专题04：圆（计算专项训练）数学人教版六年级上册

该小学数学“圆”专题复习讲义通过知识框架系统梳理了圆的认识、周长、面积及扇形等核心内容，以图文结合的方式呈现圆心、半径等概念及公式推导过程，用易错点提示表归纳“半圆周长漏加直径”等常见问题，构建清晰的知识脉络。 讲义亮点在于分层题型设计，如“组合图形周长计算”典型例题结合跟踪训练，引导学生用转化法拆分图形，培养几何直观与推理意识。每个知识点配套答题思路和变式练习，基础学生可掌握公式应用，优秀学生能深化空间观念，助力教师精准教学与学生自主复习。

专题04：圆 知识点01：圆的认识 1、圆的各部分名称 （1）圆心：圆中心的一点叫做圆心，一般用字母O表示。 （2）半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示。 （3）直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d表示。 2、圆的特征 （1）圆具有对称性，圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴。 （2）在同圆或等圆中，半径的长度都相等，直径的长度都相等，直径的长度是半径长度的2倍。d＝2r，或r＝d。 3、用圆规画圆的方法 （1）先把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离； （2）再把带有针尖的一只脚固定在一点上； （3）然后把装有铅笔的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 易错点提示： （1）同一圆内“半径与直径的关系”不适用不同圆：d=2r仅在“同一个圆或等圆”中成立，若两个圆大小不同（半径不同），则直径与半径的2倍关系不成立。 （2）画圆时“圆规两脚距离”的准确性：画指定半径的圆时，圆规两脚间距离需严格等于半径长度，避免因距离偏差导致圆的大小错误；旋转圆规时需保持圆心固定，防止圆心偏移。 （3）理解“圆的对称性”：圆的对称轴是“直径所在的直线”，且对称轴有无数条。 知识点02：圆的周长 1、圆的周长：围成圆的曲线的长叫做圆的周长。一般用字母C表示。 2、测量方法：滚动法、绕绳法、直接测量法。 3、圆周率：圆的周长和它的直径的比值叫做圆周率。一般用字母π表示。在计算时，一般保留两位小数，即π≈3.14。 4、圆的周长计算公式： ，或。 5、半圆的周长：，或。 6、圆周长的一半： 。 易错点提示： （1）圆周率（π）的取值规范：计算时需按题目要求取π的值（如题目未说明，默认取 3.14），且π是比值，无单位，不能说“π=3.14cm”。 （2）公式的灵活运用：已知半径求周长时，需先算“2r”再乘π（即C=2πr），避免漏乘2；已知周长求半径时，需先除以π再除以2，避免顺序颠倒。 （3）解决“组合图形周长”的关键：涉及半圆、圆环或与其他图形组合的周长时，需明确“周长包含哪些部分”（如半圆的周长=圆周长的一半+直径，不是仅圆周长的一半），避免漏算关键线段或曲线。 知识点03：圆的面积 1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积，一般用字母S表示。 2、圆的面积公式的推导：把一个圆切成若干偶数等分，拼成一个长方形。 拼成的长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。 3、圆的面积计算公式：S= 4、半圆的面积： ÷2 5、圆环： （1）两个半径不相等的同心圆之间的部分叫做圆环，也叫做环形。 （2）计算公式： ，或 。 易错点提示： 圆环面积的计算关键：计算圆环面积时，需先明确“外圆半径（R）” 和“内圆半径（r）”，不能用“外圆直径减内圆直径”再算半径；且公式π（R2−r2）需先算“R²-r²”，再乘π，避免先“R-r”再平方。 知识点04：扇形 1、弧的认识： 圆上A、B两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。 2、扇形的意义： 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 3、顶点在圆心的角叫做圆心角。 4、扇形的大小和半径的长短、圆心角的大小有关。 易错点提示： （1）扇形的“构成条件”：扇形必须同时满足“由两条半径和一条弧围成”且“两条半径的顶点在圆心”两个条件，缺一不可。 （2）圆心角的“取值范围”：圆心角的度数不能大于360°，也不能小于0°；特殊扇形的圆心角需牢记（如半圆对应的扇形圆心角180°，四分之一圆对应的扇形圆心角90°）。 （3）扇形周长的“完整计算”：扇形周长不是“仅弧长”，而是“弧长加两条半径的长度”，避免漏加两条半径。 题型1 圆的周长 题型特征： 1、圆的周长：围成圆的曲线的长叫做圆的周长。一般用字母C表示。 2、圆的周长计算公式： ，或。 典型例题：（24-25六年级下·广东汕头·期末）计算这个图形的周长。 解题思路：图形的周长是指这个图形一周的长度和，本题图中的周长包括中间长方形的两个长，左右两个圆周长一半，合在一起是2个长方形的长加一个圆的周长，圆的周长＝。 跟踪训练1：（24-25六年级上·贵州黔东南·期末）（如图）已知正方形边长是4cm。求阴影部分周长。 跟踪训练2：（23-24六年级上·河南周口·期末）求阴影部分的周长。 题型2 半圆的周长 题型特征： 半圆的周长：，或。 典型例题：（22-23六年级上·河北邯郸·期末）求下面图形中阴影部分的周长。（单位：厘米） 解题思路：阴影部分的周长＝大圆周长的一半＋小圆周长的一半＋大圆半径，根据半圆的周长＝πr＋2r，代入数据解答即可。 跟踪训练1：（23-24六年级上·湖北黄冈·期末）求阴影部分的周长。（单位：cm） 跟踪训练2：（24-25六年级上·河北张家口·期末）求阴影部分的周长。 题型3 圆的周长的应用 典型例题：（24-25六年级下·河北承德·期末）求图中阴影部分的周长。 解题思路：阴影部分的周长由长方形的两条长、一条宽以及圆周长的一半组成。长方形的长为33cm，两条长的长度为33×2＝66（cm）。长方形的宽为20cm。圆的直径等于长方形的宽，即是20cm，根据半圆的周长公式C＝πd÷2（π取3.14，d为直径），则半圆周长为（3.14×20÷2）cm。阴影部分的周长为：（66＋20＋31.4）cm，据此计算即可 跟踪训练1：（24-25六年级下·重庆忠县·期中）圆的周长是厘米，求阴影部分面积 跟踪训练2：（23-24六年级上·河北邯郸·期中）求如图中阴影部分的周长。 题型4 含圆的组合图形的周长 典型例题：（2024·甘肃兰州·小升初真题）求图中阴影部分的周长。 解题思路：阴影部分的两侧可以拼成一个完整的圆，圆的直径为4，上下为正方形的边长，用圆的周长加上下2条边长即可。 跟踪训练2：（24-25六年级上·海南海口·期末）求出下面阴影部分的周长。 题型5 圆的面积 题型特征： 1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积，一般用字母S表示。 2、圆的面积公式的推导：把一个圆切成若干偶数等分，拼成一个长方形。 拼成的长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。 3、圆的面积计算公式：S= 4、半圆的面积： ÷2 典型例题：（24-25六年级上·广东揭阳·期中）求图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 跟踪训练1：（25-26六年级上·广东中山·期中）根据题中所给数字求出空白部分的面积。（长度单位：厘米） 跟踪训练2：（24-25六年级上·河南许昌·期中）求下面图形阴影部分的面积。（单位为厘米） 题型6 圆的面积的应用 题型特征： 典型例题：（2025·海南·小升初真题）求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 解题思路：图中阴影部分的面积等于直径为8厘米的半圆面积减去白色等腰直角三角形的面积。由图可知白色等腰直角三角形的两条直角边等于半圆的半径，根据三角形的面积公式：，可求出白色等腰直角三角形的面积；根据圆的面积公式，可求出直径为8厘米的圆的面积，再除以2，可求出直径为8厘米的半圆面积，最后将半圆面积减去白色等腰直角三角形的面积，即可求出阴影部分的面积。 跟踪训练1：（24-25六年级上·广东梅州·期中）求下图中阴影部分的周长和面积。（单位：厘米） 跟踪训练2：（2025·福建龙岩·小升初真题）计算下面阴影部分的面积。（π＝3.14） 题型7 圆环的面积 题型特征： （1）两个半径不相等的同心圆之间的部分叫做圆环，也叫做环形。 （2）计算公式： ，或 。 典型例题：（23-24六年级上·新疆乌鲁木齐·期末）求阴影部分面积（单位：厘米）。 解题思路：左图：阴影部分是圆环，已知外圆半径是6厘米，内圆半径是4厘米，然后根据圆环面积公式“S＝π（R2－r2）”计算出阴影部分圆环的面积； 右图：已知长方形长12厘米、宽8厘米，根据“长方形面积＝长×宽”计算出长方形面积；已知左上角空白三角形底12厘米，高8厘米，右下角空白三角形底是12－6＝6（厘米），高是8－2＝6（厘米），根据“三角形面积＝底×高÷2”分别计算出两个空白三角形的面积；最后用长方形面积减去两个空白三角形面积即可。 跟踪训练1：（24-25六年级下·湖南湘西·期末）如图：求圆环的面积。 跟踪训练2：（2025六年级下·新疆·专题练习）求阴影部分的面积。 题型8 求最大面积 典型例题：（23-24六年级上·河南信阳·期末）如图所示是一个半圆（直径为4厘米），在这个半圆中画一个面积最大的三角形，这个三角形的面积是( )平方厘米。 解题思路：面积最大的三角形的底是圆的直径，高是圆的半径，根据三角形的面积＝底×高÷2求出三角形的面积即可。 跟踪训练1：（21-22六年级上·湖南张家界·期末）同学们用同样长的三根绳子分别围成长方形、正方形、圆形，其中面积最大的是（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．圆形 D．无法确定 跟踪训练2：（24-25六年级上·江西赣州·期末）用两根长25.12厘米的铁丝分别围成一个正方形和一个圆，它们围出的面积（    ）。 A．圆大 B．正方形大 C．一样大 题型9 含圆的组合图形的面积 典型例题：（25-26六年级上·河南商丘·阶段练习）求下图中阴影部分的面积。（π取3.14） 解题思路：左图：通过割补法，可将右边的阴影部分移到左边，此时阴影部分是一个三角形。该三角形的底是8cm，高是半圆的半径，由图可知半圆的直径为8cm，则半径（阴影部分的高）为8÷2＝4cm，根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，把底8cm，高4cm代入计算即可。 右图：大半圆的直径为10dm，则大半圆的半径为10÷2＝5dm；小圆的直径等于大半圆的半径，即小圆直径为5dm，所以小圆的半径为5÷2＝2.5dm。根据圆的面积公式S＝πr2，大半圆的面积为3.14×52÷2＝39.25dm2。小圆的面积为3.14×2.52＝3.14×6.25＝19.625dm2。然后用大半圆面积减去小圆面积即可得出阴影部分面积。 跟踪训练1：（24-25六年级上·河北·期中）计算下面图形中涂色部分的面积。 跟踪训练2：（24-25六年级上·河北·期中）下图中，正方形的边长都是10cm。请你比较一下，下边各图阴影部分面积和左边第一个阴影部分面积相等的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 题型10 方中圆和圆中方的面积问题 典型例题：（24-25六年级上·广东梅州·期中）如图：如果图1中的外面正方形面积是16dm2，则内圆面积是( )dm2；如果图2中的外圆面积是12.56dm2，则圆内正方形面积是( )dm2。 解题思路：图1：根据正方形面积求出边长，也就是内圆直径，根据求内圆面积。图2：根据求出外圆半径，连接正方形对角线，得到两个面积相等的三角形，三角形的底边是直径长，高是半径长，那么正方形面积根据计算解答。 跟踪训练1：（24-25六年级下·天津蓟州·期末）如果如图三幅图中的大正方形的面积相等，那么阴影部分的面积相比，结果是（    ）。 图1 图2 图3 A．图1面积大 B．图2面积大 C．图3面积大 D．一样大 跟踪训练2：（24-25六年级上·全国·单元测试）已知正方形ABCD的边长为10厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆，再将对边中点用直线连接起来得下图，那么，图中阴影部分的总面积是多少？ 题型11 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 典型例题：（24-25六年级上·河南驻马店·期中）如图，三角形是等腰三角形，图中涂色部分和空白部分的面积比较，（    ）。 A．涂色部分的面积大 B．空白部分的面积大 C．面积一样大 解题思路：如图： 把涂色部分③移到下面空白部分②的位置，会发现涂色部分的面积为②与④的面积和，即为等腰三角形面积的一半；而空白部分的面积由①和②组成，①为等腰三角形面积的一半。据此解答即可。 跟踪训练1：（2025·浙江宁波·小升初真题）计算图中的阴影部分面积。（π取3.14） 跟踪训练2：（24-25六年级下·重庆大足·期末）求阴影部分的面积。（单位：cm） 题型12 弧、圆心角、扇形的认识 题型特征： 1、弧的认识： 圆上A、B两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。 2、扇形的意义： 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 3、顶点在圆心的角叫做圆心角。 4、扇形的大小和半径的长短、圆心角的大小有关。 典型例题：（2025·河北衡水·小升初真题）求出下图中阴影部分的面积。 解题思路：先求出梯形的面积，再求出扇形的面积，最后用梯形面积减去扇形面积得到阴影部分面积。梯形的面积公式为S＝（a＋b）h÷2（a、b为上底和下底，h为高）。由图可知，梯形的上底为4cm，下底为7cm，高为4cm，则梯形面积为：（4＋7）×4÷2＝22（cm2）。扇形的面积公式为S＝（n为圆心角的度数，r为半径，π取3.14）。由图可知，扇形的圆心角n＝90°，半径为4cm，则扇形面积为：＝12.56（cm2）。然后用梯形面积减去扇形面积即可。 跟踪训练1：（24-25六年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆中阴影部分面积与空白部分面积之比是1∶5。那么，阴影部分的圆心角( )°，如果弧AB长3.14cm，那么这个圆的半径是( )cm。 跟踪训练2：（24-25六年级上·全国·单元测试）如图，将半圆AEB绕A点逆时针旋转得到半圆ADC，B点移动到C点，阴影部分的面积是多少平方厘米？ 题型13 扇形的周长和面积 典型例题：（2025·湖北襄阳·小升初真题）A、B分别是两个扇形的圆心，两个阴影部分的面积差是多少平方厘米？ 解题思路： 由图可知，大阴影部分的面积＝半径为4厘米圆面积的－①的面积－②的面积，小阴影部分的面积＝长方形的面积－①的面积，则两个阴影部分的面积差＝大阴影部分的面积－小阴影部分的面积＝（半径为4厘米圆面积的－①的面积－②的面积）－（长方形的面积－①的面积）＝半径为4厘米圆面积的－①的面积－②的面积－长方形的面积＋①的面积＝半径为4厘米圆面积的－②的面积－长方形的面积，据此解答。 跟踪训练1：（2025·辽宁鞍山·小升初真题）图中四边形是平行四边形，以为直径的半圆经过点，是圆心，求阴影部分面积。 跟踪训练2：（23-24六年级下·浙江杭州·期末）求阴影部分的面积。 题型1 圆的周长 典型例题： 【详解】43.5×2＋3.14×30 ＝87＋94.2 ＝181.2（米） 所以，这个图形的周长是181.2米。 跟踪训练1： 【答案】25.12cm 【分析】观察图形可知，阴影部分周长等于直径是4cm圆的周长的一半×4，根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×4÷2×4 ＝12.56÷2×4 ＝6.28×4 ＝25.12（cm） 阴影部分周长是25.12cm。 跟踪训练2： 【答案】22.28m 【分析】根据图片，阴影部分的周长为长方形的两条长加上该长方形的一条宽，再加上圆周长的一半，圆的周长公式为：C＝πd，该长方形长为6m，宽为4m，该圆直径为4m，将数据代入求值即可。 【详解】由分析可得： 4＋6＋6＋3.14×4÷2 ＝10＋6＋12.56÷2 ＝16＋6.28 ＝22.28（m） 所以阴影部分周长为22.28m。 题型2 半圆的周长 典型例题： 【详解】3.14×（2×4）÷2＋3.14×4÷2＋4 ＝3.14×8÷2＋12.56÷2＋4 ＝25.12÷2＋6.28＋4 ＝12.56＋6.28＋5 ＝18.84＋4 ＝22.84（厘米） 阴影部分的周长是22.84厘米。 跟踪训练1： 【答案】33.12cm 【分析】观察图形可知，阴影部分的周长＝半径为4cm的圆周长的一半＋一条半圆直径＋直径为4cm的圆周长，其中圆的周长公式C＝2πr或C＝πd，代入数据计算求解。 【详解】2×3.14×4÷2＋4×2＋3.14×4 ＝12.56＋8＋12.56 ＝33.12（cm） 阴影部分的周长是33.12cm。 跟踪训练2： 【答案】20.56厘米 【分析】阴影部分的周长由一条8厘米的直线和两条圆形周长的组成，即阴影部分的周长等于8加半径为4厘米的圆周长的一半，据圆的周长公式，可知圆周长的一半等于，代入数据计算即可。 【详解】 （厘米） 题型3 圆的周长的应用 典型例题： 【详解】33×2＝66（cm） 3.14×20÷2 ＝62.8÷2 ＝31.4（cm） 66＋20＋31.4 ＝86＋31.4 ＝117.4（cm） 阴影部分的周长为117.4cm。 跟踪训练1： 【答案】13.5平方厘米 【分析】阴影部分是一个直角梯形，根据梯形的面积公式＝（上底＋下底）×高÷2，要求出上底和高的长度，由图可知上底和高都是圆的半径，所以由圆的周长求出圆的半径，代入到梯形的面积公式即可。 【详解】，设圆的半径为。 由圆的周长公式 （厘米） 阴影部分面积： （平方厘米） 答：阴影部分面积为13.5平方厘米。 跟踪训练2： 【答案】25.12cm 【分析】观察图形可知，阴影部分的周长＝半径为4cm的圆的周长的一半＋2个直径为4cm的圆的周长的一半，根据圆的周长公式C＝2πr、C＝πd，代入数据计算求解。 【详解】2×3.14×4÷2＋3.14×4÷2×2 ＝12.56＋12.56 ＝25.12（cm） 阴影部分的周长是25.12cm。 题型4 含圆的组合图形的周长 典型例题： 【详解】3.14×4＋4×2 ＝12.56＋4×2 ＝12.56＋8 ＝20.56 所以阴影部分的周长为20.56。 跟踪训练1： 【答案】18.84厘米 【分析】观察图形可知，阴影部分的周长由三部分组成，其中一部分为半径是3厘米的半圆弧，另外两部分是直径为3厘米的半圆弧，即相当于直径是3厘米的一个圆，根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2＝π×直径，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×3×2÷2＋3.14×3 ＝9.42×2÷2＋9.42 ＝18.84÷2＋9.42 ＝9.42＋9.42 ＝18.84（厘米） 阴影部分周长是18.84厘米。 跟踪训练2： 【答案】87.92厘米 【分析】观察图形可知，阴影部分的周长＝直径是28厘米的圆的周长的一半＋直径是（28÷2）厘米的圆的周长，根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×28÷2＋3.14×（28÷2） ＝87.92÷2＋3.14×14 ＝43.96＋43.96 ＝87.92（厘米） 阴影部分周长是87.92厘米。 题型5 圆的面积 典型例题： 【答案】6.72平方厘米 【分析】观察图形可知，阴影部分的面积＝梯形的面积－半圆的面积，根据梯形的面积公式S＝（a＋b）h÷2，圆的面积公式S＝πr2÷2，代入数据计算，求出阴影部分的面积。 【详解】2×2＝4（厘米） （4＋9）×2÷2 ＝13×2÷2 ＝13（平方厘米） 3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝6.28（平方厘米） 13－6.28＝6.72（平方厘米） 阴影部分的面积是6.72平方厘米。 跟踪训练1： 【答案】15.44平方厘米 【分析】由图可知，空白部分的面积＝梯形的面积－扇形的面积。圆的半径就是梯形的上底和高，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2可计算梯形的面积；扇形面积＝圆的面积，根据圆的面积＝πr2（r为圆的半径）先求圆的面积，再求扇形的面积即可。据此可求空白部分的面积。 【详解】（4＋10）×4÷2 ＝14×4÷2 ＝56÷2 ＝28（平方厘米） 3.14×42× ＝3.14×16× ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 28－12.56＝15.44（平方厘米） 所以空白部分的面积是15.44平方厘米。 跟踪训练2： 【答案】2.86平方厘米；4.56平方厘米 【分析】第一个图形中阴影部分的面积为梯形的面积减去个圆的面积，梯形的上底长为圆的半径2厘米，下底长为4厘米，高为2厘米，据此即可求解； 第二个图形中首先将阴影部分面积切割移动，将阴影部分①②移动到③④的位置上，则图中阴影部分面积可用个圆的面积减去一个腰长为4厘米的等腰直角三角形的面积即可。 【详解】第一个图形中阴影部分面积： （平方厘米） 第二个图形中阴影部分面积： （平方厘米） 题型6 圆的面积的应用 题型特征： 典型例题： 【详解】（8÷2）2×3.14÷2－（8÷2）×（8÷2）÷2 ＝42×3.14÷2－4×4÷2 ＝16×3.14÷2－16÷2 ＝8×3.14－8 ＝25.12－8 ＝17.12（平方厘米） 跟踪训练1： 【答案】周长：57.12厘米； 面积：13.76平方厘米 【分析】观察图形知：阴影部分的周长等于圆的周长再加上正方形的周长，阴影部分的面积等于正方形的面积减去圆的面积。其中圆的直径是8厘米，正方形的边长是8厘米：据此列式即可。 【详解】阴影部分周长： 3.14×8＋4×8 ＝25.12＋32     ＝57.12（厘米） 阴影部分面积： ＝13.76（平方厘米） 所以阴影部分的周长是57.12厘米，阴影部分的面积是13.76平方厘米。 跟踪训练2： 【答案】66.5cm2 【分析】观察图形可知，该图形是由个圆和一个正方形组成。空白部分是一个三角形，阴影部分的面积就是个圆的面积加上正方形面积后减三角形面积。 圆的面积公式为S＝πr2（π＝3.14，r为半径），已知半径为10cm，把数据代入公式计算后再乘即可得出个圆的面积。正方形面积公式为：S＝a×a（a为边长），正方形的边长为6cm，把数据代入公式计算得出正方形面积。三角形面积公式为：S＝a×h÷2（a为底，h为高），三角形的底是6cm，高为10＋6＝16cm，把数据代入公式计算得出三角形的面积。然后根据：阴影面积＝个圆的面积＋正方形面积－三角形面积，把计算得出的各图形的面积代入计算即可。 【详解】3.14×102× ＝3.14×100× ＝314× ＝78.5（cm2） 6×6＝36（cm2） 6×（10＋6）÷2 ＝6×16÷2 ＝48（cm2） 78.5＋36－48＝66.5（cm2） 阴影部分的面积是66.5cm2。 题型7 圆环的面积 典型例题： 【详解】左图： 3.14×（62－42） ＝3.14×（36－16） ＝3.14×20 ＝62.8（平方厘米） 所以阴影部分的面积是62.8平方厘米； 右图：12×8＝96（平方厘米） 12×8÷2 ＝96÷2 ＝48（平方厘米） （12－6）×（8－2）÷2 ＝6×6÷2 ＝36÷2 ＝18（平方厘米） 96－48－18 ＝48－18 ＝30（平方厘米） 所以阴影部分的面积是30平方厘米。 跟踪训练1： 【答案】251.2cm2 【分析】已知外圆半径12cm，内圆半径8cm，根据圆环的面积：S＝πR2－πr2＝π（R2－r2），代入数据计算即可。 【详解】（122－82）×3.14 ＝（144－64）×3.14 ＝80×3.14 ＝251.2（cm2） 圆环的面积是251.2cm2。 跟踪训练2： 【答案】3.44cm2；10.99dm2 【分析】（1）观察图形可知，阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求出阴影部分的面积。 （2）观察图形，阴影部分可以组成一个半圆环，根据半圆环的面积公式S环＝π（R2－r2）÷2，代入数据计算求出阴影部分的面积。 【详解】（1）4×4－3.14×（4÷2）2 ＝4×4－3.14×22 ＝4×4－3.14×4 ＝16－12.56 ＝3.44（cm2） 阴影部分的面积是3.44cm2。 （2）4－1＝3（dm） 3.14×（42－32）÷2 ＝3.14×（16－9）÷2 ＝3.14×7÷2 ＝10.99（dm2） 阴影部分的面积是10.99dm2。 题型8 求最大面积 典型例题： 【详解】4×（4÷2）÷2 ＝4×2÷2 ＝8÷2 ＝4（平方厘米） 所以这个三角形的面积是4平方厘米。 跟踪训练1： 【答案】C 【分析】由题意可知，长方形、正方形和圆的周长都是绳子的长度，所以三个图形周长相等。假设绳子的长度是18.84厘米，根据圆的周长公式和正方形的周长公式，分别求出圆的半径和正方形的边长，然后根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出圆的面积和正方形的面积，再比较。周长相等的正方形的面积大于长方形的面积。因为要使积大，两个乘数的差就小。据此解答。 【详解】假设绳子的长度是18.84厘米， 18.84÷3.14＝6（厘米） 圆的面积：3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 18.84÷4＝4.71（厘米） 正方形的面积：4.71×4.71＝22.1841（平方厘米） 28.26＞22.1841 周长相等的正方形的面积大于长方形的面积。 同学们用同样长的三根绳子分别围成长方形、正方形、圆形，这三个图形面积最大的是圆。 故答案为：C 【点睛】明确两个数相差越小积就越大的规律及平面图形的面积公式是解决本题的关键。 跟踪训练2： 【答案】A 【分析】用周长除以4求出正方形的边长，再用边长乘以边长求出正方形的面积﹔用周长÷π÷2，求出圆的半径，再根据圆的面积公式S＝πr2求得面积，然后进行比较即可。 【详解】正方形的边长是：25.12÷4＝6.28（厘米） 正方形的面积是：6.28×6.28＝39.4384（平方厘米） 圆的半径是：25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） 圆的面积是：3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 因为39.4384＜50.24 所以正方形的面积＜圆的面积 故答案为：A 【点睛】解答此题的关键是明白，周长相等的情况下，围成的圆的面积最大。 题型9 含圆的组合图形的面积 典型例题： 【详解】左图：通过割补法，将右边的阴影部分移到左边，阴影部分是一个三角形。 8÷2＝4（cm） 8×4÷2＝16（cm2） 右图：10÷2＝5（dm） 5÷2＝2.5（dm） 3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（dm2） 3.14×2.52 ＝3.14×6.25 ＝19.625（dm2） 39.25－19.625＝19.625（dm2） 左图阴影部分面积为16cm2，右图阴影部分面积为19.625dm2。 跟踪训练1： 【答案】20.52cm2 【分析】如图可知：涂色部分可看作是由两个相同的部分组成。 对于其中一个部分，先计算半径为6cm的圆的面积（即3.14×62÷4），再计算直角边为6cm的等腰直角三角形的面积（即6×6÷2），用圆的面积减去三角形面积，得到其中一个部分的涂色面积。 因为有两个这样的部分，所以再乘2，最终可求出整个涂色部分的面积。 【详解】3.14×62÷4－6×6÷2 ＝3.14×36÷4－36÷2 ＝113.04÷4－18 ＝28.26－18 ＝10.26（cm2） 10.26×2＝20.52（cm2） 所以图形中涂色部分的面积为20.52cm2。 跟踪训练2： 【答案】C 【分析】第一个图形是正方形内有一个最大的圆，正方形边长为10cm，则圆的直径为10cm，半径为10÷2＝5cm。根据“阴影面积＝正方形面积－圆的面积”，正方形面积为10×10＝100cm2，圆的面积公式为：S＝πr2（r为半径），所以圆的面积为π×52＝25π（cm2），所以阴影面积为：（100－25π）cm2。 第二个图形：正方形内有一个空白扇形，圆心角为90°，半径为10cm，空白扇形面积为π×102＝25π（cm2），则阴影面积为：（100－25π）cm2，与第一个图形阴影面积相等。 第三个图形：正方形内有4个小圆，小圆直径为10÷2＝5cm，半径为5÷2＝2.5cm，4个小圆的总面积为4×π×2.52＝4×π×6.25＝25π（cm2），阴影面积为：（100－25π）cm2，与第一个图形阴影面积相等。 第四个图形：可看作正方形内有4个扇形，合起来是一个圆，半径为10÷2＝5cm，圆的面积为：25π（cm2），阴影面积为：（100－25π）cm2，与第一个图形阴影面积相等。 【详解】第一个图形：10×10＝100（cm2） 10÷2＝5（cm） π×52＝25π（cm2） 阴影面积：（100－25π）cm2 第二个图形： π×102 ＝π×100 ＝25π（cm2） 则阴影面积：（100－25π）cm2 第三个图形：10÷2＝5（cm） 5÷2＝2.5（cm） 4×π×2.52 ＝4×π×6.25 ＝25π（cm2） 阴影面积：（100－25π）cm2 第四个图形：10÷2＝5（cm） 空白部分面积：25π（cm2） 阴影面积：（100－25π）cm2 除第一个图形外，其余3个图形中，有3个图形的阴影面积与第一个图形相等。 故答案为：C 题型10 方中圆和圆中方的面积问题 典型例题： 【详解】因为（），所以正方形边长也就是内圆直径都是4dm，半径是（dm）。 （） 图1内圆面积是12.56。 （），因为（），所以外圆半径是2dm。 （） 图2圆内正方形面积是8。 跟踪训练1： 【答案】D 【分析】设大正方形的边长为2a，则图中各半圆、圆的半径都等于正方形边长的一半即是a。 图1，阴影部分的面积＝大正方形的面积－半圆的面积－2个圆的面积； 图2，阴影部分的面积＝大正方形的面积－4个圆的面积； 图3，阴影部分的面积＝（大正方形面积的－圆面积的）×4； 根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，据此解答。 【详解】图1阴影部分的面积： （2a）2－πa2×－πa2××2 ＝4a2－πa2－πa2 ＝4a2－（πa2＋πa2） ＝4a2－πa2 图2阴影部分的面积： （2a）2－πa2××4＝4a2－πa2 图3阴影部分的面积： [（2a）2×－πa2×]×4 ＝[4a2×－πa2×]×4 ＝[ a2－πa2] ×4 ＝4a2－πa2 那么阴影部分的面积相比，结果是一样大。 故答案为：D 跟踪训练2： 【答案】39.25平方厘米 【分析】如图，正方形的面积等于4个相同的等腰直角三角形的面积之和，根据正方形面积＝边长×边长求出正方形面积；用正方形面积除以4即为一个等腰直角三角形的面积；因为三角形面积＝底×高÷2，则三角形的底×高＝三角形面积×2，即等腰三角形中直角边的平方＝三角形面积×2，所以大圆半径的平方等于等腰直角三角形直角边的平方；因为①②的面积之和等于③④的面积之和，所以图中阴影部分面积的总和可看作大圆面积的一半减去小圆面积的一半，根据圆的面积公式求解即可。 【详解】将正方形分为4个相同的等腰直角三角形，一个三角形的面积： ＝25（平方厘米） 大圆半径的平方： 25×2＝50 大圆面积的一半： （平方厘米） 小圆面积的一半： ＝ ＝ ＝39.25（平方厘米） 阴影部分的总面积： 78.5－39.25＝39.25（平方厘米） 答：图中阴影部分的总面积是39.25平方厘米。 题型11 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 典型例题： 【详解】如图： 涂色部分由②和④组成，是等腰三角形面积的一半；空白部分由①和②组成，①为等腰三角形面积的一半，所以空白部分的面积大。 故答案为：B 跟踪训练1： 【答案】16 【分析】由题题图可知大三角形和小三角形均为等腰直角三角形，则下方的梯形上底和高都为4。将阴影部分部分的弓形，挪到下方，如详解图所示，则阴影部分的面积为梯形减去等腰直角三角形的面积，再套用梯形和三角形面积公式，即可求得阴影部分的面积。 【详解】将上半部分的阴影挪到下半部分，如图所示： 阴影部分的面积为梯形的面积－三角形的面积 （4＋8）×4÷2－4×4÷2 ＝24－8 ＝16 【点睛】求组合阴影部分的面积，先将不规则变为规则，再利用基本图形加或减求得阴影部分的面积。 跟踪训练2： 【答案】32.5cm2 【分析】如图，将右边的阴影部分割补到左边，这样阴影部分就组成了一个梯形。 由图可知，该梯形上底相当于半圆的半径，是5cm，下底是8cm，高相当于半圆的半径，是5cm，然后根据“梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2”计算出梯形的面积，即为阴影部分的面积。 【详解】（5＋8）×5÷2 ＝13×5÷2 ＝65÷2 ＝32.5（cm2） 因此，阴影部分的面积是32.5cm2。 题型12 弧、圆心角、扇形的认识 典型例题： 【详解】（4＋7）×4÷2 ＝11×4÷2 ＝44÷2 ＝22（cm2） ＝×3.14×16 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 22－12.56＝9.44（cm2） 阴影部分的面积是9.44cm2。 跟踪训练1： 【答案】 60 3 【分析】根据题意，圆中阴影部分面积与空白部分面积之比是1∶5，则阴影部分的圆心角与空白部分的圆心角之比也是1∶5，则阴影部分的圆心角占这个圆的圆心角的，用圆周角×，即可求出阴影部分的圆心角∠AOB的度数；同样，弧AB占整个圆周长的，用弧AB的长度÷，求出圆的周长，再根据圆的周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，据此求出这个圆的半径。 【详解】360°× ＝360°× ＝60° 3.14÷ ＝3.14÷ ＝3.14×6 ＝18.84（cm） 18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（cm） 圆中阴影部分面积与空白部分面积之比是1∶5。那么，阴影部分的圆心角60°，如果弧AB长3.14cm，那么这个圆的半径是3cm。 跟踪训练2： 【答案】25.12平方厘米 【分析】如图： 半圆ADC是半圆AEB逆时针旋转后得到的图形，根据旋转的特点可知半圆ADC的面积＝半圆AEB的面积；因为半圆ADC的面积－①的面积＝③的面积，半圆AEB的面积－①的面积＝②的面积，所以③的面积＝②的面积，因此，阴影部分的面积就是扇形ACB的面积，扇形ACB圆心角是45°，半径是8厘米，所以阴影部分的面积＝圆周率×半径的平方×，据此解答即可。 【详解】3.14×82× ＝3.14×64× ＝200.96× ＝25.12（平方厘米） 答：阴影部分的面积是25.12平方厘米。 题型13 扇形的周长和面积 典型例题： 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝3×3.14－8 ＝9.42－8 ＝1.42（平方厘米） 所以，两个阴影部分的面积差是1.42平方厘米。 跟踪训练1： 【答案】71.5 【分析】看图可知，阴影部分的面积＝平行四边形的面积－三角形面积－圆面积的，平行四边形面积＝底×高，三角形面积＝底×高÷2，圆的面积＝圆周率×半径的平方。 【详解】10×2×10－10×10÷2－3.14×102× ＝200－50－3.14×100× ＝200－50－314× ＝200－50－78.5 ＝71.5 阴影部分的面积是71.5。 跟踪训练2： 【答案】32.55平方厘米 【分析】阴影部分的面积等于半径是8厘米的圆面积的减去半径是8－3＝5厘米的圆面积的，再加上边长为3厘米的正方形的面积减去半径等于3厘米的圆面积的；根据圆的面积＝和正方形的面积＝边长×边长计算即可。 【详解】3.14×÷4－3.14×÷4＋3×3－3.14×÷4 ＝3.14×64÷4－3.14×÷4＋9－3.14×9÷4 ＝3.14×16－3.14×25÷4＋9－28.26÷4 ＝50.24－78.5÷4＋9－7.065 ＝50.24－19.625＋9－7.065 ＝30.615＋9－7.065 ＝39.615－7.065 ＝32.55（平方厘米） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $