第3章 椭圆（高效培优单元测试·提升卷）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

第三章 椭圆（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由椭圆方程求出，利用椭圆的定义式，求得，代入计算即得. 【解析】由可得：，则， 因，则，故. 故选：C 2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B. 3.若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】D 【分析】根据焦点在x轴上的椭圆的标准方程列出不等式即可求解. 【解析】，即， 因为方程表示焦点在x轴上的椭圆， 所以，解得. 故选：D. 4.已知，分别是椭圆的左、右焦点，过点且与长轴垂直的直线交C于A，B两点.若为直角三角形，则C的焦距为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出图形，求出,根据为等腰直角三角形,得到，结合计算即可. 【解析】由题可求得，则. 根据椭圆对称性，可知为等腰直角三角形， 所以，则，解得 ， 所以椭圆C的焦距为. 故选：A. 5.在平面直角坐标系中，已知两点，，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，结合已知写出直线，的斜率，由列式求解动点的轨迹方程． 【解析】设，，， ，， 由，得． 即． 动点的轨迹方程为． 故选：B． 6.已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（ ） A．3 B．4 C．6 D．10 【答案】C 【分析】由椭圆定义和得到，结合，由余弦定理得，进而得到正弦值，利用三角形面积公式求出答案. 【解析】由椭圆定义可得， 故， 又， 则由余弦定理得， 故， 故. 故选：C 7.已知A，B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆在第一象限内一点．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】设动点坐标得出两直线斜率公式，结合椭圆方程得到两直线斜率乘积为定值，由条件求出两直线斜率之间的等量关系，结合两个方程求出的值，通过求出的值，通过由正弦定理得到先与角之间的关系求得线段的比值. 【解析】由题意知，，设， 直线，的斜率分别为，，则， 又∵，即，∴，即， 由正弦定理得， 又，则， 联立解得，即， 所以，即. 故选：C 8.设椭圆（）的左焦点为，为坐标原点，过点且斜率为的直线与的一个交点为（点在轴上方），且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据可知，结合椭圆定义及斜率与倾斜角的关系可得，，结合勾股定理可得离心率. 【解析】 设椭圆右焦点为，连接，， 由，则为直角三角形，， 由已知直线的斜率为， 则，即， 又，则，， 在中由勾股定理得， 即， 整理可得离心率， 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知曲线方程，，若方程表示焦距为2的椭圆，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【分析】根据椭圆方程的类型，分类讨论确定，根据求解即可. 【解析】若方程表示焦距为2的椭圆，则，所以 当方程表示焦点在轴上的椭圆，则，且 又，得； 当方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得 所以， 又，得； 综上，或. 故选：AC 10.已知椭圆的焦点分别为、，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段MN的中点，则下列说法正确的是（ ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆上不存在点使得 C．直线的方程为 D．的周长为 【答案】BCD 【分析】利用条件求出，进而求出离心率可判断A正误；假设在椭圆上存在点，使得可判断B正误；运用点差法判断C正误，D.的周长为4a 【解析】椭圆的焦点分别为，，则，，，可得，故， 对于A，椭圆的离心率为，A错误； 对于B，假设在椭圆上存在点，使得，且，，，， ，在实数范围内无解， 椭圆上不存在点使得，B对； 对于C，设点，，由题意可得 若直线的斜率不存在，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 所以直线的斜率存在，则由 可得， 即，所以直线的斜率为，因此直线的方程为，即，C对； 对于D，因为，所以，直线过椭圆的上焦点， 所以的周长为： ， D对， 故选：BCD. 11. 过椭圆的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，，是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（ ） A. 周长的最小值为18 B. 四边形可能为矩形 C. 若直线PA斜率的取值范围是，则直线PB斜率的取值范围是 D. 的最小值为 【答案】ACD 【分析】A由椭圆对称性及定义有周长为，根据椭圆性质即可判断；B根据圆的性质，结合椭圆方程与已知判断正误；C、D设，利用斜率两点式可得，进而判断C正误，应用向量数量积的坐标表示列关于的表达式，结合椭圆有界性求最值. 【解析】A：根据椭圆的对称性，，当PQ为椭圆的短轴时，有最小值8，所以周长的最小值为18，正确； B：若四边形为矩形，则点P，Q必在以为直径的圆上，但此圆与椭圆无交点，错误； C：设，则，因为直线PA斜率的范围是，所以直线PB斜率的范围是，正确； D：设，则．因，所以当时，最小值为，正确. 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】通过离心率大小比较确定的取值范围，进而研究长轴长的取值范围. 【解析】由椭圆可得其离心率， 由椭圆可得其离心率为， 由于比椭圆更扁， 故的离心率满足，即，解得， 故长轴长为. 故答案为：． 13.已知为椭圆上的一个动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为__________. 【答案】## 【分析】设，解三角形可得，，利用两点距离公式求的最小值，结合平方关系可求的最小值. 【解析】 设， 由已知，由对称性可得, 所以， 则，， 且， 因为， 因为， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，又， 所以， 所以. 所以的最小值为. 故答案为：. 14.已知椭圆的左、右焦点分别为，且．过右焦点的直线与交于两点，的周长为；过原点作一条垂直于l的直线交于两点，则的取值范围为_____________． 【答案】 【分析 】在的斜率为时，求结论，再在的斜率不为时，利用设而不求法，结合弦长公式求，由此可得的解析式，利用换元法，二次函数性质求其范围即可. 【解析】设椭圆的半焦距为，由，得， 又的周长为，即 所以，， 椭圆的标准方程为． 设， 直线的斜率为时，得， 此时的方程为， 代入方程可得，， 所以； 当直线的斜率不为时， 设直线，直线， 联立直线和椭圆的方程，并消去整理得 ， ． 由根与系数的关系得， 所以 联立直线和椭圆的方程，并消去整理得， 由根与系数的关系得， ， 所以． 令，则， 不妨设 ， ， ， ， 综上可得，的取值范围为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点. (1)若焦距为，点的坐标为，求椭圆C的标准方程； (2)若，且，的面积为，求b的值. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由，所以，从而再由点在椭圆上及，求出椭圆方程； （2）利用面积公式、椭圆定义、三角形余弦定理即可求解。. 【解析】（1）已知，因为，所以， 点在椭圆上，将其代入椭圆的， 可得，即①， 又因为，即②， 联立①②，整理得，解得或， 因为，所以， 所以， 故椭圆的标准方程为； （2）因为，所以的面积， 则， 因为， 根据椭圆的定义得， 所以，即③， 由余弦定理可得， 整理得 ④， 联立③④得：，即， 则，所以， 在椭圆中有，即， 解得. 16.已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率，. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【分析】（1）由离心率与列出方程组，求出，从而得到，求出椭圆方程； （2）先考虑直线斜率不存在的情况，再考虑直线斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，根据列出方程，求出，得到直线方程. 【解析】（1）由已知得，解得， ， 所求椭圆的方程为； （2）由（1）得. ①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，由得. 设， ，这与已知相矛盾. ②若直线的斜率存在，设直线直线的斜率为，则直线的方程为， 设，联立， 消元得， ， ， 又， ， 化简得， 解得或（舍去） 所求直线的方程为或. 17.已知，分别为椭圆的左、右焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率. （1）求椭圆C的方程； （2）若倾斜角为的直线经过点，且与C交于M，N两点（M点在N点的上方），求的值. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）将点和点代入椭圆方程，解之即可得解； （2）根据题意，利用直线的点斜式求得直线的方程，再联立直线与椭圆方程，直接求得点的坐标，从而得解. 【解析】（1）因为椭圆椭圆经过点和点，， 所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）得，直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 联立，解得或， 则， 所以. 18.已知椭圆经过点，且离心率为为坐标原点. （1）求的方程. （2）过点且不与轴重合的动直线与相交于两点，的中点为. （i）证明：直线与的斜率之积为定值； （ii）当的面积最大时，求直线的方程. 【答案】（1） （2）①证明见解析；②或. 【分析】（1）根据已知点在椭圆上及离心率列方程组求解可得椭圆方程； （2）设方程，直线与椭圆联立消去利用韦达定理和斜率公式证明直线与的斜率之积为定值；根据弦长公式和三角形面积公式求得直线斜率最后得到直线方程. 【解析】（1）由已知，得解得 故的方程为. （2） ① 由题可设. 将， 消去，得. 当，即时，有. 所以，即， 可得，所以，即直线与的斜率之积为定值. ②由（1）可知 又点到直线的距离， 所以的面积. 设，则， 当且仅当，即时等号成立，且满足. 所以当的面积最大时，直线的方程为或. 19.已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点C是椭圆上异于A，B的动点，过原点O平行于AC的直线与椭圆交于点M，N，D为线段AC的中点，直线OD与椭圆E交于点P，Q，点P，C，M在x轴的上方． （1）设直线CQ，AQ分别与直线MN交于点E，F，且满足，求点C的坐标； （2）求的最大值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）因为可得，再由椭圆的对称性可得，可证明四边形是平行四边形，所以，则，即，将其代入椭圆的方程即可求出点C的坐标； （2）设点，得到，设直线的方程为，联立方程组求得，同理得到，方法1、求得，令，利用二次函数的图象与性质，求得，结合，即可求解；方法2、求得，利用基本不等式求得，进而求得的最大值. 【解析】（1）因为，所以，又因为， 所以与的相似比为， 又因为分别为与的中线， 所以，所以， 由椭圆的对称性可知，，所以，所以， 所以为的中点，连接， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，设，由椭圆的对称性知，， ，由四边形的性质可得， 所以，所以， 将代入可得，则， 所以点C的坐标为. （2）设点，由，可得， 则, 可得， 又由直线的斜率一定存在且不为零，故可设其方程为， 由，解得，则， 因为，可得，同理可得， 方法1： 由题可得， 令，则，可得， 当时，即时，取等号，即 又因为，所以的最大值为. 方法2 ：由题可知， 所以，当且仅当时，等号成立， 又因为，所以的最大值为. 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 椭圆（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（ ） A． B． C． D． 3.若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 4.已知，分别是椭圆的左、右焦点，过点且与长轴垂直的直线交C于A，B两点.若为直角三角形，则C的焦距为（ ） A． B． C． D． 5.在平面直角坐标系中，已知两点，，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 6.已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（ ） A．3 B．4 C．6 D．10 7.已知A，B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆在第一象限内一点．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 8.设椭圆（）的左焦点为，为坐标原点，过点且斜率为的直线与的一个交点为（点在轴上方），且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知曲线方程，，若方程表示焦距为2的椭圆，则的值为（ ） A. B. C. D. 10.已知椭圆的焦点分别为、，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段MN的中点，则下列说法正确的是（ ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆上不存在点使得 C．直线的方程为 D．的周长为 11. 过椭圆的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，，是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（ ） A. 周长的最小值为18 B. 四边形可能为矩形 C. 若直线PA斜率的取值范围是，则直线PB斜率的取值范围是 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是 ． 13.已知为椭圆上的一个动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为__________. 14.已知椭圆的左、右焦点分别为，且．过右焦点的直线与交于两点，的周长为；过原点作一条垂直于l的直线交于两点，则的取值范围为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点. (1)若焦距为，点的坐标为，求椭圆C的标准方程； (2)若，且，的面积为，求b的值. 16.已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率，. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程. 17.已知，分别为椭圆的左、右焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率. （1）求椭圆C的方程； （2）若倾斜角为的直线经过点，且与C交于M，N两点（M点在N点的上方），求的值. 18.已知椭圆经过点，且离心率为为坐标原点. （1）求的方程. （2）过点且不与轴重合的动直线与相交于两点，的中点为. （i）证明：直线与的斜率之积为定值； （ii）当的面积最大时，求直线的方程. 19.已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点C是椭圆上异于A，B的动点，过原点O平行于AC的直线与椭圆交于点M，N，D为线段AC的中点，直线OD与椭圆E交于点P，Q，点P，C，M在x轴的上方． （1）设直线CQ，AQ分别与直线MN交于点E，F，且满足，求点C的坐标； （2）求的最大值． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $