专题1.2 解直角三角形及应用（高效培优讲义）数学浙教版九年级下册

专题1.2 解直角三角形及应用 教学目标 1.理解 “解直角三角形” 的定义（已知直角三角形中 2 个元素，至少 1 个为边，求其余 3 个元素的过程），能熟练运用勾股定理、两锐角互余关系（∠A+∠B=90°）及锐角三角函数（sin、cos、tan），推导并掌握解直角三角形的基本公式； 2.能准确识别实际问题中的 “仰角、俯角”“坡度（坡比）、坡角”“方向角” 等概念，将实际场景转化为直角三角形模型； 3.能根据问题需求选择合适的边角关系（如 “已知对边与斜边用 sin，已知邻边与对边用 tan”），规范求解直角三角形的边长、角度，并对结果进行合理的精度处理（如保留 1 位小数、精确到 0.1 米） 教学重难点 1.重点 (1)解直角三角形的核心方法（依据勾股定理、两锐角互余、三角函数建立等式）； (2)实际问题中关键概念（仰角、俯角、坡度、方向角）的理解与模型转化； (3)规范的解题步骤（含模型画图、已知条件标注、公式选择、计算过程、结果表述） 2.难点 (1)抽象概念与几何图形的对应（如 “坡度 i=1:2” 对应直角三角形中 “垂直高度：水平宽度 = 1:2”，易与 “斜边” 混淆；方向角 “北偏东 30°” 需准确确定基准线与夹角）； (2)非直角三角形向直角三角形的转化（如梯形中作高、三角形中作中线或高，需判断 “如何分割更简便”，避免辅助线添加错误）； (3)多直角三角形关联问题的分析（如 “两个直角三角形共享一条公共边”，需明确公共边的 “桥梁作用”，建立已知量与未知量的联系）； (4)实际问题中 “隐含条件” 的挖掘（如 “海平面视为水平线”“建筑物底部与观测点在同一水平面上”，易因忽略隐含条件导致模型错误） 知识点01 解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 【即学即练】 1．如图，中，，斜边，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．根据求解即可得． 【详解】解：∵在中，斜边，， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，△ABC中，AB=12，BC=15，∠ABC=60°．求tanC的值． 【答案】 【详解】过点A作AD⊥BC于点D，如图所示： ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵△ABC中，AB＝12， ∴， ， ∵BC＝15， ∴， ∴＝． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是计算出题目中各边的长，找出所求问题需要的条件． 知识点02 解直角三角形的应用-坡度坡角 　在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 　坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. 【即学即练】 1．某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自处测得雕像顶的仰角为，小强站在凤栖堂门前的台阶上，自处测得雕像顶的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)计算台阶的高度； (2)求孔子雕像的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为计算即可； （2）设的对边为，作于F，根据矩形的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为，为， ∴， ， 即台阶的高度为； （2）解：如图所示，设的对边为，作于F， ∴由题意得，四边形是矩形， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：孔子雕像的高度约． 知识点03 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 　仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 【即学即练】 1．觉华塔位于长沙市铜官窑国家考古遗址公园的觉华顶，是遗址公园标志性景点之一．登上觉华塔，可俯瞰湘江、遗址公园全景，将山、水、洲、城、平原及公园原生态，自然风光尽收眼底．想知道觉华塔的通高（塔顶到水平地面的距离），于是某校师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A点用测角仪测得塔顶D的仰角为，在B点处测得塔顶D的仰角为，已知，测角仪的高度是1.1m（A、B、C在同一直线上），根据以上数据解决下列问题： (1)求的度数； (2)求觉华塔的通高．（，结果保留一位小数） 【答案】(1) (2)觉华塔的通高约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据题意可得，，利用三角形的外角性质可得； （2）根据等腰三角形 的判定定理得到，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进而完成解答． 【详解】（1）解：∵测角仪的高度是（A、B、C在同一直线上），， ∴， 由题意可知， ∵是的外角， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴， 答：觉华塔的通高约为． 知识点04 解直角三角形应用-方位角问题 （1）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　　　　　　　　　　　 (2)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°. 注意： 1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图. 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解. 　　　　　　 　3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 【即学即练】 1．如图，灯塔位于港口的北偏东方向，且之间的距离为，灯塔位于灯塔的正东方向，且之间的距离为．一艘轮船从港口出发，沿正南方向航行到达处，测得灯塔在北偏东方向上，灯塔到直线的距离为．    (1)求的长； (2)求的长（结果精确到0.1）．（参考数据：） 【答案】(1)km (2)km 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟悉掌握三角函数是解题的关键． （1）用正弦三角函数求解即可． （2）结合第一问，求解长度，用正切三角函数求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ． （2）， ． 题型01 解直角三角形的相关计算 【典例1】如图，在中，平分交边于点． (1)______，______． (2)过点作于点，补全图形，并求的值． 【答案】(1)10；6 (2)见解析， 【分析】（1）利用三角函数的定义和勾股定理，结合已知的和的长度，求出和的长． （2）先根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积关系求出的长度，最后在直角三角形中求出的值． 【详解】（1）解：在中，，，则； 由勾股定理得． （2）解：补全图形如图． ． 平分， ． ， ，，． ， 解得：． 在中，， ． 【点睛】本题考查锐角三角函数、勾股定理与角平分线性质的综合应用，掌握利用三角函数和勾股定理求直角三角形边长，结合角平分线性质和面积法求线段长度，进而求三角函数值是解题的关键． 【变式1】如图，中，，垂足是，若，，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系． 首先根据的三角函数求出的长度，然后得出的长度，从而得出的正切值． 【详解】解∵， 在中，， ， ， ． 【变式2】如图，中，，垂足是，若，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键． （1）首先根据的三角函数求出的长度，即可得出的长度； （2）在中，根据勾股定理求出的长度，由，代值计算即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴； （2）解：在中，， ∴． 【变式3】如图，在中，，点为的中点，交于点，连接，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，垂直平分线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为，，得出，则，再结合勾股定理列式计算，即可作答． （2）因为点D为的中点，，得出是的垂直平分线，则，，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵点D为的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴在中，． 题型02 解非直角三角形 【典例2】【教材呈现】现行人教版九年级数学下册教材85页“拓广探索”中第14题原题如下： 14．如图，在锐角中，探究，，之间的关系（提示：分别作和边上的高）． 【证明结论】借助如图，求证：； 【结论应用】在中，若，，，请利用以上结论求的长． 【答案】【证明结论】见解析；【结论应用】 【分析】本题主要考查解直角三角形的计算，掌握锐角三角函数的计算方法，数形结合分析思想是解题的关键． [证明结论]如图，分别作，，垂足分别为，在，中，运用的正弦值得到，在，中，运用的正弦值得到，由此即可求解； [结论应用]根据三角形的内角和定理得到，结合[证明结论]中的结果得到，代入计算即可求解． 【详解】[证明结论] 证明：如图，分别作，，垂足分别为， 在中，， , 在中，， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ． [结论应用] 解：中，，， ，由题意得， ， 解得． 【变式1】在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 【变式2】如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点A作，垂足为D，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长； （2）利用锐角三角函数的定义和勾股定理分别求出和的长，从而求出的长，然后利用三角形的面积公式即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作于． 在中， ，， ， ∵在中，， ； （2）∵在中，， ， 在中，根据勾股定理， ， 的面积． 【变式3】已知中，． (1)如图1，若，则________（结果保留根号） (2)如图2，若，求AC的长．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解，即可求解； （2）过点作于点，解，即可求解． 【详解】（1）解：∵，． ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：如图所示，过点作于点， ∵中，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三形中的边角关系是解题的关键． 题型03 解直角三角形的应用-坡度坡角 【典例3】数学“综合与实践”课上，数学老师带着学生利用皮尺和测角仪等工具，测量了学校教学楼的高度．如图，在教学楼的正前方有一斜坡，测得米，坡角，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为，在斜坡上的点D处测得楼顶B 的仰角为，其中点A，C，E在同一条直线上，图中各点均在同一平面内，求教学楼的高度．（结果保留根号） 【答案】米 【分析】此题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解本题的关键． 在中，利用锐角三角函数定义求出的长，过D作交于点F，可得出三角形为等腰直角三角形，设米，表示出，，，由题意得到三角形为直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出的长． 【详解】解：在中，米，， ∴米 过D作交于点F， 在斜坡上的点D处测得楼顶B 的仰角为， ∴， ∵， ∴， 即为等腰直角三角形， 设米， ∵ ∴四边形为矩形， ∴米，即（米）， 在中，， ∴（米）， 米，米， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理得 即 ， 解得： ， ∴（米） 【变式1】某农户用喷枪给斜坡上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是一条抛物线．经测量，P处的喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点与水平线的距离为，建立如图所示的直角坐标系，水柱距喷水头的水平距离为，水柱距水平线的高度是 (1)求y与x之间的函数表达式； (2)若斜坡的坡比为，斜坡上有一棵高的树，它与喷水头的水平距离为，请判断从P处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶，并说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为； (2)不能，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的应用喷水问题，解直角三角形斜坡问题，熟练掌握二次函数待定系数法求解析式、读懂题意、把实际问题转化为数学问题和熟记二次函数的顶点式是解题的关键． （1）根据抛物线解析式为，为抛物线的顶点，得到抛物线顶点式，由是抛物线与y轴交点，将P点代入解析式，求解出待定系数即可； （2）连接，过点E作，根据题意点E、C、H点横坐标5，得，由斜坡的坡比为，即可求出，从而得到，然后把代入（1）中求解出的解析式中，得到y，比较y与即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 由题可知，其图象顶点坐标为， 抛物线解析式为． 又抛物线过点， ． ． 抛物线解析式为． （2）解：不能，理由如下： 如图，过点作于， 由题意得点的横坐标为5，即，斜坡的坡比为， ， ， ， ， 当时，， ， 处喷出的水柱不能越过这棵树的树顶． 【变式2】如图，已知山坡的坡度为，山坡的坡度为，山坡的坡角，已知点B到水平面的距离为，山坡的长为．某登山队沿山坡上山后，再沿山坡下山． (1)求山顶点C到水平面的距离； (2)求山坡的长． 【答案】(1)山顶点C到水平面的距离为 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把数值代入，进行计算得山顶点C到水平面的距离； （2）先证明四边形是矩形．得，结合，得，运用勾股定理得，同理得，即可作答． 【详解】（1）解：过点C作，垂足为F． 在中， ∵，，， ∴． 答：山顶点C到水平面的距离为． （2）解：过点B作，，垂足分别为H、E． ∴ ∴四边形是矩形． ∴，， 在中， ∵的坡度为， ∴． ∴． 在中， ∵山坡的坡度为， ∴． ∴． ∴山坡的长为：． 答：山坡的长为． 【变式3】自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；斜坡改造为斜坡，斜坡米，其坡度为．求斜坡下降的高度．（结果保留根号） 【答案】斜坡下降的高度为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，的直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握掌握解直角三角形的应用是解题关键． 根据坡度与坡角的关系得到，利用的直角三角形的性质求得米，再根据坡度的概念，设米，则米，利用勾股定理构建一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：改造前，斜坡坡度， ， ， （米）， 改造后，斜坡坡度， ， 设米，则米， 在中，，且米， ，解得：， 米， 米， 斜坡下降的高度为米． 题型04 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【典例4】山西是我国的古建筑之乡，有地上文物看山西的美誉．图1是位于山西大同的应县木塔．如图2，小方站在点C处操纵无人机到与C水平距离为10米的D处，无人机在D处测得小方所在位置的俯角为，木塔顶部点B的仰角为，已知无人机与木塔的水平距离为60米，点A，B，C，D在同一平面上，求应县木塔的高度．（参考数据，，，） 【答案】应县木塔的高度为米 【分析】过点D作于点E，交的延长线于点F．根据仰角，俯角计算即可． 本题考查了仰角，俯角的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过点D作于点E，交的延长线于点F． 根据题意得四边形是矩形，． 在中，， ∵， ∴（米）， ∵， ∴，， ∴（米）， ∴（米）． 答：应县木塔的高度为米． 【变式1】如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡l的坡底点A的俯角为，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为，，，点B到地面的距离为 (1)求斜坡l的坡角的度数； (2)求点M与点N的高度差． 【答案】(1) (2)点M与点N的高度差为 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角函数（正弦、正切）的应用及解直角三角形的知识点，关键在于通过作辅助线构造直角三角形，利用已知条件和三角函数关系计算未知量，特别是正确识别和应用俯角、坡角等概念，以及灵活运用三角函数解决实际问题的能力． （1）通过作辅助线构造直角三角形，利用已知的点B到地面距离和长度，根据三角函数正弦值求出的度数； （2）先分别求出和的长度，再通过两者相减得到点M与点N的高度差． 【详解】（1）解：过B作于E， 在中， ，， ， ， ， 答：斜坡l的坡角的度数为； （2）过点B作于F，则，， ， ， ，， ， ， ， 答：点M与点N的高度差为． 【变式2】随着2025年第九届丝博会的热度，“丝绸之路”再度成为全球热点，位于西安市玉祥门外盘道中心岛的张骞塑像也引来很多外地游客参观．某数学兴趣小组计划进行测量该塑像高度的实践活动，测量示意图如图所示，小刚将无人机（无人机的高度忽略不计）放在塑像正前方的地面A处，测得塑像顶部C的仰角为，随后操作无人机竖直向上升高到点B处，测得塑像顶部C的俯角为，已知点A，B，C与塑像底部D在同一平面内，且，均垂直于地面，求该塑像的高度．（结果保留一位小数．参考数据：，，） 【答案】 【分析】过点作，垂足为，证明四边形为正方形，在中，利用即可列出方程进行求解．本题主要考查解三角形的应用． 【详解】如图，过点作，垂足为， ，，， 四边形是矩形． ， ， 四边形为正方形， ． 从点测得点的俯角为， ∴根据平行直线的性质可知， ， 在中，， 解得， 该塑像的高度约为． 【变式3】如图，大楼高，附近有一座塔，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为，爬到楼顶处测得塔顶的仰角为，求塔高及大楼与塔之间的距离（结果精确到，参考数据：） 如图，大楼高，远处有一塔，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为，爬到楼顶D测 【答案】塔高为45米，大楼与塔之间的距离为25.98米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是通过构建直角三角形，利用三角函数关系列方程求解． 设塔高为，通过借助仰角构造直角三角形，利用正切函数关系建立方程求解塔高及楼与塔之间的距离，用到数形结合思想与方程思想． 【详解】设塔高为． 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解，得， 这时，（ 答：塔高为45米，大楼与塔之间的距离约是25.98米． 题型05 解直角三角形应用-方向角问题 【典例5】如图，一艘轮船位于灯塔北偏东方向与灯塔距离为海里的处，它沿正南方向航行小时后，到达位于灯塔北偏东方向的处．    (1)求此时轮船所在处与灯塔的距离． (2)求轮船航行的速度为多少海里/小时． （参考数据：，，，结果保留根号） 【答案】(1)此时轮船所在处与灯塔的距离是海里 (2)轮船的航行的速度为海里/小时 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握 三角函数的定义是解题的关键； （1）过点作的延长线于点，解，，即可求解； （2）解，，分别求得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：过点作的延长线于点， 由题意，知，，海里， 在中，， 海里， 在中，， 海里， 答：此时轮船所在处与灯塔的距离是240海里．    （2）在中，， 海里， 在中，， 海里， 海里， 轮船的航行的速度为：海里/小时， 答：轮船的航行的速度为海里/小时． 【变式1】为增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织了一次越野拉练活动．如图是行进过程中某时刻A，B，C三个小组所在的位置，B在A的北偏东方向上，B与A相距，C在A的北偏东方向上，且在B的南偏东方向上． (1)求的度数； (2)求此时A，C两个小组之间的距离．（结果精确到．参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求解即可； （2）过点作于点，求出，得；通过解直角三角形得出，，从而可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∵， ∴ （2）解：过点作于点，如图， ∴， ∴； ∵， ∴， 又， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴， 所以，此时A，C两个小组之间的距离为． 【变式2】在综合实践课上，兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如表： 实践报告 活动课题 测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】如图，在湖岸上的凉亭处测得湖心岛上的迎宾槐处位于北偏东方向； 【步骤二】从凉亭处沿湖岸向东方向走了100米到处，测得湖心岛上的迎宾槐处位于北偏东方向（点A、B、C在同一平面上）； 解决问题 根据以上数据计算湖心岛上的迎宾槐处与湖岸上的凉亭处之间的距离（结果精确到1米）． 请你帮助兴趣小组解决以上问题．（参考数据： ，） 【答案】湖心岛上的迎宾槐处与湖岸上的凉亭处之间的距离约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，灵活运用锐角三角函数是解题关键．过点作于点，根据锐角三角函数，得到，，再根据列式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：，， 在中，， ，， 在中，， ， ， 米， ， 米， 答：湖心岛上的迎宾槐处与湖岸上的凉亭处之间的距离约为米． 【变式3】某校进行应急演练，事发地点处发生了一起事故，有伤员需要救援．为了提高营救效率，接到报告后，位于点处的演练应急处理队员立即报告120（专为演练准备的），并组织位于点处的救护人员立即出发，处的120救护车接到通知后也立刻同时出发前往事发地点处．计划由B处的救护人员赶到事发地点处一边应急处理一边护送该伤员沿方向行进，与救护车相遇后将该伤员转移到救护车上接受救治．已知在的北偏东方向500米上，在的东北方向上，且在的正南方向上．    (1)求两点的距离（结果精确到1米，参考数据：）； (2)黄金救援时间是6分钟（本次演练设定为3分钟），救护人员的平均速度为90米/分，救护车的平均速度为230米/分，请判断该伤员是否能在黄金救援时间内接受救治？请说明理由．（事发与接到通知之间的时间，接送伤员上下车的时间均忽略不计） 【答案】(1)米 (2)该伤员能在黄金救援时间内接受救治，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形及其应用，构造直角三角形并利用三角函数求解使解答本题得关键． （1）过点A作的垂线，交的延长线于点D，先解得到米，米，再解得到米即可得到答案； （3）设从接到通知后到救护车接到上元共用时x分钟，由题意可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：过点A作的垂线，交的延长线于点D， 由题意可知，，，米， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴米，米， 在中，米， ∴米；    （2）解：该伤员能在黄金救援时间内接受救治，理由如下： 设从接到通知后到救护车接到伤员共用时x分钟， 由题意可得 解得 ∴该伤员能在黄金救援时间内接受救治． 一、单选题 1．如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，米， ∴， ∴米， 即她沿垂直方向升高了米， 故选：D． 2．如图所示，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为，测得岸边点D的俯角为，C，D，B在同一水平线上，又知河宽为50 m，则山高是（    ） A．50 m B．25 m C．m D．75 m 【答案】C 【分析】本题考查运用三角函数的定义解直角三角形．应用含的式子表示出，．根据得方程即可求出山高． 【详解】解：设山高为x， 在中有：， 在中有：， 而， 解得米． 故选：C． 3．某河堤横断面如图所示，河堤的高度为4m，水平距离，则斜坡的坡度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的应用，坡度坡比的问题，解题的关键是理解坡度的概念. 根据坡度的定义直接求解即可. 【详解】在中，， 斜坡的坡度． 故选:A. 4．神舟十九号载人飞船于北京时间2024年10月30日凌晨于酒泉卫星发射中心成功发射．如图，当火箭上升到点时，在位于水平地面距离发射中心千米的处的雷达测得仰角为，则此时火箭距地面的高度为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-俯角、仰角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义得到，即可得到答案． 【详解】解：在中，， （千米） 故选：C． 5．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，则高为（   ）cm． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形，在中，根据可得答案． 【详解】解：在中，， ∵， ∴cm． 故选：D． 6．2022年2月4日第24届冬季奥运会在北京举办，某校也开展了丰富多彩的冰雪活动．如图是该校同学参加的冰雪项目学习，小嵩乘滑雪板沿斜坡滑雪道直线滑行，若滑行距离米，斜坡滑雪道与水平面的夹角为，则他下降的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题．过点作水平面于点，根据正弦的定义计算即可． 【详解】解：如图，过点作水平面于点， 在中，，米， ， （米）， 故选：B． 二、填空题 7．如图所示，小明家住在米高的A楼里，小丽家住在B楼里，B楼坐落在A楼的正北面，已知当地冬至中午时太阳光线与水平面的夹角为．如果A，B两楼相距米，那么A楼落在B楼上的影子有 ． 【答案】米 【分析】本题考查的是解直角三角形在实际生活中的运用，掌握相关知识是解决问题的关键．此题可根据楼，地面和光线正好构成直角三角形，利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，过作于， ∴， 由题意， ∴， 米， 米． ∴米． 故答案为：米． 8．如图，小明为测量校园里一棵大树的高度，在树底部所在的水平面内，将测角仪竖直放在与点相距8m的位置，在点处测得树顶的仰角为．若测角仪的高度是1m，则大树的高度约是 m（结果精确到1m，参考数据：）． 【答案】11 【分析】过点作于点，构造直角三角形，解直角三角形求出，即可求出结果． 【详解】解：过点作于点， 由题意可知，，，， 在中，，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用和仰角俯角问题，正确添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 9．如图，在中，，，则的面积为 ． 【答案】30 【分析】通过作等腰三角形的高，将其转化为直角三角形，利用三角函数和勾股定理求出高，进而求出面积． 【详解】解：过点作于点． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和解直角三角形，解题关键是通过作高将等腰三角形转化为直角三角形，利用三角函数求出高的长度． 10．如图，某数学兴趣小组决定测量建筑物的高度．他们首先在点B处测得建筑物最高点A的仰角为，然后沿方向前进12米到达C处，又测得点A的仰角为．请你计算建筑物的高度约为 米．(结果精确到1米，参考数据) 【答案】16 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意可得：，米，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，米， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， （米， ， 解得：， （米， 建筑物的高度约为16米， 故答案为：16． 三、解答题 11．如图，表示某小区一段长为20m的斜坡，坡角于点．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为．求： (1)该斜坡的高度． (2)改造后斜坡的长（结果精确到0.1m，参考数据：，，）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，已知斜边和，可通过正弦函数求对边 ； （2）在中，已知和对边，可通过正弦函数求斜边． 【详解】（1）解：在中，， ． 故该斜坡的高度为． （2）解：在中，， ，解得． 故改造后斜坡的长约为． 【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系（三角函数的应用），解题关键是熟练掌握正弦函数的定义，能在直角三角形中根据已知角和边求出未知边． 12．图①是一辆自行车的实物图，图②是这辆自行车的部分结构几何示意图，车架的长为60cm，且，座杆的长为，点在同一条直线上，．求： (1)车架的长； (2)车座点到车架的距离．（结果精确到1cm，参考数据：，，，，，） 【答案】(1)45cm． (2)63cm． 【分析】（1）在中，利用正切定义即可求解； （2）过点E作于点，由（1）得出的长，进而求出的长，在中，利用正弦的定义即可求解． 【详解】（1）解： ， 即， （cm）， 答：车架的长约为45cm． （2）解：过点作于点，如图． 在中， ， ，得：， 答：车座点到车架的距离约为63cm． 【点睛】本题考查了利用三角函数的实际应用，掌握三角函数定义是解题的关键． 13．如图，是的外接圆，为的直径，与交于点，为延长线上一点，连接，，，． (1)求证：； (2)若，，半径为4，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理以及圆心角和圆周角的关系是本题解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和已知两角的关系，得出，然后根据圆周角和圆心角的关系，得出和的关系，再根据三角形内角和定理求出的大小，从而可以得出，结合为的直径，，继而得到即可； （2）根据，以及，可以得出和全等，从而证出为角平分线，再根据等腰三角形的三线合一，得出，再根据互余两角三角函数的关系求出的正切，然后根据，得出和的长，从而求出的长，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图： ，，， ， ，， ， ， 为的直径， ， , , ； （2）解：， ， ， 又， ， ， 为的平分线， ，，， ， ， ， ，， ， ． 14．万佛塔（如图1），老金华城地标性建筑，始建于北宋嘉佑七年，素有“浙江第一塔”之称，抗战期间被拆，2014年启动复建．如图2，是小明测量塔高的示意图．已知测角仪的高度为，从点B处看塔顶P的仰角为，向前移动到达C点，从点D处看塔顶P的仰角为． (1)求点D与塔顶P的距离； (2)若在点D处看塔底E的仰角为，且测得点E到塔中心F的距离为．求塔的高度（参考数据：，，结果精确到0.1米）． 【答案】(1)点D与塔顶P的距离是140 (2)古塔的高度为 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，三角函数的定义， （1）根据，可得，利用等腰三角形的判定定理“等角对角边”即可得到，从而即可得到答案； （2）过点作的垂线，分别交的延长线于点，易得的长，在中，根据三角函数可得的长，进而即可得到的高度． 【详解】（1）解：如下图， 由题意得：， ， ， ； （2）解：过点作的垂线，分别交的延长线于点，如图， 则由题意得点P、F、N在同一直线上， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：古塔的高度为． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 解直角三角形及应用 教学目标 1.理解 “解直角三角形” 的定义（已知直角三角形中 2 个元素，至少 1 个为边，求其余 3 个元素的过程），能熟练运用勾股定理、两锐角互余关系（∠A+∠B=90°）及锐角三角函数（sin、cos、tan），推导并掌握解直角三角形的基本公式； 2.能准确识别实际问题中的 “仰角、俯角”“坡度（坡比）、坡角”“方向角” 等概念，将实际场景转化为直角三角形模型； 3.能根据问题需求选择合适的边角关系（如 “已知对边与斜边用 sin，已知邻边与对边用 tan”），规范求解直角三角形的边长、角度，并对结果进行合理的精度处理（如保留 1 位小数、精确到 0.1 米） 教学重难点 1.重点 (1)解直角三角形的核心方法（依据勾股定理、两锐角互余、三角函数建立等式）； (2)实际问题中关键概念（仰角、俯角、坡度、方向角）的理解与模型转化； (3)规范的解题步骤（含模型画图、已知条件标注、公式选择、计算过程、结果表述） 2.难点 (1)抽象概念与几何图形的对应（如 “坡度 i=1:2” 对应直角三角形中 “垂直高度：水平宽度 = 1:2”，易与 “斜边” 混淆；方向角 “北偏东 30°” 需准确确定基准线与夹角）； (2)非直角三角形向直角三角形的转化（如梯形中作高、三角形中作中线或高，需判断 “如何分割更简便”，避免辅助线添加错误）； (3)多直角三角形关联问题的分析（如 “两个直角三角形共享一条公共边”，需明确公共边的 “桥梁作用”，建立已知量与未知量的联系）； (4)实际问题中 “隐含条件” 的挖掘（如 “海平面视为水平线”“建筑物底部与观测点在同一水平面上”，易因忽略隐含条件导致模型错误） 知识点01 解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 【即学即练】 1．如图，中，，斜边，则的长度是（    ） A． B． C． D． 2．如图，△ABC中，AB=12，BC=15，∠ABC=60°．求tanC的值． 知识点02 解直角三角形的应用-坡度坡角 　在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 　坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. 【即学即练】 1．某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自处测得雕像顶的仰角为，小强站在凤栖堂门前的台阶上，自处测得雕像顶的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)计算台阶的高度； (2)求孔子雕像的高度． 知识点03 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 　仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 【即学即练】 1．觉华塔位于长沙市铜官窑国家考古遗址公园的觉华顶，是遗址公园标志性景点之一．登上觉华塔，可俯瞰湘江、遗址公园全景，将山、水、洲、城、平原及公园原生态，自然风光尽收眼底．想知道觉华塔的通高（塔顶到水平地面的距离），于是某校师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A点用测角仪测得塔顶D的仰角为，在B点处测得塔顶D的仰角为，已知，测角仪的高度是1.1m（A、B、C在同一直线上），根据以上数据解决下列问题： (1)求的度数； (2)求觉华塔的通高．（，结果保留一位小数） 知识点04 解直角三角形应用-方位角问题 （1）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　　　　　　　　　　　 (2)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°. 注意： 1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图. 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解. 　　　　　　 　3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 【即学即练】 1．如图，灯塔位于港口的北偏东方向，且之间的距离为，灯塔位于灯塔的正东方向，且之间的距离为．一艘轮船从港口出发，沿正南方向航行到达处，测得灯塔在北偏东方向上，灯塔到直线的距离为．    (1)求的长； (2)求的长（结果精确到0.1）．（参考数据：） 题型01 解直角三角形的相关计算 【典例1】如图，在中，平分交边于点． (1)______，______． (2)过点作于点，补全图形，并求的值． 【变式1】如图，中，，垂足是，若，，，求的值． 【变式2】如图，中，，垂足是，若，，． (1)求的值； (2)求的值． 【变式3】如图，在中，，点为的中点，交于点，连接，，． (1)求的长； (2)求的值． 题型02 解非直角三角形 【典例2】【教材呈现】现行人教版九年级数学下册教材85页“拓广探索”中第14题原题如下： 14．如图，在锐角中，探究，，之间的关系（提示：分别作和边上的高）． 【证明结论】借助如图，求证：； 【结论应用】在中，若，，，请利用以上结论求的长． 【变式1】在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【变式2】如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积（结果保留根号）． 【变式3】已知中，． (1)如图1，若，则________（结果保留根号） (2)如图2，若，求AC的长．（结果保留根号） 题型03 解直角三角形的应用-坡度坡角 【典例3】数学“综合与实践”课上，数学老师带着学生利用皮尺和测角仪等工具，测量了学校教学楼的高度．如图，在教学楼的正前方有一斜坡，测得米，坡角，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为，在斜坡上的点D处测得楼顶B 的仰角为，其中点A，C，E在同一条直线上，图中各点均在同一平面内，求教学楼的高度．（结果保留根号） 【变式1】某农户用喷枪给斜坡上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是一条抛物线．经测量，P处的喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点与水平线的距离为，建立如图所示的直角坐标系，水柱距喷水头的水平距离为，水柱距水平线的高度是 (1)求y与x之间的函数表达式； (2)若斜坡的坡比为，斜坡上有一棵高的树，它与喷水头的水平距离为，请判断从P处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶，并说明理由． 【变式2】如图，已知山坡的坡度为，山坡的坡度为，山坡的坡角，已知点B到水平面的距离为，山坡的长为．某登山队沿山坡上山后，再沿山坡下山． (1)求山顶点C到水平面的距离； (2)求山坡的长． 【变式3】自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；斜坡改造为斜坡，斜坡米，其坡度为．求斜坡下降的高度．（结果保留根号） 题型04 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【典例4】山西是我国的古建筑之乡，有地上文物看山西的美誉．图1是位于山西大同的应县木塔．如图2，小方站在点C处操纵无人机到与C水平距离为10米的D处，无人机在D处测得小方所在位置的俯角为，木塔顶部点B的仰角为，已知无人机与木塔的水平距离为60米，点A，B，C，D在同一平面上，求应县木塔的高度．（参考数据，，，） 【变式1】如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡l的坡底点A的俯角为，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为，，，点B到地面的距离为 (1)求斜坡l的坡角的度数； (2)求点M与点N的高度差． 【变式2】随着2025年第九届丝博会的热度，“丝绸之路”再度成为全球热点，位于西安市玉祥门外盘道中心岛的张骞塑像也引来很多外地游客参观．某数学兴趣小组计划进行测量该塑像高度的实践活动，测量示意图如图所示，小刚将无人机（无人机的高度忽略不计）放在塑像正前方的地面A处，测得塑像顶部C的仰角为，随后操作无人机竖直向上升高到点B处，测得塑像顶部C的俯角为，已知点A，B，C与塑像底部D在同一平面内，且，均垂直于地面，求该塑像的高度．（结果保留一位小数．参考数据：，，） 【变式3】如图，大楼高，附近有一座塔，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为，爬到楼顶处测得塔顶的仰角为，求塔高及大楼与塔之间的距离（结果精确到，参考数据：） 如图，大楼高，远处有一塔，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为，爬到楼顶D测 题型05 解直角三角形应用-方向角问题 【典例5】如图，一艘轮船位于灯塔北偏东方向与灯塔距离为海里的处，它沿正南方向航行小时后，到达位于灯塔北偏东方向的处．    (1)求此时轮船所在处与灯塔的距离． (2)求轮船航行的速度为多少海里/小时． （参考数据：，，，结果保留根号） 【变式1】为增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织了一次越野拉练活动．如图是行进过程中某时刻A，B，C三个小组所在的位置，B在A的北偏东方向上，B与A相距，C在A的北偏东方向上，且在B的南偏东方向上． (1)求的度数； (2)求此时A，C两个小组之间的距离．（结果精确到．参考数据：） 【变式2】在综合实践课上，兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如表： 实践报告 活动课题 测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】如图，在湖岸上的凉亭处测得湖心岛上的迎宾槐处位于北偏东方向； 【步骤二】从凉亭处沿湖岸向东方向走了100米到处，测得湖心岛上的迎宾槐处位于北偏东方向（点A、B、C在同一平面上）； 解决问题 根据以上数据计算湖心岛上的迎宾槐处与湖岸上的凉亭处之间的距离（结果精确到1米）． 请你帮助兴趣小组解决以上问题．（参考数据： ，） 【变式3】某校进行应急演练，事发地点处发生了一起事故，有伤员需要救援．为了提高营救效率，接到报告后，位于点处的演练应急处理队员立即报告120（专为演练准备的），并组织位于点处的救护人员立即出发，处的120救护车接到通知后也立刻同时出发前往事发地点处．计划由B处的救护人员赶到事发地点处一边应急处理一边护送该伤员沿方向行进，与救护车相遇后将该伤员转移到救护车上接受救治．已知在的北偏东方向500米上，在的东北方向上，且在的正南方向上．    (1)求两点的距离（结果精确到1米，参考数据：）； (2)黄金救援时间是6分钟（本次演练设定为3分钟），救护人员的平均速度为90米/分，救护车的平均速度为230米/分，请判断该伤员是否能在黄金救援时间内接受救治？请说明理由．（事发与接到通知之间的时间，接送伤员上下车的时间均忽略不计） 一、单选题 1．如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图所示，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为，测得岸边点D的俯角为，C，D，B在同一水平线上，又知河宽为50 m，则山高是（    ） A．50 m B．25 m C．m D．75 m 3．某河堤横断面如图所示，河堤的高度为4m，水平距离，则斜坡的坡度是（    ） A． B． C． D． 4．神舟十九号载人飞船于北京时间2024年10月30日凌晨于酒泉卫星发射中心成功发射．如图，当火箭上升到点时，在位于水平地面距离发射中心千米的处的雷达测得仰角为，则此时火箭距地面的高度为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 5．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，则高为（   ）cm． A． B． C． D． 6．2022年2月4日第24届冬季奥运会在北京举办，某校也开展了丰富多彩的冰雪活动．如图是该校同学参加的冰雪项目学习，小嵩乘滑雪板沿斜坡滑雪道直线滑行，若滑行距离米，斜坡滑雪道与水平面的夹角为，则他下降的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 二、填空题 7．如图所示，小明家住在米高的A楼里，小丽家住在B楼里，B楼坐落在A楼的正北面，已知当地冬至中午时太阳光线与水平面的夹角为．如果A，B两楼相距米，那么A楼落在B楼上的影子有 ． 8．如图，小明为测量校园里一棵大树的高度，在树底部所在的水平面内，将测角仪竖直放在与点相距8m的位置，在点处测得树顶的仰角为．若测角仪的高度是1m，则大树的高度约是 m（结果精确到1m，参考数据：）． 9．如图，在中，，，则的面积为 ． 10．如图，某数学兴趣小组决定测量建筑物的高度．他们首先在点B处测得建筑物最高点A的仰角为，然后沿方向前进12米到达C处，又测得点A的仰角为．请你计算建筑物的高度约为 米．(结果精确到1米，参考数据) 三、解答题 11．如图，表示某小区一段长为20m的斜坡，坡角于点．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为．求： (1)该斜坡的高度． (2)改造后斜坡的长（结果精确到0.1m，参考数据：，，）． 12．图①是一辆自行车的实物图，图②是这辆自行车的部分结构几何示意图，车架的长为60cm，且，座杆的长为，点在同一条直线上，．求： (1)车架的长； (2)车座点到车架的距离．（结果精确到1cm，参考数据：，，，，，） 13．如图，是的外接圆，为的直径，与交于点，为延长线上一点，连接，，，． (1)求证：； (2)若，，半径为4，求长． 14．万佛塔（如图1），老金华城地标性建筑，始建于北宋嘉佑七年，素有“浙江第一塔”之称，抗战期间被拆，2014年启动复建．如图2，是小明测量塔高的示意图．已知测角仪的高度为，从点B处看塔顶P的仰角为，向前移动到达C点，从点D处看塔顶P的仰角为． (1)求点D与塔顶P的距离； (2)若在点D处看塔底E的仰角为，且测得点E到塔中心F的距离为．求塔的高度（参考数据：，，结果精确到0.1米）． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $