双曲线单元练习题-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

双曲线单元练习题 一、单选题 1．已知双曲线C的焦点在y轴上，其渐近线方程为，则C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 2．已知双曲线的右焦点为为的左支上一点，为线段的中点，为坐标原点，若，则（    ） A．10 B．9 C．7 D．6 3．已知焦点在 轴上的双曲线 与双曲线 有共同的渐近线，且点 在双曲线 上，则双曲线 的方程为（   ） A． B． C． D． 4．过原点O的直线与双曲线：交于A，B两点，D为的右顶点，若的渐近线方程为，则直线与直线的斜率之积为（   ） A．1 B．3 C．4 D．9 5．设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 6．若双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．设是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，若的内切圆的半径为（为圆心），且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知实数满足，则的最小值为（     ） A．96 B．81 C． D． 二、多选题 9．已知曲线，则（   ） A．若，则曲线表示圆，且半径为 B．若，则曲线表示双曲线，且渐近线为 C．若，，则曲线表示两条直线 D．若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆 10．已知双曲线的左右焦点分别为，点在渐近线上，且在第一象限，满足，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率为 C．的面积为 D．的内切圆的半径 11．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，点是两曲线的一个交点，，分别为，的离心率，则（    ） A． B． C．是直角三角形 D．是个定值 三、填空题 12．已知是双曲线的两个焦点，是上一点，且，则点到轴的距离为 ． 13．双曲线的左、右焦点为，为双曲线上一点，且满足，则双曲线的离心率为 ． 14．如图，已知为双曲线的右焦点，过原点的直线与双曲线交于，两点，且，的面积为，则该双曲线的离心率为 ． 四、解答题 15．过双曲线的右焦点倾斜角为的直线与双曲线有两个交点,. (1)求线段的中点坐标； (2)求. 16．双曲线的左、右焦点分别为，，其离心率，且双曲线过点. (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线上一点满足，求的面积. 17．已知双曲线的渐近线方程为，且过点. (1)求的方程； (2)过的上焦点且斜率为的直线与交于，两点，证明：. 18．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 19．已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，. (1)求的方程； (2)过点作直线的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 双曲线单元练习题答案 一、单选题 1．已知双曲线C的焦点在y轴上，其渐近线方程为，则C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【详解】因为双曲线C的焦点在y轴上，则其渐近线方程为， 又已知双曲线C的渐近线方程为， 则，所以双曲线的离心率． 故选：D. 2．已知双曲线的右焦点为为的左支上一点，为线段的中点，为坐标原点，若，则（    ） A．10 B．9 C．7 D．6 【详解】设的左焦点为，连接，因为为的中点， 为坐标原点，所以， 由双曲线的定义可知，， 所以. 故选：A.    3．已知焦点在 轴上的双曲线 与双曲线 有共同的渐近线，且点 在双曲线 上，则双曲线 的方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】设双曲线的方程为， 将点代入得，得， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 4．过原点O的直线与双曲线：交于A，B两点，D为的右顶点，若的渐近线方程为，则直线与直线的斜率之积为（   ） A．1 B．3 C．4 D．9 【详解】因为双曲线C的渐近线方程为，所以， 设点，因为直线过原点，则， 又因为双曲线的右顶点为， 则①， 又因为在双曲线上，则，所以②， ②代入①化简可得. 故选：C. 5．设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 【详解】 如图，由可知，， 由对称性，不妨设点在第一象限， 设，由定义， ， ， 的面积为. 故选：B 6．若双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意得椭圆的焦点为和， 而双曲线和椭圆有公共焦点，则双曲线的焦点也为和， 由双曲线方程可得，解得，又，得到， 则双曲线的离心率为. 故选：B. 7．设是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，若的内切圆的半径为（为圆心），且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】过作， 由题意知． 因为，所以四边形为正方形， 得． 由双曲线的定义可得， 即，所以， 得． 又因为，所以， 得，． 在中，，得到， 所以． 故选：A．    8．已知实数满足，则的最小值为（     ） A．96 B．81 C． D． 【详解】设，则P为双曲线上任意一点， M为圆C：上任意一点，， 根据圆的性质可知， ， 又， 所以， 又或，所以根据二次函数性质可知，当时，， 所以， 所以. 故选：D. 二、多选题 9．已知曲线，则（   ） A．若，则曲线表示圆，且半径为 B．若，则曲线表示双曲线，且渐近线为 C．若，，则曲线表示两条直线 D．若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆 【详解】选项A：若，则，表示圆，且半径为，故A正确； 选项B：若，，则，其渐近线为， 若，，则，其渐近线为，故B错误； 选项C：若，时，，即表示两条直线，故C正确； 选项D：当时，，表示焦点在轴上的椭圆，故D错误. 故选：AC. 10．已知双曲线的左右焦点分别为，点在渐近线上，且在第一象限，满足，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率为 C．的面积为 D．的内切圆的半径 【详解】如图：    选项A：对双曲线，，，. 所以双曲线的渐近线方程为，故A正确； 选项B：双曲线的离心率为，故B正确； 选项C：因为，且为的中点， 所以，又在上， 所以点，得， ；故C错误； 选项D：因为为直角三角形，所以内切圆半径，故D正确． 故选：ABD 11．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，点是两曲线的一个交点，，分别为，的离心率，则（    ） A． B． C．是直角三角形 D．是个定值 【详解】选项A，因为有公共的焦点，得， 即，又，所以可得.故A正确； 选项B，因为有公共的焦点，可得，，， 得，即，故B错误； 选项C，因为有公共的焦点，可得，不妨设点在第一象限，由椭圆和双曲线的定义得， ，，所以，，，， 所以，故是直角三角形，故C正确； 选项D，因为有公共的焦点，可得，，， 因此，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．已知是双曲线的两个焦点，是上一点，且，则点到轴的距离为 ． 【详解】由双曲线方程知：实轴长，虚轴长，焦距； 设，，由双曲线定义可知：，    在中，由余弦定理得， ，则，又， ，解得：， 点到轴的距离为. 故答案为：. 13．双曲线的左、右焦点为，为双曲线上一点，且满足，则双曲线的离心率为 ． 【详解】设，由题意可得,代入双曲线方程， 得到， 因为，在中， ， 所以，即 即，解得. 故答案为：. 14．如图，已知为双曲线的右焦点，过原点的直线与双曲线交于，两点，且，的面积为，则该双曲线的离心率为 ． 【详解】解法1：设，则，得， 又因为，所以， 把点的坐标代入双曲线方程，可得，则，得． 解法2：设双曲线的左焦点为，如图，连接，， 则四边形是矩形，由于，可得①． 由双曲线的定义可知， ②． 在中，由勾股定理可知③． 由①②③可得，化简得，所以． 故答案为：. 四、解答题 15．过双曲线的右焦点倾斜角为的直线与双曲线有两个交点,. (1)求线段的中点坐标； (2)求. 【详解】（1）由双曲线方程知：，则直线方程为， 得：，则， 直线方程与双曲线有两个不同的交点. 设，，中点为， 得：，，； ； （2）由（1）得 . 16．双曲线的左、右焦点分别为，，其离心率，且双曲线过点. (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线上一点满足，求的面积. 【详解】（1）由题意知： ， 解得， 故双曲线的方程为：. （2）由题意得，， 在中，由余弦定理得： 即：，， ， 所以的面积为. 17．已知双曲线的渐近线方程为，且过点. (1)求的方程； (2)过的上焦点且斜率为的直线与交于，两点，证明：. 【详解】（1）由已知得，，故，C的方程为. （2）证明：由（1）得双曲线的上焦点为，设直线，，，根据题意作图如下. 联立，得，， 所以，， 所以直线和直线的斜率之积为 ， 因此. 18．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 【详解】（1）因为双曲线与双曲线的渐近线相同， 所以可设：，又双曲线过， 所以，则，即， 所以双曲线的方程为. （2）证明：设， 又 ，所以左焦点，则， ， ， ， 则， 所以. 19．已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，. (1)求的方程； (2)过点作直线的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 【详解】（1）由题可知， 则， 由轴时，，可令， 代入双曲线得， 解得， 则所求方程为； （2）①证明：设，则， 由斜率不为0，可设， 联立双曲线并整理得， 则，， 所以， 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则，解得， 因为，所以， 而，所以，则， 所以过定点； ②， 由①得，解得， 令， 则， 因为，所以，则，当时取等号， 所以的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $