第九章 随机变量及其分布（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》《数学 拓展模块一》（语文版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一》（语文版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第九章随机变量及其分布的单元测试卷，主要考查了离散型随机变量及其分布、二项分布、正态分布等常见考点。 第九章 随机变量及其分布 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图，我国古代珠算算具算盘每个档挂珠的杆上有颗算珠，用梁隔开，梁上面颗叫上珠，下面颗叫下珠，若从某一档的颗算珠中任取颗，记上珠的个数为，则 （    ） A． B． C． D． 2．已知随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知随机变量，且，又，则实数的值为（    ） A．0或2 B．2 C．-2或2 D．-2 4．下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲､乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲､乙两名运动员各射击一次，“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次5次击中目标.其中是独立重复试验的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 5．袋子中有大小相同的5个白球、5个黑球，从中任取两个，以下可以作为随机变量的是（   ） A．取到的球的个数 B．至少取到一个白球 C．取到白球的个数 D．至少取到一个白球的概率 6．随机变量X的分布列如下: X 0 1 P 若，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．在含有3件次品的100件产品中，任意抽取3件，取到次品的件数的所有可能取值为（    ） A．1，2，3 B．0，1，2 C．0，1，2，3 D．1，2，3，4 8．标准正态分布的均值和标准差分别为（   ） A．0，1 B．1，0 C．0，0 D．1，1 9．若随机变量，其分布密度函数为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 10．设随机变量的分布列为，，1，2，…，，且，则的值为（    ） A． B．8 C．12 D．16 11．将一枚质地均匀的硬币重复拋掷10次，恰好出现6次正面向上的概率为（   ） A． B． C． D． 12．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．甲乙两人参加面试答辩，假设甲乙面试互不影响，且他们面试通过的概率分别为，，则两人中至少有一人通过的概率为（    ） A． B． C． D． 14．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 15．下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（    ） 0 1 2 A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知随机变量的概率分布为 1 2 3 P 则 ， . 17．已知两个离散型随机变量，满足的分布列如下： 当时， ， ． 18．离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 2 则 ； ． 19．若随机变量服从二点分布，，则 . 20．某高校高三年级理科共有1500人，在第一次模拟考试中，据统计数学成绩ξ服从正态分布（100，100），则这次考试年级数学成绩超过120分的人数约为 .(精确到个位) 参考数据：若ξ服从正态分布N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）＝0.9974 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．某工厂生产一批产品，其中优等品占，一等品占，次品占，每件优等品获利40元，每件一等品获利20元，每件次品亏损30元.设每件产品的获利金额为元. (1)求随机变量的分布列； (2)每件产品平均获利多少元？ 22．为了解某校学生在学校的月消费情况，随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450~950之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”． (1)求a的值； (2)现采用分层抽样的方式从月消费金额落在，内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记“高消费群”人数为，求的分布列与数学期望． 23．判断下列试验是不是n重伯努利试验： (1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； (2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中； (3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球． 24．某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响． (1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率； (2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次没有击中目标的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一》（语文版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第九章随机变量及其分布的单元测试卷，主要考查了离散型随机变量及其分布、二项分布、正态分布等常见考点。 第九章 随机变量及其分布 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图，我国古代珠算算具算盘每个档挂珠的杆上有颗算珠，用梁隔开，梁上面颗叫上珠，下面颗叫下珠，若从某一档的颗算珠中任取颗，记上珠的个数为，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知，的所有可能取值为，，，方法一：，方法二：. 【详解】方法一：由题意可知，的所有可能取值为，，， 则． 方法二：由题意可知，的所有可能取值为，，， 则． 故选：A 2．已知随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的性质结合已知条件列方程求解即可 【详解】因为随机变量，所以，， 因为，所以，解得，或（舍）． 故选：C． 3．已知随机变量，且，又，则实数的值为（    ） A．0或2 B．2 C．-2或2 D．-2 【答案】C 【分析】根据题意，先求出，近而可得的值，结合正态分布的性质可得关于的方程，解出即可. 【详解】因为随机变量， 所以， 又所以， 当时，， 解得或2， 故选：C． 4．下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲､乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲､乙两名运动员各射击一次，“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次5次击中目标.其中是独立重复试验的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据互斥事件、相互独立事件，以及独立重复试验的定义可以判断：①，甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”是一个实验的两个结果，是互斥事件；②是相互独立事件；③是互斥事件；④是独立重复试验. 【详解】①和③符合互斥事件的概念，是互斥事件； ②是相互独立事件； ④是独立重复试验； 所以只有④符合题意， 故选：D. 5．袋子中有大小相同的5个白球、5个黑球，从中任取两个，以下可以作为随机变量的是（   ） A．取到的球的个数 B．至少取到一个白球 C．取到白球的个数 D．至少取到一个白球的概率 【答案】C 【分析】根据随机变量的定义即可判断. 【详解】对A：取到的球的个数是一个固定的数字，不具有随机性，故A错误； 对B：至少取到一个白球是随机事件而非随机变量，故B错误； 对C：取到白球的个数是一个随机变量，它的可能取值是0，1，2，故C正确； 对D：至少取到一个白球的概率为一个事件的概率值是一个定值而非随机变量，故D错误. 故选：C. 6．随机变量X的分布列如下: X 0 1 P 若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用随机变量分布列的性质和期望的计算，求解参数. 【详解】由离散型随机变量分布列的性质可知， ①， 又②， 联立① ，② ，解得，. 故选：A. 7．在含有3件次品的100件产品中，任意抽取3件，取到次品的件数的所有可能取值为（    ） A．1，2，3 B．0，1，2 C．0，1，2，3 D．1，2，3，4 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的概念结合题意即可求解. 【详解】100件产品中有3件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量， 用表示，那么的取值可以是0，1，2，3. 故选：C. 8．标准正态分布的均值和标准差分别为（   ） A．0，1 B．1，0 C．0，0 D．1，1 【答案】A 【分析】根据标准正态分布的特征，求解即可. 【详解】在标准正态分布中，均值，标准差， 故选：A. 9．若随机变量，其分布密度函数为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据正态曲线的密度函数对应计算可得； 【详解】解：因为随机变量，其分布密度函数为，所以，，所以 故选：B 10．设随机变量的分布列为，，1，2，…，，且，则的值为（    ） A． B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据二项分布的性质以及期望、方差公式求解即可. 【详解】因为设随机变量的分布列为，，1，2，…，， 所以，所以. 所以.所以. 故选：B. 11．将一枚质地均匀的硬币重复拋掷10次，恰好出现6次正面向上的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得正面向上的概率，再求得恰好出现6次正面向上的概率即可． 【详解】设“正面向上”为事件，则. 所以恰好出现6次正面向上的概率为， 故选：D． 12．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目所给的条件，利用独立重复试验概率公式列出不等式即可求出范围 【详解】因为在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率， 所以，解得． 又因为,所以, 故选：A. 13．甲乙两人参加面试答辩，假设甲乙面试互不影响，且他们面试通过的概率分别为，，则两人中至少有一人通过的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件及对立事件的概率公式求解即得. 【详解】依题意，两人中至少有一人通过的概率为. 故选：A 14．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【答案】C 【分析】根据正态曲线的相关性质逐项分析即可. 【详解】已知，， 由题图可知，， ，故A错误， ，故B错误， 当为任意正数时，由题图可知， 而，， ，故C正确，D错误. 故选：C. 15．下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（    ） 0 1 2 A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【分析】由离散型随机变量分布列的概率之和等于1即可得解. 【详解】由已知得，解得或（舍去）. 故选：B. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知随机变量的概率分布为 1 2 3 P 则 ， . 【答案】 【分析】根据期望、方差的公式求解. 【详解】； ， . 故答案为：；. 17．已知两个离散型随机变量，满足的分布列如下： 当时， ， ． 【答案】 【详解】分析：由分布列的性质和数学期望的公式，求得，进而求得，又因为，所以，即可求解. 详解：由题意，因为， 所以，则， 又因为，所以. 点睛：本题主要考查了随机变量的分布列的性质，以及数学期望与方差的计算问题，其中熟记随机变量的分布列的性质和数学期望与方差的公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 18．离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 2 则 ； ． 【答案】 /0.5 【分析】根据分布列的性质求出参数，再计算期望和方差. 【详解】由分布列可知：，得； 所以； . 故答案为：；. 19．若随机变量服从二点分布，，则 . 【答案】/ 【分析】根据分布列的性质，列出方程，即可求解. 【详解】因为随机变量服从二点分布，且， 可得，可得. 故答案为：. 20．某高校高三年级理科共有1500人，在第一次模拟考试中，据统计数学成绩ξ服从正态分布（100，100），则这次考试年级数学成绩超过120分的人数约为 .(精确到个位) 参考数据：若ξ服从正态分布N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）＝0.9974 【答案】34人 【分析】利用正态分布的对称性求出数学成绩超过120分的概率，从而可求出答案 【详解】解：因为数学成绩ξ服从正态分布（100，100），所以 所以 , 所以这次考试年级数学成绩超过120分的人数约为， 故答案为：34 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．某工厂生产一批产品，其中优等品占，一等品占，次品占，每件优等品获利40元，每件一等品获利20元，每件次品亏损30元.设每件产品的获利金额为元. (1)求随机变量的分布列； (2)每件产品平均获利多少元？ 【答案】(1)答案见解析 (2)26.25元. 【分析】（1）根据随机变量的取值，分别求其对应的概率，写出分布列； （2）求随机变量的数学期望，可得结果. 【详解】（1）的所有可能取值为，20，40，则 ，，. 故随机变量的分布列为 20 40 P （2）因为随机变量的数学期望 （元）， 所以每件产品平均获利26.25元. 22．为了解某校学生在学校的月消费情况，随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450~950之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”． (1)求a的值； (2)现采用分层抽样的方式从月消费金额落在，内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记“高消费群”人数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）根据频率分部直方图中，频率之和为1即可求解. （2）首先根据分层抽样，确定每层所抽取的人数，然后根据超几何分布求出随机变量对应的概率即可求解. 【详解】（1）因为， 所以； （2）由题意知，人数在和的比例为,所以从中抽取7人，从中抽取3人．高消费人X可以取0，1，2，3， ，， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P ， （也可用超几何分布结论） 23．判断下列试验是不是n重伯努利试验： (1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； (2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中； (3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球． 【答案】(1)不是n重伯努利试验 (2)是n重伯努利试验 (3)不是n重伯努利试验 【分析】通过分析不同的试验的条件即可得出结论. 【详解】（1）由题意， ∵试验的条件不同(质地不同)， ∴不是n重伯努利试验 （2）由题意， ∵某人射击且击中的概率是稳定的， ∴是n重伯努利试验． （3）由题意， ∵每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等， ∴不是n重伯努利试验． 24．某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响． (1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率； (2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次没有击中目标的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二项分布概率计算公式求得所求的概率. （2）根据相互独立事件概率计算公式求得所求概率. 【详解】（1）设为射手在5次射击中击中目标的次数，则． 在5次射击中，恰有2次击中目标的概率：． （2）设“第次射击击中目标”为事件； “射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A， 则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $