1.4 定点数和浮点数（课件）-《计算机原理》(电工版第五版) 同步精品课堂

计算机原理 -第5课时- 电工版第五版 定点数和浮点数 教学目标 了解计算机中用二进制数表示实数的定点法和浮点法 掌握定点数的两种表示方法及范围 理解浮点数的概念、编码格式、取值范围、规格化及对阶操作 教学重难点 定点数的表示方法及范围 浮点数的概念、编码格式、取值范围 定点数和浮点数在实际应用中的选择 让我们一起开启单片机的学习之旅。 导入新课 在计算机中，可以通过定点法和浮点法用二进制数来表示实数 定点法和浮点法各有什么特点和应用场景呢？ 视频中提到的浮点数的表示方法有哪些？ 让我们一起开启计算机应用的学习之旅。 新知讲授 概述 计算机处理的 “实数” 涵盖整数（如 - 10、20）、纯小数（如 0.25、-0.75）和混合小数（如 3.125、-10.5），由于二进制数仅由 0 和 1 组成，需通过特定规则表示小数点位置，因此分为定点法和浮点法两种： 定点法（Fixed-Point Representation） 小数点位置固定不变，在硬件设计和软件编程中预先约定小数点的位置，无需额外存储小数点信息。 计算机中实数的表示方法 浮点法（Floating-Point Representation） 小数点位置随数值大小浮动，通过 “尾数”（表示有效数字）和 “阶码”（表示小数点偏移量）共同记录数值，需额外存储阶码信息 新知讲授 定点数的概念 定点数是指小数点的位置在计算机中被预先固定的数，其核心是 “通过约定位置，避免额外存储小数点信息”，根据小数点约定位置的不同，分为两种表示形式： 规定小数点固定在最高数值位之前，机器中能表示的所有数都是小数； 规定小数点固定在最低数值位之后，机器中能表示的所有数都是整数。 位置约定：小数点固定在 “符号位” 和 “最高数值位” 之间，结构为 “符号位。数值位” 数值类型：仅能表示纯小数（如 0.101B、-0.011B），无法表示整数或混合小数 定点法 定点小数（小数点在最高数值位之前） 定点整数（小数点在最低数值位之后） 位置约定：小数点固定在 “最低数值位” 之后，结构为 “符号位 数值位 . ” 数值类型：仅能表示整数（如 101B、-110B），无法表示纯小数或混合小数。 新知讲授 定点法 - 小数点在最高数值位之前 正数情况：符号位为 0，数值位全 1 时，数值为 0.111...1（n 个 1），二进制下该值接近 1（但小于 1，因无法达到 1）；数值位全 0 时，数值为 0.000...0=0，因此正数范围为 0 < N < 1​ 负数情况：符号位为 1，数值位全 1 时，数值为 - 0.111...1（接近 - 1）；数值位全 0 时，数值为 - 0.000...0=0，因此负数范围为 -1 < N < 0​ 综合范围：-1 < N < 1（N 为定点小数，n 为数值位位数） 定点法 新知讲授 定点法 - 小数点在最低数值位之后 正数情况：符号位为 0，数值位全 1 时，数值为 111...1B（n 个 1）= 2ⁿ - 1（十进制）；数值位全 0 时，数值为 0，因此正数范围为 0 < N < 2ⁿ​ 负数情况：符号位为 1，数值位全 1 时，数值为 - 111...1B = -(2ⁿ - 1)；数值位全 0 时，数值为 - 0=0，因此负数范围为 -2ⁿ < N < 0​ 综合范围：-2ⁿ < N < 2ⁿ（N 为定点整数，n 为数值位位数） 定点法 新知讲授 定点数的两种表示示例 示例 1：8 位定点小数（1 位符号位 + 7 位数值位，小数点在符号位与数值位之间） 符号位 (S) . 数值位 (D₆ D₅ D₄ D₃ D₂ D₁ D₀)​ ↓ ↓ ↓↓↓↓↓↓↓​ 0 . 1 0 1 0 0 0 0 → 0.1010000B = 0.625D（正数）​ 1 . 1 0 1 0 0 0 0 → -0.1010000B = -0.625D（负数） 定点法 关键说明 符号位 S=0 表正，S=1 表负；​ 数值位 D₆为最高数值位，D₀为最低数值位；​ 最大正数：0.1111111B = 127/128 ≈ 0.992D；​ 最小负数：1.1111111B = -127/128 ≈ -0.992D；​ 范围：-127/128 < N < 127/128（接近 - 1~1）。 新知讲授 定点法 - 比例因子及溢出问题 比例因子（Scaling Factor）是指在定点数表示中，为了让定点数能表示 “超出其原生范围的数值”（如用定点小数表示整数，或用定点整数表示小数），而预先设定的 “缩放倍数”。 其核心作用是通过 “放大 / 缩小原始数据”，将数据映射到定点数的表示范围内，运算后再通过比例因子恢复原始值。 溢出问题的解决方法​：调整比例因子、扩展字长 定点法 新知讲授 浮点数的数学表达式 任意一个二进制实数 N（包括整数、小数、混合小数），都可以表示为N = ±d × 2ᵖ 的标准形式，各部分定义如下： d（尾数，Mantissa）：是二进制纯小数（0 <|d| < 1），表示数的 “全部有效数字”，决定浮点数的精度（尾数位数越多，有效数字越多，精度越高）；​ p（阶码，Exponent）：是二进制整数（可正可负），表示 “2 的幂次”，决定小数点的位置（阶码为正，小数点右移；阶码为负，小数点左移）；​ ±（数符，Sign）：表示数的正负（正号可省略，负号需明确标注），与尾数共同决定数的整体符号。 浮点法 新知讲授 浮点数的编码格式 为了在计算机中存储浮点数，需将 “数符、阶码、尾数” 的二进制信息按固定格式排列，通用编码格式为（从高位到低位）：​ 总位数 = 1（阶符 + m（阶码 + 1（数符）+ n（尾数）= m + n + 2 位；​ 各部分功能分工明确，确保计算机能快速解析出浮点数的数值。 浮点法 1 位阶符（Sₑ） + m 位阶码（E） + 1 位数符（Sₘ） + n 位尾数（M） 新知讲授 浮点数的取值范围 浮点数的取值范围由 “尾数的范围” 和 “阶码的范围” 共同决定，基于浮点数的标准形式 N = ±d × 2ᵖ： 尾数 d 的范围：0 < |d| < 1，且 d=0.M（M 为 n 位尾数，故 d 的最大值为 1 - 2⁻ⁿ，最小值为 2⁻ⁿ，因 M 最小为 000...1B=2⁻ⁿ）；​ 阶码 p 的范围：-(2ᵐ - 1) ≤ p ≤ 2ᵐ - 1（m 为阶码位数，阶符 + 阶码决定）；​ 因此，浮点数的绝对值 | N|=|d|×2ᵖ，其范围由 | d | 的极值和 p 的极值组合得到。 浮点法 新知讲授 规格化操作 规格化操作是指 “将非规格化浮点数转换为规格化浮点数的过程”， 核心逻辑是 “通过调整尾数的位置（左移或右移），使尾数满足规格化标准（0.5≤|d|<1），同时反向调整阶码，保证浮点数的数值不变” 规格化操作实例 浮点法 已知浮点数 N=+1.001×2⁻²（补码编码，n=4 位尾数），规格化过程如下：​ 判断非规格化原因：尾数 d=1.001B≥1，需右规；​ 右规操作：尾数右移 1 位→0.1001B（规格化），阶码加 1→-2+1=-1；​ 中间结果：N=+0.1001×2⁻¹（规格化）；​ 若进一步左规（假设误操作）：尾数左移 1 位→1.0010B（非规格化），阶码减 1→-1-1=-2，回到原始非规格化状态，验证 “移位与阶码调整的反向关系”。 新知讲授 浮点法 - 规格化浮点数 规格化浮点数是指 “尾数的有效数字最高位为非零值” 的浮点数，其核心目的是避免有效数字浪费，统一浮点数表示形式，提升数据精度。 规格化与非规格化的对比（以 n=4 位尾数（原码编码）为例） 浮点法 浮点数（N=±d×2ᵖ） 尾数 d（原码） 是否规格化 原因分析 +0.101×2³ 0.1010B 是 正数原码，最高位为 1，0.5≤0.1010B<1 -0.110×2⁻² 1.1100B 是 负数原码，数值位最高位为 1， +0.011×2⁴ 0.0110B 否 最高位为 0，d=0.0110B<0.5，有效数字前有多余 0 -0.001×2⁵ 1.0010B 否 数值位最高位为 0， 新知讲授 浮点法 - 对阶操作 对阶操作是指 “在浮点数加减运算前，将两个浮点数的阶码调整为相等的过程”，其本质是 “通过调整尾数的位置，使两个浮点数的小数点对齐”（因浮点数的小数点位置由阶码决定，阶码相等意味着小数点位置相同）。只有小数点对齐后，才能像定点数一样直接对尾数进行加减运算（如 3.14×10² + 5.6×10³，需先将 3.14×10² 转换为 0.314×10³，使阶码均为 3，再相加尾数 3.14+0.314）。 浮点法 新知讲授 浮点法 - 对阶规则 两个规格化浮点数（N₁=±d₁×2^p₁，N₂=±d₂×2^p₂）加减前，必须执行 “小阶向大阶看齐” 的对阶规则，具体分三步： 比阶：计算阶差 Δp = |p₁ - p₂|，确定大阶（p 大）和小阶（p 小）；​ 移尾：将小阶数的尾数右移 Δp 位（补码负数右移补 1，正数 / 原码补 0），确保尾数精度损失最小；​ 调阶：将小阶数的阶码更新为 p 大，此时两数阶码一致，完成对阶。 浮点法 新知讲授 定点数和浮点数的比较 浮点法 定点数适用场景：嵌入式系统（如智能手表计步，整数范围小）、传感器数据（如温度 ±50℃，用定点小数缩放）、简单控制逻辑（如灯光开关计数）；​ 浮点数适用场景：科学计算（如气象预测，数值范围大）、3D 建模（如坐标值跨度大）、金融统计（如大额资金 + 小数利率）。 随堂检测1 若采用定点法，小数点在最高数值位之前，4 位数值部分能表示的最大正数是多少（二进制）？ 答案：答案：0.111 简述浮点数规格化的作用。 答案：使浮点数表示更规范，提高数据表示的精度和效率。 练一练 随堂检测2 已知一个浮点数阶码为 3 位，尾数为 4 位，求其取值范围。 答案：2⁻⁴・2⁻(2³⁻¹) ≤ |N| ≤ (1 - 2⁻⁴)・2 (2³⁻¹) 两个规格化浮点数进行加法运算，对阶时应如何操作？ 答案：将阶码小的数的尾数右移，阶码增大，直到与另一个数的阶码相等。 练一练 随堂检测3 定点法中 “上溢” 和 “下溢” 是如何产生的？ 答案：计算过程中中间结果超过最大绝对值产生 “上溢”，小于最小绝对值产生 “下溢”。 浮点数编码格式中，阶符、阶码、数符、尾数分别有什么作用？ 答案：阶符表示阶码的正负，阶码指明小数点的位置，数符表示数的正负，尾数指明数的全部有效数字。 练一练 随堂检测4 若一个浮点数尾数为 0.0101，要进行规格化，应如何操作？ 答案：尾数左移 2 位，阶码减 2。 比较定点数和浮点数在表示范围和运算复杂度上的差异。 答案：定点数表示范围有限，运算简单；浮点数表示范围大，运算复杂。 练一练 师生互动 1 在实际的计算机应用中，如科学计算、嵌入式系统等，应如何选择定点数和浮点数表示方法？请分组讨论并说明理由。 课题小结 1. 定点法 定点数和浮点数 2. 浮点法 浮点数的概念 浮点数的编码格式 浮点数的取值范围 规格化浮点数 规格化操作 对阶操作 对阶规则 定点数的概念 小数点在最高数值位之前 小数点在最低数值位之后 比例因子及溢出问题 3. 定点数和浮点数的比较 谢谢观看 THANKS Lavf58.46.101 $