第1部分 第3章 第4节 二次函数的图象与性质-【中考快车道】2026年中考数学总复习学生用书Word

第四节　二次函数的图象与性质 链接教材 基础过关 梳理·必备知识 考点一 y＝ax2＋bx＋c 考点二 1．上　下　　－　减小　增大　增大　减小　　大　　2．向上　向下　左侧　y轴　右侧　y轴　正半轴　原点　负半轴　x轴　2　1　无 考点三 1．(1)y＝ax2＋bx＋c　(2)(h，k)　x＝h　2．加　减　加　减 考点四 1．>　＝　< 激活·基本技能 1．C　2．D　3．C　4．y＝2x2－3x＋5　5．y2＜y1＜y3 考点突破 对点演练 典例1　D　[∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(－1，4)， ∴二次函数图象的对称轴是直线x＝－1，故选项A错误； ∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的一个交点的横坐标是－3，对称轴是直线x＝－1， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝－1， ∴当x<－1时，y随x的增大而增大，故选项C错误； 设二次函数解析式为y＝a(x＋1)2＋4， 把(－3，0)代入，得0＝a(－3＋1)2＋4， 解得a＝－1， ∴y＝－(x＋1)2＋4， 当x＝0时，y＝－(0＋1)2＋4＝3， ∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确．故选D．] 对点演练 1．D　[∵函数图象与y轴交于负半轴， ∴当x＝0时，y＝c＜0，故①正确． 根据函数的图象可得，a－b＋c＝0，且9a＋3b＋c＝0， ∴8a＋4b＝0． ∴b＝－2a． ∴对称轴是直线x＝－＝1＞0，故②正确． ∵x＝－1或x＝3时，y＝0，且抛物线y＝ax2＋bx＋c开口向上， ∴当－1＜x＜3时，y＜0，故③正确．故选D．] 2．②③④　[如图所示， ∴当x＜－1时，x越小，函数值越大，故①错误； 当－1＜x＜0时，x越大，函数值越小，故②正确； 当0＜x＜1时，x越小，函数值越大，故③正确； 当x＞1时，x越大，函数值越大，故④正确．故答案为②③④．] 典例2　B　[①∵抛物线开口向下， ∴a<0． ∵抛物线的对称轴为直线x＝－＝－1， ∴b＝2a， 由题图可得x＝1时，y<0， 即a＋b＋c<0， 而b＝2a， ∴3a＋c<0，故①错误； ②∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线x＝－1， 故当x<－1时，y随x的增大而增大，当x>－1时，y随x的增大而减小， ∵|－1－(－4)|＝3，|－1－3|＝4， 即点(－4，y1)到对称轴的距离小于点(3，y2)到对称轴的距离，故y1>y2，故②正确； ③由题图可知，二次函数y＝ax2＋bx＋c与直线y＝－1有两个不同的交点， 即关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根，故③错误； ④∵函数图象经过(0，2)，对称轴为直线x＝－1， ∴二次函数必然经过点(－2，2)， ∴ax2＋bx＋c>2时x的取值范围为－2<x<0，故④正确． 综上，②④正确，故选B．] 对点演练 3．D　[由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x， 在－3＜x＜1的范围内，二次函数y＝－x2－x＋c的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在－3＜x＜1的范围内，二次函数y＝－x2－x＋c和y＝3x的图象至少有一个交点， 令3x＝－x2－x＋c，整理得，x2＋4x－c＝0， 则Δ＝b2－4ac＝16＋4c≥0，解得c≥－4， 把x＝－3代入y＝－x2－x＋c得y＝－6＋c，代入y＝3x得y＝－9， ∴－9＞－6＋c，解得c＜－3； 把x＝1代入y＝－x2－x＋c得y＝－2＋c，代入y＝3x得y＝3， ∴3＞－2＋c，解得c＜5， 综上，c的取值范围为－4≤c＜5．故选D．] 4．B　[由题意，∵对称轴是直线x＝1，a＜0， ∴当x＜1时，y随x的增大而增大． ∵－2＜－1，抛物线过点(－2，0)， ∴当x＝－1时y＝a－b＋c＞0，故①正确． ∵a＜0， ∴抛物线开口向下． 又点(－3，y1)，(2，y2)，(6，y3)均在该二次函数图象上，且点(6，y3)到对称轴的距离最大，点(2，y2)到对称轴的距离最小， ∴y3＜y1＜y2，②错误． ∵方程ax2＋bx＋c＋1＝0的两实数根为x1，x2， ∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝－1的交点的横坐标为x1，x2． 由抛物线对称性可得抛物线与x轴另一交点坐标为(4，0)， ∴抛物线与x轴交点坐标为(－2，0)，(4，0)， ∵抛物线开口向下，x1＜x2， ∴x1＜－2，x2＞4，故③正确． ∵－＝1， ∴b＝－2a． ∵4a－2b＋c＝0， ∴c＝2b－4a＝－8a， ∵抛物线的最大值为a＋b＋c， ∴若m为任意实数，则am2＋bm＋c≤a＋b＋c＝a－2a－8a＝－9a， ∴am2＋bm＋c≤－9a，故④正确．故选B．] 典例3　k≥3　[将抛物线y＝x2－6x＋12向下平移k个单位长度得y＝x2－6x＋12－k， ∵平移后得到的抛物线与x轴有公共点， ∴Δ＝b2－4ac≥0， ∴(－6)2－4×1×(12－k)≥0， 解得k≥3，故答案为k≥3．] 对点演练 5．A　[y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1， 将抛物线y＝x2＋2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为y＝(x＋1)2－3．故选A．] 6．＜　[∵y＝x2－2x＋1＝(x－1)2， ∴二次函数y＝x2－2x＋1的图象向左平移两个单位得到抛物线C的函数关系式为y＝(x－1＋2)2，即y＝(x＋1)2， ∵点P(2，y1)，Q(3，y2)在抛物线C上，∴y1＝9，y2＝16， ∴y1＜y2．] 典例4　解：(1)由题意，∵二次函数为y＝x2＋bx＋c， ∴抛物线的对称轴为直线x＝－． ∴b＝1． ∴抛物线为y＝x2＋x＋c． 又图象经过点A(－2，5)， ∴4－2＋c＝5． ∴c＝3． ∴二次函数的表达式为y＝x2＋x＋3． (2)由题意，∵点B(1，7)向上平移2个单位长度，向左平移m(m＞0)个单位长度， ∴平移后的点为(1－m，9)． 又(1－m，9)在y＝x2＋x＋3的图象上， ∴9＝(1－m)2＋(1－m)＋3． ∴m＝4或m＝－1(舍去)． ∴m＝4． (3)由题意，当n<－时， 最大值与最小值的差为5－[2＋]＝， ∴n＝－，不符合题意，舍去； 当－≤n≤1 时， 最大值与最小值的差为5－，符合题意； 当n＞1时，最大值与最小值的差为2＋，解得 n1＝1 或 n2＝－2，不符合题意． 综上所述，n的取值范围为－≤n≤1． 对点演练 7．D　[根据题意可知抛物线开口向上，又知顶点为(1，3)，根据抛物线的顶点式，故选D．] 8．y＝－x2＋2x＋3　[根据题意设抛物线解析式为y＝a(x＋1)(x－3)， 将点C(0，3)代入，得－3a＝3， 解得a＝－1， ∴y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．] 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四节　二次函数的图象与性质 考点一　二次函数的概念 一般地，形如________(a，b，c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 考点二　二次函数的图象与性质 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质 a>0 a<0 图象 开口方向 向____ 向____ 顶点坐标 __________ 对称轴 直线x＝________ 增减性 当x<－时，y随x的增大而____；当x>－时，y随x的增大而______ 当x<－时，y随x的增大而________；当x>－时，y随x的增大而______ 最值 当x＝－时，y有最小值______ 当x＝－时，y有最____值________ 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与系数的关系 a 决定抛物线的开口方向及开口大小： 当a＞0时，抛物线开口_____________________； 当a＜0时，抛物线开口_______________________ a，b 决定对称轴的位置： 当a，b同号时，－＜0，对称轴在y轴________； 当b＝0时，－＝0，对称轴为______； 当a，b异号时，－＞0，对称轴在y轴______ c 决定抛物线与____交点的位置： 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在______上； 当c＝0时，抛物线经过____； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在______上 b2－4ac 决定抛物线与____的交点个数： 当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有______个交点； 当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有______个交点； 当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴______交点 考点三　二次函数的表达式与平移 1．二次函数的表达式 (1)一般式：________(a，b，c为常数，a≠0)． (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是________，对称轴是直线________． (3)交点式：若已知抛物线与x轴的交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，则抛物线的表达式为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 2．抛物线的平移 抛物线平移前后的形状不变，开口方向和大小都不变，抛物线平移前后的顶点遵循“左____右____，上____下____”的规律． 考点四　二次函数与一元二次方程及不等式 1．二次函数与一元二次方程 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根． 当Δ＝b2－4ac________0时，方程有两个不等的实数根； 当Δ＝b2－4ac________0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ＝b2－4ac________0时，方程无实数根． 2．二次函数与不等式 抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴上方部分点的纵坐标都为正，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集． 1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是(　　) A．y＝x－1 B．y＝ C．y＝－2x2＋1 D．y＝(x－1)2－x2 2．已知函数y＝a(x－h)2＋k，其中a＜0，h＞0，k＜0，则下列图象正确的是(　　) 　　　 A　　　　　　　　B 　　　 C　　　　　　　　　D 3．(青岛版九下P49习题5.6T1改编)二次函数y＝2x2＋3x＋1的图象与x轴交点的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．1或2 4．(人教版九上P39探究改编)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时，y＝10；当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝7，则y与x之间的关系是__________． 5．若A(－1，y1)，B(－2，y2)，C(1，y3)为二次函数y＝x2＋4x－5图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是________． 命题点1　二次函数的图象与性质 【典例1】　(2024·贵州) 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是－3，顶点坐标为(－1，4)，则下列说法正确的是(　　) A．二次函数图象的对称轴是直线x＝1 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当x<－1时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　解答有关二次函数图象与性质的问题时，要抓住抛物线的对称轴、顶点坐标、开口方向，与x轴、y轴的交点，特殊点，对称点等；通常采用把已知点坐标代入函数表达式中找出a，b，c间的关系；通过对称轴x＝－，确定a，b之间的关系；判断与x轴的交点情况则利用判别式b2－4ac进行判断． [对点演练] 1．(2024·甘孜州)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象如图所示，给出下列结论：①c＜0；②－＞0；③当－1＜x＜3时，y＜0．其中所有正确结论的序号是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．(2023·临沂)小明利用学习函数获得的经验研究函数y＝x2＋的性质，得到如下结论： ①当x＜－1时，x越小，函数值越小； ②当－1＜x＜0时，x越大，函数值越小； ③当0＜x＜1时，x越小，函数值越大； ④当x＞1时，x越大，函数值越大． 其中正确的是________(只填写序号)． 命题点2　二次函数的图象与系数a，b，c的关系 【典例2】　(2023·聊城)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象经过点(0，2)，其对称轴为直线x＝－1．下列结论：①3a＋c>0；②若点(－4，y1)，(3，y2)均在二次函数图象上，则y1>y2；③关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个相等的实数根；④满足ax2＋bx＋c>2的x的取值范围为－2<x<0．其中正确结论的个数为(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [对点演练] 3．(2023·菏泽)若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A(1，3)，B(－2，－6)，C(0，0)等都是“三倍点”．在－3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝－x2－x＋c的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是(　　) A．－≤c＜1 B．－4≤c＜－3 C．－≤c＜6 D．－4≤c＜5 4．(2024·聊城二模)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象与x轴的一个交点坐标为(－2，0)，对称轴为直线x＝1，下列结论中：①a－b＋c＞0；②若点(－3，y1)，(2，y2)，(6，y3)均在该二次函数图象上，则y1＜y3＜y2；③方程ax2＋bx＋c＋1＝0的两个实数根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜－2，x2＞4；④若m为任意实数，则am2＋bm＋c≤－9a．正确结论的序号为(　　) A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③ 命题点3　二次函数图象的平移问题 【典例3】　(2024·济宁)将抛物线y＝x2－6x＋12向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　解决抛物线的平移问题，一般有两种解决方法，一是将问题转化为顶点的平移问题解决；二是直接利用抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”解决． [对点演练] 5．(2024·内蒙古包头)将抛物线y＝x2＋2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为(　　) A．y＝(x＋1)2－3 B．y＝(x＋1)2－2 C．y＝(x－1)2－3 D．y＝(x－1)2－2 6．(2024·四川内江)已知二次函数y＝x2－2x＋1的图象向左平移两个单位得到抛物线C，点P(2，y1)，Q(3，y2)在抛物线C上，则y1________y2(填“＞”或“＜”)． 命题点4　待定系数法求二次函数 表达式 【典例4】　(2024·浙江)已知二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点A(－2，5)，对称轴为直线x＝－． (1)求二次函数的表达式； (2)若点B(1，7)向上平移2个单位长度，向左平移m(m＞0)个单位长度后，恰好落在y＝x2＋bx＋c的图象上，求m的值； (3)当－2≤x≤n时，二次函数y＝x2＋bx＋c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． [对点演练] 7．(2024·曲阜一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点是(1，3)，当x＞1时，y随x的增大而增大，则抛物线解析式可以是(　　) A．y＝－2(x＋1)2＋3 B．y＝2(x＋1)2＋3　 C．y＝－2(x－1)2＋3 D．y＝2(x－1)2＋3 8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴、y轴分别相交于A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．则该二次函数的表达式是________． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $