第1部分 第3章 微专题2 反比例函数中的面积-【中考快车道】2026年中考数学总复习学生用书Word

微专题二　反比例函数中的面积 模型一　一点一垂线 模型展示 特点：三角形的一个顶点在双曲线上，另两个顶点在坐标轴上，且有一边平行于坐标轴． 结论1：①②由k的几何意义得S阴影＝，③④⑤⑥⑦⑧根据同底等高的三角形面积相等得S阴影＝． 【典例1】　(2024·齐齐哈尔)如图，反比例函数y＝(x＜0)的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B(－1，3)，S▱ABCO＝3，则实数k的值为________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [跟踪训练] 1．如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y＝(k为常数，k＞0，x＞0)的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连接OA．若△OAB的面积为，则k的值(　　) A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A，B在函数y＝(x>0)的图象上，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接OA，OB交AC于点E，若AE＝CE，四边形BECD的面积为3，则k的值为(　　) A．6 B．9 C．12 D．15 模型二　两点一垂线 模型展示 特点：三角形的两个顶点在双曲线的两个分支上，一边过原点，一边平行于坐标轴． 结论2：根据双曲线的中心对称性，结合k的几何意义得S阴影＝|k|． 【典例2】　如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于A，B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM，若S△ABM＝4，则k的值为(　　) A．－4 B．4 C．－8 D．8 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [跟踪训练] 3．如图，一直线经过原点O，且与反比例函数y＝相交于A，B两点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，连接BC，则△ABC面积为________． 模型三　两点两垂线　 模型展示 特点：(1)直角三角形的两锐角顶点在双曲线的两个分支上，斜边过原点，两直角边平行于坐标轴． (2)平行四边形的两个对角顶点在双曲线上，一条对角线在坐标轴上，另一条对角线过原点． 结论3：S阴影＝2|k|． 【典例3】　如图，在▱ABCD中，AB∥x轴，点B，D在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，若▱ABCD的面积是8，则k的值是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [跟踪训练] 4．如图，矩形ABCD的中心位于直角坐标系的坐标原点O，其面积为8，反比例函数y＝的图象经过点D，则m的值为(　　) A．2 　　　　 B．4 C．6 　　　　 D．8 5．如图，过原点O的直线交反比例函数y＝的图象于A，B两点，分别过A，B两点作x轴、y轴的垂线，相交于C点，已知△ABC的面积等于4，则k的值为(　　) A．－1 B．－2 C．－3 D．－4 模型四　两点与原点 基本图形 作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，S△OAM＝S直角梯形MEFB，S△AOB＝S直角梯形AEFB S△ABO＝S△ACO＋S△COD＋S△BDO 图形特征 (1)反比例函数与一次函数图象的两个交点在同支上，三角形的面积转化为对应梯形的面积； (2)反比例函数与一次函数图象的两个交点在异支上，三角形的面积转化为多个小三角形的面积之和 解题方法 符合此特征的图形，利用转换法或和差法解题 【典例4】　(2023·张家界)如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且AD＝AB，反比例函数y＝(k＞0)的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM．若△ODM的面积为3，则k的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [跟踪训练] 6．如图，已知一次函数y＝x＋4的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，若△ABO的面积等于8，则k的值是________． 模型五　与两个双曲线有关的面积(双k模型) 模型展示 结论4：①S△ABC＝S△OBC＝， ②S△AOB＝． 【典例5】　在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝(x<0)和反比例函数y＝(x<0)的图象如图所示，一条垂直于x轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于A，B两点，则△AOB的面积为(　　) A． B． C．m－n D．－m＋n [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [跟踪训练] 7．如图，点A在反比例函数y＝(x<0)的图象上，点B在反比例函数y＝－(x>0)的图象上，连接AB，AB与y轴交于点C，且AB∥x轴，D是x轴正半轴上一点．连接AD，BD，则△ABD的面积为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 8．如图，点A是函数y＝－(x<0)的图象上一点，AC⊥x轴于点C，与函数y＝－(x<0)的图象交于点B，连接OA，OB，则△OAB的面积为________． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题二　反比例函数中的面积 典例1　－6　[如图，延长AB交y轴于点D， ∵B(－1，3)，S▱ABCO＝3， ∴OC·OD＝3OC＝3， ∵四边形ABCO是平行四边形， ∴AB＝OC＝1， ∴AD＝2， ∴A(－2，3)， ∵点A在反比例函数图象上， ∴k＝－6．] 跟踪训练 1．A　[△AOB的面积为，所以k＝．故选A．] 2．C　[∵点A，B在反比例函数y＝的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴， ∴S△AOC＝S△BOD＝k， 又∵S四边形BECD＝S△BOD－S△EOC，S△AOE＝S△AOC－S△EOC， ∴S△AOE＝S四边形BECD＝3， ∵AE＝CE， ∴S△AOC＝2S△AOE＝2×3＝6， ∴k＝2S△AOC＝2×6＝12．故选C．] 典例2　A　[∵直线y＝mx与双曲线y＝交于A，B两点， ∴点A与点B关于原点对称， ∴S△OAM＝S△OBM， 而S△ABM＝4，∴S△OAM＝2， ∴＝2． ∵反比例函数图象在第二、四象限， ∴k＜0， ∴k＝－4．故选A．] 跟踪训练 3．2　[∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A，B两点， ∴A，B两点关于原点对称， ∴OA＝OB， ∴S△BOC＝S△AOC， ∵A是反比例函数y＝图象上的点，且AC⊥y轴于点C， ∴S△AOC＝＝×2＝1， ∴S△BOC＝S△AOC＝1， ∴S△ABC＝S△BOC＋S△AOC＝2，故答案为2．] 典例3　B　[连接OB， ∵▱ABCD的面积是8， ∴S△ABC＝S▱ABCD＝×8＝4，AB＝CD，AB∥CD， ∴点B，D横坐标互为相反数， ∴点B，D纵坐标也互为相反数， 又∵AB∥x轴，AB∥CD， ∴OA＝OC， ∴S△AOB＝S△ABC＝2， ∴k＝2S△AOB＝S△ABC＝4．故选B．] 跟踪训练 4．A　[∵矩形的中心为直角坐标系的原点O， 矩形ABCD的面积是8， 设D(x，y)，则4xy＝8， 即xy＝2， 又反比例函数的解析式为y＝， ∴m＝2．故选A．] 5．B　[由题意可知，A与B关于原点对称，且k＜0， 故可设A(a，b)，B(－a，－b)， 设BC与y轴交于点D，AC与x轴交于点E，如图， ∴△AOE与△BOD的面积都是－， ∵矩形OECD的面积为|ab|＝－k， △ABC的面积是4， ∴2×－k＝4， ∴k＝－2．故选B．] 典例4　C　[∵四边形OCBA是矩形， ∴AB＝OC，OA＝BC，设B点的坐标为(a，b)， ∵矩形OABC的对称中心M， ∴延长OM恰好经过点B，M， ∵点D在AB上，且 AD＝AB， ∴D，∴BD＝a， ∴S△BDM＝a×ab， ∵D在反比例函数的图象上， ∴ab＝k， ∵S△ODM＝S△AOB－S△AOD－S△BDM＝ab＝3， ∴ab＝16， ∴k＝ab＝4．故选C．] 跟踪训练 6．－6　[如图，直线AB交x轴于点D，交y轴于点C，作BF⊥y轴， 垂足为F，作AE⊥CD，垂足为点E，连接EF， 易得四边形BDEF和CAEF都是平行四边形， ∴DE＝BF，AE＝CF， 在△AED和△CFB中， ∴△AED≌△CFB(SAS)， ∴AD＝BC， 在直线y＝x＋4中，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝－8， ∴C(0，4)，D(－8，0)， ∴S△COD＝×4×8＝16， ∴S△ADO＝S△BOC＝4， ∵S△AOC＝＝12， ∴＝12，解得xA＝－6，xA＝6(舍去)， ∵S△ADO＝×OD×yA＝4，即×8×yA＝4，解得yA＝1， ∴A(－6，1)， ∵点A(－6，1)在反比例函数y＝的图象上， ∴k＝－6．] 典例5　B　[根据两个反比例函数图象可知，m＜0，n＞0， 由反比例函数k值几何意义可得，S△AOB＝＝．故选B．] 跟踪训练 7．B　[如图，过点A作AE⊥x轴交x轴于点E，过点B作BF⊥x轴交x轴于点F， ∵点A在反比例函数y＝(x<0)的图象上，点B在反比例函数y＝的图象上， ∴S矩形ACOE＝2，S矩形OCBF＝4， 则S矩形ABFE＝6， ∴AB·AE＝6， ∴S△ABD＝AB·AE＝3．故选B．] 8．2　[∵点A在反比例函数y＝－(x＜0)的图象上，且AC⊥x轴， ∴S△ACO＝＝3． 同理可得，S△BCO＝＝1， ∴S△OAB＝S△ACO－S△BCO＝3－1＝2．] 学科网（北京）股份有限公司 $