专题讲义 双曲线中的焦点三角形问题-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题研究 双曲线中的焦点三角形问题(教师版) 精准对点： ①双曲线中焦点三角形的周长问题;②双曲线中焦点三角形的面积问题；③双曲线中焦点三角形中涉及最值，斜率，距离，角度，离心率等问题. 必备知识： 双曲线上的点与两焦点,构成的叫作焦点三角形.如图所示,设 ，则 （1）; （2） . 解题通法： 在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合,运用平方的方法,建立与的联系. 精准对点训练题目： 一、单选题 1．设P是双曲线右支上一点，，分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点，Q为线段的中点，若，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】利用双曲线的标准方程，结合双曲线的定义，可得问题答案. 【详解】由双曲线，则， 由于为的中点，Q为线段的中点，且， 所以，则. 故选：C. 2．已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与的距离为2，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】先应用双曲线定义得出，，再应用余弦定理计算求解即可. 【详解】因为，， 由双曲线的定义可知，得， 又因为， 在中，， 所以. 故选：B． 3．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点作斜率为的直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用双曲线的定义式，结合题设条件，推得，设在中，利用余弦定理可得关于的齐次方程，解之即得离心率. 【详解】    如图，根据双曲线的定义得，， 由于，，则， 所以．设由题可得，则， 在中，由余弦定理，可得整理得， 即，因，则可得 . 故选：C． 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线垂直于的一条渐近线，且与的左、右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】连接，由题意可得，由余弦定理化简得，求得即可. 【详解】由，可得，连接，则． 设双曲线的渐近线方程为，即，右焦点为， 右焦点到渐近线的距离为， 因为垂直于的一条渐近线，所以． 在中，由余弦定理可得， 即，化简整理得， 解得或（舍去），故的渐近线方程为． 故选：A. 5．设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】设，利用双曲线定义，可得，又由勾股定理得，联立求得，即得三角形的面积. 【详解】 如图，由可知，， 由对称性，不妨设点在第一象限， 设，由定义， ， ， 的面积为. 故选：B 6．双曲线C：的右支上一点P在第一象限，分别为双曲线C的左、右焦点，M为的内心，若内切圆M的半径为1，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二倍角的正切公式、直线斜率的定义、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据给定条件，切线长定理以及双曲线的定义求出点的坐标，再结合斜率的定义及二倍角的正切公式求解. 【详解】双曲线的实半轴长，焦点， 设圆与三边分别相切于点， 则， 又，解得，， 则点，因为轴，所以由题，， 所以直线的斜率.    故选：D 7．为双曲线上的任意一点，为焦点，若，则三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据双曲线的定义和余弦定理以及三角函数二倍角公式即可求解. 【详解】设，，， 列， 所以． ， 故选：A． 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点，分别交轴于两点，若的周长为16，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据的周长为16得的周长，然后结合双曲线的定义及通径长得，然后利用基本不等式求解最值即可. 【详解】如图：，则∽，    由的周长为16，所以的周长为32， 因为是双曲线的通径，所以， 因为，，， 可得，则， 所以，由可得． 则， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C． 二、多选题 9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则（    ） A． B．的离心率为 C．的面积为 D． 【答案】ACD 【知识点】利用双曲线定义求方程、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】根据双曲线的定义、标准方程和几何性质，结合选项计算依次判断即可. 【详解】A：因为，解得，故A正确； B：双曲线，所以， 的离心率，故B错误； C：因为，所以， 则的面积为，故C正确； D：所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 10．已知双曲线：（，）的离心率为3，，分别为的左、右焦点，为上一点，若的面积等于16，且，则（   ） A． B．焦距为3 C．焦点到渐近线的距离为 D．双曲线的方程为 【答案】ACD 【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】由离心率解出即可判断A，由双曲线的定义和余弦定理结合题意解出即可判断BD，利用点到直线的距离公式即可判断C. 【详解】A选项，因为双曲线的离心率为3，所以， 解得，故A正确； B选项，设，（），则的方程为. 由双曲线的定义可知，. 在中，. 由余弦定理有， 所以， 即，解得. 又因为，所以， 则，解得， 所以，故B错误， C选项，渐近线方程为， 焦点到渐近线的距离，故C正确； D选项，由，所以双曲线的方程为，故D正确. 故选：ACD. 11．已知点在左、右焦点分别为的双曲线上，，则（    ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C． D． 【答案】BC 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据方程可求渐近线方程和离心率，求出可判断CD选项. 【详解】由题意可得，焦点在轴上，所以， 渐近线方程为，离心率为，A错误，B正确； 不妨设点在双曲线的右支上，所以， 因为，所以， 所以，C正确； ，所以，D错误. 故选：BC 三、填空题 12．已知是双曲线的两个焦点，是上一点，且，则点到轴的距离为 ． 【答案】/ 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据余弦定理和双曲线定义可求得，采用面积法可构造方程求得结果. 【详解】由双曲线方程知：实轴长，虚轴长，焦距； 设，，由双曲线定义可知：，    在中，由余弦定理得， ，则，又， ，解得：， 点到轴的距离为. 故答案为：. 13．已知双曲线的右焦点为，为其左支上任意一点，点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据双曲线的定义得到焦点坐标和，通过分析当，，三点共线（点在图中点处）时，周长最小，计算得到结果； 【详解】如图，的周长，， 因为，所以， 当，，三点共线（点在图中点处）时，周长最小， ，， 此时． 所以答案为：. 14．已知双曲线，，分别为其左、右焦点，O为坐标原点，为E上一点，且，M为的中点，则 . 【答案】1或7 【知识点】双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】由双曲线方程得到的值，根据双曲线的定义，分在左支和右支两种情况分别求出并讨论是否成立，再利用三角形的中位线即可求出. 【详解】因为双曲线，所以，， 故焦点坐标为. ①若在左支上， ，， 由双曲线的定义可知， 因为，所以，而，所以符合题意. 因为M为的中点，所以在中， 由三角形中位线定理可知； ②若在右支上， ，， 由双曲线的定义可知， 因为，所以，而，所以符合题意. 因为M为的中点，所以在中， 由三角形中位线定理可知； 故答案为：1或7 四、解答题 15．已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线l过点，交双曲线的左支于A、B两点，且，求的周长． 【答案】4a＋2m 【知识点】双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】由题意画出双曲线的图象，利用双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值2a”，求出周长即可． 【详解】根据题意双曲线，双曲线图象如图： 由双曲线的定义得：        得：，即 周长为． 故答案为：． 16．已知双曲线的左、右焦点分别是，. (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)如图，若P是双曲线左支上的点，且，求的面积. 【答案】(1)10或22 (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】（1）根据双曲线的定义求解； （2）由双曲线的定义和余弦定理得得解. 【详解】（1）双曲线的标准方程为， 故，，， 由双曲线的定义得， 又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16， 假设点M到另一个焦点的距离等于x， 则，解得或. 故点M到另一个焦点的距离为10或22. （2）由双曲线的定义和余弦定理得， ， 所以， 所以， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题研究 双曲线中的焦点三角形问题(学生版) 精准对点： ①双曲线中焦点三角形的周长问题;②双曲线中焦点三角形的面积问题；③双曲线中焦点三角形中涉及最值，斜率，距离，角度，离心率等问题. 必备知识： 双曲线上的点与两焦点,构成的叫作焦点三角形.如图所示,设 ，则 （1）; （2） . 解题通法： 在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合,运用平方的方法,建立与的联系. 精准对点训练题目： 一、单选题 1．设P是双曲线右支上一点，，分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点，Q为线段的中点，若，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与的距离为2，则（   ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点作斜率为的直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线垂直于的一条渐近线，且与的左、右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 5．设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 6．双曲线C：的右支上一点P在第一象限，分别为双曲线C的左、右焦点，M为的内心，若内切圆M的半径为1，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 7．为双曲线上的任意一点，为焦点，若，则三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点，分别交轴于两点，若的周长为16，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 二、多选题 9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则（    ） A． B．的离心率为 C．的面积为 D． 10．已知双曲线：（，）的离心率为3，，分别为的左、右焦点，为上一点，若的面积等于16，且，则（   ） A． B．焦距为3 C．焦点到渐近线的距离为 D．双曲线的方程为 11．已知点在左、右焦点分别为的双曲线上，，则（    ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C． D． 三、填空题 12．已知是双曲线的两个焦点，是上一点，且，则点到轴的距离为 ． 13．已知双曲线的右焦点为，为其左支上任意一点，点，则周长的最小值为 ． 14．已知双曲线，，分别为其左、右焦点，O为坐标原点，为E上一点，且，M为的中点，则 . 四、解答题 15．已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线l过点，交双曲线的左支于A、B两点，且，求的周长． 16.已知双曲线的左、右焦点分别是，. (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)如图，若P是双曲线左支上的点，且，求的面积. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $