第1部分 第4章 第3节 全等三角形-【中考快车道】2026年中考数学总复习学生用书Word

第三节　全等三角形 考点一　全等三角形的判定和性质 1．全等三角形的相关概念 (1)全等形：能够完全________的两个图形叫做全等形． (2)全等三角形：能够完全________的两个三角形叫做全等三角形． 2．全等三角形的判定 定理 内容 SSS ____分别相等的两个三角形全等 SAS 两边和它们的____分别相等的两个三角形全等 ASA 两角和它们的____分别相等的两个三角形全等 AAS 两角分别相等且其中一组等角的____相等的两个三角形全等 HL ____和一条____边分别相等的两个直角三角形全等 3．全等三角形的性质 边 全等三角形的对应边____ 角 全等三角形的对应角____ 线 全等三角形对应边上的高、中线，对应角的角平分线均相等 周长 全等三角形的周长____ 面积 全等三角形的面积____ 考点二　角平分线的性质和判定 1．性质：角的平分线上的点到角的两边的距离________． 2．判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的________上． 1．如图，已知∠CAE＝∠DAB，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中不能保证△ABC≌△AED的条件是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 2．(人教版八上P32练习T2改编) 如图，△ABC≌△ADE，已知∠C＝25°，∠D＝105°，则∠CAB＝(　　) A．25° B．50° C．60° D．105° 3．如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，则下列结论正确的是(　　) A．点F在BC边的垂直平分线上 B．点F在∠BAC的平分线上 C．△BCF是等腰三角形 D．△BCF是直角三角形 4．(青岛版八上P53练习T1改编)如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 命题点1　全等三角形的判定 【典例1】　(2023·聊城)如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C． (1)求证：∠EAD＝∠EDA； (2)若∠C＝60°，DE＝4时，求△AED的面积． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　判定三角形全等的三种思路 已知两边 找夹角(SAS) 找直角(HL) 找另一边(SSS) 已知一边一角 边为角的对边 找任一角(AAS) 边为角的邻边 找夹边的另一角(ASA) 找夹角的另一边(SAS) 找边的对角(AAS) 已知两角 找夹边(ASA) 找任意已知角的对边(AAS) [对点演练] 1．(2023·临沂)如图，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB＋BD． (1)写出AB与BD的数量关系； (2)延长BC到E，使CE＝BC，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF．求证：EF⊥AB； (3)在(2)的条件下，作∠ACE的平分线，交AF于点H，求证：AH＝FH． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 命题点2　全等三角形的性质 【典例2】　 (2024·兰陵县三模)如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论： ①a＋b＜c； ②a＋b＞； ③(a＋b)＞c． 上述结论中，所有正确结论的序号是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [对点演练] 2．(2024·济宁期末)如图，△ABC≌△DEC，B，C，D在同一直线上，且CE＝6，AC＝8，则BD长(　　) A．12 B．14 C．16 D．18 3．(2024·成武县三模)如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是(　　) A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED 命题点3　角平分线的性质和判定 【典例3】　 (2024·湖南)如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE＝BF；分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N．若MN＝2，AD＝4MD，则AM＝________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　有角平分线(或证明角平分线)时，常过角平分线上一点向角两边作垂线段，利用角平分线的性质解决问题． [对点演练] 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，已知AB＝20，CD＝6，则△ABD的面积为(　　) A．80 B．60 C．20 D．10 5．(2024·梁山县一模)如图，AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，CD＝3 cm，点P在AB上，连接DP，则DP的最小值为________cm． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三节　全等三角形 链接教材 基础过关 梳理·必备知识 考点一 1．(1)重合　(2)重合　2．三边　夹角　夹边　对边　斜边　直角　3．相等　相等　相等　相等 考点二 1．相等　2．平分线 激活·基本技能 1．B　2．B　3．B　4．C 考点突破 对点演练 典例1　解：(1)证明：∵∠B＝∠AED， ∴180°－∠B＝180°－∠AED，即∠BEA＋∠BAE＝∠BEA＋∠CED， ∴∠BAE＝∠CED， 在△BAE和△CED中， ∴△BAE≌△CED(AAS)， ∴EA＝ED， ∴∠EAD＝∠EDA． (2)过点E作EF⊥AD于点F， 由(1)知EA＝ED， ∵∠AED＝∠C＝60°， ∴∠AEF＝∠DEF＝30°， ∵DE＝4， ∴DF＝DE＝2， ∴AD＝2DF＝4，EF＝， ∴S△AED＝． 对点演练 1．解：(1)结论：AB＝BD． 理由：在BC上取一点T，使得BT＝BD，连接DT，AT，如图1． 设AB＝AC＝a，则BC＝a． ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵BD⊥AB， ∴∠ABD＝90°， ∴∠DBT＝45°， ∵BD＝BT， ∴∠BDT＝∠BTD＝67.5°， ∵BC＝AB＋BD＝AC＋BD＝BT＋AC， ∴CT＝CA＝a， ∴BD＝BT＝BC－CT＝a－a， ∴＋1， ∴AB＝BD． (2)证明：如图2， 在△BCD和△ECF中， ∴△BCD≌△ECF(SAS)， ∴∠CBD＝∠E＝45°，BD＝EF， ∴BD∥EF， ∵BD⊥AB， ∴EF⊥AB． (3)证明：延长CH交EF的延长线于点J，如图3． ∵∠ACE＝180°－∠ACB＝135°，CH平分∠ACE， ∴∠ACH＝∠ECH＝67.5°， ∵∠ACB＝∠E＝45°， ∴AC∥EJ， ∴∠J＝∠ACH＝∠ECJ＝67.5°， ∴CE＝EJ＝CB， ∵BC＝BD＋AB，EJ＝EF＋FJ， ∴FJ＝AB＝AC， ∵∠AHC＝∠FHJ，∠ACH＝∠J， ∴△ACH≌△FJH(AAS)， ∴AH＝FH． 典例2　D　[①过点D作DF∥AC，交AE于点F；过点B作BG⊥FD，交FD于点G． ∵DF∥AC，AC⊥AE， ∴DF⊥AE． 又∵BG⊥FD， ∴BG∥AE， ∴四边形ABGF为矩形． 同理可得，四边形BCDG也为矩形． ∴FD＝FG＋GD＝a＋b． ∴在Rt△EFD中，c＞a＋b． 故①正确． ②∵△EAB≌△BCD， ∴AE＝BC＝b， ∴在Rt△EAB中，BE＝． ∵AB＋AE＞BE， ∴a＋b＞． 故②正确． ③∵△EAB≌△BCD， ∴∠AEB＝∠CBD， 又∵∠AEB＋∠ABE＝90°， ∴∠CBD＋∠ABE＝90°， ∴∠EBD＝90°． ∵BE＝BD， ∴∠BED＝∠BDE＝45°， ∴BE＝＝c·sin 45°＝c． ∴c＝． ∵2＝2(a2＋2ab＋b2)＝2(a2＋b2)＋4ab＞2(a2＋b2)， ∴(a＋b)＞， ∴(a＋b)＞c．故③正确．故选D．] 对点演练 2．B　[∵△ABC≌△DEC， ∴BC＝CE＝6，CD＝AC＝8， ∴BD＝BC＋CD＝14，故选B．] 3．B　[∵△ABC≌△ADE， ∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，故选B．] 典例3　6　[由作图过程可知，BP为∠ABC的平分线， ∵AD是边BC上的高， ∴AD⊥BC， ∵MN⊥AB， ∴MD＝MN＝2． ∴AD＝4MD＝8， ∴AM＝AD－MD＝6．] 对点演练 4．B　[过点D作DE⊥AB，垂足为E， ∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DC＝DE＝6， ∵AB＝20， ∴△ABD的面积＝×20×6＝60，故选B．] 5．3　[作DP′⊥AB于P′， ∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DP′⊥AB， ∴DP′＝DC＝3 cm， 则DP的最小值为3 cm，故答案为3．] 学科网（北京）股份有限公司 $