第1章 解直角三角形（高效培优单元测试·强化卷）数学浙教版九年级下册

第一章 解直角三角形（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，且是锐角，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，一身高（）为的学生，在水平地面的影子（）长为，则（   ） A． B． C． D． 4．中，，的边长都扩大为原来的2倍，则的值（   ） A．不变 B．变大 C．变小 D．无法判断 5．如图，的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，设，，所对的边分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D．2 8．如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要（    ）米． A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，，且．那么点到y轴的距离是（　） A．2 B．4 C． D． 10．如图，在边长为3的正方形中，点E是边上的点，且，过点E作的垂线交正方形外角的平分线于点F，交边于点M，连接交边于点N，则的长为（    ） A． B． C． D．1 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，在中，，，，则 ． 12．河堤横断面如图所示，斜坡AB的坡度，，则的长是 13．已知在阳光下，垂直于地面高1米的标杆的影长也为1米，同一时刻，树的影子投射在墙上的影高等于2米，如图．若树根到墙角的距离等于8米，，，则树高等于 米． 14．如图1，在中，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图2所示，则的长为 15．最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，当机器狗下蹲时，站立时，且保持所在直线始终与地面垂直，则机器狗由下蹲到站立增高了 ． 16．如图，垂直于水平面的信号塔建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得信号塔顶端A的仰角为，悬崖的高为米，斜坡的坡度（或坡比），则信号塔的高度约为 （参考数据：） 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1) (2) 18．（8分）如图，已知中，，，，，为边上的中线． (1)求的长； (2)求的面积． 19．（8分）某校数学兴趣小组学完“三角函数的应用”后，在校园内利用三角尺测量教学楼的高度，如图，小明同学站在点处，将含45°角三角尺的一条直角边水平放置，此时三角尺的斜边刚好落在视线上．沿教学楼向前走7.7米到达点处，将含30°角三角尺的短直角边水平放置，此时三角尺的斜边也刚好落在视线上．已知小明眼睛到地面的距离为1.6米，求教学楼的高度．（点，，在同一水平线上．结果精确到0.1，参考数据：，） 20．（8分）钓鱼岛自古以来是我国的固有领土，随着我们国家综合国力的强盛，国家对钓鱼岛的巡航已常态化．2017年9月11日，中国海警2401号船在地测得钓鱼岛在北偏东方向，现该海警船继续从地出发，以30海里/小时的速度向正北方向航行2小时后到达地． (1)若，求钓鱼岛在地的北偏东多少度方向上？ (2)在（1）的基础上，求海警船与钓鱼岛的距离的长．（结果保留根号） 21．（10分）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 22．（10分）如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为．已知原传送带长为． (1)求新传送带的长度； (2)如果需要在货物着地点C的左侧留出的通道，试判断距离B点的货物是否需要挪走，并说明理由．（结果精确到，已知，，） 23．（10分）如图，在中，，连接，过点E作，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求线段的长． 24．（10分）综合与实践：居家网课学习时，小华先将笔记本电脑放置在水平的桌面上，如图1所示，其侧面示意图如图2所示，，；使用时为了散热，他在底板下垫入散热架，并将显示屏旋转到的位置，如图3所示，其侧面示意图如图4所示．已知、、C三点在一条直线上，且，（参考数据：，，，）． (1)求散热架的高度； (2)垫入散热架后，显示屏顶部比原来升高了多少？ 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 解直角三角形（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角的对边与邻边的比叫做的正切是解题的关键． 根据正切的定义解答即可． 【详解】解：在中，，，， 则， 故选：B． 2．已知，且是锐角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查特殊角的三角函数值．根据30°的余弦值为即可得到答案． 【详解】解：∵，且是锐角， ∴ ， 故选：D． 3．如图，一身高（）为的学生，在水平地面的影子（）长为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求锐角的正切值；由正切函数定义即可直接求解． 【详解】解：依题意得， 则， 故选：B． 4．中，，的边长都扩大为原来的2倍，则的值（   ） A．不变 B．变大 C．变小 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了求角的正切值，解题关键是掌握正切的定义式． 求出扩大后，再作出比较． 【详解】解：中，，则， ∵的边长都扩大为原来的2倍， ∴扩大后的三边长分别为，，， ∴扩大后的， ∴的值不变， 故选：A． 5．如图，的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正切函数，由图得，即可求解． 【详解】解：如图， 在中，． 故选：B． 6．如图，在中，，设，，所对的边分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是利用锐角三角函数求解直角三角形的边长，直接利用锐角的三角函数计算即可． 【详解】解：在中，，设，，所对的边分别为，，， ，，， ，，，， 故选：B 7．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了求角的正切值，解题关键是掌握正切的定义式． 先找出所在的直角三角形，根据正切的定义式求解． 【详解】解：如图， ， 故选：D． 8．如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要（    ）米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意，得到地毯的长度为的长，利用正切定义求得即可求解． 【详解】解：在中，，米， ∴（米）， ∴地毯的长度为米． 故选：B． 9．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，，且．那么点到y轴的距离是（　） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形综合，解直角三角形，勾股定理，通过作垂线构造相似三角形是解决问题的关键． 过点作轴于点，过点作轴于点，进而得出，得到，得到，勾股定理求出，，代入即可求解． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，则，， ， ， ， ， ， 的坐标是， ，， ， ，， ， ， 解得：． 故选：A． 10．如图，在边长为3的正方形中，点E是边上的点，且，过点E作的垂线交正方形外角的平分线于点F，交边于点M，连接交边于点N，则的长为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】在上截取连接，延长至H，使连接，可得出，进而推出 得出设则用勾股定理求出由可列方程解出x，即的长，由正切函数，求出的长，由即可得出结果． 【详解】解：如图所示：在上截取连接，延长至H，使连接， 为正方形外角的平分线， 在和中， 在和中， ∴ 在和中， 设则 在中， ； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理等知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，在中，，，，则 ． 【答案】12 【分析】此题考查了正弦的定义，根据正弦的定义得到，则． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴， 故答案为：12 12．河堤横断面如图所示，斜坡AB的坡度，，则的长是 【答案】 【分析】本题考查了坡度的定义、锐角三角函数（正切函数）的应用以及直角三角形中角的性质，解题的关键是理解坡度与直角三角形两直角边的比例关系，将坡度转化为正切值求出锐角角度，再利用特殊角的直角三角形性质计算直角边长度． 中，斜坡的坡度，求出，由直角三角形的性质即可得出答案 【详解】解：中，斜坡的坡度， ∴， ∵， 13．已知在阳光下，垂直于地面高1米的标杆的影长也为1米，同一时刻，树的影子投射在墙上的影高等于2米，如图．若树根到墙角的距离等于8米，，，则树高等于 米． 【答案】10 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；作于，根据题意得，则，进而根据即可求解． 【详解】解：作于，则，， 根据题意得， ， ． 故答案为： 14．如图1，在中，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图2所示，则的长为 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，用勾股定理解三角形，解直角三角形的相关计算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据当时，求出，再根据当时，，先求得，再利用勾股定理求得，然后利用解直角三角形求得． 【详解】解：当时，点在点处，此时，则， 当时，， 则， ， ， ， 故答案为：． 15．最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，当机器狗下蹲时，站立时，且保持所在直线始终与地面垂直，则机器狗由下蹲到站立增高了 ． 【答案】 【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识．分别求出机器狗下蹲和机器狗站立时的高度，作差即可求出答案． 【详解】解： 当机器狗下蹲时， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 当机器狗站立时，如图，连接，作于点H， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴机器狗由下蹲到站立增高了 故答案为： 16．如图，垂直于水平面的信号塔建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得信号塔顶端A的仰角为，悬崖的高为米，斜坡的坡度（或坡比），则信号塔的高度约为 （参考数据：） 【答案】25米/ 【分析】本题考查了解直角三角形应用-测高问题，解题的关键是作，构造直角三角形，应用已知条件解直角三角形． 过点E作交的延长线于点F，过点E作于点M，设米，则米，在中，利用勾股定理求出x的值，进而可得出的长，可得出的长．由矩形的判定定理得出四边形是矩形，可得出，再由锐角三角函数的定义求出的长，进而可得出答案． 【详解】解：过点E作交的延长线于点F，过点E作于点M， ∵斜坡的坡度（或坡比），米， ∴可设米，则米， 在中，∵， ∴， 解得， ∴米，米， ∴米． ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米． 在中，∵， ∴米， ∴米． ∴米． 故答案为：25米． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含特殊角的混合运算． （1）直接利用特殊角的三角函数值代入，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）直接利用特殊角的三角函数值代入，再运算乘方，乘法，最后运算加法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（8分）如图，已知中，，，，，为边上的中线． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，熟知余弦的定义及三角形中线的性质是解题的关键． （1）先根据的余弦求出的长，再利用勾股定理即可解决问题． （2）根据为边上的中线可知，的面积是面积的一半，据此可解决问题． 【详解】（1）， ． 在中， ， ， ． （2）为边上的中线， ． 又， ． 19．（8分）某校数学兴趣小组学完“三角函数的应用”后，在校园内利用三角尺测量教学楼的高度，如图，小明同学站在点处，将含45°角三角尺的一条直角边水平放置，此时三角尺的斜边刚好落在视线上．沿教学楼向前走7.7米到达点处，将含30°角三角尺的短直角边水平放置，此时三角尺的斜边也刚好落在视线上．已知小明眼睛到地面的距离为1.6米，求教学楼的高度．（点，，在同一水平线上．结果精确到0.1，参考数据：，） 【答案】19.8米 【分析】先得出是等腰直角三角形，设米，得，，由得，进而得出方程求解即可进一步得出结论． 解：如图，连接并延长，交于点，设米． 由题意可知，四边形，四边形是矩形， ∴，，． ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴． 在中，，， ∴． ∴． 解得，． ∴（米） 答：教学楼的高约为19.8米． 【点睛】本题考查了解三角形的应用---仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 20．（8分）钓鱼岛自古以来是我国的固有领土，随着我们国家综合国力的强盛，国家对钓鱼岛的巡航已常态化．2017年9月11日，中国海警2401号船在地测得钓鱼岛在北偏东方向，现该海警船继续从地出发，以30海里/小时的速度向正北方向航行2小时后到达地． (1)若，求钓鱼岛在地的北偏东多少度方向上？ (2)在（1）的基础上，求海警船与钓鱼岛的距离的长．（结果保留根号） 【答案】(1)钓鱼岛在地的北偏东45度方向上 (2)海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，等腰三角形的判定与性质，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依据三角形外角性质，以及邻补角互补进行列式，计算化简，则，即可得到钓鱼岛B在C地的北偏东45度方向上； （2）过B作于D，设，则，运用解直角三角形即可得到海警船与钓鱼岛的距离的长为海里． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 解得， ∴， 即钓鱼岛B在C地的北偏东45度方向上． （2）解：如图所示，过B作于D， 由（1）得， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 则． 在中，， 即， 解得：， 即， ∴中，， 则， ∴（海里）， 答：海警船与钓鱼岛的距离的长为海里． 21．（10分）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用---坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于，根据正弦的定义求出； （2）过点作于，根据矩形的性质求出，进而求出，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于， 在中，，m， 则m， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为； （2）解：如图，过点作于， 则四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则， 答： 缆车的行驶路线的长约为． 22．（10分）如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为．已知原传送带长为． (1)求新传送带的长度； (2)如果需要在货物着地点C的左侧留出的通道，试判断距离B点的货物是否需要挪走，并说明理由．（结果精确到，已知，，） 【答案】(1) (2)需要挪走，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先根据三角函数的定义求出，然后在中，解直角三角形求即可； （2）先求出，的长，即可求得及的长，即可判断答案． 【详解】（1）解：（1）在中，（m）， 在中，， （m）， 答：新传送带的长度约为； （2）解:在中，（m）， 在中，（m）， （m）， ， 货物需要挪走． 23．（10分）如图，在中，，连接，过点E作，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识点，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． （1）先证明，则，继而得到，再结合已知条件即可证明平行四边形； （2）过点作于点，先解求出，再由求出，最后再根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点作于点， ∵在中，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 24．（10分）综合与实践：居家网课学习时，小华先将笔记本电脑放置在水平的桌面上，如图1所示，其侧面示意图如图2所示，，；使用时为了散热，他在底板下垫入散热架，并将显示屏旋转到的位置，如图3所示，其侧面示意图如图4所示．已知、、C三点在一条直线上，且，（参考数据：，，，）． (1)求散热架的高度； (2)垫入散热架后，显示屏顶部比原来升高了多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，勾股定理，结合图形，熟练运用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． （1）利用计算即可； （2）过点B作交的延长线于D，先计算，再解，计算，得到，再计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 答：的长约为； （2）解：过点B作交的延长线于D，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据旋转可知：， 根据解析（1）可知：， ∴， ， 答：显示屏顶部比原来升高了约． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $