4.3.1 等比数列的概念（7大基础题型+能力提升+拓展提升）（分层作业）高二数学人教A版2019选择性必修第二册

4.3.1 等比数列的概念 题型一 对等比数列的理解 1．（24-25高二·全国·课后作业）下列说法正确的有（    ） A．等比数列中的项可以为0 B．等比数列的公比的取值范围是R C．若一个常数列是等比数列，则公比为1 D．22，42，62，82，…成等比数列 2．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）下列数列是等比数列的是（    ） A．1，1，1，1，1 B．1，2，4，8，16 C．，，，， D．，，，0，1 3．（24-25高二·全国·课后作业）下列数列一定是等比数列的是（    ） A．数列1，2，6，18，… B．数列中，， C．常数列，，…，，… D．数列中， 题型二 等比中项 1．（24-25高二下·广东揭阳·阶段练习）1和2025的等比中项为 （    ） A．50 B．45 C． D． 2．（24-25高二下·湖北十堰·期末）在等比数列中，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（24-25高二下·贵州黔南·期末）已知等比数列，若，为方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·福建莆田·阶段练习）数1与4的等差中项，等比中项分别是（    ） A．， B．，2 C．，2 D．， 题型三 等比数列的通项公式及应用 1．（25-26高三上·广东·阶段练习）已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为（    ） A． B．2 C．或2 D．3 2．（25-26高三上·云南昭通·阶段练习）数列是等比数列，且，，则（    ） A．16 B．14 C．12 D．10 3．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）在等比数列中，，则 . 4．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列是递增的等比数列，若，则 . 5．（23-24高二上·江苏·课前预习）在等比数列中. (1)若它的前三项分别为5，－15，45，求； (2)若an＝625，n＝4，q＝5，求； (3)若a4＝2，a7＝8，求an. 题型四 判断或证明一个数列是等比数列 1．（24-25高二上·河北唐山·期末）若，，成等比数列且公比为，那么，，（    ） A．不一定是等比数列 B．一定不是等比数列 C．一定是等比数列，且公比为 D．一定是等比数列，且公比为 2．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）下列数列为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·上海长宁·期末）已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 题型五 等比数列的性质及其应用 1．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）在等比数列中，，则（   ） A．36 B． C． D．6 2．（24-25高二上·甘肃金昌·阶段练习）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．32 D．64 3．（24-25高一下·四川泸州·期中）在等比数列中，，则的值为（    ） A．48 B．72 C．144 D．192 4．（21-22高二上·吉林白山·期末）已知等比数列的公比q为整数，且，，则（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 5．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．3 B．5 C． D．30 6．（多选）（24-25高二下·河南南阳·阶段练习）设数列都是等比数列，则下列选项中一定是等比数列的有（    ） A． B． C． D． 题型六 等比数列的函数特性 1．（24-25高二下·黑龙江·阶段练习）若等比数列的公比，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（多选）（24-25高二上·甘肃白银·阶段练习）已知等比数列 ，=1， ，则（     ）. A．数列 是等比数列 B．数列 是递增数列 C．数列 是等差数列 D．数列 是递增数列 3．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）等比数列为单调递减数列，写出满足上述条件的一个数列的通项公式 . 题型七 等比数列的实际应用 1．某普通高中在校学生人数由2000人增加到5000人，这年间该校学生人数的年平均增长率应满足的关系式为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·江西上饶·联考）《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根节的竹子，自上而下各节的容积称等比数列，上面节的容积共升，下面节的容积共升，则第节的容积为（ ） A．升 B．升 C．升 D． 1．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知数列是递增的等差数列，，且是与的等比中项，则（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 2．（25-26高三上·湖北·阶段练习）已知等差数列不是常数列，若，且，，成等比数列，则（    ） A．1 B．21 C．19 D．20 3．（24-25高二下·四川·期中）等比数列{ an }满足a5 = 2，，则（   ） A．22 B．20 C．12 D．10 4．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）在等比数列中，是方程的两根，则等于（    ） A． B． C．或 D． 5．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）数列中，，点在经过的直线l上，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第 5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多少?”.记这个人原来持金为斤，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三下·江苏南通·开学考试）已知数列为等比数列，，公比，则数列的前项积最大时，（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·北京·开学考试）已知无穷等比数列的公比为，则“”是“单调递减”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（24-25高二下·河南周口·阶段练习）在等比数列中，，，则当取得最小值时， （    ） A． B． C． D． 10．（多选）（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．若，则数列是递减数列 C．若，则 D．数列是等比数列 11．（多选）（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最大项为 12．（2025·湖南·一模）已知依次成等差数列，依次成等比数列，则的最小值是 . 13．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）等比数列中，且，，成等差数列，则的最小值为 . 14．（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知数列 满足 ，数列 满足 . (1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项. 15．（山西省太原市部分学校2025-2026学年高三上学期10月质量检测数学试题）在数列中，． (1)证明：是等比数列； (2)若，求数列的前n项和． 16．（25-26高三上·福建福州·阶段练习）记为数列的前n项和，已知. (1)证明：是等比数列； (2)求数列的前n项和. 1．（25-26高三上·湖北·阶段练习）如图，等边三角形的边长为4，取各边的中点，，，作第2个等边三角形，然后再取各边的中点，，，作第3个等边三角形，依此方法一直继续下去，记为第1个三角形，为第2个三角形，为第3个三角形，，依此类推，则第10个三角形与第5个三角形的面积之和为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·天津·阶段练习）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：，，，给出下列结论：①；②；③是数列中的最大项；④使成立的最大自然数等于198，其中正确的结论是 . 5．（24-25高二下·北京大兴·期中）已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和的最大值； (3)若等比数列满足，，问：是否存在最大值与最小值？说明理由. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.1 等比数列的概念 题型一 对等比数列的理解 1．（24-25高二·全国·课后作业）下列说法正确的有（    ） A．等比数列中的项可以为0 B．等比数列的公比的取值范围是R C．若一个常数列是等比数列，则公比为1 D．22，42，62，82，…成等比数列 【答案】C 【解析】等比数列的项和公比都不能为0，故AB错误；C显然正确；由于，故不是等比数列，D错． 故选：AC 2．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）下列数列是等比数列的是（    ） A．1，1，1，1，1 B．1，2，4，8，16 C．，，，， D．，，，0，1 【答案】ABC 【解析】A选项，数列为公比为1的等比数列，A正确； B选项，数列为公比为2的等比数列，B正确； C选项，数列为公比为的等比数列，C正确； D选项，，不是等比数列，D错误. 故选：ABC 3．（24-25高二·全国·课后作业）下列数列一定是等比数列的是（    ） A．数列1，2，6，18，… B．数列中，， C．常数列，，…，，… D．数列中， 【答案】D 【解析】对于A，，，故不是等比数列； 对于B，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不一定是等比数列； 对于C，当时，不是等比数列； 对于D，该数列符合等比数列的定义，一定是等比数列． 故选：D． 题型二 等比中项 1．（24-25高二下·广东揭阳·阶段练习）1和2025的等比中项为 （    ） A．50 B．45 C． D． 【答案】C 【解析】设1和2025的等比中项为， 则，解得. 故选：C. 2．（24-25高二下·湖北十堰·期末）在等比数列中，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以. 故选：D. 3．（24-25高二下·贵州黔南·期末）已知等比数列，若，为方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为等比数列，，为方程的两根， 所以，故， 又因为， 所以，同为负数，由等比数列的性质可知，等比数列的隔项同号， 所以. 故选：A. 4．（24-25高三上·福建莆田·阶段练习）数1与4的等差中项，等比中项分别是（    ） A．， B．，2 C．，2 D．， 【答案】D 【解析】根据等差中项的定义可知，1与4的等差中项为； 根据等比中项的定义可得，1与4的等比中项G满足G2＝1×4＝4，G＝±2. 故选：D. 题型三 等比数列的通项公式及应用 1．（25-26高三上·广东·阶段练习）已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为（    ） A． B．2 C．或2 D．3 【答案】B 【解析】因为公比，所以，化简得，解得或， 当时，， 当时，， 又，则． 故选：B． 2．（25-26高三上·云南昭通·阶段练习）数列是等比数列，且，，则（    ） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】A 【解析】设等比数列的公比为，则 解得 因此，， 故选:A． 3．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）在等比数列中，，则 . 【答案】 【解析】由题知，所以，所以. 4．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列是递增的等比数列，若，则 . 【答案】512 【解析】设等比数列的公比为， 由可得，把代入方程整理得 或(舍去). 所以. 5．（23-24高二上·江苏·课前预习）在等比数列中. (1)若它的前三项分别为5，－15，45，求； (2)若an＝625，n＝4，q＝5，求； (3)若a4＝2，a7＝8，求an. 【答案】(1)405；(2)5；(3)an＝ 【解析】（1）易知，，故. （2）由. （3）.所以. 题型四 判断或证明一个数列是等比数列 1．（24-25高二上·河北唐山·期末）若，，成等比数列且公比为，那么，，（    ） A．不一定是等比数列 B．一定不是等比数列 C．一定是等比数列，且公比为 D．一定是等比数列，且公比为 【答案】C 【解析】因为，，成等比数列且公比为，所以，，可得，，由等比数列的中项可判断得，，成等比数列，并且公比为. 故选：C 2．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）下列数列为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】A：，则不为定值，不满足； B：，则不为定值，不满足； C：，则为定值，且，满足； D：，则为定值，且，满足. 故选：CD 3．（23-24高二下·上海长宁·期末）已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【解析】（1）因为，所以，即， 即数列是以为首项，3为公比的等比数列； （2）由（1）可得，所以数列的通项公式为. 题型五 等比数列的性质及其应用 1．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）在等比数列中，，则（   ） A．36 B． C． D．6 【答案】D 【解析】， 则， 又，解得， 因为， 所以. 故选：D. 2．（24-25高二上·甘肃金昌·阶段练习）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．32 D．64 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为， 则， 即，解得， 所以． 故选：C． 3．（24-25高一下·四川泸州·期中）在等比数列中，，则的值为（    ） A．48 B．72 C．144 D．192 【答案】D 【解析】数列是等比数列，则，， 而，故． 故选：D 4．（21-22高二上·吉林白山·期末）已知等比数列的公比q为整数，且，，则（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 【答案】A 【解析】因为，，且q为整数， 所以，，即q=2. 所以. 故选：A 5．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．3 B．5 C． D．30 【答案】B 【解析】为等比数列，，故， 且， 故. 故选：B 6．（多选）（24-25高二下·河南南阳·阶段练习）设数列都是等比数列，则下列选项中一定是等比数列的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】设等比数列的公比分别为. 与可能为0，故A，B错误； ，故是等比数列，故C正确； ，故是等比数列，故D正确. 故答案为：CD. 题型六 等比数列的函数特性 1．（24-25高二下·黑龙江·阶段练习）若等比数列的公比，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】在等比数列中，，由数列的通项公式可得，可知， 又，所以，所以为递增数列，故充分性成立， 若，可知是递增数列，但不满足，故必要性不成立， 故“”是“为递增数列”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（多选）（24-25高二上·甘肃白银·阶段练习）已知等比数列 ，=1， ，则（     ）. A．数列 是等比数列 B．数列 是递增数列 C．数列 是等差数列 D．数列 是递增数列 【答案】ACD 【解析】由=1，得，，所以数列 是等比数列且为递减数列，故A正确B不正确； ，数列 是递增的等差数列，故C，D正确. 故选：ACD. 3．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）等比数列为单调递减数列，写出满足上述条件的一个数列的通项公式 . 【答案】 【解析】等比数列为单调递减数列， ，或，，满足上述条件的一个数列的通项公式为： 题型七 等比数列的实际应用 1．某普通高中在校学生人数由2000人增加到5000人，这年间该校学生人数的年平均增长率应满足的关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设2016年到2020年的人数构成数列， 由等比数列的定义可知，数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以， 又,所以. 2．（2025·江西上饶·联考）《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根节的竹子，自上而下各节的容积称等比数列，上面节的容积共升，下面节的容积共升，则第节的容积为（ ） A．升 B．升 C．升 D． 【答案】D 【解析】自上而下各节的容积构成等比数列，首项为，公比为. ，两式相除得（），解得， 则， 所以. 故选：D 1．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知数列是递增的等差数列，，且是与的等比中项，则（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】B 【解析】设该等差数列的公差为，因为数列是递增的等差数列， 所以，因为是与的等比中项，所以，或舍去， ， 故选：B 2．（25-26高三上·湖北·阶段练习）已知等差数列不是常数列，若，且，，成等比数列，则（    ） A．1 B．21 C．19 D．20 【答案】C 【详解】因为，且，，成等比数列， 所以，解得或， 因为等差数列不是常数列，所以. 所以. 故选：C 3．（24-25高二下·四川·期中）等比数列{ an }满足a5 = 2，，则（   ） A．22 B．20 C．12 D．10 【答案】A 【详解】等比数列{ an }满足a5 = 2，所以， 则 ， 所以. 故选：A 4．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）在等比数列中，是方程的两根，则等于（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据韦达定理可得，由等比数列下标和性质可求得结果. 【解析】是方程的两根，， ，，或. 故选：C. 5．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）数列中，，点在经过的直线l上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，，， 代入得，即， 又由于，所以是以为首项，2为公比的等比数列， 则，， 所以， 故选：D. 6．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第 5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多少?”.记这个人原来持金为斤，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知：这个人原来持金为斤， 第1关收税金为：斤； 第2关收税金为斤； 第3关收税金为斤， 以此类推可得的，第4关收税金为斤，第5关收税金为斤， 所以， 即，解得. 故选：C. 7．（24-25高三下·江苏南通·开学考试）已知数列为等比数列，，公比，则数列的前项积最大时，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，公比 ，则， 所以当时，；当时，， 又是数列的前项积，则当时， 取得最大值， 故选：B. 8．（25-26高三上·北京·开学考试）已知无穷等比数列的公比为，则“”是“单调递减”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由，则或， 若，有单调递减， 若，有单调递减， 若，则不具有单调性， 即充分性不成立； 由单调递减，则或， 此时成立，即必要性成立， 综上，“”是“单调递减”的必要不充分条件. 故选：B 9．（24-25高二下·河南周口·阶段练习）在等比数列中，，，则当取得最小值时， （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为，则，解得， 故，所以，且是递增数列. 由可得，可得，解得， 所以当时，，当时，， 所以当取得最小值时，. 故选：A. 10．（多选）（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．若，则数列是递减数列 C．若，则 D．数列是等比数列 【答案】AB 【详解】设数列公比为，则， 对A：，故数列是以为首项， 为公比的等比数列，故A正确； 对B：若，则， 若，则，解得， 则，此时数列是递减数列； 若，则，解得， 则，此时数列是递减数列； 故数列是递减数列，故B正确； 对C：，则，故（负值舍去）， 故，故C错误； 对D：若，则， 此时数列不是等比数列，故D错误. 故选：AB. 11．（多选）（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最大项为 【答案】ACD 【详解】对于A，由等比数列性质可得， 若，因为，所以，不满足， 若，因为，所以，不满足， 所以，故A正确； 对于B、C，因为，为递减数列，所以， 又，所以，故B错误、C正确； 对于D，由B，C可得当时，，当时，， 所以的最大值为，故D正确． 故选：ACD. 12．（2025·湖南·一模）已知依次成等差数列，依次成等比数列，则的最小值是 . 【答案】2 【解析】成等差数列，成等比数列， 所以，且，则， 当且仅当时取等号， 13．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）等比数列中，且，，成等差数列，则的最小值为 . 【答案】 【详解】设等比数列的公比为， 由于，，成等差数列， 所以，即， 也即，解得， 所以，所以. ， ， 当时，，当时，， 所以， 所以的最小值为. 14．（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知数列 满足 ，数列 满足 . (1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知可得，数列是首项为,公比的等比数列， 所以； （2）, ,解得； 解得. 当时，，, 当时，比值小于1，数列开始递减, 因此，数列的最大项为，出现在第1项和第2项. 数列的最大项为：. 15．（山西省太原市部分学校2025-2026学年高三上学期10月质量检测数学试题）在数列中，． (1)证明：是等比数列； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由，则， 则，故，又， 故数列是以为首项，为公比的等比数列； （2）由数列是以为首项，为公比的等比数列， 故，即， 则，即， 则 . 16．（25-26高三上·福建福州·阶段练习）记为数列的前n项和，已知. (1)证明：是等比数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为①， 当时，，解得. 当时，②， ①－②得， 即， 所以数列是以2为首项，4为公比的等比数列； （2）由（1）得 ， 则 ，即. 1．（25-26高三上·湖北·阶段练习）如图，等边三角形的边长为4，取各边的中点，，，作第2个等边三角形，然后再取各边的中点，，，作第3个等边三角形，依此方法一直继续下去，记为第1个三角形，为第2个三角形，为第3个三角形，，依此类推，则第10个三角形与第5个三角形的面积之和为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设的面积为，后续各三角形的面积依次为，，，， 则，，，，可见， 即是首项为，公比为的等比数列，则， 于是，，， 故. 故选：D. 2．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，成等差数列，所以， 又因为的首项为1，各项均为正数的等比数列， 所以，解得或（舍去），所以. 若恒成立，所以. 设，令，解得， 所以在为减函数，在为增函数. 而当时，即时，， 所以当时，即时，取得最小值为， 所以. 3．（25-26高三上·天津·阶段练习）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为数列是等比数列，且，所以， 因为数列是等差数列，且，所以， 则 . 故选：D. 4．（2025高三·全国·专题练习）设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：，，，给出下列结论：①；②；③是数列中的最大项；④使成立的最大自然数等于198，其中正确的结论是 . 【答案】①③④ 【详解】，， ，， 假设，那么，， 与题干不符，假设不成立，，故①正确. 由等比数列的性质可得，，由上可知，， ，，，，，故②错误. 等比数列的前项之积为，，又，， 又，，，，故③正确. ，又，， ， ， ，，故④正确. 故答案为：①③④. 5．（24-25高二下·北京大兴·期中）已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和的最大值； (3)若等比数列满足，，问：是否存在最大值与最小值？说明理由. 【答案】(1) (2)25 (3)存在，理由见解析 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由题意知 解得，.所以的通项公式为. （2）的前n项和. 所以当时，取得最大值. （3）由（1）知，，， 因为等比数列满足，，所以，. 所以等比数列的公比为，.所以. 所以，. 故当时，取得最小值.当时，取得最大值. 21 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $