第1部分 第3章 第2节 一次函数-【中考快车道】2026年中考数学总复习学生用书Word

第二节　一次函数 考点一　一次函数的定义 1．一次函数的定义：一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数． 2．正比例函数的定义：对于一次函数，当____时，一次函数就变为______(k≠0)，这时，称y是x的正比例函数． 考点二　正比例函数和一次函数的图象与性质 正比例函数 k的符号 k__0 k__0 图象的大体位置 经过的象限 第______象限 第______象限 性质 y随x的增大而____ y随x的增大而____ 一次函数 k，b的符号 k__0 b__0 k__0 b__0 k__0 b__0 k__0 b__0 图象的大体位置 经过的象限 第__________象限 第__________象限 第__________象限 第__________象限 性质 y随x的增大而____ y随x的增大而____ y随x的增大而____ y随x的增大而____ 考点三　确定一次函数的表达式 1．常用方法：待定系数法，其一般步骤为 (1)设：设函数表达式为________(k≠0)； (2)代：将____________代入函数表达式，解方程或方程组； (3)解：求出________的值，得到函数表达式． 2．常见类型 (1)已知两点确定表达式； (2)已知两对函数对应值确定表达式； (3)平移转化型：如已知函数是由y＝2x平移所得到的，且经过点(0，1)，则可设要求函数的表达式为y＝2x＋b，再把点(0，1)代入即可． 3．一次函数的平移 (1)一次函数图象平移前后k值不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同． (2)若向上平移h个单位长度，则b值增大h；若向下平移h个单位长度，则b值减小h. 考点四　一次函数与方程(组)、不等式的关系 1．一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象与x轴的交点的横坐标是方程________的解． 2．一次函数________与________的图象交点的横、纵坐标是方程组的解． 3．一次函数y＝kx＋b的值大于0，反映在图象上是指图象在x轴________的部分；一次函数y＝kx＋b的值小于0，反映在图象上是指图象在x轴________的部分． 考点五　一次函数应用的常见题型 1．根据实际问题中给出的数量关系直接列出相应的函数表达式，解决实际问题． 2．利用一次函数对实际问题中的方案进行比较． 3．结合实际问题的函数图象解决实际问题． 1．下列函数中，是一次函数的是(　　) A．y＝x2－2x－1　　　 B．y＝ C．y＝3x－5 D．y＝ 2．一次函数y＝kx－1(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，它的图象不经过的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃5 cm，则剩下长度y(cm)与燃烧时间t(h)之间的函数关系可用下列哪个图象表示(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D 4．(人教版八下P95练习T1改编)如图所示，一次函数y＝ax＋b的图象与x轴相交于点(2，0)，与y轴相交于点(0，4)，结合图象可知，关于x的方程ax＋b＝0的解是________． 5．(青岛版八下P152例1改编)如图，已知函数y＝ax＋b与函数y＝kx－3的图象交于点P(4，－6)，则不等式ax＋b≤kx－3的解集是________． 命题点1　一次函数的图象与性质 【典例1】　(2023·临沂)对于某个一次函数y＝kx＋b(k≠0)，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是(　　) A．k＞0 B．kb＜0 C．k＋b＞0 D．k＝－b [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　解决一次函数的图象与性质有关的问题，关键是明确一次函数y＝kx＋b中系数的作用：k的正负决定图象的倾斜方向及函数的增减性，|k|决定图象的倾斜程度．b决定图象与y轴的交点的位置(或图象的上下位置)． [对点演练] 1．(2024·四川德阳)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象如图所示，则k的值可能是(　　) A． B．－ C．－1 D．－ 2．(2024·山西)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在正比例函数y＝3x的图象上，若x1＜x2，则y1与y2的大小关系是(　　) A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．y1≥y2 命题点2　一次函数表达式的确定 【典例2】　(2023·济宁)一个函数过点(1，3)，且y随x增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [对点演练] 3．(2024·陕西)一个正比例函数的图象经过点A(2，m)和点B(n，－6)．若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为(　　) A．y＝3x B．y＝－3x C．y＝x D．y＝－x 4．已知直线y＝kx＋b与直线y＝2x＋6平行，且经过点(0，3)，那么该直线的表达式是________． 命题点3　一次函数与方程(组)、不等式之间的关系 【典例3】　如图，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点B(m，0)(m＞1)，与函数y＝2x的图象交于点A，则不等式kx＋b＜2x的解集为(　　) A．x＜2 B．x＜1 C．x＞1 D．x＞2 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax＋b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合． [对点演练] 5．(2024·广东)已知不等式kx＋b＜0的解集是x＜2，则一次函数y＝kx＋b的图象大致是(　　) 　 A　　　　　　　　B 　 C　　　　　　　　D 6．(2024·江苏扬州)如图，已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx＋b＝0的解为________． 命题点4　利用一次函数解决实际问题 【典例4】　(2023·聊城)甲乙两地相距a千米，小亮8：00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y(千米)与两人行驶时刻t(×时×分)的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为(　　) A．8：28 B．8：30 C．8：32 D．8：35 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　解此类问题的关键是结合题中信息读懂函数图象上关键点的实际意义，找出各个量之间的关系，获取相关信息，通过分析、计算得出所求问题的答案，常常用到待定系数法． [对点演练] 7．[图表信息题](2024·广东广州)一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系，部分数据如表： 脚长x cm … 23 24 25 26 27 28 … 身高y cm … 156 163 170 177 184 191 … (1)在图1中描出表中数据对应的点(x，y)； (2)根据表中数据，从y＝ax＋b(a≠0)和y＝(k≠0)中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式(不要求写出x的取值范围)； (3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8 cm，请根据(2)中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二节　一次函数 链接教材 基础过关 梳理·必备知识 考点一 2．b＝0　y＝kx 考点二 ＞　<　一、三　二、四　增大　减小　＞　＞　＞　<　< ＞　<　<　一、二、三　一、三、四　一、二、四　二、三、四　增大　增大　减小　减小 考点三 1．(1)y＝kx＋b　(2)已知点的坐标　(3)k与b 考点四 1．kx＋b＝0　2．y＝k1x＋b1　y＝k2x＋b2　3．上方　下方 激活·基本技能 1．C　2．A　3．B　4．x＝2　5．x≤4 考点突破 对点演练 典例1　C　[∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象不经过第二象限， ∴b≤0， 又∵函数图象经过点(2，0)， ∴图象经过第一、三、四象限， ∴k＞0，k＝－b， ∴kb＜0， ∴k＋b＝b＜0．故选C．] 对点演练 1．A　[由图象知，函数值y随x的增大而增大， ∴k＞0，∴k的值可能是．故选A．] 2．B　[因为正比例函数的解析式为y＝3x， 所以y随x的增大而增大． 又因为x1＜x2， 所以y1＜y2．故选B．] 典例2　y＝x＋2(答案不唯一)　[设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)． ∵一次函数y＝kx＋b的图象经过点(1，3)， ∴3＝k＋b， 又∵函数值y随自变量x的增大而增大， ∴k＞0， ∴k＝1，b＝2符合题意， ∴符合上述条件的函数解析式可以为y＝x＋2．故答案为y＝x＋2(答案不唯一)．] 对点演练 3．A　[∵点A(2，m)和点B(n，－6)关于原点对称， ∴m＝6， ∴点A的坐标为(2，6)． 设正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)， ∵点A(2，6)在正比例函数y＝kx的图象上， ∴6＝2k， 解得k＝3， ∴正比例函数的表达式为y＝3x．故选A．] 4．y＝2x＋3　[∵直线y＝kx＋b与直线y＝2x＋6平行， ∴k＝2，b≠6． ∵直线y＝2x＋b过点(0，3)， ∴b＝3．故直线的表达式为y＝2x＋3．] 典例3　C　[在y＝2x中，令y＝2时，则2x＝2， ∴x＝1，∴A(1，2)， 由题图可得，不等式kx＋b＜2x的解集为x＞1．故选C．] 对点演练 5．B　[A．不等式kx＋b＜0的解集是x＞－2，故本选项不符合题意； B．不等式kx＋b＜0的解集是x＜2，故本选项符合题意； C．不等式kx＋b＜0的解集是x＜－2，故本选项不符合题意； D．不等式kx＋b＜0的解集是x＞2，故本选项不符合题意．故选B．] 6．x＝－2　[∵OA＝2， ∴一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴相交于点A(－2，0)，∴关于x的方程kx＋b＝0的解为x＝－2．] 典例4　A　[令小亮出发时对应的t值为0，小莹出发时对应的t值为10，则小亮到达乙地时对应的t值为70，小莹到达甲地时对应的t值为40， 设小亮对应的函数图象的解析式为y1＝k1t(k1≠0)， 将(70，a)的坐标代入解析式得a＝70k1，解得k1＝， ∴小亮对应的函数图象的解析式为y1＝t(0≤t≤70)， 设小莹对应的函数图象的解析式为y2＝k2t＋b(k2≠0)， 将(10，a)，(40，0)的坐标代入解析式得 解得 ∴小莹对应的函数图象的解析式为y2＝－a， 令y1＝y2，得a， 解得t＝28，∴小亮与小莹相遇的时刻为8：28，故选A．] 对点演练 7．解：(1)描点如图所示． (2)∵y＝(k≠0)转化为k＝xy＝23×156≠24×163≠25×170≠…， ∴y与x的函数不可能是y＝，故选一次函数y＝ax＋b(a≠0)，将点(23，156)，(24，163)代入解析式，得 解得 ∴一次函数的解析式为y＝7x－5． (3)当x＝25.8时，y＝7×25.8－5＝175.6(cm)． 答：脚长约为25.8 cm时，估计这个人的身高为175.6 cm． 学科网（北京）股份有限公司 $