第1部分 第4章 第4节 特殊三角形-【中考快车道】2026年中考数学总复习学生用书Word

第四节　特殊三角形 考点一　等腰三角形的性质和判定 1．等腰三角形 (1)定义：有两边________的三角形叫做等腰三角形，其中________相等的等腰三角形叫做等边三角形． (2)性质 ①等腰三角形的两个底角________，简称为________． ②等腰三角形的顶角__________、底边上的________、底边上的________相互重合，简称为________． ③等腰三角形是________对称图形． (3)判定 ①定义法：有________相等的三角形是等腰三角形． ②如果一个三角形有________相等，那么这两个角所对的边也相等，简称________． 2．等边三角形 (1)性质 ①等边三角形的三个角都________，并且每一个角都等于________． ②等边三角形是轴对称图形，它有________条对称轴． (2)判定 ①三个角都________的三角形是等边三角形． ②有一个角是60°的________三角形是等边三角形． 考点二　线段垂直平分线的性质和判定 1．性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 2．判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的________上． 考点三　直角三角形的性质和判定 1．直角三角形的性质 (1)直角三角形两锐角________． (2)直角三角形斜边上的中线等于________． (3)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于________的一半． 2．直角三角形的判定 (1)有一个角是______的三角形是直角三角形． (2)有两个角________的三角形是直角三角形． 3．勾股定理及其逆定理 (1)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2． (2)逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 1．等腰三角形的一个外角为80°，则它的底角为(　　) A．100° B．80° C．40° D．100°或40° 2．(青岛版八上P61练习T1改编)如图，D，E，F分别是等边△ABC各边上的点，且AD＝BE＝CF，则△DEF的形状是(　　) A．等边三角形　 B．腰和底边不相等的等腰三角形 C．直角三角形　 D．不等边三角形 3．(人教版八上P82习题13.3T7改编)如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D与点E，则∠DAE＝(　　) A．50° B．60° C．65° D．80° 4．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC，DE⊥AC，DF⊥AB，AC＝BC，除图中AC和BC外，关系形如a＝b的线段对还有(　　) A．2对 B．4对 C．6对 D．7对 5．如图，图中的所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，两个小正方形的面积分别是1，2，最大的正方形的面积等于________． 命题点1　等腰三角形的性质和判定 【典例1】　(2024·四川内江)如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　(1)在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线这四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． (2)在判定定理的证明中，可以作底边的高线也可以作顶角的角平分线，但不能作底边的中线． [对点演练] 1．[易错题](2024·成武期末)若等腰三角形一边长为12 cm，且腰长是底边长的，则这个三角形的周长为(　　) A．30 cm B．40 cm C．30 cm或40 cm D．30 cm或31 cm 2．(2024·平邑县一模)如图，在△ABC中，若AB＝AC，AD＝BD，∠CAD＝24°，则∠C＝________°． 命题点2　等边三角形的性质和判定 【典例2】　(2023·济宁)如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上，若∠DAE＝30°，tan ∠EAC＝，则BD＝________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [对点演练] 3．(2024·泰安)如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是(　　) A．45° B．39° C．29° D．21° 4．(2024·黑龙江大庆)如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形ABC；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为3π，则它的面积是________． 命题点3　线段垂直平分线的性质和判定 【典例3】　(2024·任城区期末)如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点E，M，边AC的垂直平分线分别交BC，AC于点F，N，若BC＝12，∠B＋∠C＝45°，AF＝4，则EF的长为(　　) A．5 B．4.8 C．4.6 D．4.5 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [对点演练] 5．(2024·四川凉山州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50 cm，则AC＋BC＝(　　) A．25 cm B．45 cm C．50 cm D．55 cm 6．(2024·莘县二模)如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是(　　) A．0 B．5 C．6 D．7 命题点4　直角三角形的性质和判定 【典例4】　(2023·菏泽)△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋＋|c－3|＝0，则△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [对点演练] 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠BAD＝45°，若AC＝4，CD＝1，则△ABC的面积是________． 8．(2023·济宁)如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于(　　) A．180°－α B．180°－2α C．90°＋α D．90°＋2α 9．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝AD＝，BC＝4，CD＝2． (1)求∠ABC的度数； (2)求四边形ABCD的面积． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四节　特殊三角形 链接教材 基础过关 梳理·必备知识 考点一 1．(1)相等　腰和底　(2)相等　等边对等角　平分线　中线　高　三线合一　轴　(3)两边　两个角　等角对等边　 2．(1)相等　60°　三　(2)相等　等腰 考点二 2．垂直平分线 考点三 1．(1)互余　(2)斜边的一半　(3)斜边　2．(1)直角　(2)互余 激活·基本技能 1．C　2．A　3．B　4．D　5.3 考点突破 对点演练 典例1　100°　[∵AC＝AE，BC＝BD， ∴设∠AEC＝∠ACE＝x°，∠BDC＝∠BCD＝y°， ∴∠A＝180°－2x°，∠B＝180°－2y°， ∵∠ACB＋∠A＋∠B＝180°，∠BDC＋∠AEC＋∠DCE＝180°， ∴∠ACB＋(180°－2x°)＋(180°－2y°)＝180°，180°－(x°＋y°)＝∠DCE， ∴∠ACB＋360°－2(x°＋y°)＝180°， ∴∠ACB＋2∠DCE＝180°， ∵∠DCE＝40°， ∴∠ACB＝100°．] 对点演练 1．C　[已知等腰三角形一边长为12 cm，且腰长是底边长的， ①如果腰长为12 cm，则底边长为16 cm， 等腰三角形的三边为12 cm、12 cm、16 cm，能构成三角形， ∴三角形的周长C＝12＋12＋16＝40 cm； ②如果底边长为12 cm，则腰长为9 cm， 等腰三角形的三边为12 cm、9 cm、9 cm，能构成三角形， ∴三角形的周长C＝9＋9＋12＝30(cm)．故选C．] 2．52　[∵AB＝AC，AD＝BD， ∴∠B＝∠C，∠B＝∠BAD， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝∠CAD＋∠BAD， ∴180°－2∠C＝24°＋∠C， ∴∠C＝52°，故答案为52．] 典例2　3－　[过点A作AH⊥BC于H， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝6，∠BAC＝60°， ∵AH⊥BC， ∴∠BAH＝∠BAC＝30°， ∴∠BAD＋∠DAH＝30°， ∵∠DAE＝30°， ∴∠BAD＋∠EAC＝30°， ∴∠DAH＝∠EAC， ∴tan ∠DAH＝tan ∠EAC＝， ∵BH＝AB＝3， ∵AH＝AB sin 60°＝6×， ∴， ∴DH＝， ∴BD＝BH－DH＝3－，故答案为3－．] 对点演练 3．B　[如图，过点A作AF∥l， ∵直线l∥m， ∴AF∥m， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵AF∥l， ∴∠BAF＝∠ABE， ∵∠ABE＝21°， ∴∠BAF＝21°， ∴∠CAF＝∠BAC－∠BAF＝60°－21°＝39°， ∵AF∥m， ∴∠ACD＝∠CAF＝39°，故选B．] 4．　[由题知， 莱洛三角形的周长可转化为半径长为AB的圆周长的一半． 又因为莱洛三角形的周长为3π， 所以·2π·AB＝3π， 则AB＝3， 所以等边△ABC的边长为3． 过点A作BC的垂线，垂足为M， 则BM＝． 在Rt△ABM中， AM＝． 所以莱洛三角形的面积为·π·32－2×．故答案为．] 典例3　A　[∵边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，E，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，F， ∴BE＝AE，AF＝FC＝4， ∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAF， ∴∠AEF＝2∠B，∠AFE＝2∠C， 又∠B＋∠C＝45°， ∴∠AEF＋∠AFE＝2(∠B＋∠C)＝90°， ∴∠EAF＝90°， 设BE＝x， ∵BC＝12， ∴EF＝BC－BE－CF＝8－x， 在Rt△AEF中，AE2＋AF2＝EF2， 即x2＋42＝(8－x)2， 解得x＝3， ∴EF＝8－3＝5，故选A．] 对点演练 5．C　[∵DE垂直平分AB交BC于点D， ∴AD＝DB， ∵△ACD的周长为50 cm， 即AC＋AD＋CD＝AC＋CD＋DB＝AC＋BC＝50 cm．故选C．] 6．B　[连接OP1，OP2，P1P2， ∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2， ∴OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8， OP1＋OP2＞P1P2， 0＜P1P2＜5.6，故选B．] 典例4　D　[由题意得解得 ∵a2＋b2＝c2，且a＝b， ∴△ABC为等腰直角三角形，故选D．] 对点演练 7．　[如图，过D作DE⊥AB，交AB于点E， ∴∠DEA＝∠DEB＝90°， ∵∠C＝90°，AC＝4，CD＝1， ∴AD＝， ∵∠DEA＝90°，∠BAD＝45°， ∴AE＝DE＝AD·sin ∠EAD＝， ∵∠DEB＝90°，∠C＝90°， ∴BE2＋DE2＝BD2，AC2＋BC2＝AB2，即BE2＋＝BD2①， 16＋(BD＋1)2＝2②， ①变形，得BE＝③， ②化简，得BD2＋2BD＋17＝BE＋BE2④， 将①③代入④并化简，得15BD2－34BD－172＝0(BD＞0)， 解得BD＝，∴BC＝，∴S△ABC＝．] 8．C　[如图，过B点作BG∥CD，连接EG， ∵BG∥CD， ∴∠ABG＝∠CFB＝α． ∵BG2＝12＋42＝17，BE2＝12＋42＝17，EG2＝32＋52＝34， ∴BG2＋BE2＝EG2， ∴△BEG是等腰直角三角形， ∴∠GBE＝90°， ∴∠ABE＝∠GBE＋∠ABG＝90°＋α．故选C．] 9．解：(1)∵∠BAD＝90°，AB＝AD＝， ∴BD＝＝2，∠ABD＝45°， ∵BC2＝42＝16，CD2＝2＝20，BD2＝22＝4， ∴BC2＋BD2＝CD2， ∴∠DBC＝90°， ∴∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝45°＋90°＝135°． (2)S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD ＝×4×2 ＝1＋4＝5． 学科网（北京）股份有限公司 $