第1章 解直角三角形（高效培优单元测试·提升卷）数学浙教版九年级下册

第一章 解直角三角形（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点滑行到点．若，则这名滑雪运动员下降的高度为（   ） A． B． C． D． 2．在下列中，可解的直角三角形是（   ） A．已知 B．已知 C．已知 D．已知 3．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D．2 4．如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 5．如图所示，有一台笔记本电脑，屏幕与键盘所成夹角为，若屏幕的长度为，则上方边界C处到桌面的距离为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，，过点作，垂足为点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，在中，于，于，且，已知，那么等于（   ） A． B． C．5 D． 8．如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为G，H，与交于点O，的延长线过点C．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 9．如图，内接于，为的直径，交于点E，若，，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图 1，在中，，一动点P从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿A→B→C的路径运动，过点P作，垂足为Q．设点P运动的路程为x，与的差为y，y与x的函数图象如图2所示，点M，N是线段，与x轴的交点，则图2点M对应的点P位置到点N对应的点P位置所经历的时长为（     ） A．2秒 B．4秒 C．秒 D．秒 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．在一次数学活动中，小明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度．如图，已知小明距假山的水平距离为9m，他的眼睛距地面的高度为1.6m，小明的视线经过量角器零刻度线和假山的最高点，此时铅垂线经过量角器的刻度线，则假山的高为 m． 12．在中，，，（如图），将绕点C旋转后，点A的对应点是点，点B的对应点是点，与边相交于点H，且，那么的值为 ． 13．某市正在进行轻轨九号线的建设，为了缓解市区一些主要路段的交通拥堵现状，交警大队在主要路口设置了交通路况指示牌（如图）．小明在离指示牌水平距离3m的点处测得指示牌顶端点和底端点的仰角分别为和，则路况指示牌的高为 m． 14．如图，在平行四边形和平行四边形中，，，点，，在同一直线上，是线段的中点，连接、，若，则= 15．如图，在两座楼房之间有一旗杆，高，从其中一座楼房顶端点A经过旗杆顶点恰好看到另一座楼房的底端点C，且俯角为，又从点A处测得点D的俯角为．若旗杆底部点G为的中点，则楼房的高为 m，楼房的高为 m． 16．在中，，，为钝角．在延长线上取一点O，．绕点O顺时针旋转，点A、B、C分别对应点D、E、F，点C在射线上．若旋转角恰好为，那么的长为 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）在中，，所对的边分别为．根据下列条件求出直角三角形的其他元素． (1)已知． (2)已知． 18．（8分）北京某校的地理探究小组测得，当地夏至日正午的太阳光线与水平面的夹角为，冬至日正午的太阳光线与水平面的夹角为．探究小组还测得学校内的旗杆冬至日正午的影子比夏至日正午的影子长．你能帮探究小组估算一下旗杆的高度吗？（保留2位小数）（提示：，，，，，） 19．（8分）如图，在中，，D是边上一点，且   (1)试求的值； (2)试求的面积． 20．（8分）图是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．（参考数据：，，，） (1)求点到地面的高度； (2)若挖掘机能挖的最远处点到点的距离为，求的度数． 21．（10分）某学校开展综合实践活动，如图，为两栋楼房，山坡长为，，楼房位于山坡顶部平地上，底部A到 E 点的距离为．楼房底层窗台P 处至地面C 处的高度为，在点P 处观察点B 的仰角为，底部C 距 F处距离为．图中所有点均在同一平面内，． (1)求山坡的垂直高度； (2)求楼房的高度．（参考数据：，，结果精确到） 22．（10分）如图1，，是的两条弦，M是弧中点，于点D，点E为上一点，且，连接、、、． (1)求证：； (2)求证：； (3)【探究应用】如图2，已知等边内接于，，D为上一点，，连接，过点A作于点E，求的周长． 23．（10分）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点距地面为0.3米．道闸打开的过程中，边固定，连杆AB、CD分别绕点A、D转动，且边始终与边平行． (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点到地面的距离为1.3米，求点到的距离的长． (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.9米，高1.8米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，） 24．（10分）【问题提出】 （1）如图1，四边形为矩形，点为边上的一点，连接，过作交边于点，若． ①的值为__________；②连接，则的值为__________． 【类比探究】 （2）如图2，四边形是边长为9的正方形，是边上的一点，是对角线的中点．，连接，作交于点，连接．求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，四边形是菱形，是边上的一点，是对角线的中点，，且，则的值为__________． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 解直角三角形（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点滑行到点．若，则这名滑雪运动员下降的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形中正弦函数的运用，正确的运算是解题的关键． 根据高度可解 ． 【详解】解：根据题意，高度， 故选： A． 2．在下列中，可解的直角三角形是（   ） A．已知 B．已知 C．已知 D．已知 【答案】C 【分析】可解的直角三角形是指已知除直角外的两个元素（至少有一个是边），从而可以求出其他所有元素的直角三角形． 【详解】解：A、已知，只已知除直角外的一个元素（边），不满足可解条件，不符合题意； B、已知：，只已知除直角外的一个元素（角），不满足可解条件，不符合题意； C、已知：，知道两条直角边，可根据勾股定理求出斜边，再根据三角函数求出两个锐角，符合题意； D、已知：，仅知道三个角，没有边的长度，无法求出边的长度，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了可解直角三角形的判定，解题关键是明确可解直角三角形需要已知除直角外的两个元素且至少有一个是边． 3．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了求角的正弦值，解题关键是掌握正弦的定义． 先找出所在的直角三角形，根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，连接网格点和点D， ∴， ， 故选：A． 4．如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，余弦，相似三角形的性质和判定， 根据余弦求出，再根据勾股定理求出，然后说明，最后根据相似三角形的对应边成比例得出答案. 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， . 故选：B． 5．如图所示，有一台笔记本电脑，屏幕与键盘所成夹角为，若屏幕的长度为，则上方边界C处到桌面的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质求出的度数，根据余弦的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．如图，在中，，过点作，垂足为点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．利用三角函数定义逐项判断即可． 【详解】A、在中，，原结论错误，故此选项符合题意； B、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意； C、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意； D、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意． 故选：A． 7．如图所示，在中，于，于，且，已知，那么等于（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形，根据正切的定义可得，则，解直角三角形可得的长，则可得到的长，再解直角三角形即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 8．如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为G，H，与交于点O，的延长线过点C．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形与折叠问题、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正弦等知识，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．连接，先根据矩形与折叠的性质可得，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，然后证出，根据相似三角形的性质可得，设，则，，最后在中，利用正弦的定义求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形，为的中点，点在边上， ∴，，， 由折叠的性质得：， ∴，， ∵的延长线过点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在中，， 故选：A． 9．如图，内接于，为的直径，交于点E，若，，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查圆周角的性质、三角函数及相似三角形的性质与判定，熟练掌握圆周角的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键；连接、，由题意易得，，则有，，然后可得，，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】解：连接、，由圆周角定理可知，， ∴，， ∴，， 由为直径可知， ∵，， ∴， ∴ ； 故选D． 10．如图 1，在中，，一动点P从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿A→B→C的路径运动，过点P作，垂足为Q．设点P运动的路程为x，与的差为y，y与x的函数图象如图2所示，点M，N是线段，与x轴的交点，则图2点M对应的点P位置到点N对应的点P位置所经历的时长为（     ） A．2秒 B．4秒 C．秒 D．秒 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角函数以及动点问题的函数图象，正确读取图中的信息是解题的关键． 先根据函数图象中特殊点的坐标求出直角三角形的边长，再通过三角函数关系求出与相等时对应的点的运动路程，最后根据运动速度求出点M对应的点P位置到点N对应的点P位置所经历的时长． 【详解】解：当时，，此时点P、Q都在点A处， ， ， 当时，点P从点A运动到点C处， ， ， ， ， ， 由题意得：当时，与的长相等， 设长为，则为，， ， ， ， 解得：， 如图，当点P运动到的中点时，，此时， 点M对应的点P位置到点N对应的点P位置所经历的路程长为：， 点M对应的点P位置到点N对应的点P位置所经历的时长为：秒， 故选：C． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．在一次数学活动中，小明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度．如图，已知小明距假山的水平距离为9m，他的眼睛距地面的高度为1.6m，小明的视线经过量角器零刻度线和假山的最高点，此时铅垂线经过量角器的刻度线，则假山的高为 m． 【答案】 【分析】本题考查三角函数的实际应用，掌握通过作辅助线构造直角三角形，利用正切函数求解对边长度，结合实际高度的叠加关系计算假山高度是解题的关键． 通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数求出假山超出小明眼睛高度的部分，再加上小明眼睛的高度得到假山的总高度． 【详解】解：作， 由题意有：， ， 是矩形， ， 在中，， ， 解得：． 假山高度． 故答案为：． 12．在中，，，（如图），将绕点C旋转后，点A的对应点是点，点B的对应点是点，与边相交于点H，且，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角函数以及旋转的性质，通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．本题可先根据三角函数关系求出与的长度，再利用旋转的性质得到与的关系，最后通过求出的值． 【详解】解：在中，，， 设，， 根据勾股定理， ， ， 解得， ，， 绕点旋转得到， ， ，， ， 又 ， 在中，， 设，， 根据勾股定理， 即，解得， ． 故答案为：． 13．某市正在进行轻轨九号线的建设，为了缓解市区一些主要路段的交通拥堵现状，交警大队在主要路口设置了交通路况指示牌（如图）．小明在离指示牌水平距离3m的点处测得指示牌顶端点和底端点的仰角分别为和，则路况指示牌的高为 m． 【答案】 【分析】过作，交于点，在中，利用锐角三角函数定义求出的长，在中，利用锐角三角函数定义求出的长，由求出的长即可． 【详解】解：过作，交于点， 由题意得：，， 在中，，， ∴，即 ∴， 在中，，， ∴，即 ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，仰角与俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 14．如图，在平行四边形和平行四边形中，，，点，，在同一直线上，是线段的中点，连接、，若，则= 【答案】 【分析】延长交于点，证明得，，证明是等腰三角形，利用三线合一得，，然后利用锐角三角函数的知识即可求解． 【详解】解：延长交于点， ，， 平行四边形和平行四边形都是菱形， ∴ ∴， ， 是线段的中点， ， ， ， ，， ∴， 四边形是菱形， ， 是等腰三角形， ，， 又， ∴， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握这些图形的性质并通过构造全等三角形将线段关系转化是解题的关键． 15．如图，在两座楼房之间有一旗杆，高，从其中一座楼房顶端点A经过旗杆顶点恰好看到另一座楼房的底端点C，且俯角为，又从点A处测得点D的俯角为．若旗杆底部点G为的中点，则楼房的高为 m，楼房的高为 m． 【答案】 30 20 【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角和俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点H，根据题意可得：，，，，从而可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段中点的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而进行计算即可解答． 【详解】解：如图：延长交于点H， 由题意得，，，， ∴， 在中，， ∴， ∵点G为的中点， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴楼房的高为，楼房的高为， 故答案为：30；20． 16．在中，，，为钝角．在延长线上取一点O，．绕点O顺时针旋转，点A、B、C分别对应点D、E、F，点C在射线上．若旋转角恰好为，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、余切，熟练掌握旋转的性质是解题关键．根据题意画出图形，过点作于点，先证出，根据相似三角形的性质可得的长，再根据余切的定义可得的长，然后利用勾股定理可得的长，最后根据即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）在中，，所对的边分别为．根据下列条件求出直角三角形的其他元素． (1)已知． (2)已知． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据锐角三角函数、勾股定理求解即可； 【详解】（1）解：在中，， ， ． （2）解：在中，， ，． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握锐角三角函数、勾股定理是解题的关键． 18．（8分）北京某校的地理探究小组测得，当地夏至日正午的太阳光线与水平面的夹角为，冬至日正午的太阳光线与水平面的夹角为．探究小组还测得学校内的旗杆冬至日正午的影子比夏至日正午的影子长．你能帮探究小组估算一下旗杆的高度吗？（保留2位小数）（提示：，，，，，） 【答案】旗杆的高度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．设，在和中，利用正切函数的定义分别求得，，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：设， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， 答：旗杆的高度为． 19．（8分）如图，在中，，D是边上一点，且   (1)试求的值； (2)试求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形中三角函数值的计算，本题中正确求三角函数值是解题的关键． （1）作，则中，根据勾股定理即可求得的长，即可求得； （2）作，则根据勾股定理可以求得的长，求得，即，求得k的值即可求的面积． 【详解】（1）解：作 ，垂足为 ， ∵ ， ∴ 在 中， ∴； （2）解：作，垂足为， 在中，，令，， 则， 又在中，， 则， 于是 ，即， 解得， ∴． 20．（8分）图是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．（参考数据：，，，） (1)求点到地面的高度； (2)若挖掘机能挖的最远处点到点的距离为，求的度数． 【答案】(1)点到地面的高度约为 (2)的度数约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，延长交于点，由题意得：，，，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系求得的长； （2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而可知的长，利用线段的和差关系求出的长， 在中，利用锐角三角函数的定义可求出的值，从而得到的度数． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，，， 在中，，， ， ， 点到地面的高度约为； （2）解：由题意得：， 在中，，， ， ， ， 在中，，   ， 即的度数约为． 21．（10分）某学校开展综合实践活动，如图，为两栋楼房，山坡长为，，楼房位于山坡顶部平地上，底部A到 E 点的距离为．楼房底层窗台P 处至地面C 处的高度为，在点P 处观察点B 的仰角为，底部C 距 F处距离为．图中所有点均在同一平面内，． (1)求山坡的垂直高度； (2)求楼房的高度．（参考数据：，，结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确理解题意是解题的关键． （1）直接解求出的长即可得到答案； （2）过点B 作交直线于点Q， 过点P 作于点G，则四边形和四边形都是矩形，由矩形的性质得到，，解得到，则可得到，解求出的长，进而可求出的长． 【详解】（1）解：由题意得，在中，， ∴， ∴山坡的垂直高度约为； （2）解：如图所示，过点B 作交直线于点Q， 过点P 作于点G，则四边形和四边形都是矩形， ∴，， 由题意知， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：楼房的高度约为． 22．（10分）如图1，，是的两条弦，M是弧中点，于点D，点E为上一点，且，连接、、、． (1)求证：； (2)求证：； (3)【探究应用】如图2，已知等边内接于，，D为上一点，，连接，过点A作于点E，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由圆周角定理可得，再由M是弧中点得出，最后利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，即可得证； （3）在上截取，连接，证明得出，再证明得出，解直角三角形可得，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 为的中点， ， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ， ， ， ； （3）解：如图2，在上截取，连接， 由题意可得：，， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ， ， 则的周长是． 23．（10分）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点距地面为0.3米．道闸打开的过程中，边固定，连杆AB、CD分别绕点A、D转动，且边始终与边平行． (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点到地面的距离为1.3米，求点到的距离的长． (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.9米，高1.8米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，） 【答案】(1)点到的距离的长为米． (2)轿车能驶入小区，理由见解析． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题关键． （1）过点作于点，利用正切值求出米，即可得解； （2）利用正切值求出米，从而得出米，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意可得：，米，米，米， ，米， 米， 米， 答：点到的距离的长为米． （2）解：由题意可得：，米， 则，米， 在中，， 米， 米， ， 轿车能驶入小区． 24．（10分）【问题提出】 （1）如图1，四边形为矩形，点为边上的一点，连接，过作交边于点，若． ①的值为__________；②连接，则的值为__________． 【类比探究】 （2）如图2，四边形是边长为9的正方形，是边上的一点，是对角线的中点．，连接，作交于点，连接．求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，四边形是菱形，是边上的一点，是对角线的中点，，且，则的值为__________． 【答案】（1）①；② （2） （3） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形为矩形得，再根据同角的余角相等得，则，再根据相似三角形的性质即可求解； （）同（）理得出，则， 得到，过作交于，再解直角三角形，求即可； （3）在上取一点，使得，连接交于，连接，解直角三角形得到，再证，得到，继而得到，在直角三角形中求即可． 【详解】（）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ． 故答案为：；； （）四边形是边长为9的正方形，且， 则， 由（1）知， ，即，解得， 过作交于， 又在正方形中， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ； （3）在上取一点，使得，连接交于，连接， 四边形是菱形，， ，， ， ，， ， ， ，， 为等边三角形， ，，则， ， ， 又， ， ， ，即， ， ， ，解得，即， 在菱形中，， 为等边三角形， ， ， ，， ， ． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $