第1部分 第1章 第1节 实数及其运算-【中考快车道】2026年中考数学总复习学生用书Word

第一节　实数及其运算 考点一　实数的有关概念 1．数轴 (1)概念：规定了________、________和________的直线叫做数轴． (2)特征：实数与数轴上的点是________的，数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的________． 2．相反数 (1)概念：只有________不同的两个数叫做互为相反数． (2)代数意义：a，b互为相反数⇔a＋b＝________． (3)几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离________． 3．绝对值 (1)几何意义：数轴上表示这个数的点到原点的________． (2)运算性质：|a|＝ (3)非负性：|a|≥0，若|a|＋b2＝0，则a＝b＝________． (4)若|x|＝a(a≥0)，且x＝±a. 4．倒数 (1)概念：乘积是1的两个数互为倒数． (2)代数意义：ab＝1⇔a，b互为倒数． 考点二　实数的分类及大小比较 1．实数的分类 注意：(1)有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数． (2)无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数是无理数． 2．实数的大小比较 (1)________大于0，0大于________，正数大于负数． (2)两个负数，绝对值大的反而________． 考点三　平方根、算术平方根和立方根 1．平方根 (1)定义：一般地，如果一个数x的________等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根． (2)性质：一个正数有__________平方根，它们互为相反数；0的平方根是__________；负数________平方根． (3)正数a的平方根记作“________”． 2．算术平方根 (1)定义：一般地，如果一个正数x的______等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记作“________”． (2)性质：正数和零的算术平方根都只有________个，0的算术平方根是________. 3．立方根 (1)定义：一般地，如果一个数x的________等于a，那么这个数叫做a 的立方根或a 的三次方根． (2)一个正数有一个________的立方根；一个负数有一个________的立方根；零的立方根是________． 考点四　科学记数法与近似数 1．科学记数法 一般的，把一个大于10的数表示成________的形式，其中1≤a<10，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法． 2．近似数 (1)定义：一个与实际数值很接近的数． (2)精确度：________到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位． 考点五　实数的运算 1．实数混合运算时，先算________、________，再算________，最后算________；有括号，先算________内的运算，按小括号、中括号、大括号进行；同级运算按照________的顺序进行． 2．计算时，可以结合运算律，使问题简单化． 1．(青岛版七上P30练习T1改编)如果水位下降0.3 m时水位变化记作－0.3 m，那么水位不升不降时水位变化记作(　　) A．＋0.3 m B．－0.3 m C．0 m D．±0.3 m 2．在实数－，0.31，，0.100 100 01中，无理数的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3．(人教版七下P47习题6.1T3改编)9的平方根是(　　) A．±3 B．－3 C．3 D．± 4．某课外阅读读物总字数约计1 655 000，用科学记数法可将1 655 000表示为(　　) A．1 655×103 B．1.655×106 C．16.55×105 D．0.165 5×107 5．一批食品，标准质量为每袋454 g．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是(　　) A．＋7 B．－5 C．－3 D．10 6．(人教版七上P11练习T1改编)下列各数中，绝对值最小的数是(　　) A．－10 B．－ C．1 D． 7．计算：(－1)2 025－＝________． 命题点1　实数的有关概念 【典例1】　(2023·菏泽)实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是(　　) A．c(b－a)＜0 B．b(c－a)＜0 C．a(b－c)＞0 D．a(c＋b)＞0 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [对点演练] 1．已知实数a＝|－2 024|，则实数a的倒数为(　　) A．2 024 B． C．－2 024 D．－ 2．下列等式中不成立的是(　　) A．|－5|＝5 B．－|5|＝－|－5| C．|－5|＝|5| D．－|－5|＝5 命题点2　实数的分类及大小比较 【典例2】　(2023·济宁)实数π，0，－，1.5中无理数是(　　) A．π B．0 C．－ D．1.5 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　常见的四种无理数的形式 (1)特定结构的数，如：0.101 001 000 1…(两个1之间依次多一个0)． (2)化简后含π的数，如：2π等． (3)开方开不尽的数，如：等． (4)某些三角函数的值，如：tan 30°等． 【典例3】　(2024·山东)下列实数中，平方最大的数是(　　) A．3 B． C．－1 D．－2 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　实数比较大小的几种常用方法 (1)数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大． (2)求差比较：设a，b是实数，a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b. (3)求商比较：设a，b是两正实数，>1⇔a>b；＝1⇔a＝b；<1⇔a<b. (4)绝对值比较：设a，b是两负实数，则|a|>|b|⇔a<b. (5)平方法：设a，b是两负实数，则a2>b2⇔a<b. [对点演练] 3．下列实数为无理数的是(　　) A． B． C．0.22… D．－5 4．在实数－1，－中，最小的实数是(　　) A．－1 B． C．0 D．－ 5．若a，b为有理数，a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　) A．－b＜a＜b＜－a B．b＜－b＜a＜－a C．a＜－b＜b＜－a D．a＜b＜－b＜－a 命题点3　平方根、算术平方根与立 方根 【典例4】　(2024·广东)完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是(　　) A．2 B．5 C．10 D．20 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　平方根等于它本身的数是0；算术平方根等于它本身的数是0和1；立方根等于它本身的数是－1，0和1. [对点演练] 6．(典例4变式)[易错题]的算术平方根是(　　) A．10 B．±10 C． D．± 7．(2024·四川内江)16的平方根是(　　) A．2 B．－4 C．4 D．±4 8．(2024·青海)－8的立方根是________． 命题点4　科学记数法与近似数 【典例5】　(2024·山东)2023年山东省扎实落实民生实事，全年新增城乡公益性岗位61.9万个，将61.9万用科学记数法表示应为(　　) A．0.619×103 B．61.9×104 C．6.19×105 D．6.19×106 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　科学记数法的形式为a×10n(1≤|a|<10，n为整数)，其中a只能有一位非零的整数位． (1)当原数绝对值很大时，n是正整数且n等于原数的整数位数减1. (2)当原数绝对值很小(小于1)时，n是负整数，它的绝对值是最左边的非零数字左边的0的个数(包括小数点前面的0)． [对点演练] 9．(2024·河南)据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达5 784亿元，数据“5 784亿”用科学记数法表示为(　　) A．5 784×108 B．5.784×1010 C．5.784×1011 D．0.5784×1012 10．某芯片采用了最新的0.000 000 007米的工艺制程，数据0.000 000 007用科学记数法表示为(　　) A．7×10-9 B．7×10-8　 C．0.7×10-9 D．0.7×10-8 11．(2024·济宁)我国自主研发的500 m口径球面射电望远镜(FAST)有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为250 000 m2.将数250 000用科学记数法表示为__________． 命题点5　实数的运算 【典例6】　(2023·济宁)计算：－2cos 30°＋＋2-1. [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　在有关绝对值的运算中，一定要确定好每一步的符号换算，保证结果正确． [对点演练] 12．(2023·菏泽)计算：＝__________． 13．(2024·山东)计算：. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一节　实数及其运算 链接教材 基础过关 梳理·必备知识 考点一 1．(1)原点　正方向　单位长度　(2)一一对应　大　2．(1)符号　(2)0　(3)相等　3．(1)距离　(2)a　－a　(3)0 考点二 1．0　负分数　2．(1)正数　负数　(2)小 考点三 1．(1)平方　(2)两个　0　没有　(3)±　2．(1)平方　 (2)一　0　3．(1)立方　(2)正　负　零 考点四 1．a×10n　2．(2)四舍五入 考点五 1．乘方　开方　乘除　加减　括号　从左到右 激活·基本技能 1．C　2．B　3．A　4．B　5．C　6．B　7．－2 考点突破 对点演练 典例1　C　[由数轴可得a＜0＜b＜c， 则b－a＞0，c－a＞0，b－c＜0，c＋b＞0， 那么c(b－a)＞0，b(c－a)＞0，a(b－c)＞0，a(c＋b)＜0， 则A，B，D均不符合题意，C符合题意，故选C．] 对点演练 1．B　[a＝|－2 024|＝2 024，2 024的倒数为，故选B．] 2．D　[－|－5|＝－5，故选D．] 典例2　A　[根据无限不循环小数是无理数可得，π是无理数．故选A．] 典例3　A　[∵32＝9，，(－1)2＝1，(－2)2＝4， 而<1<4<9， ∴平方最大的数是3．故选A．] 对点演练 3．B　[A．是有理数，不符合题意； B．是无理数，符合题意； C．0.22…是有理数，不符合题意； D．－5是有理数，不符合题意．故选B．] 4．D　[∵>0>－1>－， ∴在实数－1，－中，最小的实数是－．故选D．] 5．C　[法一：∵a＜0，b＞0，且|a|＞|b|， ∴－a＞0，－b＜0，－a＞b， ∴a＜－b， ∴a＜－b＜b＜－a．故选C． 法二：(特殊值法)∵a＜0，b＞0，且|a|＞|b|， ∴令a＝－2，b＝1， ∴－a＝2，－b＝－1． ∵－2＜－1＜1＜2， ∴a＜－b＜b＜－a．故选C．] 典例4　B　[根据题意，得＝5， 则正方形的边长为5．故选B．] 对点演练 6．C　[∵＝10，10的算术平方根是， ∴的算术平方根是，故选C．] 7．D　[∵(±4)2＝16， ∴16的平方根是±4，故选D．] 8．－2　[∵(－2)3＝－8， ∴－8的立方根是＝－2．] 典例5　C　[61.9万＝619 000＝6.19×105，故选C．] 对点演练 9．C　[5 784亿＝578 400 000 000＝5.784×1011．故选C．] 10．A　[0.000 000 007＝7×0.000 000 001＝7×10-9．故选A．] 11．2.5×105　[250 000＝2.5×105，故答案为2.5×105．] 典例6　解：－2cos 30°＋＋2-1 ＝2 ＝2 ＝． 对点演练 12．1　[＋2sin 60°－2 0230 ＝2－－1 ＝2－－1 ＝1．故答案为1．] 13．解：原式＝2＋＝3． 学科网（北京）股份有限公司 $