球的运动轨迹是抛物线的是______. A. B. C. 【答案】（1）球心 （2）C （3）3.0 5.0 （4）A 【解析】（1）小球在运动过程中记录下的是其球心的位置，故抛出点也应该是小球静置于O点时球心的位置，故应以钢球的球心在白纸上的位置为坐标原点.（2）实验中得到多个痕迹点，为得到钢球平抛运动的轨迹，由于存在实验误差，不可能使所有的点落在同一曲线上，则应舍去偏差过大的点，用一条平滑的曲线把其余的痕迹点连接起来.故选C.（3）竖直方向根据，可得，根据，可得，则小球平抛的初速度大小为，小球过C点时的竖直分速度大小为，则小球过C点时的速度大小为.（4）建立坐标后，小球在竖直方向上做自由落体运动，有， 水平方向上做匀速直线运动，有，联立两式，消去可得，可知图像为一条过坐标原点的倾斜直线.故选A. 79.（无锡市第一中学2025-2026学年高三上学期9月检测）图甲是某种“研究平抛运动”的实验装置，斜槽末端口N与小球离地面的高度均为H，实验时，当P小球从斜槽末端飞出与挡片相碰，立即断开电路使电磁铁释放Q小球，发现两小球同时落地，改变H大小，重复实验，P、Q仍同时落地. （1）关于本题实验说法正确的有__________； A．斜槽轨道末段N端必须水平　　　　　　　　 B．斜槽轨道必须光滑 C．P小球可以从斜槽上不同的位置无初速度释放　D．P小球每次必须从斜槽上相同的位置无初速度释放 （2）该实验结果可表明__________； A．P小球在水平方向的分运动是匀速直线运动 B．P小球在竖直方向的分运动是自由落体运动 C．P小球的分运动是自由落体运动和匀速直线运动 （3）若用一张印有小方格（小方格的边长为）的纸记录P小球的轨迹，小球在同一初速平抛运动途中的几个位置如图乙中的a、b、c、d所示，重力加速度，则：P小球在b处的瞬时速度的大小为__________，若以a点为坐标原点，水平向右为x轴，竖直向下为y轴，则抛出点的坐标为__________（结果以厘米为单位）. 【答案】（1）AC （2） A （3） 1.25 【解析】（1）为了保证小球离开斜槽末端时的初速度的方向是水平方向，故斜槽轨道末段N端必须水平，A正确；斜槽轨道光滑与否对实验没有影响，故不必必须光滑，B错误；这个实验只验证竖直自由落体，水平无影响，不需要每次水平初速度相同，可以在不同位置释放，C正确，D错误.故选AC.（2）该实验结果表明P小球在竖直方向分运动与Q小球的运动相同，为自由落体运动，A正确；根据甲图实验无法得出P小球在水平方向上的运动规律，B错误；该实验无法说明水平方向的运动是匀速直线运动，则也不能表明小球P的运动是自由落体和匀速直线运动的合运动，C错误.故选A.（3）小球P在竖直方向做自由落体运动，在水平方向做匀速直线运功，在竖直方向，根据匀变速直线运功的推论可得，代入数据解得，根据公式，可得水平方向的速度为，竖直方向上，根据匀变速直线运动的推论，即中间时刻的瞬时速度等于这段时间的平均速度，可得，则P小球在b处的瞬时速度的大小为.在竖直方向上，根据匀变速直线运动速度时间公式可得小球运动到b点的时间为，所以，小球运动到b点时，竖直方向位移为，解得，小球运动到b点时，水平方向的位移为，解得，根据图像可得小球运动到a点时，水平方向和竖直方向的位移分别为，，若以a点为坐标原点，则抛出点的坐标为. 80.（南通市如皋中学2025-2026学年高三上学期测试）某学习小组利用如图甲、乙所示的装置探究平抛运动的特点. （1）如图甲所示，用小锤打击弹性金属片后，A球沿水平方向飞出，同时B球被松开并自由下落，实验现象是A、B球同时落地，该现象说明A球在（　　） A. 竖直方向做的是自由落体运动 B. 水平方向做的是匀速直线运动 （2）如图乙所示，将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直硬板上.A球沿斜槽轨道PQ滑下后从斜槽末端Q水平飞出，落在水平挡板MN上.由于挡板靠近硬板一侧较低，钢球落在挡板上时，A球会在白纸上挤压出一个痕迹点.移动挡板，依次重复上述操作，白纸上将留下一系列痕迹点.下列操作中有必要的有（　　） A. 尽可能减小A球与斜槽之间的摩擦 B. 通过调节使硬板保持竖直 C. 挡板高度等间距变化 D. 重复实验时，A球从斜槽的同一位置由静止释放 （3）利用图乙装置得到如图丙所示轨迹，在轨迹上取A（非抛出点）、B、C三点，AB和BC的水平间距相等且均为x，测得AB和BC的竖直间距分别是y1和y2. ①______（选填“大于”“等于”或“小于”）. ②已知当地重力加速度为g，可求得钢球离开斜槽末端时的速度大小为_____ . ③若在实验中，斜槽末端切线不水平，仅从这一影响因素分析，第②问中求得钢球离开斜槽末端时的速度大小______（选填“偏大”“偏小”或“没有影响”）. 【答案】（1）A （2）BD （3）大于 偏小 【解析】（1）如图甲所示，用小锤打击弹性金属片后，A球沿水平方向飞出，同时B球被松开并自由下落，实验现象是A、B球同时落地，则两球在竖直方向有相同的运动情景，该现象说明A球在竖直方向做的是自由落体运动.故选A.（2）重复实验时，由于保证每次小球抛出的速度相同，A球应从斜槽的同一位置由静止释放，但不需要减小A球与斜槽之间的摩擦，A错误，D正确；由于小球的平抛运动是在竖直平面内，因此实验中要通过调节硬板使其保持竖直，B正确；挡板作用是描绘落点的位置，因此不需要挡板高度等间距变化，C错误.故选BD.（3）①由于A非抛出点，则有，，可得，则有，②竖直方向根据，可得，则钢球离开斜槽末端时的速度大小为，③若斜槽末端不水平，抛出时的速度方向不是水平的，则第②问中求得钢球离开斜槽末端时的速度大小只是水平方向的分速度，所以第②问中求得钢球离开斜槽末端时的速度大小偏小. 81.（盐城市四校2025-2026学年高三（上）第一次质量检测）图甲是某种利用频闪照相“研究平抛运动”的实验装置，斜槽末端口N与小球Q离地面的高度均为H，实验时，当P小球从斜槽末端飞出与挡片相碰，立即断开电路使电磁铁释放Q小球，发现两小球几乎同时落地，改变H大小，重复实验，P、Q仍几乎同时地.  关于本实验说法不正确的是          . A.选择体积小、质量大的小球 B.斜槽轨道末段N端必须水平 C.P小球每次必须从斜槽上相同的位置无初速度释放 D.挡片质量要尽可能小 借助频闪仪拍摄上述运动过程.图乙为某次实验的频闪照片，在误差允许范围内，根据任意时刻P、Q两球的竖直高度相同，可判断P球竖直方向做          运动. 若用一张印有小方格小方格的边长为的纸和频闪相机记录P小球从斜槽末端飞出的轨迹，小球在某次平抛运动途中的几个位置如图丙中的a、b、c、d所示，重力加速度，则：频闪相机拍摄相邻两张照片的时间间隔是           某同学实验时忘了标记重垂线方向，为解决此问题，他在频闪照片中，以某位置为坐标原点，沿任意两个相互垂直的方向作为x轴和y轴正方向，建立直角坐标系，并测量出另外两个位置的坐标值、，如图丁所示.根据平抛运动规律，利用运动的合成与分解的方法，可得重垂线方向与y轴间夹角的正切值为          . 电磁铁用的铁芯可分为硬磁性材料和软磁性材料.硬磁性材料在磁场撤去后还会有很强的磁性，而软磁性材料在磁场撤去后就没有明显的磁性了.为了减小实验误差本实验中的电磁铁的铁芯应该用          选填“硬”或“软”磁性材料制作 【答案】（1）C （2）自由落体 （3） （4） （5）软  【解析】选择体积小、质量大的小球，可以减小空气阻力的影响，故A正确；B.斜槽轨道末段N端必须水平，以保证小球P做平抛运动，故B正确；C.图甲实验研究平抛运动在竖直方向的运动规律，对水平速度不做要求，所以P球不需要每次从斜槽上相同的位置无初速度释放，故C错误；D.挡片质量要尽可能小，可以减少碰撞对平抛运动的影响，故D正确.本题选错误的，故选C.任意时刻P、Q两球的竖直高度相同，说明P球在竖直方向的运动与Q球的运动相同，而Q球做自由落体运动，所以P球竖直方向也做自由落体运动.根据竖直方向的运动规律，由，可得.设重垂线方向与y轴间夹角为，把重力加速度沿x、y轴方向正交分解，这两个方向的加速度分别为，，则x方向有，y方向，联立可得.本实验电磁铁的铁芯应该用软磁性材料制作，断开电路后磁性立即消失，对Q小球的吸引力消失，可以保证Q小球立即下落做自由落体运动. 2. 探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 82.（扬州高邮市2025-2026学年高三上学期开学调研）如图所示为向心力演示仪，在探究向心力与半径之间的关系时，下列操作正确的是（　　） A. 将两个相同的钢球分别放在挡板A与B处，传动皮带放在塔轮第一层 B. 将两个相同的钢球分别放在挡板B与C处，传动皮带放在塔轮第一层 C. 将两个相同的钢球分别放在挡板A与C处，传动皮带放在塔轮第二层 D. 将铝球和钢球分别放在挡板A与C处，传动皮带放在塔轮第一层 【答案】B 【解析】将两个相同的钢球分别放在挡板A与B处，无法判断两个小球所受向心力大小关系，A错误； 在探究向心力与半径之间的关系时，要保证角速度、质量一定，半径不同；将两个相同的钢球分别放在挡板B与C处，两小球的质量相同半径不同；皮带处于塔轮第一层，线速度相同，塔轮的半径相同，根据 ，两个小球的角速度相同，B正确；在探究向心力与半径之间的关系时，要保证角速度、质量一定，半径不同；将两个相同的钢球分别放在挡板A与C处半径相同，C错误；在探究向心力与半径之间的关系时，要保证角速度、质量一定，半径不同；将铝球和钢球分别放在挡板A与C处，质量不同半径相同，D错误.故选B. 3. 创新实验 83.（无锡市第一中学2025-2026学年高三上学期9月检测）通过观看“太空授课”，同学们确信在太空站完全失重环境下已无法用天平称量物体的质量.为此，某物理兴趣小组设计了在这种环境中测量物体质量的实验装置及实验方案.如图1所示，将质量待测的小球静置于桌面上，小球与拉力传感器计通过一根细线（质量可忽略）连接，细线穿过圆盘上的一个小孔（尽量光滑些），A为光电门，可记录小球直径通过光电门的时间. （1）以下是实验操作和测量步骤： ①用游标卡尺测量小球的直径d，示数如图2所示，则其读数为____________mm； ②轻推小球，给小球一个初速度，使它在桌面上做匀速圆周运动； ③记录拉力传感器的读数F； ④记录小球通过光电门的时间t： ⑤用毫米刻度尺测出细线在桌面上那部分长度，则小球的运动半径____________（用所测物理量的字母表示）； ⑥根据所测得物理量求得小球质量____________（结果用F、d、r、t表示）： ⑦改变小球的初速度，重复实验，多次测量： ⑧对多次测量的m值取平均值，最后得到小球质量. （2）该实验小组还提出了利用图像法处理实验数据的方案：以为纵坐标、F为横坐标，作出图线，得到图线的斜率为k，则小球质量____________（结果用r、k表示）. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由图2可知，小球的直径为，小球的运动半径， 小球通过光电门时的速度为，由牛顿第二定律有，联立解得.（2）根据上述分析可得，整理可得，则有，解得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $