第6章 平面图形的初步认识 提分练习-【课时提优计划作业本】2025-2026学年新教材七年级上册数学同步练习课时作业（苏科版2024）

1)+(-2)=x十4，解得x=4.(3)如图所示（答案不唯一）.②由题意得，PC=2tcm,AC=(8-2t)cm,所以PD=(4- ① 3t)cm,所以CD=PC+PD=2t十(4一3t)=(4-t)cm,所以 2 AC=2CD.(2)9cm或11cm解析：当t=2时，PC=2× ④ 2=4(cm),BD=3×2=6(cm).当点D在点C的右边时，如 5 图1所示，因为CD=1cm,所以CB=CD+BD=1+6= 练习31直线、射线、线段的计数问题 7(cm),所以AC=AB-CB=12-7=5(cm),所以AP=AC+ 1.n(n-1) 解析：3=3×(3-D,6=4×4-1D,10= PC=5+4=9(cm);当点D在点C的左边时，如图2所示，因 2 2 2 为BD=6cm,所以AD=AB-BD=12-6=6(cm),所以 5×(行一1)，…总结规律可知，若平面内有n个点，过其中两 2 AP=AD+CD+PC=6+1+4=11(cm).综上所述，AP的长 点画直线，最多可以画，D条直线. 为9cm或11cm. 2 A CD P B 2.(1)如图1，同一平面内的四条直线两两相交，最少有 图1 1个交点，最多有6个交点.(2)如图2，同一平面内的五条 A D衣 PB 直线两两相交，最多有10个交点. 图2 米 2.(1)当运动时间为ts时，点P对应的数为t,点Q对应 的数为2t-10,所以PQ=|t-(2t-10)|=|t-101.当t= 2时，PQ=|2-10=8;当t=12时，PQ=|12-10=2.即当 (3)由题意得，3X(?-)=3,由(1)得，4X4-)=6:由 t=2时，对应的线段PQ的长度为8；当t=12时，对应的线段 2 2 PQ的长度为2.(2)由题意得，t-10|=5,解得t=5或t= (2)得，5X(5-)=10.所以n条直线两两相交，最多有 15.当t=5时，点Q对应的数为2t-10=0;当t=15时，点Q对应 (n一1D个交点(m为正整数，且n≥2). 的数为21一10=20.(3)由题意可知，当运动时间为ts时，点 2 (2t-10(0<t15), 3.画1条直线时，1十1=2，平面最多被分为2个部分；画 P对应的数为t,点Q对应的数为 当 20-2(t-15)(15<t30). 2条直线时，1+1十2=4，平面最多被分为4个部分；画3条直 0<t≤15时，PQ=1t-(2t-10)1=t-10|,由t-10|=8,解 线时，1十1十2+3=7，平面最多被分为7个部分；画4条直线 得右=2，t2=18(舍去)；当15<t≤30时，PQ=|t-[20- 时，1+1+2+3+4=11，平面最多被分为11个部分；画5条 直线时，1十1十2+3十4+5=16，平面最多被分为16个部分： 2:-15)]=13-501,由132-501=8，解得6=号4=14 画6条直线时，1十1+2十3+4十5+6=22，平面最多被分为 (舍去).综上所述，在点Q的整个运动过程中，存在合适的 22个部分；画n条直线时，1+1十2+3+4+·+n=1+(1十 :值，使得PQ8,此时：的值为2或琴， 2+3十4+…十m)=1+=心++2，平面最多可分为 2 2 练习33钟面角 +n十2个部分. 2 解析：设再过xmin,时针与分针又一次在同一 练习32线段的计算 直线上.若时针与分针初始夹角为0°，如图1，则6x一0.5x= 1.(1)因为AP=8cm,AB=12cm,所以PB=AB- 180,解得x=9;若时针与分针初始夹角为180，如图2，则 AP=12-8=4(cm).①由题意得，PC=2×1=2(cm),BD= 3X1=3(cm),所以CD=PC十PB-BD=2+4-3=3(cm). 180十6x=0.5z+360,解得x=0综上所述，最少经过 《51 2mm,时针与分针又一次在同一条直线上. 解得t=4;当O℃是OB、OA组成角的平分线时，如图3所示， 因为∠AOC=(40t-180)°，∠B0C=(120-20t)°，所以40t- 180=120-20t,解得t=5;当OA、OB都在OC的下方且OB是 图1 图2 OC、OA组成角的平分线时，如图4所示，因为∠BOC=(20t- 2.设经过xmin秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平 120)°，∠A0B=7∠A0C=2[180°-(360-40)]=(202 分.6红一360一1）=360Cx-1D-0.5z,解得器放经 90)°，所以20t一120=20t一90，此方程无解，故此情况不成立. 过站器mi血秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分 综上所述，t的值为4或5. 3.【问题一】设xh后两车相距120km.若相遇前两车相 距120km,则36x-24x=180-120,解得x=5;若相遇后两 车相距120km,则36x一24x=180+120,解得x=25.综上所 述，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），5h或25h 后两车相距120km.【问题二】(1)6°0.5°(2)130° 图1 解析：6°×40-(90°+0.5°×40)=130°，故3：40时，时针与分 针所成的角度是130°.(3)设在下午3点至4点之间，从下 午3点开始，经过xmin,时针与分针成60°角.①当分针在时 针上方时，由题意得，90+0.5x一6x=60,解得x=9:②当分 图3 图4 3.(1)80°解析：因为∠AOD=160°，OM平分∠AOB, 针在时针下方时，由题意得，6.x一(90十0.5.x)=60,解得x ”综上所述，在下车3点至4点之间，从下午3点开始，经 ON平分∠BOD,所以∠MOB-是∠A0B,∠BON=号∠BOD, 过9min或92min,时针与分针成60角。 所以∠MON=∠MOB+∠BON=∠AOB+号∠BOD= 练习34角平分线有关计算 (∠A0B+∠B0D)-号∠A0D-80.(2)因为OM平分 1.B解析：设∠ACM=a.因为CM平分∠ACD,所以 ∠AOC,ON平分∠BOD,所以∠M0C=号∠AOC,∠BON= ∠DCM=∠ACM=a,∠ACD=2a.因为∠ECD=45°，所以 ∠ACE=∠ECD+∠ACD=45°+2a.因为CN平分∠ACE, 合∠B0D,所以∠MON=∠M0C+∠BON-∠BOC= 所以∠ACN=令∠ACE=3(4°+2a)=22+a,所以∠A0C+合∠B0D-∠BOC=(∠A0C+∠BOD) ∠MCN=∠ACN-∠ACM=22.5°+a-a=22.5°. ∠B0C-=号（∠AOD+∠B0CO)-∠B0C=?X180°-20°= 2.4或5解析：根据题意，在第ts时，射线OA转过的 70°.(3)因为射线OB从OA逆时针以2°/s的旋转ts, 角度为(40t)°，射线OB转过的角度为(20t)°.当OA、OB都在 ∠BOC=20°，所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=2t°+10°+ OC的上方且OB是OA、OC组成角的平分线时，如图1所示. 20°=(2t+30)°.因为射线OM平分∠AO℃，所以∠AOM= 因为∠AOC=(180-40t)°，∠BOC=(120-20t)°，所以 ∠A0B=2∠A0C=(90-20)°，所以90-201=120-20t,此 2∠A0C-(+15)°.因为∠B0D=∠A0D-∠AOB,∠AOD= 160°，所以∠BOD=(150一2t)°.因为射线ON平分∠BOD,所 方程无解，故此情况不成立；当OA、OB都在OC的上方且OA 是OB,OC组成角的平分线时，如图2所示，因为∠AOC= 以∠DON=7∠BOD-(75-t)°.又因为∠AOM:∠D0N= (180-40t)°，∠AOB=(20t-60)°，所以20t-60=180-40t,:2:3,所以(t+15):(75一t)=2:3,解得t=21. 52》 练习35补角、余角 分∠A0C,所以∠A0M=名∠A0C=合X30°=15，所以 1.(1)因为∠AOD=a=150°，所以∠B0D=180° ∠MOB=∠AOB-∠AOM=120°-15°=105°. ∠AOD=30°.因为OD平分∠BOC,所以∠DOC=∠BOD= B 30°，所以∠AOC=∠AOD-∠D0C=150°-30°=120°. (2)证明：因为在∠AOD的内部画射线OE,∠BOE=90°，所 A 以∠BOD+∠DOE=90°.因为OD平分∠BOC,所以∠DOC= 图3 ∠BOD,所以∠DOC+∠DOE=90°，所以∠DOE与∠DOC ②存在.当OC在OB左侧时，如图4所示，因为∠MOC与 互余.(3)①当射线OE在∠AOD内部时，如图1，因为OD ∠BOC互余，所以∠BOC=90°一∠MOC.因为OM平分 平分∠BOC,所以∠DOC=∠BOD,因为∠DOE+∠DOC= ∠AOC,所以∠AOC=2∠MOC,因为∠AOB=120°，所以 90°，所以∠DOE+∠BOD=90°，所以∠BOE=90°；②当射线 ∠B0D=180°-∠AOB=180°-120°=60°，所以∠COD= OE在∠AOD外部时，如图2，因为∠AOD=a,所以∠BOD= ∠BOD-∠BOC=60°-(90°-∠MOC)=∠MOC-30°，因为 180°-a,因为OD平分∠BOC,所以∠BOC=2∠BOD= ∠COD+∠AOC=180°，所以∠MOC-30°+2∠MOC=180°， 2(180°-a),因为∠DOE+∠DOC=90°，所以∠EOC=90°，所 所以∠MOC=70°，所以∠a=∠COD=70°-30°=40°；当OC 以∠BOE=90°-2(180°-a)=2a-270°.综上所述，∠BOE的 在OB右侧时，如图5所示，因为∠MOC与∠BO0C互余，所以 度数为90°或2a一270°. ∠BOM=∠BOC+∠MOC=90°，所以∠AOM=180°-∠BOD- ∠BOM=30°，因为OM平分∠AOC,所以∠AOC=2∠AOM= 60°，所以∠a=∠C0D=180°-∠AOC=180°-60°=120°.综 上所述，存在∠a=40°或∠a=120°使得∠MOC与∠BOC 互余. 图1 图2 B 2.(1)30°或150°解析：当OC、OB在OA的同侧时，如 C 图1，∠AOC=∠BOC+∠AOB=∠BOC+120°， D---- 因为∠AOC与∠BOC互补，所以∠AOC+∠BOC=180°， D 所以∠BOC+∠BOC+120°=180°，所以∠BOC=30°；当OC、 图4 图5 OB在OA的两侧时，如图2，∠AOC=∠BOC-∠AOB= 练习36对顶角 ∠BOC-120°，因为∠AOC与∠BOC互补，所以∠AOC+ 1.D解析：设∠DOF=2x°，则∠AOD=3x°，所以∠AOF= ∠BOC=180°，所以∠BOC+∠BOC-120°=180°，所以∠AOD+∠DOF=3x°+2x°=5x°，所以∠B0F=180°- ∠BOC=150°.综上所述，∠BOC的度数为30°或150° ∠AOF=180°-5x°.因为OE平分∠BOF,所以∠FOE= B ∠B0F=90-号，因为∠D0E=∠，所以∠D0F+ ∠P0E=∠a,即2x+90-3=∠，解得=180°-2∠a,则 ∠AOD=3x°=540°-6∠a,所以∠BOC=∠AOD=540°- 6∠a. 图1 图2 2.(1)135°解析：因为/AOM=90°，O℃平分∠AOM, (2)①105°解析：如图3，因为∠BOC=90°，∠AOB=120°， 所以∠A0C=∠A0B-∠B0C=120°-90°=30因为0M平所以∠A0C=号∠A0M=号×90=45，因为∠A0C+ 《53 ∠AOD=180°，所以∠AOD=180°-∠AOC=180°-45°=∠B0E+∠MOB=20°+90°=110°；②当OM在AC下方时， 135°.(2)设∠BON=x°，则∠BOC=4x°，所以∠CON=如图2所示，同理可得，∠BOE=20°，又因为OM⊥OB,所以 ∠COB-∠BON=4x°-x°=3x°，因为OM平分∠CON,所以 ∠MOB=90°，所以∠MOE=∠MOB-∠BOE=90°-20°=70°.综 ∠COM=∠MON=2∠CON=号x,因为∠BOM=号x+ 上所述，∠MOE的度数为110或70°. x=90,所以x=36,所以∠M0N=号x=号×36”=5 (3)设∠BON=x°，则∠BOC=4x°，所以∠CON=∠COB A ∠BON=4x°-x°=3x°，因为OM平分∠CON,所以∠COM 图1 ∠MON=号∠00N=号，因为∠BOM=号x+x=180° ,所以x-360.2,所以∠M0N-号×302-50与4 5 5 5 3.(1)7080解析：因为∠BOE=90°，所以∠AOE 90°，因为∠AOC=x=20°，所以∠E0C=90°-∠AOC=90° 20°=70°，∠AOD=180°-∠AOC=180°-20°=160°.因为OF 图2 平分∠AOD,所以∠FOD=2∠AOD=号X160°=80. 2.(1)当t=3时，∠AOB=180°-4°×3-6°×3=150°. (2)因为∠AOC=x=60°，所以∠AOD=180°-∠AOC=(2)根据题意，得4十6t=180十80，解得t=26.即当∠AOB第 180°-60°=120°，所以∠E0F=∠AOE+∠AOF=90°+ 二次达到80°时，t的值为26.(3)存在.当0≤t≤18时， 60°=150°.设至少经过ts射线OE与射线OF重合，由题意180-4t-6t=90,解得t=9;当18≤t≤60时，4t+6t=180+ 得，10+8=150，解得-罗，所以至少经过罗s射线0E与 90或4t十6t=180+270,解得t=27或t=45.综上所述，在旋 转过程中存在这样的t,使得射线OB与射线OA垂直，t的值 射线OF'重合.(3)设射线OE转动的时间为ts,由题意得， 为9或27或45. 10t+90+8t=150或10t+8t=150+90或360-10t=8t 3.(1)因为∠COD=60°，所以∠BOC=∠COD-∠BOD= 150+90或360-10c+360-8+90=360-150,解得：=号或 60°-∠BOD.因为OA⊥OB,所以∠AOB=90°，所以∠BOD= 一号或=9或=1g综上所述，射线0E转动的时间为 ∠AOD-∠AOB=∠AOD-90°，所以∠BOC=60°-（∠AOD- 号或号或9或19” 90)=150°-∠A0D.因为∠B0C=号∠A0D,所以150° 练习37垂直 ∠A0D=号∠A0D,所以∠A0D=105.(2)因为0C平分 1.110°或70° 解析：分两种情况进行讨论.①当OM在∠AOD,∠COD-60°，所以∠AOC=∠COD=60°，所以∠AOD= AC上方时，如图1所示，因为OD平分∠BOC,所以∠COD= ∠AOC+∠COD=60°+60°=120°，所以∠BOD=∠AOD- ∠BOD,因为4∠BOE+∠BOC=180°，∠AOB+∠BOC= ∠AOB=120°-90°=30°，所以∠B0C=∠COD-∠BOD=60° 180°，所以∠AOB=4∠BOE,即∠AOE=3∠BOE,设∠BOE=30°=30°.(3)根据题意，可得∠AOD=90°+60°=150°，∠AOB= ∠a,则∠AOE=3∠a,∠BOD=70°-∠a=∠COD,因为(90-15t)°，∠AOC=(90+10t)°.当OB与OA重合时，∠AOB= ∠AOC为平角，所以∠AOE+∠DOE+∠COD=180°，即0°，即0=90-15t,解得t=6,此时，∠AOC=(90+10t)°-150°= 3∠a十70°+70°-∠a=180°，解得∠a=20°，所以∠BOE=∠AOD,即OC与OD重合，所以当OB与OA重合时，OC与 20°，又因为OM⊥OB,所以∠MOB=90°，所以∠MOE=OD也重合，此时停止运动，所以分三种情况讨论：①当OB平 54》 分∠A0D时，∠A0B=?∠A0D=-合×150°=75，所以 ∠DCE=90°+90°=180°.(2)分两种情况：①如图1，因为 CE∥AB,所以∠ACE=∠A=30°，所以∠ACD=∠DCE 90-15t=75,解得t=1;②当OC平分∠BOD时，∠BOC= ∠ACE=90°-30°=60°；②如图2，因为CE∥AB,所以∠BCE= ∠AOC-∠AOB=(90+10t)°-(90-15t)°=(25t)°，∠COD= ∠B=60°，所以∠ACD=360°-∠ACB-∠BCE-∠DCE= ∠AOD-∠A0C=150°-(90+10t)°=(60-10t)°，所以25t= 360°-90°-60°-90°=120°.综上所述，当∠ACD=60°或 60-10,解得=号；③当OB平分∠A0C时，∠AOB=(90 ∠ACD=120°时，CE∥AB. 15t)°，∠B0C=(15t)°+(10t)°=(25t)°，因为∠AOB= ∠B0C,所以90-151=25，解得1=号.综上所述，图中有- 条射线平分另外两条射线所夹角时：的值为1或号或是。 练习38平行线的判定 1.②③解析：因为a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4,a4∥as, a5⊥a6,as∥a?,…(如图所示)，所以该组直线间的关系4次 D 一循环.因为100=25×4，所以a10∥a4.又因为a1∥a4,所以 B 图1 图2 a1∥a1o0,故①错误；因为60=15×4,70÷4=17…2，所以 (3)当∠ACB与∠DCE有重叠部分时，如图3，由(1)知， a60∥a4,ao∥a2,又因为a2⊥a4,所以a6o⊥ao,故②正确；因 ∠BCE+∠ACD=180°，设∠ACD=∠a,则∠BCE=180°- 为35÷4=83,55÷4=133，所以a5∥as5∥a3,故③ ∠a,又因为∠BCE=3∠ACD,所以180-∠a=3∠a,解得 正确；因为93÷4=23…1,95÷4=23…3，所以a93∥a1, ∠a=45°，所以∠ACD=45°，又因为∠DCE=90°，所以∠ACE= as∥ag∥a2,又因为a1⊥a2,所以ag3⊥a5,故④错误.综上所 45°，又因为∠E=45°，所以DE⊥AC;当∠ACB与∠DCE没 述，正确的结论有②③. 有重叠部分时，如图4，因为∠ACB+∠ACD+∠DCE+ ∠BCE=360°，而∠ACB=∠DCE=90°，所以∠ACD十∠BCE= 180°，设∠ACD=∠a,则∠BCE=180°-∠a,又因为∠BCE= 3∠ACD,所以180-∠a=3∠a,解得∠a=45°，所以∠ACD= 45°，又因为∠D=45°，所以∠ACD=∠D,所以DE∥AC.综 2.因为OD平分∠EOB,所以∠DOE=∠BOE.因为 :上所述，∠ACD的度数为45°，DE与AC的位置关系为DE⊥ AC或DE∥AC OF平分∠AOE,所以∠EOF=号∠AOE.所以∠FOD= ∠B0F+∠D0E=3(∠A0E+∠B0E)=号×180=90：.又 因为GH⊥CD,所以∠GHO=90°，所以∠GHO=∠FOD,所 D 以GH∥FO. 3.(1)∠BCD=∠ACE∠BCE+∠ACD=180° D 解析：因为∠BCD十∠ACD=90°，∠ACE+∠ACD=90, 所以∠BCD=∠ACE.因为∠BCE=∠ACB+∠ACE,所以 B ∠BCE+∠ACD=∠ACB+∠ACE+∠ACD=∠ACB+ 图3 图4 《55 练习39平行线的性质 练习40平行线的性质与判定 1.D解析：由平行线的性质可知，与∠F相等的角有 1.D解析：因为BC⊥BD,所以∠DBE+∠CBE=90°， ∠A,∠ADC,∠C,∠CGE,共4个 ∠ABC+∠DBF=9O°，因为BD平分∠EBF,所以∠DBE= 2.54°解析：由折叠的性质，得∠FEC=∠FEC=63°. ∠DBF,所以∠ABC=∠CBE,所以BC平分∠ABE,故①正 因为四边形ABCD是长方形，所以CE∥DF,所以∠DFE十 确；因为BC⊥BD,所以∠CBD=90°，所以∠BCD+∠D= ∠FEC=180°，∠AFE=∠FEC=63°，所以∠DFE=180°- 90°，故③正确；因为AF∥CD,所以∠ABC=∠BCE,因为BC 平分∠ACD、∠ABE,所以∠ACB=∠BCE,∠ABC=∠CBE, ∠FEC=180°-63°=117°.又由折叠的性质，得∠DFE= 所以∠ACB=∠CBE,所以AC∥BE,故②正确；因为AF∥ ∠DFE=117°，所以∠AFD'=∠DFE-∠AFE=117°- CD,所以∠DEB=∠ABE=2∠ABC,∠D=∠DBF,因为无 63°=54°. 法说明∠D=∠DEB,所以无法说明∠DBF=2∠ABC,故④ 3.(1)因为∠ACB=30°，所以∠ACN=180°一∠ACB= 错误；因为AF∥CD,所以∠ABC=∠BCE,因为BC平分 150°，因为CE平分∠ACN,所以∠ECN=?∠ACN=75',因 ∠ACD、∠ABE,所以∠ABE=2∠ABC=2∠BCE=2∠ACB, 为PQ∥MN,所以∠QEC+∠ECN=180°，所以∠QEC= 故⑤正确.综上所述，正确的结论有①②③⑤，共4个. 180°-75°=105°，所以∠DEQ=∠QEC-∠CED=105°-45°= 2.24°解析：如图，延长AB交DE于点H.因为BC∥ 60°.(2)①因为BG∥CD,所以∠GBC=∠DCN,因为 DE,a=50°，所以∠BHE=a=50°.因为CD∥EF,B=26°，所 ∠DCN=∠ECN-∠ECD=75°-45°=30°，所以∠GBC= 以∠DEF=B-26°.因为AB∥EG,所以∠HEG=∠BHE= 50°，所以y=∠HEG-∠DEF=50°-26°=24. 30°，所以4t=30,解得t=7.5,即在旋转过程中，若BG∥CD, t的值为7.5.②如图1，当BG∥HK时，延长KH交MN于 a 点R,因为BG∥KR,所以∠GBN=∠KRN,因为∠QEK= 60°+3t,∠K=∠QEK+∠KRN,所以∠KRN=90°-(60°+ 3.(1)因为BD⊥AC,EF⊥AC,所以BD∥EF,所以 3D=30°-3，所以4=30°-36，解得=9；如图2，当BG∥ ∠2=∠CBD.因为∠2=∠1，所以∠1=∠CBD,所以DG∥ HK时，延长HK交MN于点R,因为BG∥KR,所以∠GBN+ BC.(2)∠BQE=2∠BNE.理由如下：由(I)可得BD∥EF, ∠HRB=180°，因为∠QEK=60°+3t,∠EKR=∠PEK+ 所以∠QNE=∠NEF.因为EN平分∠QEF,所以∠NEF= ∠NEQ,所以∠QNE=∠NEQ.因为∠BQE=∠QNE+ ∠KRM,所以∠KRM=90°-(180°-60°-3)=3t-30°，所以 4t+3t一30°=180°，解得t=30.综上所述，当BG∥HK时， ∠QEN,所以∠BQE=2∠BNE.(3)135°-解析：因为 t的值为9或30. EM平分∠BEQ,所以∠BEM=∠MEQ.因为∠BEN= ∠BME,∠EBM=∠EBN,所以∠BEM=∠BNE,因为∠NEQ= ∠BNE,∠NEQ=∠NEF,所以∠BEM=∠MEQ=∠NEQ= ∠NEF.因为BD∥EF,所以4∠BEM+∠EBM=180°，因为 ∠1=∠EBM=a,所以4∠BEM=180°-a,所以∠BEM= R 图1 图2 180°-C,所以∠BEN=3∠BEM=135°-3e 4 56七年级上册 练习31直线、射线、线段的计数问题 【方法提示】直线上有n个点时，线段的条数为(n一1)十(n一2)+(n一3)十…+3+2+1= n(”,1D,几条直线两两相交时，交点个数最少为1，最多为每两条直线相交且交点不重合；直 2 线分平面的个数问题可以利用由特殊到一般的方法寻找规律解题。 1.若平面内有3个点，过其中任意两点画直线，最多可画3条直线；若平面内有4个点，过其 中任意两点画直线，最多可画6条直线；若平面内有5个点，过其中任意两点画直线，最多 可画10条直线；…若平面内有个点，过其中任意两点画直线，最多可画 条 直线 2.我们知道，在同一平面内两条直线相交只有一个交点，三条直线两两相交最少有1个交点， 最多有3个交点 (1)问：同一平面内的四条直线两两相交，最少有几个交点？最多有几个交点？ (2)问：同一平面内的五条直线两两相交，最多有几个交点？ (3)请探究：同一平面内若有n条直线两两相交，则最多有几个交点？（用含n的代数式表示) 3.先画一画，再回答下列问题： 画1条直线，可将平面分成2个部分； 画2条直线，最多可将平面分成4个部分； 画3条直线，最多可将平面分成7个部分； 那么，画6条直线最多可将平面分成多少个部分？画条直线呢？ 《31 提分练习 练习32线段的计算 【方法提示】直线上的动点问题通常用速度和时间表示出相应的线段长，根据线段之间的数量 关系，列方程解决，有时还需要注意讨论不同的情况。 1.如图，P是线段AB上任意一点，AB=12cm,C、D两点分别从点P、B同时向点A运动，且 点C的运动速度为2cm/s,点D的运动速度为3cm/s,运动时间为ts. CP DB (1)若AP=8cm. ①运动1s后，求CD的长； ②当点D在线段PB上运动时，试说明AC=2CD (2)如果t=2,CD=1cm,那么AP的长为 2.如图，数轴上A、B两点对应的有理数分别为一10和20，点P从点O出发，以1个单位长 度/s的速度沿数轴正方向匀速运动，同时点Q从点A出发，以2个单位长度/s的速度沿数 轴正方向匀速运动，设运动时间为ts. (1)分别求当t=2及t=12时，对应的线段PQ的长度 (2)当PQ=5时，求所有符合条件的t的值，并求出此时点Q所对应的数 (3)若点P一直沿数轴的正方向运动，点Q运动到点B时，立即改变运动方向，沿数轴的负 方向运动，到达点A时，随即停止运动，在点Q的整个运动过程中，是否存在合适的t 值，使得PQ=8?若存在，求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由， B 32》 七年级上册 《 练习33钟面角 【方法提示】钟表中时针的速度为每分钟0.5°，分针的速度为每分钟6°，钟面上一大格是30°， 一小格是6°，钟面角问题需要弄清时针和分针的夹角与时间之间的关系， 1.在某个时刻，时钟的时针与分针在同一条直线上，最少经过 min,时针与分针又一 次在同一条直线上， 2.钟表在12点钟时三针重合，经过多少分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分？ 3.【问题一】甲、乙两车分别从相距180km的A、B两地出发，甲车速度为36km/h,乙车速度 为24km/h,两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），多长时间后两车相距120km? 【问题二】将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，OA表示时 针，OB表示分针(O为两针的旋转中心).下午3点时，OA与OB成直角. (1)分针每分钟转过的角度是 ,时针每分钟转过的角度是 (2)3:40时，时针与分针所成的角度是 (3)在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过多长时间，时针与分针成60°角？ 12 BA 0A3 《33 提分练习 练习34角平分线有关计算 【方法提示】角平分线有三种表示两角之间的数量关系：①相等关系；②2倍关系；③的关系. 解题时通常选择其中一种关系把未知角用已知角表示出来，再根据角的和差关系进行计算。 1.将一副三角尺按如图所示的方式放置，其中30°角与45°角共顶点.若CM平分∠ACD, CN平分∠ACE,则∠MCN的度数是 () A.15° B.22.5° C.30° D.无法确定 D (第1题) (第2题) 2.如图，在平面内，O是直线AC上一点，∠AOB=60°，射线OC不动，射线OA、OB同时开始 绕点O顺时针转动，射线OA首次回到起始位置时两线同时停止转动，射线OA、OB的转 动速度分别为40°/s和20°/s.若转动ts时，射线OA、OB、OC中的一条是另外两条组成角 的角平分线，则t的值为 3.已知∠AOD=160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线. (1)如图1，若OM平分∠AOB,ON平分∠BOD,则∠MON的度数为 (2)如图2，若∠BOC=20°，OM平分∠AOC,ON平分∠BOD.求∠MON的度数. (3)在(2)的条件下，若∠AOB=10°，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/s的速度逆时针 旋转ts时，∠AOM:∠DON=2:3,求t的值. 图1 图2 34》 七年级上册 练习35补角、余角 【方法提示】补角与余角是指角的数量关系，不是指位置关系；求一个角的补角或余角，应从数 量关系人手，若该角不是特殊角，需设未知数，利用补角或余角的关系表示另一个角；补角或余 角的关系经常还需要从图形中或题中的直角发现. 1.如图，点A、O、B在同一条直线上，射线OD平分∠BOC,设∠AOD=a(135°<a<180°). (1)当a=150时.求∠AOC的度数 (2)若在∠AOD的内部画射线OE,使∠BOE=90°，求证：∠DOE与∠DOC互余. (3)若∠DOE与∠DOC互余，求∠BOE的度数（可用含α的代数式表示）. D 备用图 2.如图，∠AOB=120°，射线OC在平面内. (1)若∠AOC与∠BOC互补，则∠BOC的度数为 (2)射线OC绕点O从射线OA的反向延长线的位置出发，顺时针旋转，旋转角记为 ∠a(0°<∠a<180),OM平分∠AOC ①若∠BOC=90°，则∠MOB的度数为 ②是否存在∠a的值，使得∠MOC与∠BOC互余，若存在，求出∠α的值；若不存在，请 说明理由. 《35 提分练习 练习36对顶角 【方法提示】对顶角既有数量关系又有位置关系；利用数量关系可以将角进行转化，根据题中角 的和差倍分关系进行角度的计算；角度的计算通常要运用方程思想和分类讨论思想， 1.如图，直线AB与CD相交于点O,∠DOE=∠a,∠DOF:∠AOD=2:3, D 射线OE平分∠BOF,则∠BOC的度数是 A.30° B.40° C.540°-5∠a D.540°-6∠a 2.已知直线AB与CD相交于点O (1)如图1，若∠AOM=90°，OC平分∠AOM,则∠AOD的度数为 (2)如图2，若∠AOM=90°，∠BOC=4∠BON,OM平分∠CON,求∠MON的度数， (3)如图3，若∠AOM=a,∠BOC=4∠BON,OM平分∠CON,求∠MON的度数（用含 a的式子表示) 图1 图2 图3 3.已知直线AB和CD交于点O,∠AOC的度数为x,∠BOE=90°，OF平分∠AOD. (1)当x=20时，∠EOC= °，∠FOD= (2)当x=60°时，射线OE从OE开始以10°/s的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF从 OF开始以8°/s的速度绕点O顺时针转动，当射线OE转动一周时射线OF'也停止转 动，则至少经过多少秒射线OE与射线OF'重合？ (3)在(2)的条件下，射线OE在转动一周的过程中，当∠EOF'=90°时，请直接写出射线 OE转动的时间. 36 七年级上册 练习37垂直 【方法提示】根据垂直的定义可以得到90°的角，结合角的和差关系及方程思想和分类讨论思想 解题 1.已知∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠AOB<∠BOC,OD平分∠BOC,射线OE在 ∠AOB内部，且4∠BOE+∠BOC=180°，∠DOE=70°，OM⊥OB,则∠MOE的度数为 2.如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以4°/s的速度转 动，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以6°/s的速度转动，直线MN保持不动，如图2，设 转动时间为ts(0≤t≤60)， M 0 B一N 图1 图2 (1)当t=3时，求∠AOB的度数， (2)在转动过程中，当∠AOB第二次达到80时，求t的值， (3)在转动过程中是否存在这样的t,使得射线OB与射线OA垂直？如果存在，请求出t的 值；如果不存在，请说明理由 3.如图1，OA⊥OB,∠COD=60°. (I)若∠BOC-∠AOD,求∠AOD的度数. (2)若OC平分∠AOD,求∠BOC的度数. (3)如图2，射线OB与OC重合，若射线OB以15°/s的速度绕点O逆时针旋转，同时射线 OC以10°/s的速度绕点O顺时针旋转，当射线OB与OA重合时停止运动.设旋转的时 间为ts,请直接写出图中有一条射线平分另外两条射线所夹角时t的值. B B(C) 图1 图2 《37 提分练习 练习38平行线的判定 【方法提示】从已知图形中找出相等的同位角、内错角或互补的同旁内角，并判定相应的两条直 线平行. 1.在同一平面内，有直线a1、a2、ag、…、a1o,若a1⊥a2,a2∥ag,ag⊥a4,a4∥a5,a5⊥a6,a6∥a1, 按此规律下去，有以下结论：①a1⊥a1oo;②a6o⊥ao;③a35∥a55;④ag3∥ag5.其中正确的结论 有 (填序号) 2.如图，直线AB、CD相交于点O,OD平分∠EOB,OF平分∠AOE,GH⊥CD,垂足为H,试 说明GH∥FO. 3.如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A=30°，∠B=60°，∠D= ∠E=45°. 【观察猜想】 (1)∠BCD与∠ACE的数量关系是 ;∠BCE与∠ACD的数量关系是 【类比探究】 (2)若保持三角板ABC不动，将三角板DCE绕直角顶点C顺时针转动，试探究：当∠ACD 等于多少度时，CE∥AB?画出图形并简要说明理由. 【拓展应用】 (3)若∠BCE=3∠ACD,求∠ACD的度数，并直接写出此时DE与AC的位置关系， D 38》 七年级上册 练习39平行线的性质 【方法提示】由已知图形中的两条平行线被第三条直线所截，得出同位角相等或内错角相等或 同旁内角互补，从而求出相应的角！ 1.如图，AB∥CD∥EF,AF∥CG,则图中与∠F(不包括∠F)相等的角有 ( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，点C、D的对应点分别为C'、D',若∠FEC的 度数为63°，则∠AFD的度数为 D 3.如图，直线PQ∥MN,一副三角尺（∠ABC=∠CDE=90°，∠ACB=30°，∠BAC=60°， ∠DCE=∠DEC=45)按如图1放置，其中点E在直线PQ上，点B、C均在直线MN上， 且CE平分∠ACN. (1)求∠DEQ的度数. (2)如图2，若将△ABC绕点B以4°/s的速度逆时针方向旋转（点A、C的对应点分别为F、 G),设旋转时间为ts(0≤t≤45). ①在旋转过程中，若BG∥CD,求t的值； ②若在△ABC绕点B旋转的同时，△CDE绕点E以3°/s的速度顺时针方向旋转 (,点C、D的对应，点分别为H、K).当BG∥HK时，请求出t的值 P 。 D M M B 图1 图2 备用图 《39 提分练习 练习40平行线的性质与判定 【方法提示】平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系.平行线的性质是由平行 关系来寻找角的数量关系.性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定 两直线平行 1.如图，AF∥CD,BC平分∠ACD,BD平分∠EBF,且BC⊥BD,下列结论正确的有() ①BC平分∠ABE;②AC∥BE;③∠BCD十∠D=90°；④∠DBF=2∠ABC;⑤∠ABE= 2∠ACB. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D EG (第1题) (第2题) 2.如图，AB∥EG,CD∥EF,BC∥DE,若a=50°，B=26°，则Y的度数为 3.如图，已知BD⊥AC,EF⊥AC,垂足分别为D、F.∠1=∠2，Q是线段BD上一点（不与端 点B重合)，EM、EN分别平分∠BEQ和∠QEF交BD于点M、N. (1)请说明：DG∥CB. (2)当点Q在BD上移动时，请写出∠BQE和∠BNE之间满足的数量关系，并说明理由. (3)若∠1=，则当点Q移动到使∠BEN=∠BME时，请直接写出∠BEN= (用 含α的代数式表示)： 40》