2.6 应用一元二次方程 课后练习2025-2026学年北师大版九年级数学上册

2.6 应用一元二次方程 1．某种商品原来每件售价为200元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为128元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（　　） A．200（1﹣x2）＝128 B．200（1﹣x）＝128 C．200（1﹣x）2＝128 D．200（1﹣2x）＝128 2．如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长30米，宽20米）场地，被3条宽度相等的绿化带分为总面积为480平方米的活动场所（羽毛球，乒乓球）如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（　　） A．x2﹣25x+50＝0 B．x2﹣35x+60＝0 C．x2﹣35x＝0 D．x2﹣40x+60＝0 3．电影自上映以来，第一天票房约为2亿元，以后每天票房按照相同的增长率增长，前三天累计票房达到18亿元，将增长率记为x，依题意可列出方程（　　） A．2+2x+2x2＝18 B．2（1+x）2＝18 C．（1+x）2＝18 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝18 4．某校宣传部要在矩形海报的四周增加一圈等宽的白边作为宣传版面，已知海报的长为2m，宽为1m，海报的面积占整幅宣传版面面积的，求白边的宽．若设白边的宽为xm，则根据题意可列方程为（　　） A．（2+x）（1+x）＝2×1 B．（2+2x）（1+2x）＝2×1 C．（2﹣2x）（1﹣2x）＝2×1 D．（2+2x）（1+2x）＝2×1 5．某足球联赛规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛21场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A． B． C．x（x+1）＝21 D．x（x﹣1）＝21 6．中秋节当天，某微信群里的每两个成员之间都互发一条祝福信息，共发出72条信息，设这个微信群的人数为x，则根据题意列出的方程是（　　） A．x（x﹣1）＝72 B． C．x（x+1）＝72 D． 7．某校九年级各班进行拔河比赛，每两个班之间都要赛一场，共赛28场．设共有x个班参赛，根据题意可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝28 B． C． D．x（x+1）＝28 8．九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意列出方程为（　　） A．x（x﹣1）＝2070 B．x（x+1）＝2070 C．x（x+1）＝2070 D．x（x﹣1）＝2070 9．如图，有一面积为600m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长35m），另三边用竹篱笆围成，其中一边开有1m的门，竹篱笆的总长为69m．设鸡场垂直于墙的一边为xm，则列方程正确的是（　　） A．x（69+1﹣2x）＝600 B．x（69﹣1﹣2x）＝600 C．x（69﹣2x）＝600 D．x（35+1﹣2x）＝600 10．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD，BC的中点E，F，再沿过点A的直线折叠使AD落在线段AF上，点D的对应点为点H，折痕为AG，点G在边CD上，连接GH，GF，长度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一个正根的线段为（　　） A．线段BF B．线段DG C．线段CG D．线段GF 11．用一面墙（墙的长度为9m）和13m长的篱笆围成一个面积为15m2的矩形菜园，若篱笆全部用完，则平行于墙的篱笆应设计为 　 　 m． 12．某市政府为了改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，使绿地面积增加21%，则这两年平均绿地面积的增长率为 　 　 ． 13．某种药品原来售价200元，连续两次降价后售价为162元．若平均每次下降的百分率相同，则这个百分率是 　 　 ． 14．某商品原售价为60元，4月份下降了20%，从5月份起售价开始增长，6月份售价为75元，设5，6月份每个月的平均增长率为x，则x的值为 　 　 ． 15．如图，有一农户要建一个矩形菜地，菜地的一边利用长为14m的墙，另外三边用28m长的篱笆围成，菜地面积为90m2．设矩形的边长BC为xm时，可列方程为 　 　 ． 16．某商店恰好年前进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个，如果每个口罩的售价上涨0.5元，则销售量就减少10个，若想让顾客得到实惠的同时每天利润为480元，则每个口罩应该涨价 　 　 元． 17．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）经过ts，线段BQ的长为 　 　 cm，线段PB的长为 　 　 cm． （2）如果P，Q分别从A，B同时出发那么几秒后，PQ的长度等于？ （3）△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由． 18．学校为了打造书香校园，准备分三月份和四月份两个批次分别购入A、B两款读物若干本．今年三月购入第一批读物，经了解，购买A款读物的数量为购买B款读物数量的4倍还多300本，且A、B两种读物的单价分别为15元和25元，共用去资金30000元． （1）求第一批购入A、B两款读物的数量； （2）今年四月份，恰逢世界读书月，全国各地书籍需求量增加，A款读物单价有所上涨．学校决定，若A款读物的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款读物的数量减少50本．因B款读物单价与第一批相同，所以B款读物的购入数量在第一批B款读物的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了5000元，求A款读物的单价上涨了多少元？（涨价金额为正数） 19．为巩固脱贫攻坚成果，实行乡村振兴，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件50元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价x（元/件） … 55 60 70 … 销售数量y（件） … 75 70 60 … （1）求y与x之间的函数关系式； （2）销售期间，网络平台要求每件商品获利不得高于60%． ①要使该商品每天的销售利润为1375元，求每天的销售量； ②能使每天的销售利润为1650元吗？若能，求出销售单价？否则，请说明理由． 20．阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x2+2x﹣35＝0为例，构造方法如下： 首先将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35，然后画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图①所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图①中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4．因此，可得新方程（x+x+2）2＝144．因为x表示边长，所以2x+2＝12，即x＝5．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程2x2+3x﹣2＝0，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即x（ 　 　 ）＝1； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在画图区画出示意图，标明各边长） 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 　 　 ，解得原方程的一个根为 　 　 ； 【拓展应用】一般地，对于形如x2+ax＝b的一元二次方程可以构造图②来解．已知图②是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数a＝　 　 ，b＝　 　 ，求得方程的一个正根为 　 　 ． 21．追本溯源 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，并用类似方法并完成题（2）． （1）一个长方体的长与宽的比为5：2，高为5cm、表面积为40cm2，画出这个长方体的展开图． 方案设计 （2）现有一张长为80cm、宽为40cm的矩形硬纸板制作成一个有盖的长方体收纳盒．方案设计：如图，把该硬纸板的四角剪去四个全等的小矩形，折成一个有盖的长方体收纳盒，连接处恰好重合且无重叠部分．若该收纳盒的底面积（阴影部分的面积）为250cm2，求该收纳盒的高． 22．如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm、AD＝8cm，动点P从点D出发，沿DA向终点A以1cm/s的速度移动、动点Q从点A出发沿AB﹣BC向终点C以3cm/s的速度移动，如果P、Q分别从点D，A同时出发、其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止移动．若点P移动的时间为t秒． （1）当点P在移动时，AP的长为 　 　 （用含t的式子表示）cm，t的取值范围是 　 　 ． （2）当以A、P、Q为顶点的三角形的面积为6cm2时，求t的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D B A A C D A B 11．3． 12．10%． 13．10%． 14．25%． 15．x（28﹣x）＝90． 16．2． 17．解：（1）根据题意可知AP＝tcm，BQ＝2tcm，则BP＝（5﹣t）cm． 故答案为：2t，（5﹣t）； （2）由（1）知BQ＝2tcm，BP＝（5﹣t）cm，根据勾股定理，得， BQ2+BP2＝PQ2， 即， 整理得5t2﹣10t﹣15＝0， 解得t＝3或t＝﹣1（舍去）， 所以同时出发3秒后，PQ的长度等于， 答：同时出发3秒后，PQ的长度等于； （3）不能，理由如下： ， 整理得t2﹣5t+7＝0， ∵b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×7＝﹣3＜0， ∴该方程无解． 所以△PQB的面积不能等于7cm2． 18．解：（1）设第一批购入B款读物x本，则第一批购入A款读物（4x+300）本，根据题意，得 15（4x+300）+25x＝30000， 解这个方程，得x＝300， ∴4x+300＝4×300+300＝1500． 答：第一批购入A款读物1500本，B款读物300本； （2）设A款读物的单价上涨了y元，则购入数量为（1500﹣50y）本，根据题意，得 （15+y）（1500﹣50y）+25×300×（1）＝30000+5000， 化简，得y2﹣15y＝0， 解这个方程，得y1＝15，y2＝0（不符合题意，舍去）． 答：A款读物的单价上涨了15元． 19．解：（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx+b（k≠0）， 将（55，75），（60，70）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+130； （2）①根据题意得：（x﹣50）（﹣x+130）＝1375， 整理得：x2﹣180x+7875＝0， 解得：x1＝75，x2＝105， 又∵销售期间，网络平台要求每件商品获利不得高于60%， ∴销售单价不超过50×（1+60%）＝80（元/件）， ∴x＝75， ∴﹣x+130＝﹣75+130＝55． 答：每天的销售量为55件； ②每天的销售利润不能达到1650元，理由如下： 根据题意得：（x﹣50）（﹣x+130）＝1650， 整理得：x2﹣180x+8150＝0， ∵Δ＝（﹣180）2﹣4×1×8150＝﹣200＜0， ∴该方程没有实数根， ∴每天的销售利润不能达到1650元． 20．解：【类比迁移】2x2+3x﹣2＝0， 第一步：将原方程变为x2x﹣1＝0，即x（x）＝1； 第二步：如图②，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：（x+x）2＝4×1+（）2； 解得原方程的一个根为x； 故答案为：x，（x+x）2＝4×1+（）2，x； 【拓展应用】∵x2+ax＝b， ∴x2+ax＝b， ∴x（x+a）＝b， ∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是（x+x+a）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×b+a2， ∵图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴b＝3，a2＝4， 解得：b＝3，a＝±2， 当a＝2时，（x+x+2）2＝4×3+4，2x+2＝4，x＝1，方程的一个正根为1； 当a＝﹣2时，（x+x﹣2）2＝4×3+4，2x﹣2＝4，x＝3，方程的一个正根为3； 综上所述，方程的一个正根为1或3， 故答案为：±2，3，1或3． 21．解：（1）设该长方体的长为5xcm、宽为2xcm， ∴2（5x×2x+5×5x+2x×5）＝40， ∴2x2+7x﹣4＝0， ∴x1＝0.5，x2＝﹣4（舍去）， 所以可设长方体的长为2.5cm，宽为1cm，高为5cm． 如图所示： （2）设该收纳盒的高为xcm，则BC＝40﹣2x，AB（40﹣x）（cm） ∴40﹣2x＞0， ∴，x＜20， ∴（40﹣2x）（40﹣x）＝250，整理得x2﹣60x+675＝0， x＝15或x＝45（舍去）， ∴该收纳盒的高为15cm． 22．解：（1）根据题意得：DP＝tcm，AQ＝3tcm， ∴AP＝AD﹣DP＝（8﹣t）cm， 由题意可知，t的取值范围是0≤t≤6， 故答案为：（8﹣t），0≤t≤6； （2）分两种情况： ①当Q在AB上时，此时， 根据题意得：， 解得：，t2＝4+2（不符合题意，舍去）； ②当Q在BC上时，此时， 根据题意得：， 解得：t＝6.8（不符合题意，舍去）； 综上所述，， 答：t的值为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/29 22:35:39；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $