3.2函数的单调性和奇偶性 内蒙古2026年对口招生《数学考点双析卷》第17卷 教师讲解卷

编写说明：内蒙古2026年对口招生《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考数学真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是内蒙古2026年对口招生《数学考点双析卷》的第17卷，主要考查函数的单调性和奇偶性的掌握情况。 内蒙古2026年对口招生《数学考点双析卷》 第17卷 函数的单调性和奇偶性 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列函数当中，是奇函数且在定义域内是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性与奇偶性的定义求解即可. 【详解】选项A.因为，所以该函数不是减函数，该选项不符合题意. 选项B.的定义域为，关于原点对称. 且所以该函数为奇函数. 又因为该函数在其定义域内为减函数，该选项符合题意. 选项C.因为，所以该函数不是减函数，该选项不符合题意. 选项D.因为的定义域为，不关于原点对称，所以该函数不是奇函数，不符合题意. 故选：B. 2．设二次函数是偶函数，则（   ） A．0或1 B．0或 C． D．0 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义求解即可 【详解】二次函数的定义域为，关于原点对称. 因为二次函数是偶函数， 所以，且, 化简得，解得，解得. 故选：D. 3．对于函数，下列结论正确的是（    ）． A．该函数为偶函数 B．该函数在R上单调递增 C．该函数关于y轴对称 D．该函数的值域是 【答案】B 【分析】根据题意，结合函数奇偶性的概念，及分段函数的图像和性质，即可求解. 【详解】因为函数的定义域为R，关于原点对称， 又， 所以该函数是奇函数，不是偶函数，故选项A错误； 因为函数，函数图像如下图所示：    故该函数在R上单调递增，故选项B正确； 由图像可知，该函数图像关于原点中心对称，不关于y轴对称，故选项C错误； 该函数的值域是R，故选项D错误； 故选：B. 4．已知函数的定义域都为，且是偶函数，是奇函数，若，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性得，代入计算即可. 【详解】由题意，是偶函数，是奇函数， 所以. 故选：A. 5．若函数在上有最大值为10，则的所有取值为（   ） A．或3 B．3或 C．或 D．或3或或 【答案】B 【分析】根据一元二次函数的图像与性质，分析求解即可. 【详解】因为 所以函数图像对称轴方程是. 当，， 又，故舍去，得； 当时，，解得，舍去； 当时，，解得， 综上，或. 故选：B. 6．已知函数在区间上是减函数，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】由函数的单调性即可得解. 【详解】因为函数在区间上是减函数， 所以. 故选：B. 7．已知为奇函数，函数，若 ，则（       ） A． B．8 C．4 D．0 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性，代数求解即可. 【详解】因为为奇函数，所以， 因为， 所以， 又因为，即， 所以， 故选：D. 8．若偶函数在区间上的解析式为，则在R的单调递增区间是（    ） A． B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】由偶函数的性质结合二次函数的图像和性质即可得解. 【详解】由二次函数的图像和性质可知， 函数的对称轴为，开口向上， 函数在上是单调递减，在区间上是单调递增， 再由偶函数的对称性可知，在上是单调递增的， 所以在R上的单调递增区间是和. 故选：C. 9．已知函数为奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意，根据奇函数的性质即可求解. 【详解】因为当时，， 则， 因为函数为奇函数， 所以， 故选：A 10．已知函数，若有实数，当时，其值域为，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数的对称轴和开口方向得到其单调性，再由时的值域，得到，进而得到方程有两个且大于1的实根m和n，由得到，设，分析的性质得到，得到，即可解得. 【详解】函数，可知抛物线开口向上，对称轴为， 所以二次函数在上单调递增， 又当时，其值域为， 得，即， 所以方程有两个且大于1的实根m和n，， 即，解得， 设，开口向上，对称轴为，则， 当时，函数单调递减， 所以当时，，，解得， 综上，. 故选：C 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．已知函数的最小值为1，且函数在区间上为增函数，则 . 【答案】4 【分析】根据二次函数的性质求解． 【详解】∵函数的图象开口向上，对称轴为， ∴当时，取最小值，解得. ∵函数在区间上为增函数， ∴，解得， 综上，. 故答案为：4. 12．若函数是偶函数，且在上是增函数，则在上是 （填增或减）函数. 【答案】减 【分析】根据题意结合偶函数的性质及函数的单调性即可得解. 【详解】任取，且，则， 因为函数在上是增函数，则， 又因为函数为偶函数，所以， 则， 所以在上是减函数， 故答案为：减. 13．已知为奇函数，且在上是增函数，若，则的解集为 ． 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性及单调性解不等式即可. 【详解】因为为奇函数，且在上是增函数，且， 所以，即， 所以，可化为，即， 因为在分母，所以， （1）当时，单调递增，且， 所以当时，，当时，， （2）当时，因为为奇函数，故单调递增，且， 所以当时，，当时，， 综上，的解集为， 时，，即， 时，，即， 所以的解集为； 故答案为：. 14．已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】根据奇函数的性质即可解答. 【详解】已知当时，， 则当时，， ， 因为是奇函数，所以，即. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．已知二次函数满足，其最小值为，且． (1)求函数的解析式； (2)设函数． ①若是偶函数，求实数的值； ②若在区间是减函数，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）依据题意假设二次函数表达式，然后代值计算； （2）①根据偶函数的特点计算即可；②根据二次函数的性质可知. 【详解】（1）由题可知：二次函数满足， 所以对称轴为，又最小值为，所以设， 由，所以，所以 （2）①由（1）可知：， 所以，即， 由是偶函数，所以， 则. ②由①可知：， 又在区间是减函数，所以. 16．已知二次函数，满足，． (1)求函数的解析式； (2)若函数与的图像关于轴对称，当时，的图像恒在的上方，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出二次函数解析式，结合条件列式求出，再代值求出即可. （2）由两个函数的对称性求出的解析式，再由图像特征得到不等式，构造函数并求出最小值即可求解. 【详解】（1）设 化简得 ．所以，解得， ，所以， 所以 （2）函数与的图像关于y轴对称，． 由条件得对恒成立 ， 且的对称轴为，函数图像开口向上，在上单调递增， 所以时，所以. 实数的取值范围为. 17．设函数为偶函数，且. (1)求实数，的值； (2)判断函数在区间上的单调性； (3)求函数在区间上的值域. 【答案】(1)， (2)函数在区间上单调递减 (3) 【分析】（1）由偶函数定义结合即可求解. （2）由函数的开口方向和对称轴及区间位置即可判断. （3）比较函数的顶点值和端点值即可确定最大值和最小值，进而得到值域. 【详解】（1）由偶函数定义，代入得， 比较系数得，所以，又， 所以，. （2）由（1）知函数开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减. （3）因为，，， 比较可知当时，函数的最小值为，最大值为， 故函数在区间上的值域为. 18．已知函数． (1)若函数为偶函数，求a的值； (2)若函数在区间上单调递增，求a的取值范围． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据偶函数的性质即求解a的值即可. （2）先求解出函数的对称轴，再由函数的单调性求解即可. 【详解】（1）∵函数为偶函数，∴， 即， 解得． （2）∵函数的图像的开口向上， 对称轴， 函数在区间上单调递增， ∴，解得， ∴a的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古2026年对口招生《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考数学真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是内蒙古2026年对口招生《数学考点双析卷》的第17卷，主要考查函数的单调性和奇偶性的掌握情况。 内蒙古2026年对口招生《数学考点双析卷》 第17卷 函数的单调性和奇偶性 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列函数当中，是奇函数且在定义域内是减函数的是（   ） A． B． C． D． 2．设二次函数是偶函数，则（   ） A．0或1 B．0或 C． D．0 3．对于函数，下列结论正确的是（    ）． A．该函数为偶函数 B．该函数在R上单调递增 C．该函数关于y轴对称 D．该函数的值域是 4．已知函数的定义域都为，且是偶函数，是奇函数，若，则（    ） A．3 B． C．1 D． 5．若函数在上有最大值为10，则的所有取值为（   ） A．或3 B．3或 C．或 D．或3或或 6．已知函数在区间上是减函数，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 7．已知为奇函数，函数，若 ，则（       ） A． B．8 C．4 D．0 8．若偶函数在区间上的解析式为，则在R的单调递增区间是（    ） A． B．和 C．和 D．和 9．已知函数为奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，若有实数，当时，其值域为，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．已知函数的最小值为1，且函数在区间上为增函数，则 . 12．若函数是偶函数，且在上是增函数，则在上是 （填增或减）函数. 13．已知为奇函数，且在上是增函数，若，则的解集为 ． 14．已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则当时， . 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．已知二次函数满足，其最小值为，且． (1)求函数的解析式； (2)设函数． ①若是偶函数，求实数的值； ②若在区间是减函数，求实数的取值范围． 16．已知二次函数，满足，． (1)求函数的解析式； (2)若函数与的图像关于轴对称，当时，的图像恒在的上方，求实数的取值范围． 17．设函数为偶函数，且. (1)求实数，的值； (2)判断函数在区间上的单调性； (3)求函数在区间上的值域. 18．已知函数． (1)若函数为偶函数，求a的值； (2)若函数在区间上单调递增，求a的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $