第7章 概率（知识清单）数学北师大版2019必修第一册

第7章 概率 知识点一：样本空间和随机事件 (1)样本点和有限样本空间 ①样本点：随机试验E的每个可能的 称为样本点，常用ω表示． 全体样本点的集合称为试验E的 ，常用Ω表示． ②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间． (2)随机事件 ①定义：将样本空间Ω的 称为随机事件，简称事件． ②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示． ③随机事件的极端情形： 、 ． 知识点二：两个事件的关系和运算 含义 符号表示 包含关系 若事件A发生，则事件B一定发生 相等关系 B⊇A且A⊇B 并事件(和事件) 事件A与事件B至少有一个发生 A∪B或A＋B 交事件(积事件) 事件A与事件B同时发生 互斥(互不相容) 事件A与事件B不能同时发生 A∩B＝∅ 互为对立 事件A与事件B有且仅有一个发生 知识点三：古典概型的特征 (1)有限性：样本空间的样本点只有 ； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性 ． 知识点四：古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 知识点五：概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ ； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝ ； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1； 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝ ． 知识点六：频率与概率 (1)频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐 事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性． (2)频率稳定性的作用 可以用频率fn(A)估计概率P(A)． 知识点七：相互独立事件 (1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝ 成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． (2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立． 【易错点】01 古典概型计算中基本事件数量计算错误 辨析：列举基本事件时遗漏、重复或混淆有序/无序性，导致样本点总数或事件数计算错误. 【典例1】抛掷两次骰子，求点数之和等于5的概率. 【典例2】从1，2，3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为 ，满足“它是偶数”样本点的个数为 ． 【易错点】02 概率加法公式误用 辨析：混淆互斥事件与一般事件关系：误认为任意两个事件都满足互斥事件的加法公式，未验证事件是否互斥就直接套用.当事件A、B不互斥时（即存在交集），若直接相加会重复计算的概率，导致结果偏大. 【典例1】某商店日收入（单位：元）在下列范围内的概率如下表所示： 日收入 概率 0.12 0.14 已知日收入在（元）范围内的概率为0.67，求月收入在（元）范围内的概率． 【典例2】抛掷一枚骰子，观察掷出骰子的点数，设事件为“出现奇数点”，事件为“出现2点”，已知，则事件“出现奇数点或2点”的概率是 ． 【易错点】03 相互独立与互斥事件混淆 辨析：混淆＂相互独立＂与＂互斥＂的概念： 互斥事件：事件与不可能同时发生（即），此时； 相互独立事件：事件发生与否不影响发生的概率（即）.错误本质：未理解独立事件可同时发生，而互斥事件不能同时发生. 【典例1】掷两枚质地均匀的骰子：事件＂第一枚出现奇数点＂，事件＂第二枚出现偶数点＂，判断与的关系. 【典例2】现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互对立 D．丙与丁互斥 重难点01 随机现象和样本空间 基本事件个数的确定方法 (1)列举法：此法适合于基本事件个数较少的古典概型； (2)列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成坐标法； (3)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适用于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求； 1．（25-26高一上·河北邯郸·开学考试）在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 2．（2025高一上·全国·专题练习）下列现象是必然现象的是（    ） A．走到十字路口遇到红灯 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中环 3．（24-25高一下·安徽六安·期末）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 4．（24-25高一下·全国·周测）下列事件中，随机事件的个数是（   ） ①2020年8月18日，北京市不下雨； ②在标准大气压下，水在4℃时结冰； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签； ④向量的模不小于100． A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025高一·全国·专题练习）先后抛均匀的五角、一元硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个样本点的是（　 　） A．“至少一枚硬币正面向上” B．“只有一枚硬币正面向上” C．“两枚硬币都是正面向上” D．“两枚硬币都是反面向上” 重难点02 事件运算及互斥和对立 事件关系的运算策略 进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．当事件是由互斥事件组成时，运用互斥事件的概率加法公式． 6．（贵州省贵阳市七校联盟2025-2026学年高三上学期第一次联考数学试卷）打靶3次，记事件表示“共击中i发”，其中，那么表示（   ） A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多击中1次” D．“至少击中2次” 7．（24-25高一下·天津·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，记事件“点数大于4”，事件“点数为偶数”，则事件“点数为6”可以表示为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·河南郑州·期末）某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为，则表示的试验结果是（    ） A．第2次投篮命中 B．第3次投篮未命中 C．前3次投篮均未命中 D．前2次投篮均未命中，第3次投篮命中 9．（24-25高一下·广西百色·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A=“点数不大于3”，B=“点数大于4”，C=“点数为奇数”，D=“点数为偶数”，下列结论正确的是（    ） A．B，C为对立事件 B．A，C为互斥事件 C．C，D为对立事件 D．A，D为互斥事件 10．（25-26高二上·河北张家口·开学考试）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，设“出现的点数为偶数”为事件A，“出现的点数大于4”为事件B，则下述正确的是（    ） A．A与B对立 B．A与B互斥 C．A与B相互独立 D． 11．（25-26高二上·福建泉州·阶段练习）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是5或6”，事件C表示“向上的点数小于5”，则下列说法正确的是（ ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 12．（25-26高二上·河北衡水·开学考试）不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为（   ） ①2张卡片都不是红色；    ②2张卡片恰有1张是红色； ③2张卡片至少有1张是红色；    ④2张卡片都为绿色． A．1 B．2 C．3 D．4 重难点03 利用互斥、对立事件求概率 1.求复杂的互斥事件的概率的方法 (1)直接法 (2)间接法(正难则反) 2.含“至多”、“至少”等词语的概率的计算 (1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． (2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．　　　　 13．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为，摸出的球是红球或黑球的概率为，则摸出的球是红球的概率为（　　） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·福建福州·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·山东·阶段练习）某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择类图书的概率为，选择类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则两类图书都选的概率为（　　） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·山东·阶段练习）已知甲、乙投篮命中的概率分别为，且甲、乙投篮命中的结果相互独立．甲、乙各投篮1次，则两人共命中1次的概率是（　　） A． B． C． D． 重难点04 古典概型 利用公式法求解古典概型问题的步骤 17．（25-26高一上·重庆云阳·开学考试）不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·海南·阶段练习）盒子中有四个小球，分别写有“知”“行”“合”“一”四个字，从盒子中有放回抽取小球，直到取到“知”“行”二字就停止.用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率：利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“知”“行”“合”“一”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 19 231 320 032 132 031 123 330 110 20 120 122 321 221 230 132 322 130 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（   ） A． B． C． D． 21．（25-26高二上·海南·阶段练习）掷两枚质地均匀的骰子（标记为I号和II号），两个点数之和小于6的概率为（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高二上·四川德阳·阶段练习）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，则两次向上的点数之和除以4的余数为3的概率为（   ） A． B． C． D． 23．（25-26高二上·山东·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的骰子，落地后向上一面的数字是偶数且不小于4的概率是（　　） A． B． C． D． 24．（22-23高一下·北京延庆·开学考试）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，设事件两次掷出的点数之和是5，设事件第二次掷出的点数是偶数，设事件第一次掷出的点数是5，设事件至少出现一个奇数点，下列说法不正确的是（    ） A．与互斥 B． C．与对立 D．与相互独立 25．（25-26高一上·浙江宁波·自主招生）不透明的盒子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，103.随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球.第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高二上·黑龙江·阶段练习）班上有5名数学爱好者，其中3人选修了《数学史》.若从这5人中随机选出2人，则恰好2人都选修了《数学史》的概率是（    ） A． B． C． D． 重难点05 用频率估计概率 频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同 名称 不同点 相同点 频率计算公式 频率计算中的m，n均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值 都计算了一个比值 古典概型的概率计算公式 是一个定值，对同一个随机事件而言，m，n都不会变化 27．（25-26高二上·贵州·阶段练习）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（    ） A． B． C． D． 28．（2025高二·全国·专题练习）抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，则事件“反面朝上”的概率和频率分别是（   ） A．100.5，100.5 B．100.51，100.51 C．100.49，100.49 D．100.5，100.51 29．（2025高三·全国·专题练习）在滑翔伞定点比赛中，飞行员在降落时一般会踩中半径为16cm的电子靶，以距靶心距离的远近作为打分依据．若某次比赛中规定：降落时距靶心的距离小于8cm，会获得“优秀飞行员”称号．现随机抽取了100名飞行员此次比赛降落时距靶心距离（单位：cm）的数据如下表： 降落时距靶心距离（单位：cm） 人数 18 21 39 22 用频率估计概率，若随机抽取1人，则此人为“优秀飞行员”的概率为（    ） A．100.18 B．100.21 C．100.39 D．100.40 30．（24-25高一下·天津河西·期末）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球，4个白球，若干个黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到黑球的频率稳定在100.4，则袋中约有黑球（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 31．（24-25高二下·湖北咸宁·期末）根据统计，某篮球运动员在1000次投篮中，命中的次数为860次，则该运动员（    ） A．投篮10次至少有8次命中 B．投篮命中的频率为100.86 C．投篮命中的概率为100.86 D．投篮100次有86次命中 重难点06 事件的独立性 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积． (2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算． 32．【多选】（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）先后抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A表示“第1枚正面向上”，事件B表示“第2枚反面向上”，事件C表示“恰有1枚正面向上”，事件D表示“两枚都正面向上”，则（    ） A．A与B相互独立 B．A与C相互独立 C．A与D相互独立 D．B与D互斥 33．【多选】（24-25高一下·湖南长沙·期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件A表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件B表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（   ） A．A与B为互斥事件 B． C． D．B与C相互独立 34．【多选】（24-25高一下·贵州遵义·期末）现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互对立 D．丙与丁互斥 35．（24-25高一下·河北沧州·期末）投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（    ） A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件 36．（24-25高一下·福建福州·期末）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； (1)求甲、乙两人共答对5道题目的概率． (2)若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 37．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）甲､乙二人做射击游戏，甲和乙射击击中与否互不影响，各次结果也互不影响.规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击.已知甲射击一次击中的概率为，乙射击一次击中的概率为，且第一次由甲开始射击. (1)求前3次射击中甲恰好击中2次的概率； (2)求第4次由甲射击的概率. 38．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）有一名高二学生盼望2025年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2025年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2024年10月市数学竞赛一等奖中选拔）；②2025年3月自主招生考试通过并且达到2025年6月高考重点分数线；③2025年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线）；该学生具备参加市数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表： 市数学竞赛一等奖 自主招生通过 高考达重点线 高考达该校分数线 100.5 100.6 100.9 100.7 若该学生数学竞赛获市一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是.若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取.（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取） (1)求该学生参加自主招生考试的概率； (2)求该学生被该校录取的概率. 39．（23-24高一下·福建福州·期末）目前低碳的生活理念流行，越来越多的年轻人加入自行车骑游行列.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过小时免费，超过小时的部分每小时收费元（不足一小时的部分按一小时计算）.有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过小时还车的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人租车时间超过2小时，且不超过3小时的概率； (2)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (3)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率 重难点07 概率的综合应用 解概率综合应用题，先审清题意，明确事件类型，如古典概型、互斥事件、独立事件等。再梳理事件间关系，用定义或公式判断事件属性，选择对应概率公式计算。若涉及复杂场景，可通过分类、分步拆解，最后结合实际验证结果合理性，确保逻辑连贯。 40．（25-26高二上·重庆·阶段练习）某校为了提高学生的反诈骗意识，举办了反诈骗知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值与样本成绩的平均数； (2)用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出8名学生，再从这8名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间的概率； (3)学校决定从知识竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1分，负方得0分，没有平局，三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，，，各项目的比赛结果相互独立，甲至少得1分的概率是，甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由． 41．（25-26高三上·上海·阶段练习）某大学随机统计了800名学生的一个学期自习时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值以及自习时间在[100，150]内的学生人数； (2)从和用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率. 42．（25-26高二上·海南·阶段练习）将一次考试所有学生的成绩，做成的频率分布直方图如图所示，第一组成绩在，第二组成绩在，第三组成绩在，第四组成绩在第五组成绩在    (1)求图中的值，估计本次考试成绩的平均分； (2)老师准备将在本次考试中成绩排名在前的同学定为优秀，发奖鼓励，估计此次考试成绩优胜的分数线； (3)若本次考试共20人参加，现计划从分数低于70分的同学中随机抽取2人谈心，求2人分数都在的概率. 43．（25-26高二上·湖南·阶段练习）一次体能测试中，体育老师随机抽名学生的成绩（满分100分）进行统计分析，按照，，，，，的分组作出频率分布直方图和频数分布表.    分组 频数 6 6 (1)求的值. (2)在选取的样本中，从低于60分的学生中随机抽两名学生，问这两名学生的成绩都在内的概率是多少? (3)若成绩在前20%的学生可获得“体能达人”的称号，问成绩至少要达到多少分才可以获得“体能达人”的称号？ 12 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 概率 知识点一：样本空间和随机事件 (1)样本点和有限样本空间 ①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示． 全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示． ②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间． (2)随机事件 ①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件． ②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示． ③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件． 知识点二：两个事件的关系和运算 含义 符号表示 包含关系 若事件A发生，则事件B一定发生 A⊆B 相等关系 B⊇A且A⊇B A＝B 并事件(和事件) 事件A与事件B至少有一个发生 A∪B或A＋B 交事件(积事件) 事件A与事件B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) 事件A与事件B不能同时发生 A∩B＝∅ 互为对立 事件A与事件B有且仅有一个发生 A∩B＝∅，且A∪B＝Ω 知识点三：古典概型的特征 (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 知识点四：古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 知识点五：概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1； 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 知识点六：频率与概率 (1)频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性． (2)频率稳定性的作用 可以用频率fn(A)估计概率P(A)． 知识点七：相互独立事件 (1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． (2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立． 【易错点】01 古典概型计算中基本事件数量计算错误 辨析：列举基本事件时遗漏、重复或混淆有序/无序性，导致样本点总数或事件数计算错误. 【典例1】抛掷两次骰子，求点数之和等于5的概率. 【解析】样本空间含个有序结果，和包含共4种， ∴概率. 【典例2】从1，2，3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为 ，满足“它是偶数”样本点的个数为 ． 【答案】 5 【分析】根据题意结合样本空间和样本点的概念分析求解. 【详解】由题意可知：样本空间为； 其中满足“它是偶数”样本点有：2，4，6，8，10，共有5个． 故答案为：；5. 【易错点】02 概率加法公式误用 辨析：混淆互斥事件与一般事件关系：误认为任意两个事件都满足互斥事件的加法公式，未验证事件是否互斥就直接套用.当事件A、B不互斥时（即存在交集），若直接相加会重复计算的概率，导致结果偏大. 【典例1】某商店日收入（单位：元）在下列范围内的概率如下表所示： 日收入 概率 0.12 0.14 已知日收入在（元）范围内的概率为0.67，求月收入在（元）范围内的概率． 【解析】这个商店日收入在（元）范围内的事件分别为，则日收入在（元）范围内的事件为. ∵事件互斥，且， ∴ 【典例2】抛掷一枚骰子，观察掷出骰子的点数，设事件为“出现奇数点”，事件为“出现2点”，已知，则事件“出现奇数点或2点”的概率是 ． 【答案】 【分析】应用互斥事件的加法公式求概率即可. 【详解】因为事件A与事件B是互斥事件，所以. 故答案为： 【易错点】03 相互独立与互斥事件混淆 辨析：混淆＂相互独立＂与＂互斥＂的概念： 互斥事件：事件与不可能同时发生（即），此时； 相互独立事件：事件发生与否不影响发生的概率（即）.错误本质：未理解独立事件可同时发生，而互斥事件不能同时发生. 【典例1】掷两枚质地均匀的骰子：事件＂第一枚出现奇数点＂，事件＂第二枚出现偶数点＂，判断与的关系. 【解析】由题意，样本空间：第一枚骰子点数有，第二枚有，事件A与B可同时发生（如. 验证：， 与相互独立但不互斥. 【典例2】现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互对立 D．丙与丁互斥 【答案】BD 【分析】利用样本空间法，分别计算4个事件的概率，以及选项中两个事件同时发生是概率，再结合独立事件，互斥事件的定义，即可判断选项. 【详解】，事件丙包含，共5个基本事件，所以，，所以，甲与丙不相互独立，故A错误； 事件丁包含共6个基本事件，所以，，所以，甲与丙相互独立，故B正确； ，，所以，乙与丙不相互独立，故C错误； 事件丙和丁没有公共事件，不可能同时发生，所以丙和丁互斥，故D正确. 故选：BD 重难点01 随机现象和样本空间 基本事件个数的确定方法 (1)列举法：此法适合于基本事件个数较少的古典概型； (2)列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成坐标法； (3)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适用于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求； 1．（25-26高一上·河北邯郸·开学考试）在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 【答案】C 【分析】根据白球只有2个不可能摸出3个即可进行解答. 【详解】A.摸出的是3个白球是不可能事件，不符合题意； B.摸出的是3个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意； C.摸出的球中至少有1个是黑球是必然事件，符合题意； D.摸出的是2个白球、1个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意. 故选：C. 2．（2025高一上·全国·专题练习）下列现象是必然现象的是（    ） A．走到十字路口遇到红灯 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中环 【答案】C 【分析】根据必然现象和随机现象的定义依次判断即可. 【详解】选项A，十字路口遇到红灯，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象； 选项B，标准大气压下，冰水混合物的温度是，事件冰水混合物的温度是不是必然现象； 选项C，三角形的内角和为，这个事件为必然现象； 选项D，一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象． 故选：C. 3．（24-25高一下·安徽六安·期末）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】根据必然事件，不可能事件和随机事件的定义逐个分析判断即可. 【详解】对于①，从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件，所以①正确， 对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确， 对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误， 对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确. 故选：C 4．（24-25高一下·全国·周测）下列事件中，随机事件的个数是（   ） ①2020年8月18日，北京市不下雨； ②在标准大气压下，水在4℃时结冰； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签； ④向量的模不小于100． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据随机事件及必然事件，不可能事件概念判断即可. 【详解】①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件． 故选：B． 5．（2025高一·全国·专题练习）先后抛均匀的五角、一元硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个样本点的是（　 　） A．“至少一枚硬币正面向上” B．“只有一枚硬币正面向上” C．“两枚硬币都是正面向上” D．“两枚硬币都是反面向上” 【答案】A 【分析】确定样本点，进而逐个判断即可. 【详解】“至少一枚硬币正面向上”包括“五角向上，一元向下”“五角向下，一元向上”“五角、一元都向上”三个样本点． 故选：A. 重难点02 事件运算及互斥和对立 事件关系的运算策略 进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．当事件是由互斥事件组成时，运用互斥事件的概率加法公式． 6．（贵州省贵阳市七校联盟2025-2026学年高三上学期第一次联考数学试卷）打靶3次，记事件表示“共击中i发”，其中，那么表示（   ） A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多击中1次” D．“至少击中2次” 【答案】C 【分析】根据题意用自然语言描述出事件，即可得. 【详解】由题意，表示共击中0次，表示共击中1次， 所以表示打靶3次，其中“至多击中1次”，或“击中不超过1次”. 故选：C 7．（24-25高一下·天津·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，记事件“点数大于4”，事件“点数为偶数”，则事件“点数为6”可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可分别求出事件所包含的点数，即可得出结果. 【详解】根据题意可得，； 显然易知. 所以事件“点数为6”可以表示为. 故选：D 8．（24-25高二下·河南郑州·期末）某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为，则表示的试验结果是（    ） A．第2次投篮命中 B．第3次投篮未命中 C．前3次投篮均未命中 D．前2次投篮均未命中，第3次投篮命中 【答案】D 【分析】根据随机变量的意义即可判断. 【详解】根据变量的意义可知：表示前2次投篮均未命中，第3次投篮命中. 故选：D. 9．（24-25高一下·广西百色·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A=“点数不大于3”，B=“点数大于4”，C=“点数为奇数”，D=“点数为偶数”，下列结论正确的是（    ） A．B，C为对立事件 B．A，C为互斥事件 C．C，D为对立事件 D．A，D为互斥事件 【答案】C 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义逐一判断各个选项即可求解． 【详解】样本空间为，，，，， 对于A，，所以B，C不互斥，更不可能对立，故A错误； 对于B，由于，所以A，C不互斥，故B错误； 对于C，因为，，所以C，D为对立事件，故C正确； 对于D，，所以A，D不互斥，故D错误． 故选：C． 10．（25-26高二上·河北张家口·开学考试）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，设“出现的点数为偶数”为事件A，“出现的点数大于4”为事件B，则下述正确的是（    ） A．A与B对立 B．A与B互斥 C．A与B相互独立 D． 【答案】C 【分析】抛掷一枚骰子的所有可能结果是：；事件A包含的结果是：；事件B包含的结果是：，由对立互斥独立的概念逐一判断各个选项即可求解. 【详解】抛掷一枚骰子的所有可能结果是：； 事件A包含的结果是：； 事件B包含的结果是：. 因为没包含所有可能结果（如1，3没包含在内），A与B不对立，故A错误； 因为，A与B不互斥，故B错误； 因为，， 因此A与B相互独立，故C正确； ，，而，故D错误. 故选：C. 11．（25-26高二上·福建泉州·阶段练习）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是5或6”，事件C表示“向上的点数小于5”，则下列说法正确的是（ ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 【答案】B 【分析】根据题意，利用互斥事件和对立事件的概念，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A：当向上的点数为3时，事件A与B同时不发生，所以A错误； 对于选项B：事件B与C不能同时发生，且事件B与C必有一个发生，所以B正确； 对于选项C：当向上的点数是2或4时，事件A与事件C同时发生，所以C错误； 对于选项D：当向上的点数是6时，事件A与事件B能同时发生，所以D错误. 故选：B． 12．（25-26高二上·河北衡水·开学考试）不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为（   ） ①2张卡片都不是红色；    ②2张卡片恰有1张是红色； ③2张卡片至少有1张是红色；    ④2张卡片都为绿色． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义逐一判断即可得解. 【详解】6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有：“2张都为红色”、“2张都为绿色”、“2张都为蓝色”、“1张为红色1张为绿色”、“1张为红色1张为蓝色”、“1张为绿色1张为蓝色”. 给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立的事件有:“2张都不是红色”,“2张恰有一张红色”,“2张都为绿色”. 而事件“2张至少一张为红色”包含事件“2张都为红色”,二者并非互斥．所以符合题意的事件为①②④，一共3个. 故选：C. 重难点03 利用互斥、对立事件求概率 1.求复杂的互斥事件的概率的方法 (1)直接法 (2)间接法(正难则反) 2.含“至多”、“至少”等词语的概率的计算 (1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． (2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．　　　　 13．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为，摸出的球是红球或黑球的概率为，则摸出的球是红球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为，由互斥事件的概率性质建立关于的等式，求解即可． 【详解】根据题意，设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为， 所以，，且， 所以，， ， 解得：， 故选：C． 14．（24-25高一下·福建福州·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对立事件与互斥事件的概率公式及概率的性质求解即可. 【详解】由和对立，可得，则. 又随机事件和互斥， 所以. 故选：A. 15．（25-26高二上·山东·阶段练习）某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择类图书的概率为，选择类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则两类图书都选的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对立事件和概率加法公式即可求解. 【详解】设事件“读者选择类图书”， 事件“读者选择类图书”， 则， 可得， 又， 所以. 故选：. 16．（25-26高二上·山东·阶段练习）已知甲、乙投篮命中的概率分别为，且甲、乙投篮命中的结果相互独立．甲、乙各投篮1次，则两人共命中1次的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用独立事件乘法公式、互斥事件加法公式及对立事件概率公式求解概率即可. 【详解】设“甲投篮1次命中”为事件A，“乙投篮1次命中”为事件B，“甲、乙各投篮1次，两人共命中1次”为事件C， 由题意，则， 又， 所以. 故选：C 重难点04 古典概型 利用公式法求解古典概型问题的步骤 17．（25-26高一上·重庆云阳·开学考试）不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列举出所有样本点，然后由古典概型概率公式可得. 【详解】从分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球随机摸出两个球的样本空间为： ，共10个样本点， 其中数字之和是偶数的样本点有：，共4个. 所以数字之和是偶数的概率为. 故选：B 18．（25-26高二上·海南·阶段练习）盒子中有四个小球，分别写有“知”“行”“合”“一”四个字，从盒子中有放回抽取小球，直到取到“知”“行”二字就停止.用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率：利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“知”“行”“合”“一”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 19 231 320 032 132 031 123 330 110 20 120 122 321 221 230 132 322 130 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概型的概率公式即可求解. 【详解】由于0，1代表“知”“行”，恰好第三次就停止的情况有：031，110，120，130 共有4种情况，故概率为， 故选：D 21．（25-26高二上·海南·阶段练习）掷两枚质地均匀的骰子（标记为I号和II号），两个点数之和小于6的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概型的概率公式即可求解. 【详解】掷两枚质地均匀的骰子（标记为I号和II号）共有36种情况， 两个点数之和小于6的情况有共有10种情况， 故概率为， 故选:D 22．（25-26高二上·四川德阳·阶段练习）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，则两次向上的点数之和除以4的余数为3的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率. 【详解】一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次的试验有36个样本点， 两次向上的点数之和除以4的余数为3的事件含有的样本点为： ，共10， 所以两次向上的点数之和除以4的余数为3的概率为. 故选：C 23．（25-26高二上·山东·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的骰子，落地后向上一面的数字是偶数且不小于4的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列举所有基本事件，再列出所求事件包含的基本事件，根据古典概型概率公式直接求解即可. 【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数构成的样本空间为，含有6个等可能的样本点， 事件“落地后向上一面的数字是偶数且不小于4”为，含有2个等可能的样本点， 所以所求的概率为. 故选：C 24．（22-23高一下·北京延庆·开学考试）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，设事件两次掷出的点数之和是5，设事件第二次掷出的点数是偶数，设事件第一次掷出的点数是5，设事件至少出现一个奇数点，下列说法不正确的是（    ） A．与互斥 B． C．与对立 D．与相互独立 【答案】C 【分析】根据题设依次列举出对应事件，应用古典概型的概率求法求对应概率，结合互斥、对立、独立事件的定义和判定判断各项的正误. 【详解】若中依次表示第一、二次对应点数，所有情况有种， 由题意，事件的基本事件有，共4种， 事件的基本事件有，共18种， 所以有，共2种， 事件的基本事件有，共6种， 事件的基本事件有，共27种， 由上，与互斥，，A、B对， ，，，则，D对， 显然与不互斥，更不对立，C错. 故选：C 25．（25-26高一上·浙江宁波·自主招生）不透明的盒子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，103.随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球.第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定共有多少种情况，再确定第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的情况有几种，即可求得答案. 【详解】由题意知随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球， 共有等6种可能的情况； 其中第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的情况有， 故第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是， 故选：A 26．（25-26高二上·黑龙江·阶段练习）班上有5名数学爱好者，其中3人选修了《数学史》.若从这5人中随机选出2人，则恰好2人都选修了《数学史》的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出样本空间的样本数和恰好2人都选修了《数学史》的样本个数，再利用古典概率公式，即可求解. 【详解】由题知班上有5名数学爱好者，其中3人选修了《数学史》， 记选修了《数学史》的3人为，其余的2人为， 从5人中选取人有：，共有10种情况， 恰好2人都选修了《数学史》的有，共3种情况， 所以从这5人中随机选出2人，则恰好2人都选修了《数学史》的概率为. 故选：A. 重难点05 用频率估计概率 频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同 名称 不同点 相同点 频率计算公式 频率计算中的m，n均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值 都计算了一个比值 古典概型的概率计算公式 是一个定值，对同一个随机事件而言，m，n都不会变化 27．（25-26高二上·贵州·阶段练习）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用独立重复实验可求出试验出现正面朝上的频率，再根据每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上机会相等求出正面朝上的概率． 【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次， 出现正面朝上的频率为：， 又每次抛质地均匀的硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是， 出现正面朝上的概率为：， 出现正面朝上的频率为，概率为． 故选：B． 28．（2025高二·全国·专题练习）抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，则事件“反面朝上”的概率和频率分别是（   ） A．100.5，100.5 B．100.51，100.51 C．100.49，100.49 D．100.5，100.51 【答案】D 【分析】根据频率和概率的定义即可求解. 【详解】抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，故有51次反面朝上，故“反面朝上”的频率为，“反面朝上”的概率为100.5， 故选：D 29．（2025高三·全国·专题练习）在滑翔伞定点比赛中，飞行员在降落时一般会踩中半径为16cm的电子靶，以距靶心距离的远近作为打分依据．若某次比赛中规定：降落时距靶心的距离小于8cm，会获得“优秀飞行员”称号．现随机抽取了100名飞行员此次比赛降落时距靶心距离（单位：cm）的数据如下表： 降落时距靶心距离（单位：cm） 人数 18 21 39 22 用频率估计概率，若随机抽取1人，则此人为“优秀飞行员”的概率为（    ） A．100.18 B．100.21 C．100.39 D．100.40 【答案】C 【分析】根据题意利用频率估计概率进行计算. 【详解】由题可知，样本容量为100人，获得“优秀飞行员”称号的人数为人， 所以随机抽取1人，此人为“优秀飞行员”的概率． 故选：C 30．（24-25高一下·天津河西·期末）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球，4个白球，若干个黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到黑球的频率稳定在100.4，则袋中约有黑球（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】利用频率估计概率，可知随机摸出一个球摸到黑球的概率约为100.4，进而分析求解. 【详解】设袋中黑球有个， 利用频率估计概率，可知随机摸出一个球摸到黑球的概率约为100.4， 由题意可得：，解得， 所以袋中约有黑球8个. 故选：C. 31．（24-25高二下·湖北咸宁·期末）根据统计，某篮球运动员在1000次投篮中，命中的次数为860次，则该运动员（    ） A．投篮10次至少有8次命中 B．投篮命中的频率为100.86 C．投篮命中的概率为100.86 D．投篮100次有86次命中 【答案】B 【分析】根据频率、概率的含义以及与事件的关系判断，即得答案. 【详解】由题意可知投篮命中的频率为， 而频率可能比概率大也可能小，概率是频率的稳定值，二者不一定相等，故B正确，C错误； 投篮10次或100次相当于做10次或100次试验，每一次的结果都是随机的， 其结果可能是一次都没中，也可能是多次投中等，频率和概率只反映事件发生的可能性的大小， 不代表事件一定会发生，故AD错误， 故选：B 重难点06 事件的独立性 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积． (2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算． 32．【多选】（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）先后抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A表示“第1枚正面向上”，事件B表示“第2枚反面向上”，事件C表示“恰有1枚正面向上”，事件D表示“两枚都正面向上”，则（    ） A．A与B相互独立 B．A与C相互独立 C．A与D相互独立 D．B与D互斥 【答案】ABD 【分析】根据相互独立事件、互斥事件的定义一一分析结合列举法判定选项即可. 【详解】先后抛掷两枚硬币出现的结果有：正正，正反，反正，反反四种情况， 则事件A包含正正，正反两种情况；事件B包含正反，反反两种情况； 事件C包含正反，反正两种情况；事件D包含正正一种情况； 所以， 显然，， ，，即ABD正确. 故选：ABD 33．【多选】（24-25高一下·湖南长沙·期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件A表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件B表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（   ） A．A与B为互斥事件 B． C． D．B与C相互独立 【答案】BD 【分析】首先根据题意将的可能情况列出来，然后根据互斥事件、独立事件和概率知识对选项逐一判断即可. 【详解】不放回的随机取两次，共有种不同结果. 由题意，共15种结果； 共15种结果. 共12种结果. , 对于选项A： 事件和事件能同时发生，比如，所以不是互斥事件，所以A错误； 对于选项B：，所以B正确； 对于选项C：，，所以，所以C错误； 对于选项D：，. 由于，所以相互独立，所以D正确. 故选：BD. 34．【多选】（24-25高一下·贵州遵义·期末）现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互对立 D．丙与丁互斥 【答案】BD 【分析】利用样本空间法，分别计算4个事件的概率，以及选项中两个事件同时发生是概率，再结合独立事件，互斥事件的定义，即可判断选项. 【详解】，事件丙包含，共5个基本事件，所以，，所以，甲与丙不相互独立，故A错误； 事件丁包含共6个基本事件，所以，，所以，甲与丙相互独立，故B正确； ，，所以，乙与丙不相互独立，故C错误； 事件丙和丁没有公共事件，不可能同时发生，所以丙和丁互斥，故D正确. 故选：BD 35．（24-25高一下·河北沧州·期末）投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（    ） A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件 【答案】C 【分析】根据互斥事件，对立事件，独立事件概率公式和定义，即可判断选项. 【详解】和有公共事件：点数为3，所以不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误； 事件表示点数为4或6，，，，所以，所以与是独立事件，故C正确； 事件表示点数为2，则，，，所以，所以与不是独立事件，故D错误 故选：C 36．（24-25高一下·福建福州·期末）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； (1)求甲、乙两人共答对5道题目的概率． (2)若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式，再结合互斥事件加法公式即可求解； （2）先求甲乙两人分别没通过面试的概率，再利用对立事件，即可得到甲乙两人分别通过面试的概率，然后利用两人中仅有一人通过，结合两相互独立事件概率乘法公式即可求解. 【详解】（1）设“甲答对3道题目”, “甲答对2道题目” “乙答对3道题目”， “乙答对2道题目”，根据独立事件的性质，可得， ，    ， ，     ， 设为 “甲、乙两人共答对5道题目”， 则，因为与互斥，与，与分别相互独立，， 所以甲、乙两人共答对5道题目的概率． （2）C=“甲通过面试”，D=“乙通过面试”，与相互独立， ， E=“甲、乙两人只有一人通过面试”，则，因为与互斥， 与，与分别相互独立， 所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率 37．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）甲､乙二人做射击游戏，甲和乙射击击中与否互不影响，各次结果也互不影响.规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击.已知甲射击一次击中的概率为，乙射击一次击中的概率为，且第一次由甲开始射击. (1)求前3次射击中甲恰好击中2次的概率； (2)求第4次由甲射击的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由前3次射击中甲恰好击中2次，可得前2次甲都击中目标，但第三次没有击中，即可乘法公式即可求解； （2）分“甲连续射击3次且都击中”； “第一次甲射击没有击中，第二次由乙射击且击中，第三次由乙射击没有击中” “第一次甲射击没有击中，二次由乙射击且没有击中，第三次由甲射击且击中” “第一次甲射击且击中，二次由甲射击且没有击中，第三次由乙射击没有击中”结合互斥事件和事件计算公式即可求解； 【详解】（1）前3次射击中甲恰好击中2次，即前2次甲都击中目标，但第三次没有击中目标，故它的概率为 （2）设事件“甲连续射击3次且都击中”； 事件“第一次甲射击没有击中，第二次由乙射击且击中，第三次由乙射击没有击中”； 事件“第一次甲射击没有击中，二次由乙射击且没有击中，第三次由甲射击且击中”； 事件“第一次甲射击且击中，二次由甲射击且没有击中，第三次由乙射击没有击中”； 事件“第4次由甲射击”两两互斥， 所以第4次由甲射击的概率为 38．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）有一名高二学生盼望2025年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2025年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2024年10月市数学竞赛一等奖中选拔）；②2025年3月自主招生考试通过并且达到2025年6月高考重点分数线；③2025年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线）；该学生具备参加市数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表： 市数学竞赛一等奖 自主招生通过 高考达重点线 高考达该校分数线 100.5 100.6 100.9 100.7 若该学生数学竞赛获市一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是.若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取.（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取） (1)求该学生参加自主招生考试的概率； (2)求该学生被该校录取的概率. 【答案】(1)100.9 (2)100.838 【分析】（1）分别计算该同学未获得市级一等奖的概率与获得市级一等奖且未进入国家集训队的概率，求和即可； （2）分别计算该同学参加市数学竞赛获一等奖并参加国家集训队的概率，自主招生通过并且高考达到重点分数线录取的概率及自主招生未通过但高考达到该校录取分数线录取的概率求和即可. 【详解】（1）设该学生参加市数学竞赛获一等奖、参加国家集训队的事件分别为， 学生参加自主招生考试包括两种情况： ①未获得市级一等奖，概率． ②获得市级一等奖且未进入国家集训队，概率 则该学生参加自主招生考试的概率 （2）设该学生自主招生通过并且高考达到重点分数线录取，自主招生未通过但高考达到该校录取分数线录取的事件分别为． ， ， ， 所以该学生被该校录取的概率为． 39．（23-24高一下·福建福州·期末）目前低碳的生活理念流行，越来越多的年轻人加入自行车骑游行列.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过小时免费，超过小时的部分每小时收费元（不足一小时的部分按一小时计算）.有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过小时还车的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人租车时间超过2小时，且不超过3小时的概率； (2)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (3)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据互斥事件的概率公式和对立事件概率公式计算可得； （2）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得； （3）甲、乙两人所付的租车费用之和为元可能的情况是甲、乙的租车费用分别为： ①元、元，②元、元，③元、元，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【详解】（1）甲租车时间超过2小时，且不超过3小时的概率为：， 乙租车时间超过2小时，且不超过3小时的概率为：； （2）甲、乙两人所付的租车费用相同可分为租车费用都为元、元、元三种情况， 甲、乙两人租车费用都为元的概率为， 甲、乙两人租车费用都为元的概率为， 甲、乙两人租车费用都为元的概率为， 所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为； （3）甲、乙两人所付的租车费用之和为元可能的情况是甲、乙的租车费用分别为： ①元、元，②元、元，③元、元， 所以甲、乙两人所付的租车费用之和为元的概率为： . 重难点07 概率的综合应用 解概率综合应用题，先审清题意，明确事件类型，如古典概型、互斥事件、独立事件等。再梳理事件间关系，用定义或公式判断事件属性，选择对应概率公式计算。若涉及复杂场景，可通过分类、分步拆解，最后结合实际验证结果合理性，确保逻辑连贯。 40．（25-26高二上·重庆·阶段练习）某校为了提高学生的反诈骗意识，举办了反诈骗知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值与样本成绩的平均数； (2)用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出8名学生，再从这8名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间的概率； (3)学校决定从知识竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1分，负方得0分，没有平局，三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，，，各项目的比赛结果相互独立，甲至少得1分的概率是，甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由． 【答案】(1)，74 (2) (3)乙最终获胜的可能性大，理由见解析 【分析】（1）由频率之和为1，结合频率分布直方图可得；根据频率分布直方图的平均数的计算公式求解样本成绩的平均数； （2）根据分层抽样的方法确定从，中抽取的人数，结合古典概型的概率计算公式求解； （3）根据题意求得，分别求得甲，乙得到2分和3分的概率，即可得到答案. 【详解】（1）由频率之和为1，结合频率分布直方图可得 ，解得， 样本成绩的平均数约为． （2）由频率分布直方图知，样本答卷成绩在，的学生比为， 用分层抽样的方法从在的学生中抽取（人）， 从的学生中抽取（人）． 从这8名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，有种情形， 第一个和第二个交流分享的学生成绩均在区间，有种情形， 第一个交流分享的学生成绩在区间，第二个交流分享的学生成绩在区间，有种情形， 故所求概率为． （3）乙最终获胜的可能性大．理由如下： 由题意，甲至少得1分的概率是， 可得，其中，解得， 则甲得2分或3分的概率为： ． 所以乙得分为2分或3分的概率为，乙最终获胜的可能性大． 41．（25-26高三上·上海·阶段练习）某大学随机统计了800名学生的一个学期自习时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值以及自习时间在[100，150]内的学生人数； (2)从和用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用频率直方图的性质即可求解； （2）利用分层抽样和古典概型公式可求出概率. 【详解】（1）由频率分布直方图可知：，解得， 一个学期自习时间在内的学生人数为； （2）一个学期自习时间落在的抽取人数为， 这4人分别记为A，B，C，D， 一个学期自习时间落在的抽取人数为， 这2人分别记为a，b， 再从这6名学生中随机抽取2名学生的样本空间为： ，共有15个样本点， 其中恰有1名一个学期自习时间落在内的样本点，共8个样本点， 所以抽到这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率. 42．（25-26高二上·海南·阶段练习）将一次考试所有学生的成绩，做成的频率分布直方图如图所示，第一组成绩在，第二组成绩在，第三组成绩在，第四组成绩在第五组成绩在    (1)求图中的值，估计本次考试成绩的平均分； (2)老师准备将在本次考试中成绩排名在前的同学定为优秀，发奖鼓励，估计此次考试成绩优胜的分数线； (3)若本次考试共20人参加，现计划从分数低于70分的同学中随机抽取2人谈心，求2人分数都在的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的面积之和为1即可求得，利用频率分布直方图平均分的计算方法可求得平均分的估计值； （2）根据频率分布直方图的百分位数的求法即可求解； （3）先求得和低于70分的人数，利用枚举法求得总的取法，及2人分数都在的取法，利用古典概型概率公式即可求解. 【详解】（1）由题意得，解得； 本次成绩平均分的估计值为； （2）老师准备将在本次考试中成绩排名在前的同学，定为成绩优秀，故求第分位数的分数即可， ， 故分位数在内，故第分位数的分数为分， 故此次考试成绩优秀的分数线为分. （3）低于70分的同学的频率为，所以低于70分的同学应抽取人， 其中成绩在的人数为人， 记这5人为，其中为成绩在的两位同学， 从中任取两人有共10种取法， 其中2人分数都在的取法有1种， 所以2人分数都在的概率为. 43．（25-26高二上·湖南·阶段练习）一次体能测试中，体育老师随机抽名学生的成绩（满分100分）进行统计分析，按照，，，，，的分组作出频率分布直方图和频数分布表.    分组 频数 6 6 (1)求的值. (2)在选取的样本中，从低于60分的学生中随机抽两名学生，问这两名学生的成绩都在内的概率是多少? (3)若成绩在前20%的学生可获得“体能达人”的称号，问成绩至少要达到多少分才可以获得“体能达人”的称号？ 【答案】(1)，， (2) (3)85分 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质得到，进而求出，即可. （2）结合题意求出基本事件和符合条件的事件，利用古典概型概率公式求解即可. （3）先确定的所在区间，再结合题意建立方程求解即可. 【详解】（1）因为小长方形面积和为1， 所以，解得， 因为，所以， 所以. （2）由频数分布表可知， 成绩在，两组中的学生人数分别为3，6， 将成绩在组中的学生记为， 成绩在组中的学生记为， 从这两组学生中随机抽两名学生的情形有，，，，， ，，，，，， ，，，，， ，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，共36个基本事件， 其中两名学生的成绩都在内的情形有，，，， ，，，，，，， ，，，，共15个基本事件， 即这两名学生的成绩都在内的概率为. （3）设成绩至少要达到分才可以获得“体能达人”的称号. 因为成绩在内的频率为100.1， 成绩在内的频率为100.2，所以在内， 由，得， 即成绩至少要达到85分才可以获得“体能达人”的称号. 12 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $