1.3 有符号二进制数的表示方法及溢出问题（课件）-《计算机原理》(电工版第五版) 同步精品课堂

计算机原理 -第4课时- 电工版第五版 有符号二进制数的表示方法及溢出问题 教学目标 了解计算机内有符号二进制数的表示方法 掌握原码、反码和补码的概念、表示及相互转换 理解有符号数运算时溢出问题的产生及判断方法 教学重难点 原码、反码和补码的表示方法 原码、反码和补码之间的转换方法 有符号数运算溢出的判断 让我们一起开启单片机的学习之旅。 导入新课 在计算机中，数分为无符号数和有符号数。 有符号数如何在计算机中表示呢？ 在运算过程中又会出现什么问题呢？ 让我们一起学习有符号二进制数的 表示方法及溢出问题。 新知讲授 概述 计算机内的数分为无符号数和有符号数，有符号数需将正、负号数字化，用一位二进制数（符号位）表示，“0” 表示正，“1” 表示负，有原码、反码和补码三种表示形式。 无符号数和有符号数 无符号数：仅表示非负整数（如 0、1、2...），所有二进制位均为数值位（如 8 位无符号数范围 0~255），适用于计数、地址等场景​ 有符号数：需表示正、负整数（如 - 3、+5...），需将 “正负号” 数字化，通常规定最高位为符号位（占 1 位），剩余位为数值位：符号位 “0” 表示正数，“1” 表示负数（如 8 位有符号数，第 7 位为符号位，第 0~6 位为数值位） 有符号二进制数的表示方法 新知讲授 原码——有符号数最基础的表示方法 规则为：符号位（最高位）+ 数值的绝对值二进制，其中符号位 “0” 表示正数，“1” 表示负数，数值位保留该数绝对值的二进制形式（若不足字长，数值位高位补 0）。 示例解析（以 8 位字长为例）​ 正数示例：+7 的绝对值为 7，7 的 8 位二进制为 00000111，符号位为 0，故 [+7] 原 = 0 0000111（可简写为 00000111B，符号位与数值位合并）​ 负数示例：-7 的绝对值为 7（二进制 00000111），符号位为 1，故 [-7] 原 = 1 0000111（简写为 10000111B） 有符号二进制数的表示方法 新知讲授 反码——为解决原码减法运算复杂而设计的过渡形式 规则分两种情况：​ 正数的反码：与原码完全相同（符号位为 0，数值位为绝对值二进制）​ 负数的反码：符号位保持为 1（表示负数），数值位对原码的数值位 “按位取反” 示例解析（以 8 位字长为例） 正数示例：+7 的原码为 00000111B，根据规则，正数反码与原码一致，故 [+7] 反 = 00000111B（十六进制 07H）​ 负数示例：-7 的原码为 10000111B，符号位保持 1，数值位 0000111 取反为 1111000，故 [-7] 反 = 11111000B（十六进制 F8H） 有符号二进制数的表示方法 新知讲授 补码 - 模的概念 “模”（Modulus）是计量系统的 “计数范围” 或 “循环周期”，类似于日常生活中的 “时钟”（模为 12，时针从 12 到 11 循环）、“月份”（模为 12）。 在计算机中，模由 “字长” 决定，即 n 位二进制数的模为 2ⁿ（所有 n 位二进制数的总数）： 8 位二进制数：可表示 0~255 共 256 个数值，故模为 2⁸=256​ 16 位二进制数：可表示 0~65535 共 65536 个数值，故模为 2¹⁶=65536 有符号二进制数的表示方法 新知讲授 补码——计算机中存储和运算有符号数的标准形式 正数的补码：与原码、反码完全一致，即符号位为 0，数值位为该数绝对值的二进制形式（因正数绝对值小于模 2ⁿ，补码 = 自身）​ 负数的补码：① 基于反码：负数的补码 = 负数的反码 + 1（最常用的计算方法）；② 基于模运算：负数的补码 = 2ⁿ - 该负数的绝对值（本质定义） 示例解析（以 8 位字长为例，模 = 256） 正数示例：+7 的绝对值为 7（二进制 00000111），符号位为 0，故 [+7] 补 = 00000111B（十六进制 07H），与原码、反码一致​ 负数示例（方法①：反码 + 1）：-7 的原码为 10000111B，反码为 11111000B，反码加 1 得 11111001B，故 [-7] 补 = 11111001B（十六进制 F9H） 有符号二进制数的表示方法 新知讲授 已知原码求补码 示例：已知某数 X 的原码为 10110100B，求 X 的补码。 1 0 1 1 0 100 （原码） 1 1 0 0 1 011 （符号位不变，数值位取反） + 1 1 1 0 0 1 1 0 0 （补码） 所以 [X] 补 = 11001100B 原码、反码和补码之间的转换 步骤：符号位不变，数值部分按位求反，再在末位加 1。 新知讲授 已知补码求原码 示例：已知某数 X 的补码为 11101110B，求其原码。 1 1 1 0 1 1 1 0 （补码） 1 0 0 1 0 0 0 1 （符号位不变，数值位取反） + 1 1 0 0 1 0 0 1 0 （原码） 所以 [X] 原 = 10010010B 原码、反码和补码之间的转换 步骤：符号位不变，数值部分按位求反后，再在末位加 1。 新知讲授 求补 将 [X] 补的所有位（包括符号位）一起逐位取反，然后在末位加 1，可得 - X 的补码 [-X] 补。 [ + 9 7 ] 补 = 0 1 1 0 0 0 0 1 （[+97]补） ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 0 0 1 1 1 1 0 （逐位取反） + 1 1 0 0 1 1 1 1 1 （[-97]补） 原码、反码和补码之间的转换 示例：求 + 97、 - 97 的补码。 [+97] 补 = 01100001 求 [-97] 补： 新知讲授 已知补码求对应的十进制数 示例：已知某数 X 的补码为 10101011B，求其所对应的十进制数。 1 0 1 0 1 0 1 1 （补码） 0 1 0 1 0 1 0 0 （按位取反） + 1 0 1 0 1 0 1 0 1B = 85 （绝对值）所求十进制数为 - 85。 原码、反码和补码之间的转换 方法 1：“求反加 1” 法 将补码按位取反，再在最低位加 1，得到绝对值，前面加负号。 方法 2：“零减补码” 法 用数零减补码，不理会最高位借位，所得结果为绝对值，结果相同。 新知讲授 8 位二进制代码表示对照表——部分 原码、反码和补码之间的转换 二进制代码表示 无符号十进制数 原码 反码 补码 00000000 0 +0 +0 +0 00000001 1 +1 +1 +1 00000010 2 +2 +2 +2 01111100 124 +124 +124 +124 01111101 125 +125 +125 +125 01111110 126 +126 +126 +126 01111111 127 +127 +127 +127 10000000 128 -0 -127 -128 10000001 129 -1 -126 -127 10000010 130 -2 -125 -126 ... ... ... ... ... 11111100 252 -124 -3 -4 11111101 253 -125 -2 -3 11111110 254 -126 -1 -2 11111111 255 -127 -0 -1 新知讲授 溢出概述 溢出（Overflow）是指有符号数在运算过程中，结果超出当前字长补码所能表示的范围，导致运算结果与实际数学结果不一致的现象。 有符号数与无符号数的溢出差异 有符号数运算时的溢出问题 新知讲授 溢出范围 n 位有符号数（补码）的溢出范围判定规则为：​ 若运算结果 > 2ⁿ⁻¹ - 1 → 正溢出（正数超出上限）；​ 若运算结果 < -2ⁿ⁻¹ → 负溢出（负数超出下限）； 有符号数运算时的溢出问题 常见字长的溢出范围实例（n=8） 补码表示范围：-2⁷ ~ 2⁷ - 1 = -128 ~ +127；​ 正溢出场景：运算结果 > +127（如 + 120 + +8=+128，+128>+127，正溢出）；​ 负溢出场景：运算结果 <-128（如 - 120 + (-10)=-130，-130<-128，负溢出）。 新知讲授 加法溢出判断 对于加运算，次高位（数值部分最高位）形成进位加入最高位，而最高位（符号位）相加（包括次高位的进位）无进位输出，或次高位无进位加入最高位，但最高位有进位输出时，发生溢出。 示例：(+72) + (+98) 有符号数运算时的溢出问题 进位位：1 0 0 0 0 0 0 0​ 操作数1：0 1 0 0 1 0 0 0 B （+72补码）​ + 操作数2：0 1 1 0 0 0 1 0 B （+98补码）​ ---------------------------​ 结果补码：1 0 1 0 1 0 1 0 B （十进制-42） 次高位（第 6 位）：1（操作数 1）+1（操作数 2）=10，产生进位（次高位有进位）；​ 最高位（第 7 位）：0（操作数 1）+0（操作数 2）+1（次高位进位）=1，无进位输出（最高位无进位）；​ 新知讲授 减法溢出判断 对于减法运算，当次高位不需从最高位借位，但最高位需借位（正数减负数，差超出范围），或次高位需从最高位借位，但最高位不需借位（负数减正数，差超出范围）时，出现溢出。 示例：(+72) - (-98) 有符号数运算时的溢出问题 被减数：0 1 0 0 1 0 0 0 B （+72）​ - 减数： 1 0 0 1 1 1 1 0 B （-98）​ ---------------------------​ 借位情况：↓ 1 1 1 0 1 1 0 （高位向低位借位）​ 结果： 1 0 1 0 1 0 1 0 B （十进制-42） 次高位（第 6 位）：被减数为 1，减数为 0，不需向最高位借位（次高位无借位）；​ 最高位（第 7 位）：被减数为 0，减数为 1，需向更高位借位（实际无更高位，视为借位成功，最高位有借位）； 随堂检测1 已知某数的原码为 11001010B，求其补码。 答案：10110110B 两个 8 位有符号数 10101010B 和 11001000B 相加，判断是否溢出。 答案：溢出 练一练 随堂检测2 求 - 123 的补码（8 位）。 答案：10000101B 已知某数补码为 11110000B，求对应的十进制数。 答案： - 16 练一练 随堂检测3 若字长为 16 位，有符号数的表示范围是多少？ 答案：根据公式 - 2ⁿ⁻¹ ≤ X ≤ 2ⁿ⁻¹ - 1 计算，得出：- 32768～+32767 计算 10101010B - 01010100B，判断是否溢出。 答案：未溢出 练一练 随堂检测4 已知某数反码为 10110110B，求其原码。 答案：11001001B 两个有符号数相加，若次高位无进位，最高位有进位，是否溢出？ 答案：是 练一练 师生互动 1 在实际编程中，如何避免有符号数运算的溢出问题？请分组讨论并列举一些可行的方法。 课题小结 1. 有符号二进制数的表示方法 有符号二进制数的表示方法及溢出问题 2. 原码、反码和补码之间的转换 已知原码求补码 已知补码求原码 求补 已知补码求对应的十进制数 8 位二进制代码表示对照表 原码 反码 补码 溢出范围 加法溢出判断 减法溢出判断 3. 有符号数运算时的溢出问题 谢谢观看 THANKS Lavf58.46.101 $