第六章 立体几何（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》《数学 拓展模块一》（语文版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一》（语文版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第六章立体几何的单元测试卷，主要考查了平面、直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系等常见考点。 第六章 立体几何 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列四个命题 ①过平面外一点，有且只有一条直线与已知平面平行； ②过平面外一点，有且只有一条直线与已知平面垂直； ③平行于同一个平面的两个平面平行； ④垂直于同一个平面的两个平面平行. 其中，真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的性质即可解得 【详解】选项A：过平面外一点，有无数条直线与已知平面平行，错误 选项B：由线面垂直的性质得过平面外一点，有且只有一条直线与已知平面垂直，正确 选项C：根据平面平行的性质得平行于同一个平面的两个平面平行，正确 选项D：垂直于同一个平面的两个平面可能平行也可能垂直还可能相交，错误 故选：B 2．用符号语言表示下列语句，正确的个数是（    ） （1）点A在平面内，但不在平面内：，． （2）直线a经过平面外的点A，且a不在平面内：，，． （3）平面与平面相交于直线l，且l经过点P：，． A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】根据点线面的位置关系结合表示方法可判断. 【详解】（1）错误，点A在平面内应表示为：，点A不在平面内应表示为,故错误. （2）正确. 由题意点A在直线a上，不在平面内，直线a不在平面内. 故表示为：，，，所以表示正确. （3）正确. 平面与平面相交于直线l，表示为 l经过点P，点P在直线l上，.故正确. 故选：B. 3．过平面外一点，且平行于平面的直线（    ） A．只有一条，但不一定在平面内 B．只有一条，一定在平面内 C．有无数条，但都不在平面内 D．有无数条，都在平面内 【答案】C 【分析】由平行公理及面面平行的定义即可得解. 【详解】设，点P在平面内， 则根据面面平行的性质， 过点P有无数条直线平行于，且都不在内. 故选：C. 4．下列关于点、线和面的关系表示错误的是（    ） A．点平面 B．直线平面 C．直线平面 D．平面平面 【答案】A 【分析】根据点，线，面的位置关系的符号表示判断即可. 【详解】点与面之间用，可知A错误， 直线平面，表示直线与平面交于点，表示正确，故B正确. 直线平面，表示直线在平面内，表示正确，故C正确. 平面平面，表示平面与平面交于直线，表示正确，故D正确. 故选：A. 5．设，为两条直线，，为两个平面，且，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若， ，则 【答案】C 【分析】对于选项A、B、D，可以举反例进行排除；对于选项C，可以结合直二面角的定义即可判断. 【详解】对于A，如图，若，，且，则可以，故A错误；    对于B，如图，若，，且，则可以，故B错误；    对于C，如图，且，，举例， 则有，，在平面内作，交于点，则，， 则，同理在平面内，过点作，则，，则，，则其形成的二面角为直二面角， 再根据直二面角定义可知直线与所成的角为直角，则直线与所成的角也为直角，则， 同理当或者或者均可利用上述类似方法，再结合直二面角定义得到. 故C正确；    对于D，若，，且，则可以，故D错误；      故选：C. 6．如图所示，棱长为2的正方体中，点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，利用体积法求解. 【详解】是正三角形，边长为，面， 设点到平面的距离是， ∵，∴， ∴，解得. 故选：A. 7．下列说法正确的是（    ） A．若一个平面中有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 B．若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行 C．两相交直线确定一个平面 D．用一个平面去截棱锥，底面与截面间的部分叫棱台 【答案】C 【分析】对于A，由面面平行的判定定理可知其说法少条件； 对于B，举反例排除即可； 对于C，由平面公理2的推论可判断； 对于D，由棱台的定义可判断. 【详解】对于A，面面平行的判定定理：一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，显然A说法中少了个条件：线线相交，故A错误； 对于B，如图，在正方体内，，但与不平行，故B错误； . 对于C，C说法是平面公理2的一个推论，故C正确； 对于D，棱台是由一个“平行”于棱锥底面的平面去截棱锥得到的，故D错误. 故选：C. 8．在三棱锥PABC中，若PA＝PB＝PC，则顶点P在平面ABC内的射影是△ABC的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】略 9．在直三棱柱中，已知，，，则异面直线与所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将异面直线与所成的角转化到直角三角形中的即可求得. 【详解】如下图所示， 由于，所以是异面直线与所成的角， 又，， 则，所以三角形是直角三角形，， 则，在直角三角形中. 故选：B 10．在长方体中，与平面所成的角是，则长方体体积（   ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】这道题主要运用长方体的性质、线面角的定义及相关几何知识求解. 【详解】如图所示，连接平面， 为直角三角形， 又， 又， .    故选：C. 11．三棱柱中，点在上，且，若平面，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线面平行的性质定理，结合三角形中位线可求出的值. 【详解】如图，连接，交于点，连接， 因为平面， 平面， 平面平面， 所以. 又在中，为中点，所以为中点， 因为，所以. 故选：A. 12．正四棱锥中，底面是正方形，为底面中心，若，则下列说法错误的是（   ）. A．底面 B．侧面都是全等的等腰三角形 C．相邻两侧面所成二面角的大小与底面边长无关 D．侧棱与底面所成角都相等 【答案】C 【分析】根据题意，结合正四棱锥的结构特征和几何性质，及二面角的概念及余弦定理，即可判断求解. 【详解】因为正四棱锥的侧棱都相等，顶点P在底面上的射影为底面中心O，故底面， 故选项A正确，不符合题意； 因为正四棱锥中，底面为正方形，侧棱， 根据全等三角形判定定理，即可判断侧面都是全等的等腰三角形， 故选项B正确，不符合题意； 由题意，设正四棱锥中，底面边长为a，侧面等腰三角形的底角为， 如图，过作,连接，由全等可知, 所以为二面角的大小， 在中，， 所以， 所以当侧棱长度一定时，侧面等腰三角形的底角大小受底面边长的影响， 故相邻两侧面所成二面角的大小与底面边长有关，故选项C错误，符合题意； 根据正四棱锥的结构特征，侧棱与底面所成角都相等， 故选项D正确，不符合题意； 故选：C. 13．正方体的棱长为2，下列结论正确的是（   ） A．异面直线与所成角为 B．与平面所成角为 C．与的夹角是 D．与平面所成的角为 【答案】D 【分析】根据题意，结合正方体的结构特征，异面直线所成角的概念，直线与平面所成角，线面平行和线面垂直的判定定理和性质定理，即可判断求解. 【详解】 因为正方体中，平面， 又平面，所以， 即异面直线与所成角为，故选项A错误； 连接，因为，即为平行四边形， 则， 又平面，平面， 所以平面，即与平面所成角为，故选项B错误； 因为，所以是等边三角形， 所以，即与的夹角是，故选项C错误； 因为在正方体中，平面， 所以即是直线与平面所成的角， 又，即直线与平面所成的角是，故选项D正确； 故选：D. 14．在正方体中，异面直线与所成角的度数是（    ）. A．90° B．60° C．45° D．30° 【答案】B 【分析】由题意连接直线，可知对角线与平行，则异面直线与所成角转化为与所成角求解即可. 【详解】连接，， 因为在正方体， 所以， 又因为，，均为正方体的对角线， 所以， 则是等边三角形， 所以. 即异面直线与形成的角度为是. 故选：B. 15．已知m，n是不同的直线，，是不同的平面，下列命题中，正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，则 D．若，，且，则 【答案】D 【分析】根据线面平行，面面平行，线面垂直和面面垂直的性质与判定定理分析判断即可 【详解】若，，则有可能，或m与n相交或异面，故A不正确； 若，，则，故B不正确； 若，，且，则有可能，不一定，故C不正确； 若，，且，由平面与平面垂直的判定，可以得到，故D正确． 故选：D. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．根据图，填入相应的符号： A 平面ABC； A 平面BCD； BD 平面ABD． 【答案】 【分析】略 【详解】略 17．如图所示，圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，为的中点，为的中点，则直线与所成角的大小为 . 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理，结合线面垂直的性质、异面直线所成角定义、勾股定理进行求解即可. 【详解】设的中点为，连接， 因为为的中点， 所以有， 所以是直线与所成的角(或补角), 因为圆锥的轴截面是边长为2的正三角形， 所以， 显然是圆锥的高，因此与底面垂直， 在底面中，因为为的中点， 所以， 于是， 因为， 所以， 故答案为： 18．三棱柱的五个面所在的平面将空间平分成 个部分 【答案】 【分析】3个侧面将空间分成了7个部分,上下底面又将空间分成了上中下三个部分,即可求得分得的所有部分数. 【详解】三棱柱有3个侧面,3个侧面将空间分成了7个部分 上下底面又将空间分成了上中下三个部分,每个部分都有7个小部分 所以三棱柱的五个侧面将空间分成了个部分 故答案为: 【点睛】本题考查了空间结构体的特征,需要空间想象能力,属于基础题. 19．如图，在正方体中，二面角的余弦值为 ．    【答案】/ 【分析】根据二面角的定义，结合解直角三角形中余弦值的求法，即可求解. 【详解】    取的中点O，连接，则。 所以为二面角的大小， 由题意得平面， 又平面, 所以， 设正方体的棱长为1， 在中，， 所以， 所以. 故答案为：. 20．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1 cm，过AC作平行于对角线BD1的截面，则截面面积为 cm2. 【答案】 【分析】利用线面平行的性质，找到过AC作平行于对角线BD1的截面，然后求其面积． 【详解】如图 连接BD，与AC交于O，E为DD1的中点，连接OE，则OE∥BD1，所以BD1∥平面ACE， 平面ACE即为过AC平行于对角线BD1的截面， 正方体的棱长为1cm，所以AC＝cm，OE＝BD1＝cm， 所以S△ACE＝（cm2） 故答案为． 【点睛】本题考查了正方体中线面平行的运用，关键是找到过AC平行于对角线BD1的截面，然后求面积,属于基础题. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形． (1)，； (2)，，； (3)，，，． 【答案】(1)详情见解析 (2)详情见解析 (3)详情见解析 【分析】（1）（2）（3）根据空间中点、线、面的位置关系画出图形. 【详解】（1）解：点在平面上，点不在平面上，如下图所示： （2）解：直线在平面上，直线与平面相交于点，且点不在直线上，如下图所示： ． （3）解：直线经过平面外一点和平面上一点，如下图所示： 22．如图，在长方体的六个表面中，指出在哪些平面内，与哪些平面相交，与哪些平面平行． 【答案】见解析 【分析】根据长方体的图像直接可判断. 【详解】由图可知平面，平面， 与平面、平面相交， 平面，平面. 23．如图，已知正四棱锥的底面是面积为4的正方形，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为3，为棱的中点，为底面正方形的中心．    (1)求四棱锥的高； (2)求四棱锥侧面三角形底面上的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正四棱锥的几何性质，利用勾股定理，结合正方形的性质对进行求解即可； （2）利用等腰三角形的性质进行求解即可. 【详解】（1）因为是正四棱锥，且为底面正方形的中心， 所以底面，而底面， 因此， 因为是正方形，且面积为4， 所以该正方形的边长为2，， 在直角三角形中，； （2）因为侧面是全等的等腰三角形，且为棱的中点， 所以， 在直角三角形中，； 24．已知等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD． （Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面PCD； （Ⅱ）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分，且. 【答案】（I）见解析；（II）M为PB的中点. 【分析】（I）由题中条件易得，又面PAD⊥面ABCD，面PAD面ABCD=AD，所以DC⊥面PAD，所以平面PAD⊥平面PCD；（II）先作MN⊥AB，设MN=h，可分别求出和，然后用体积比列方程可求出MN，从而判断点M的位置. 【详解】解：（I）证明：因为等腰梯形PDCB，PB=3，DC=1，PD=BC=，且PA=1，所以 又因为面PAD⊥面ABCD，面PAD面ABCD=AD 所以DC⊥面PAD 又DC面PCD 所以平面PAD⊥平面PCD （II）因为PA⊥AD，面PAD⊥面ABCD，面PAD面ABCD=AD 偶一平面PAB⊥平面ABCD． 在PB上取一点M，作MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD，设MN=h 则 因为. 所以，解得 所以，点M为PB的中点. 【点睛】本题考查了面面垂直的判定与性质，空间几何体的体积，属于基础题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一》（语文版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第六章立体几何的单元测试卷，主要考查了平面、直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系等常见考点。 第六章 立体几何 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列四个命题 ①过平面外一点，有且只有一条直线与已知平面平行； ②过平面外一点，有且只有一条直线与已知平面垂直； ③平行于同一个平面的两个平面平行； ④垂直于同一个平面的两个平面平行. 其中，真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．用符号语言表示下列语句，正确的个数是（    ） （1）点A在平面内，但不在平面内：，． （2）直线a经过平面外的点A，且a不在平面内：，，． （3）平面与平面相交于直线l，且l经过点P：，． A．1 B．2 C．3 D．0 3．过平面外一点，且平行于平面的直线（    ） A．只有一条，但不一定在平面内 B．只有一条，一定在平面内 C．有无数条，但都不在平面内 D．有无数条，都在平面内 4．下列关于点、线和面的关系表示错误的是（    ） A．点平面 B．直线平面 C．直线平面 D．平面平面 5．设，为两条直线，，为两个平面，且，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若， ，则 6．如图所示，棱长为2的正方体中，点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 7．下列说法正确的是（    ） A．若一个平面中有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 B．若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行 C．两相交直线确定一个平面 D．用一个平面去截棱锥，底面与截面间的部分叫棱台 8．在三棱锥PABC中，若PA＝PB＝PC，则顶点P在平面ABC内的射影是△ABC的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 9．在直三棱柱中，已知，，，则异面直线与所成的角为（   ） A． B． C． D． 10．在长方体中，与平面所成的角是，则长方体体积（   ） A．8 B． C． D． 11．三棱柱中，点在上，且，若平面，则等于（   ） A． B． C． D． 12．正四棱锥中，底面是正方形，为底面中心，若，则下列说法错误的是（   ）. A．底面 B．侧面都是全等的等腰三角形 C．相邻两侧面所成二面角的大小与底面边长无关 D．侧棱与底面所成角都相等 13．正方体的棱长为2，下列结论正确的是（   ） A．异面直线与所成角为 B．与平面所成角为 C．与的夹角是 D．与平面所成的角为 14．在正方体中，异面直线与所成角的度数是（    ）. A．90° B．60° C．45° D．30° 15．已知m，n是不同的直线，，是不同的平面，下列命题中，正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，则 D．若，，且，则 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．根据图，填入相应的符号： A 平面ABC； A 平面BCD； BD 平面ABD． 17．如图所示，圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，为的中点，为的中点，则直线与所成角的大小为 . 18．三棱柱的五个面所在的平面将空间平分成 个部分 19．如图，在正方体中，二面角的余弦值为 ．    20．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1 cm，过AC作平行于对角线BD1的截面，则截面面积为 cm2. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形． (1)，； (2)，，； (3)，，，． 22．如图，在长方体的六个表面中，指出在哪些平面内，与哪些平面相交，与哪些平面平行． 23．如图，已知正四棱锥的底面是面积为4的正方形，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为3，为棱的中点，为底面正方形的中心．    (1)求四棱锥的高； (2)求四棱锥侧面三角形底面上的高． 24．已知等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD． （Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面PCD； （Ⅱ）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分，且. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $